2020-2021学年上海市高二下期末模拟考试数学试卷及解析-精品试题
上海市最新第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,, 若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,, 异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
上海市高二数学下学期期末考试试题(含解析)
北虹高级中学2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题。
1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()UA B =_______。
【答案】{}4 【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B ⋃=，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.2.不等式215x +≤的解集是_______. 【答案】[]3,2- 【解析】 【分析】直接去掉绝对值即可得解.【详解】由215x +≤去绝对值可得5215x -≤+≤即-32x ≤≤，故不等式215x +≤的解集是[]3,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.3.关于x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______. 【答案】()6,6- 【解析】 【分析】利用判别式△＜0求出实数k 的取值范围．【详解】关于x 的不等式290x kx ++>的解集为R ，∴△=k 2-4×9＜0，解得-66k <<∴实数k 的取值范围为 ()-6,6.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______。
【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，∴每个个体被抽到的概率是61 244=，丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为1824⨯=,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.有n个元素的集合的3元子集共有20个，则n= _______.【答案】6【解析】【分析】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20即可得解.【详解】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20得6n=，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.6.用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数.【答案】96【解析】【分析】利用乘法原理，即可求出结果．【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A ．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．7.在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）. 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【详解】由6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得666316621(2)2rr r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭ 由6-3r=0，得r=2．∴常数项等于4262240C ⨯=,故答案为240.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．8.)m R =∈其中，则实数m =_______.【答案】2或2- 【解析】 【分析】=.22==2592m m +=∴=±故答案为2或2.-【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.9.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.考点：等可能事件的概率.10.集合{}24,A x x x R ==∈，集合{}4,B x kx x R ==∈，若B A ⊆，则实数k = ____. 【答案】0，2，2- 【解析】 【分析】解出集合A ，由B A ⊆可得集合B 的几种情况，分情况讨论即可得解.【详解】{}24,A x x x R ==∈={}-2,2,若B A ⊆，则{}{}{}B=2-2-2,2φ，，，，当B φ= 时，0k =；当 {}2B =时，242k k =∴=； 当{}-2B =时，-24-2k k =∴=；当{}-22B =，时，无k 值存在； 故答案为0，2，2-.【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉.11.若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___. 【答案】9 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可． 【详解】∵0m >，0n >，1m n +=，44()54145219n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．12.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个。
2020-2021学年上海市徐汇区高二下学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市徐汇区高二下学期期末数学试题一、单选题1．在正方体1111ABCD A BC D -中，1AB 和1BC 所成角的大小是（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 【答案】C【解析】利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到11B AD ∠为异面直线1AB 和1BC 所成角，进而在三角形11AB D 中求解. 【详解】如图所示，连接111,AD B D ，∵11//AB C D ,11 AB C D =,四边形11ABC D 为平行四边形，∴11AD //BC ，∴11B AD ∠为异面直线1AB 和1BC 所成角（或其补角），由于11AB D 是等边三角形，∴113B AD π∠=，故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，涉及正方体的性质，属基础题. 关键在于利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到异面直线所成的角，进而在相应三角形中求解. 2．已知1F ､2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．线段C ．圆D ．椭圆【答案】B【解析】根据椭圆的定义即可得解； 【详解】解：对于在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段．故选：B ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题．3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ．22+ B ．122C ．222+ D ．12+【答案】A【解析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案. 【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中OABC 为直角梯形，2OC =，1BC =，21OA =+.故22S =+. 故选：A .【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.4．如图，点A 是曲线22(2)y x y +≤上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C .则下列判断：①||||AP AQ -为定值22||||QB BC +为定值5.其中正确的说法是（ ）A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①都错误，②正确【答案】A【解析】曲线22(2)y x y =+≤的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定,P Q 正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将BQ 转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.【详解】曲线22(2)y x y =+≤两边平方，得222y x -=，为双曲线22122y x -=22y ≤的部分，(0,2)P -，(0,2)Q 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，知||||||22A P A Q -=||||A P A Q >，∴||||22A P A Q -= 曲线218y x =即抛物线28x y =，其焦点为(0,2)Q ，准线方程为2y =-， 由抛物线定义，知||||||||||5QB BC BD BC CD +=+==，②正确； 故选：A . 【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，方程，属中档题，关键是利用双曲线和抛物线的定义进行转化求解.二、填空题5．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【解析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2 【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．抛物线24y x =的准线方程为_____． 【答案】1x =-【解析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程。
学易金卷：2020-2021学年高二下学期期末测试卷(沪教版)02卷(全解全析)
2020-2021学年下学期期末原创卷（沪教版）02卷高二数学·全解全析1．1【分析】把2i +代入方程，化简得23(4)0m n m i ++++=，利用复数相等定义得解.【详解】2i +是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根,2(2)(2)0i m i n ++++=, 23(4)0m n m i ∴++++=23040m n m ++=⎧∴⎨+=⎩,45m n =-⎧∴⎨=⎩ =1m n +故答案为：1【点睛】求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．2．1±【分析】利用两直线平行的公式：12210A B A B -=可以建立等量关系，从而求出结果.【详解】 解：1l ∥2l ，所以2110a ⨯-=，解得：1a =±，检验，当1a =±时，1l 与2l 不重合，满足题意. 故答案为：1±.【点睛】本题考查两条直线平行的直线方程的系数关系，属于基础题.3．221169x y -= 【分析】根据双曲线的定义，可判定P 点的轨迹为双曲线，按照双曲线的概念即可求出轨迹方程.解：||||||8PA PB -=，所以P 点的轨迹是以,A B 两点为焦点，以8为实轴长的双曲线.即28a =，210c =，所以4a =，3b =，所以双曲线的方程为221169x y -=. 故答案为：221169x y -=. 【点睛】本题考查定义法求双曲线的标准方程，熟记定义是解题的关键，本题属于基础题.4．10arccos10 【分析】连接11,B A B C ，可得直线AC 与1A D 所成的角为1B CA ∠，利用余弦定理求1cos B CA ∠即可.【详解】解：如图，连接11,B A B C ，由长方体的结构特点可知11//B C A D ，则直线AC 与1A D 所成的角为1B CA ∠（或其补角）， 因为2211215,112,215B A B C AC =+==+==+=，在1B CA 中，222111110cos 2252BC AC AB B CA BC AC +-∠===⋅⨯， 110arccos B CA ∴∠=. 故答案为：10arccos.本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.5．4【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长．【详解】抛物线2y 4x =的焦点()1,0，可得：2y 4=，解得y 2=±．可得：对称轴垂直的弦长为：4．故答案为：4．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6．(5,4,3)-【分析】推导出15,4,3DA DC DD ===，从而B （5，4，0），1(0,0,3)D ，由此能求出1D B 的坐标.【详解】解：以长方体1111ABCD A BC D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为(5,4,3)，∴15,4,3DA DC DD ===，∴B （5，4，0），1(0,0,3)D ，∴1D B 的坐标为(5,4,3)-.故答案为：(5,4,3)-.【点睛】本题考查向量的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7．59【分析】利用组合知识，先得到从编号为1，2，⋅⋅⋅，9的9个球中随机摸出两个球的基本事件总数，若两数之和为奇数，则一奇一偶，再得到两个球编号之和为奇数其基本事件数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】从编号为1，2，⋅⋅⋅，9的9个球中随机摸出两个球的基本事件总数为：2936C = ， 若两数之和为奇数，则一奇一偶，所以两个球编号之和为奇数的基本事件数为：115420C C ⋅=， 所以两个球编号之和为奇数的概率是205369p ==. 故答案为：59【点睛】 本题主要考查古典概型的概率以及组合问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.8．15【分析】求得3x 的系数，由此求得3a 的值.【详解】依题意可知3a 是3x 的系数，所以3333345141015a C C C =++=++=. 故答案为：15【点睛】本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于基础题.92 【分析】根据勾股定理可以计算出11,DB B C ，这样得到1DCB ∆是直角三角形，利用等体积法求出点A 到1BCD 的距离.【详解】解：如图所示，在三棱锥1B ACD -中，1BB 是三棱锥1B ACD -的高，1AB AD BB a ===，在1B CD ∆中，12BC a=,DC a =,13B D a =,所以1B CD ∆是直角三角形 11B ACD A B CD V V --=，1212222B CD S a a ∆=⨯=，设点A 到1BCD 的距离为d 2211123232a a d ∴⨯⋅=⨯⋅， 22a d ∴=. 故A 到平面1A BD 2a 2a 【点睛】 本题考查了点到线的距离，利用等体积法求出点到面的距离.是解题的关键.10．12±【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切可得d r =，故可求出a 的值．【详解】解：将圆的参数方程1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数） 化为普通方程是22(1)1x y -+=；第 6 页共 14 页将直线的参数方程(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数） 化为普通方程是x y a +=；由于直线与圆相切，则可草图如右：所以圆心(1,0)C 到直线的距离是d r =， 即1012a+-=；解得|1|2a -=，则21a =+，或12a =-；故答案为：12±【点睛】本题考查参数方程的应用问题，应先把参数方程化为普通方程，再利用直线与圆的位置关系进行解答，属于基础题．112【分析】如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ．由于E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，可得1OM EM ==．2OE =．在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点．可得)2,2C，代入解出即可． 【详解】解：如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ． E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，1OM EM ∴==．2OE ∴=．在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点． 因为()2,2C ， 422p ∴=，解得2p =．2,0F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．即点F 为OE 的中点，∴该抛物线的焦点到其准线的距离为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．12【分析】首先可以判断A 、P 、B 三点共线，设AB 的中点为M ,分别过A 、M 、B 作直线34250x y +-=的垂线AE 、MG 、BF ，根据点到直线的距离公式可得11|3425|5x y AE +-=，22|3425|5x y BF +-=，即1122|3425||3425|255x y x y MG +-+-+=，再判断M 的轨迹，从而求出MG 的最值，从而得解； 【详解】解：设圆的圆心为C ，因为AP PB λ=(R λ∈)，所以A 、P 、B 三点共线，设AB 的中点为M ,分别过A 、M 、B 作直线34250x y +-=的垂线AE 、MG 、BF ，则11|3425|5x y AE +-=，22|3425|5x y BF +-=，则2MG AE BF =+，所以1122|3425||3425|255x y x y MG +-+-+=， 因为M 是AB 的中点，所以MP MC ⊥，所以M 在以PC 为直径的圆上，且2PC =，即半径为1，圆心为坐标原点O ，点O 到34250x y +-=的距离2225535d ==+， 所以()max 516MG =+=所以1122|3425||3425|55x y x y +-+-+的最大值为12 故答案为：12【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，直线与圆的综合应用，属于中档题.13．C【分析】按照选2台甲型1台乙型，或是1台甲型2台乙型，分别计算组合数.【详解】由题意可知可以选2台甲型1台乙型，有214530C C=种方法，或是1台甲型2台乙型，有124540C C=种方法，综上可知，共有30+40=70种方法.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，分步，分类计算原理，重点考查分类讨论的思想，计算能力，属于基础题型. 14．C【解析】【分析】通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定”可判断A是否正确；通过“底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判断B是否正确；通过“两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C是否正确；通过“经过球面上任意两点的大圆有无数个”可判断D是否正确。
上海市徐汇区2020-2021学年高二下学期期末数学试题
上海市徐汇区2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．双曲线22195x y -=的焦距为____________ 2．若一个球的表面积为π，则该球的半径为____________3．若直线1x y +=与直线()2140m x my ++-=平行，则实数m 的值为____________ 4．已知长方体1111ABCD A BC D -的棱1AA ，AB 和AD 的长分别为3cm 、4cm 和5cm ，则棱AB 到平面1111D C B A 的距离为____________cm5．已知p 、q 都是实数，23-+i 是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则p q -的值为____________6．直线:10l x y +-=与圆22:4C x y +=交于A 、B 两点，则AB =____________7．设实数,x y 满足00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y +的最大值为____________8．二项式102⎛+ ⎝x 的展开式中的常数项为____________ 9．圆锥的高为1____________ 10．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB =，1AA E 为AB 上的动点，则1D E CE +的最小值为____________.11．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________12．已知实数,x y 满足13y y x x +=4y +-的取值范围是____________二、单选题 13．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面14．设0a <且b <0，则直线bx ay ab +=的倾斜角为（ ）A ．arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．arctan ⎛⎫- ⎪⎝⎭a bC ．arctan b a π-D ．arctan a bπ- 15．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A B C D 16．设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（ ）A ．①错，②对B ．①对，②错C ．①②都错D ．①②都对三、解答题17．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数2i z m =-．（1）若()12i z ⋅-为实数，求m 的值；（2）若z 为复数z 的共轭复数，若复数z z 在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．18．已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为，点C 为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=.（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）19．2021年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和1米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.20．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==PA AB ，2AD =，点F 是PB的中点，点E 在边BC 上移动.(1)求三棱锥E PAD -的体积；(2)证明：无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE .21．已知直线1:3l y x t =+与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B 两点，且(P 在直线l 的上方（如图所示）.（1）求常数t的取值范围；（2）若PAB△的面积最大，求直线PA的斜率的大小．参考答案1．【分析】根据双曲线的方程求出c ，再求焦距2c 的值.【详解】 因为双曲线方程为22195x y -=，所以29514c =+=，c双曲线22195x y -=的焦距为.故答案为：.2．12【分析】设球的半径为R ，代入球的表面积公式得答案．【详解】解：设球的半径为R ，则24R ππ=，得214R =，即12R =或12R =-（舍去）． 故答案为：12．3．2-【分析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可．【详解】解：因为直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行， 所以2(1)4111m m +-=≠-， 解得2m =-．故答案为：2-．4．3【分析】由长方体1111ABCD A BC D -得，1AA⊥平面111A B C D ，再由//AB 平面111A B C D 得，棱AB 到平面111A B C D 的距离为13AA =cm.【详解】依题意作图，在长方体1111ABCD A BC D -中，有1AA⊥平面111A B C D ， 又//AB 平面111A B C D ，所以棱AB 到平面111A B C D 的距离为13AA =cm.故答案为：3.5．-18【分析】由题得23-+i+(23--i)=2p -，(23-+i)(23--i)=2q ,即得解. 【详解】由题得23--i 是关于x 的方程220x px q ++=的另外一个根，所以23-+i+(23--i)=2p -，(23-+i)(23--i)=2q , 所以8,p =26q =.所以18p q -=-.故答案为：18-6【分析】先求出圆心C 到直线的距离，即得解.【详解】圆22:4C x y +=的圆心为原点，半径为2.由题得圆心C 到直线的距离为d =所以AB =7．4【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图OAB 内部（含边界），作直线:0l x y +=，在z x y =+中，z 为直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大．平移直线l ，当直线过点(0,4)A 时，z x y =+4=为最大值．故答案为：4．8．45256【分析】写出二项展开式通项，令x 的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】 二项式102⎛ ⎝x 的展开式通项为()52010221101012k kk k k k k T C x C x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令52002k -=，解得8k ， 因此，展开式中的常数项为88910145=2256T C ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭. 故答案为：45256. 9．2【分析】 求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值．【详解】如图，SAB 是圆锥轴截面，SC 是一条母线，设轴截面顶角为θ，因为圆锥的高为1tan 2θ(0,)θπ∈， 所以23θπ=，232ππθ=>，设圆锥母线长为l ，则2l =，截面SBC 的面积为211sin sin 22S SB SC BSC l BSC =⋅∠=∠， 因为2(0,]3BSC π∠∈，所以2BSC π∠=时，2max 1222S =⨯=． 故答案为：2．10【分析】将平面11ABC D 与平面ABCD 延展至同一平面，由C 、E 、1D 三点共线可求得1D E CE +的最小值.【详解】如下图所示，将平面11ABC D 与平面ABCD 延展至同一平面，12AD =，延展后113DD AD AD =+=，1CD =，由勾股定理可得1CD ==由图形可知，当C 、E 、1D 三点共线时，1D E CE +【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.11．350【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.【详解】所有三位数个数为900个.“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有44442=18++++个，分别为109,190,901,910;208,280,802,820;307,370,730,703;406,460,604,640;505,550；②含有两个相同数字的，共有3333=12+++个，分别为181,118,811;226,262,622;334,343,433;442,244,424；③不含0且没有相同数字的，共有334=24A ⨯个，分别为127,172,217,271,712,721;136,163,316,361,613,631;145,154,415,451,514,541;235,253,325,352,523,532,从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率54390050P ==. 故答案为:35012．)4⎡⎣【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.【详解】当0,0x y >>，表示椭圆2213y x +=第一象限部分； 当0,0x y ><，表示双曲线2213y x -=第四象限部分； 当0,0x y <>，表示双曲线2213y x -+=第二象限部分； 当0,0x y <<，2213y x --=不表示任何图形；以及()(1,0,两点，作出大致图象如图：40y +-=的距离为d =，根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是y =，40y +-=距离为2，40y +-=的距离为d =小于且无限接近2，考虑曲线第一象限的任意点设为()cos ,0,2P πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭40y +-=的距离d =，当4πθ=时取等号，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭，4y +-的取值范围是)4⎡⎣故答案为：)4⎡⎣ 13．D 【详解】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D. 考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 14．C 【分析】求出直线的斜率，然后由斜率得倾斜角． 【详解】由题意，直线的斜率为bk a=-0<，设直线倾斜角为θ，则θ为钝角， 所以arctan arctan b b a a θππ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．故选：C ． 15．C 【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO =由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 16．D 【分析】根据点的对称性可知四边形ABCD 是矩形，结合矩形的面积公式和外接圆的面积公式可求. 【详解】因为动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ），所以四边形ABCD 是矩形；不妨设0,0m n >>，则矩形ABCD 的面积为4mn ，因为22491m n +=，所以2249121m n mn=+≥=，即12mn ≥，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；所以矩形ABCD 的面积最小值为48.四边形ABCD所以四边形ABCD 外接圆的面积为()22m n π+，因为22491m n +=，所以()()222222222249491325n m m n m n m n m n π⎛⎫⎛⎫π+=π++=++≥π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2218,8n m ==时等号成立； 故选：D. 【点睛】本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值，明确所求目标的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 17．（1）1-；（2）(),2-∞-. 【分析】（1）由复数乘法法则化简后，由复数的分类求解；（2）求出zz，得出对应点的坐标，由点在第四象限得不等式，从而求得m 的范围．【详解】（1）()212i (2i)(12i)2i 2i 4i (4)2(1)i z m m m m m ⋅-=--=--+=--+是实数，则2(1)0m -+=，1m =-；（2）2222222i (2i)44i 44i 2i (2i)(2i)444z m m m m m mz m m m m m m ++-+-====+--++++，它对应的点在第四象限， 所以222404404m m m m ⎧->⎪⎪+⎨⎪<⎪+⎩，解得2m <-．即m 的范围是(,2)-∞-．18．(1)4(1π;(2). 【详解】试题分析：（1）圆锥的全面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积之和，根据圆锥的侧面积公式rl π求得面积，代入相加即得，（2）先根据线面垂直判定定理得OC ⊥平面AOB ，即得CDO ∠是直线CD 与平面AOB 所成角，再解三角形CDO 得直线CD 与平面AOB 所成角的大小.试题解析：（1）圆锥的底面积214S r ππ==圆锥的侧面积2S rl π==圆锥的全面积(1241S S S π=+=.（2）2BOC π∠=OC OB ∴⊥ 且OC OA ⊥，OC ⊥平面AOBCDO ∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角在Rt CDO 中，2OC =,OD =tan CDO ∠=CDO ∴∠=所以，直线CD 与平面AOB 所成角的为 19．73米【分析】以抛物线的顶点O 为坐标原点，抛物线在顶点O 处的切线为x 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，将4x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】以抛物线的顶点O 为坐标原点，抛物线在顶点O 处的切线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意可知，点()6,6-在该抛物线上，所以，2612p =，解得3p =，故抛物线的方程为26x y =-，将4x =代入该抛物线的方程得24863y =-=-，因此，所搭建舞台的最大高度为876133--=.故所搭建舞台的最大高度为73米. 20．（1）13E PAD V -=；（2）证明见解析【分析】（1）根据题意，得到112∆=⋅=EAD S AD AB ，再由13--∆==⋅E PAD P EAD EAD V V S PA ，即可求出结果；（2）根据线面垂直的判定定理，证明AF ⊥平面PBC ，进而可得出结论成立. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==PA AB ，2AD =， 所以112∆=⋅=EAD S AD AB ， 所以1133--∆==⋅=E PAD P EAD EAD V V S PA ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 又因为1==PA AB ，且点F 是PB 的中点， 所以⊥AF PB ；又PA BC ⊥，BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ；又AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥； 由BC AFAF PB PB BC B ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩可得AF ⊥平面PBC ； 又PE ⊂平面PBC ，所以无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE . 【点睛】本题主要考查求三棱锥的体积，以及线线垂直的证明，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.21．（1）()-；（2【分析】（1）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆>结合点P 在直线l 上可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出PAB △的面积关于t 的表达式，利用基本不等式求出PAB △的面积的最大值，求出t 的值，进一步求出点A 的坐标，即可得出直线PA 的斜率.【详解】（1）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22131364y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22269360x tx t ++-=（*）， 由题意可得()()2223689363680t t t ∆=--=->，解得t -<因为点(P 在直线l13t ⨯，解得0t <，综上所述，实数t的取值范围为()-；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得123x x t +=-，2129182t x x =-，12x x -12AB x =-，点P 到直线l的距离为d =所以，221182224PABt t S AB d t +-=⋅==≤=△， 当且仅当228t t =-时，即当2t =-时，等号成立，所以，方程（*）为260x x -=，由图可知12x x <，则10x =，12y =-，即点()0,2A -，故直线PA的斜率为PA k ==【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．。
2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二(下)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷一、填空题1．函数f（x）＝lg（1﹣3x）的定义域为．2．函数的值域是．3．若函数f（x）＝log a（x+b）的图象过点（1，2），则f﹣1（x）﹣1的图象经过点．4．圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ＝．5．若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．6．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．7．方程的解为x＝．8．不等式（a﹣3）＜（1+2a）的解集为．9．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（2）＝1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）＝f（x）+f（y），不等式f（x）+f（x﹣3）≤2的解集为．10．已知函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．11．已知a＞b＞0，那么当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为．12．关于函数，给出以下四个命题：①当x＞0时，y＝f（x）单调递减且没有最值：②方程f（x）＝kx+b（k≠0）一定有实数解：③如果方程f（x）＝m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④y＝f（x）是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是．二.选择题13．已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥α，a⊥β，则α∥βB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊥b，b⊥α，a∥β，则α∥βD．若α∥β，a与α所成角和b与β所成角相等，则a∥b14．设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]＝4，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集是（）A．[2，3]B．[2，4]C．[2，4）D．[3，4）15．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题三.解答题17．已知全集U＝R，A＝{m|关于x的方程有正负相异的实数根x2﹣2x+4﹣|m﹣1|＝0}，非空集合B＝{x|（x﹣2a）（x﹣1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁U A；（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围；18．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．19．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝2，AC⊥BC，D、E分别为线段AB、BC上的点，且，CE＝2EB＝2．（1）证明：DE⊥平面PCD；（2）已知，求锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）＝（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？21．已知．（1）s＞0，t＞0，s≠t，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和m均为实数，满足以下两个条件：①当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；②对任意m∈A且x∈（﹣∞，m]，不等式f（x）≤m2﹣（k﹣2）m+3k﹣10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1＜x2，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．参考答案一.填空题1．函数f（x）＝lg（1﹣3x）的定义域为（﹣∞，0）．解：由题意得：1﹣3x＞0，解得：x＜0，故函数f（x）的定义域是（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．2．函数的值域是（0，]．解：由，得，∵x∈R∴，解之得0＜y；故答案为：（0，]．3．若函数f（x）＝log a（x+b）的图象过点（1，2），则f﹣1（x）﹣1的图象经过点（2，0）．解：因为函数f（x）的图象过点（1，2），所以f（1）＝2，所以f﹣1（2）＝1，所以f﹣1（2）﹣1＝0，即函数f﹣1（x）﹣1经过点（2，0）．故答案为：（2，0）．4．圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ＝π．解：圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为2π×1＝2π（cm）；所以扇形的圆心角为θ＝＝π．故答案为：π．5．若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是（2，+∞）．解：∵“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，∴{x|x＜2}⫋{x|x＜a}∴a＞2；故实数a的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．6．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．7．方程的解为x＝2．解：∵，∴，解得x＝2．故答案为：2．8．不等式（a﹣3）＜（1+2a）的解集为（﹣4，+∞）．解：∵幂函数y＝在（﹣∞，+∞）上单调递增，（a﹣3）＜（1+2a），∴a﹣3＜1+2a，∴a＞﹣4，∴不等式（a﹣3）＜（1+2a）的解集为（﹣4，+∞）．故答案为：（﹣4，+∞）．9．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（2）＝1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）＝f（x）+f（y），不等式f（x）+f（x﹣3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．解：由于f（2）＝1，对于一切x，y∈R+，都有f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝2，则f（4）＝2f（2）＝2，不等式f（x）+f（x﹣3）≤2，∴f（x）+f（x﹣3）≤f（4），∴f[x（x﹣3）]≤f（4），∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴，∴，∴3＜x≤4，∴不等式的解集为{x|3＜x≤4}．故答案为：{x|3＜x≤4}．10．已知函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．解：函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，设y＝，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y＝的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a≤0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．11．已知a＞b＞0，那么当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为（2，1）．解：由a＞b＞0，得a﹣b＞0，所以b（a﹣b）≤（）2＝，当且仅当b＝a﹣b，即a＝2b时等号成立．所以a2+≥a2+≥16，其中第一个不等式的等号当且仅当a＝2b时成立，第二个不等式的等号当且仅当a2＝时成立．所以当a2+取最小值时，有，即．所以点P（a，b）的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．12．关于函数，给出以下四个命题：①当x＞0时，y＝f（x）单调递减且没有最值：②方程f（x）＝kx+b（k≠0）一定有实数解：③如果方程f（x）＝m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④y＝f（x）是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是①③④．解：①当x＞1时，y＝f（x）＝＝1+在区间（1，+∞）上是单调递减的函数，0＜x＜1时，y＝f（x）＝﹣＝﹣1﹣在区间（0，1）上是单调递增的函数且无最值；∴命题①错误；②函数f（x）＝，是偶函数，当x＞0时，y＝f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；当k＞0时，函数y＝f（x）与y＝kx在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y＝f（x）与y＝kx在第二象限内一定有交点；∴方程f（x）＝kx+b（k≠0）一定有解；∴命题②正确；③∵函数，是偶函数，且f（x）＝0，当k＝0时，函数y＝f（x）与y＝k的图象只有一个交点，∴方程f（x）＝k的解的个数是奇数；∴命题③错误；④∵函数，是偶函数，x≠±1，当x＞0时，y＝f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；由对称性知，函数f（x）无最小值，命题④错误．故答案为：①③④．二.选择题13．已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥α，a⊥β，则α∥βB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊥b，b⊥α，a∥β，则α∥βD．若α∥β，a与α所成角和b与β所成角相等，则a∥b解：若a⊥α，a⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α∥β，故A正确；若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，又a∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若α∥β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，可得a与α所成的角和b与α所成的角相等，则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误．故选：A．14．设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]＝4，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集是（）A．[2，3]B．[2，4]C．[2，4）D．[3，4）解：由[x]2﹣5[x]+6≤0，得（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0．解得2≤[x]≤3．因为[x]表示不超过x的最大整数，所以2≤x＜4．所以原不等式的解集为[2，4）．故选：C．15．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B．三.解答题17．已知全集U＝R，A＝{m|关于x的方程有正负相异的实数根x2﹣2x+4﹣|m﹣1|＝0}，非空集合B＝{x|（x﹣2a）（x﹣1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁U A；（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围；解：（1）由B≠∅，可得a≠，分a＞和a＜两种情况，当a＜，即2a＜1时，集合B＝{x|2a＜x＜1}．当a＞，即2a＞1时，集合B＝{x|1＜x＜2a}．综上，当a＜时，集合B＝{x|2a＜x＜1}．当a＞时，集合B＝{x|1＜x＜2a}．（2）因关于x的方程有正负相异的实数根x2﹣2x+4﹣|m﹣1|＝0，∴x1•x2＝4﹣|m﹣1|＜0，且△＝4﹣4（4﹣|m﹣1|）＞0，∴|m﹣1|＞4，∴m＜﹣3或m＞5，∴A＝{m|m＜﹣3或m＞5}；故集合∁U A＝{m|﹣3≤m≤5}．（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，则B⫋∁U A，由（1）、（2）可得：当a＜时，集合B＝{x|2a＜x＜1}，则2a≥﹣3，∴≤a＜；当a＞时，集合B＝{x|1＜x＜2a}，则2a≤5，∴＜a≤．综上，实数a的取值范围为[，）∪（，]．18．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为，所以r＝2．则．则圆锥的表面积S＝．体积V＝．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．19．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝2，AC⊥BC，D、E分别为线段AB、BC上的点，且，CE＝2EB＝2．（1）证明：DE⊥平面PCD；（2）已知，求锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以PC⊥DE，因为，CE＝2，所以DE2+CD2＝CE2，所以DE⊥CD，又因为PC∩CD＝C，所以DE⊥平面PCD，（2）解：因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CA、PC⊥AB，又因为，所以CA、CB、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由己知得，B（0，3，0），P（0，0，2），D（1，1，0），E（0，2，0），，，设平面PDA的法向量为，令x＝4，，平面PCD的一个法向量为，．所以锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．20．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）＝（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…由C（0）＝＝24，得k＝2400 …所以F＝15×+0.5x＝+0.5x，x≥0…（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5＝57.5，…当且仅当＝0.5（x+5），即x＝55时取等号…所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…21．已知．（1）s＞0，t＞0，s≠t，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和m均为实数，满足以下两个条件：①当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；②对任意m∈A且x∈（﹣∞，m]，不等式f（x）≤m2﹣（k﹣2）m+3k﹣10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1＜x2，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．解：（1）设f（s）＝x，f（t）＝y，x≠y，由题意可得，x2+y2+1﹣（x+y+xy）＝+＝，∴f2（s）+f2（t）+1＞f（s）+f（t）+f（s）f（t）．（2）①令log2x＝1，得x＝2，令2x＝1 得x＝1，∴0≤m≤2，即m＝{m|0≤m≤2}．②∵不等式f（x）≤m2﹣（k﹣2）m+3k﹣10恒成立，∴m2﹣（k﹣2）m+3k﹣10≥f（x）max＝1，∴m2﹣（k﹣2）m+3k﹣11≥0对任意m∈[0，2]都成立，∵1≤3﹣m≤3，∴，∵，∴，当且仅当m﹣3＝，即m＝1时等号成立，∴k≥4，∴k得取值范围为[4，+∞）．（3）∵，∴，①当x≤1时，方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0 变为x＝log2（t﹣x），即2x＝t﹣x，1＜t≤3，②当x＞1时，方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0 变为log2（log2x）＝log2（t﹣x），即log2x＝t﹣x，t＞1，∴x1，x2分别是方程2x＝t﹣x，log2x＝t﹣x的两个根且x1≤1＜x2＜t，∴，得，将其代入t＝，可得x1+x2＝t，∵2﹣|x1﹣1|+|x2﹣1|＝（t﹣x1）+（t﹣x2）+2﹣（1﹣x1）+（x2﹣1）＝2t，∴函数得定义域为（1，3]．。
上海市普陀区曹杨第二中学2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题含解析
某某市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（共12小题）.1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝．2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为．3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为．4．方程的解是5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为．6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为．7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝．8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD 的中点，则EF的长度为．9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为．10．在复数X围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为．11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为P i（x i，y i，z i）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{z i|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为（写出所有可能的值）．12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN 的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为．二、选择题13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z215．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种A．10B．16C．22D．2816．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形三、解答题17．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC ＝5，CD＝3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．（1）若α为虚数，且|α|＝3，某某数m的值；（2）若|α﹣β|＝2，某某数m的值．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．（1）求证：A′E⊥BE；（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；（3）求多面体A′BCD′EF的体积．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．参考答案一、填空题1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝﹣1 ．解：因为z＝1﹣i，故Imz＝﹣1．故答案为：﹣1．2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为平行．解：若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α平行，不可能相交，因为三点A，B，C共线．．故答案为：平行．3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为2π．解：设圆锥的底面积半径r，则底面半径为πr2＝π，解得r＝1；由母线长为l＝2，则该圆锥的侧面积为S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．故答案为：2π．4．方程的解是x＝3或x＝7解：∵，∴x＝2x﹣3或x+2x﹣3＝18，解得x＝3或x＝7．∴方程的解是x＝3或x＝7．故答案为：x＝3或x＝7．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为 2 ．解：如图，在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AD⊥平面DD1C1C，且DD1⊂平面DD1C1C，所以AD⊥DD1，同理可证AD⊥AB1故AD是异面直线AB1和DD1的公垂线段，因此AB1和DD1的距离为AD＝2．故答案为：2．6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为 1 ．解：因为＝为纯虚数，所以k﹣1＝0且k+1≠0，解得k＝1．故答案为：1．7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝9 ．解：因为空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），且∥，所以，即（2，n，﹣4）＝λ（﹣1，2，m），可得，解得m＝2，n＝﹣4，所以＝（﹣1，2，2），＝（2，﹣4，﹣4），则﹣＝（﹣3，6，6），所以．故答案为：9．8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD 的中点，则EF的长度为1或．解：如图，取BD中点M，连结FM，EM，由题可知，MF∥AB，ME∥CD，MF＝，ME＝，∵AB与CD所成的角为，∴或者＝，当时，△FME为等边三角形，∴EF＝1，当时，由余弦定理可知，EF2＝EM2+MF2﹣2EM•MF•cos∠FME＝，∴EF＝，综上，EF＝1或EF＝，故答案为：1或．9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为8．解：设球的球心为O，正四棱柱的高为h，因为球的半径为2，且A、B两点的球面距离为，则有∠AOB•2＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB＝2，所以AB＝2，即正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面正方形的边长为2，又正四棱柱的体对角线为外接球的直径，则，解得h＝，所以该正四棱柱的体积为＝8．故答案为：8．10．在复数X围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为{1+，，﹣i，i} ．解：设z＝x+yi（x，y∈R），则原方程化为，则，由②可知，y＝0或x＝0，故原方程有实根或纯虚数根，①若y＝0，则z＝x，故|x|2+2|x|﹣1＝0，解得x＝1+或x＝；②若x＝0，则z＝yi，则有|y|＝±1，所以z＝±i．综上所述，z＝1+或z＝或z＝±i．故答案为：{1+，，﹣i，i}．11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为P i（x i，y i，z i）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{z i|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为2或3或4 （写出所有可能的值）．解：若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于z轴的平面内，故不可能，当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoy内时，集合A中有2个元素，当正四面体P1P2P3P4的一面与x或y轴平行，集合A有3个元素，当正四面体P1P2P3P4的各面，各边都不与x或y或z轴平行，集合中有4个元素，故集合A的元素可能为2或3或4．故答案为：2或3或4．12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN 的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为 2 ．解：由题意可知，∠MAN＝90°，在Rt△AMN中，AP＝，线段MN的中点P的轨迹是以A为球心，为半径的球面的，所以线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l＝2．故答案为：2．二、选择题13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．15．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种A．10B．16C．22D．28解：根据题意，分3种情况讨论：①2个盒子各放3个小球，一个盒子是空的，有C32＝3种放法，②若每个盒子放2个小球，有1种放法，③若1个盒子放1个小球，1个盒子放2个小球，最后一个放3个小球，有A32＝6种放法，则有3+1+6＝10种放法，故选：A．16．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解：截面形状草图，如图所示：由图可知，截面为六边形，故选：D．三、解答题17．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．解：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有A22A77＝10080种排法；（2）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A77＝10080种，则丙、丁两人不相邻的排法有A88﹣A22A77＝30240种；（3）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，甲乙丙三人的排法有A33＝6种，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，则有甲站在丙、丁两人的中间有＝13440种．18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC ＝5，CD＝3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD，又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE＝B，∴CD⊥平面ABD．∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．∵AB＝BC＝5，∴AC＝5，∴sin∠CAD＝＝．∴直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin．（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD，又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，∴BM⊥平面ACD．∵BD＝＝4，∴AD＝＝．∴BM＝＝．即B到平面ACD的距离为．19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．（1）若α为虚数，且|α|＝3，某某数m的值；（2）若|α﹣β|＝2，某某数m的值．解：（1）因为α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根，因为α为虚数，设α＝a+bi，则β＝a﹣bi，又|α|＝3，则a2+b2＝9，解得，因为aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝9＝m，所以m＝9；（2）①当△＝16﹣4m＜0时，由（1）可知，a+bi+a﹣bi＝﹣4，解得a＝﹣2，又aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝m，因为|α﹣β|＝2，所以|2bi|＝2，解得b＝±1，故m＝5；②当△＝16﹣4m≥0时，则α+β＝﹣4，αβ＝m，所以|α﹣β|＝2，即，解得m＝3．综上所述，m＝3或m＝5．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．（1）求证：A′E⊥BE；（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；（3）求多面体A′BCD′EF的体积．【解答】（1）证明：因为平面A′EFD′⊥平面BEFC，EF⊥BE，EF⊥A′E，所以∠A′EB是二面角A′﹣EF﹣B的平面角，所以∠A′EB＝90°，所以A′E⊥BE；（2）解：设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，EG＝2，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D′（0，2，2），G（0，2，0），所以＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，0），设异面直线BD′与CG所成角为θ，则cosθ＝＝＝0，所以θ＝90°；（3）解：多面体A′BCD′EF的体积为：V A′BCD′EF＝+V D′﹣EBCF＝S△BEA′•EE1+•DE1＝×2×2×2+××2×2＝6．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．解：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，又AD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，因为PA＝AD＝4，则△PAD是等腰三角形，又E是PD的中点，所以AE⊥PD，又PD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PCD．（2）如图所示分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A（0，0，0），D（0，4，0），E（0，2，2），F（1，1，3），P（0，0，4），C（4，4，0）则，设平面AEF的一个法向量为，所以⇒，取c＝1，解得b＝﹣1，a＝2，所以．是平面AEF的一个法向量，设二面角F﹣AE﹣P的平面角为θ，则．（3）平面AEF与直线PB交于点G，设，则，设G（a，b，c），则，⇒（a，b，c﹣4）＝λ（4，0，﹣4）⇒a＝4λ，b＝0＝m⇒⇒﹣8λ+0+4﹣4λ＝0⇒，所以．。
2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数f（x）=lg（1-3x）的定义域为 ___ ．2.（填空题，5分）函数y=1的值域是___ ．x2+23.（填空题，5分）若函数f（x）=log a（x+b）的图象过点（1，2），则f-1（x）-1的图象经过点 ___ ．4.（填空题，5分）圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___ ．5.（填空题，5分）若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是___ ．6.（填空题，5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ___ ．7.（填空题，5分）方程log5(4x−11)−1=log5(2x−3)的解为x=___ ．8.（填空题，5分）不等式（a-3）13＜（1+2a）13的解集为 ___ ．9.（填空题，5分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（2）=1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）=f（x）+f（y），不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集为 ___ ．10.（填空题，5分）已知函数f（x）=lg（√x2+1 +ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ___ ．取最小值时，点P（a，b）的11.（填空题，5分）已知a＞b＞0，那么当代数式a2+4b(a−b)坐标为 ___ ．，给出以下四个命题：12.（填空题，5分）关于函数f(x)=|x|||x|−1|① 当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值：② 方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有实数解：③ 如果方程f（x）=m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④ y=f（x）是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ___ ．13.（单选题，5分）已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若a⊥α，a⊥β，则α || βB.若a || α，b || β，α || β，则a || bC.若a⊥b，b⊥α，a || β，则α || βD.若α || β，a与α所成角和b与β所成角相等，则a || b14.（单选题，5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4，则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集是（）A.[2，3]B.[2，4]C.[2，4）D.[3，4）15.（单选题，5分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集16.（单选题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：① 过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；② 过点P 有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A. ① 为真命题，② 为真命题B. ① 为真命题，② 为假命题C. ① 为假命题，② 为真命题D. ① 为假命题，② 为假命题17.（问答题，12分）已知全集U=R，A={m|关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0}，非空集合B={x|（x-2a）（x-1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁U A；（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围；18.（问答题，13分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．19.（问答题，15分）如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=2，AC⊥BC，D、E 分别为线段AB、BC上的点，且CD=DE=√2，CE=2EB=2．（1）证明：DE⊥平面PCD；，求锐二面角A-PD-C的余弦值．（2）已知AC=3220.（问答题，15分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C （x）= k20x+100（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？21.（问答题，15分）已知f(x)={2x，x≤0log2x，x＞0．（1）s＞0，t＞0，s≠t，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和m均为实数，满足以下两个条件：① 当x∈（-∞，m]时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；② 对任意m∈A且x∈（-∞，m]，不等式f（x）≤m2-（k-2）m+3k-10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方程f[f（x）]-log2（t-x）=0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1＜x2，试将2x1+log2x2+2−|x1−1|+|x2−1|表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数f（x）=lg（1-3x）的定义域为 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：1-3x＞0，解得：x＜0，故函数f（x）的定义域是（-∞，0），故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是基础题．2.（填空题，5分）函数y=1x2+2的值域是___ ．【正确答案】：[1]（0，12]【解析】：借助反函数的思想，用y表示x，注意到x2≥0，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域．【解答】：解：由y=1x2+2，得x2=1y−2，∵x∈R∴ 1y−2≥0，解之得0＜y ≤12；故答案为：（0，12]．【点评】：考查函数值域的求法，解决本题时易忽视函数的有界性，在数学中有很多问题看起来很相似，但解法有很大不同，要仔细区别，防止出错．3.（填空题，5分）若函数f（x）=log a（x+b）的图象过点（1，2），则f-1（x）-1的图象经过点 ___ ．【正确答案】：[1]（2，0）【解析】：根据题意知：f（1）=2⇔f-1（2）=1⇔f-1（2）-1=0．【解答】：解：因为函数f（x）的图象过点（1，2），所以f（1）=2，所以f-1（2）=1，所以f-1（2）-1=0，即函数f-1（x）-1经过点（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】：本题考查了反函数，属于基础题．4.（填空题，5分）圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：根据圆锥底面的半径求出侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长，再计算扇形的圆心角．【解答】：解：圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为2π×1=2π（cm）；=π．所以扇形的圆心角为θ= 2π2故答案为：π．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图是扇形的应用问题，是基础题．5.（填空题，5分）若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（2，+∞）【解析】：根据由x∈A是x∈B的充分非必要条件，得出A⫋B，列出不等式，解得a的取值范围即可．【解答】：解：∵“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，∴{x|x＜2}⫋{x|x＜a}∴a＞2；故实数a的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义，属于基础题．6.（填空题，5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] 43 【解析】：画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．【解答】：解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为： 13 ×1×2×2= 43 ．故答案为： 43 ．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．7.（填空题，5分）方程 log 5(4x −11)−1=log 5(2x −3) 的解为x=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】：解：∵ log 5(4x −11)−1=log 5(2x −3) ，∴ { 4x −11＞02x −3＞04x −115=2x −3，解得x=2．故答案为：2．【点评】：本题考查对数方程的求解，考查对数的性质、运算法则、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．8.（填空题，5分）不等式（a-3） 13 ＜（1+2a ） 13的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]（-4，+∞）【解析】：利用幂函数y= x 13 在（-∞，+∞）上单调递增即可求解．【解答】：解：∵幂函数y= x 13 在（-∞，+∞）上单调递增，（a-3） 13 ＜（1+2a ） 13 ， ∴a-3＜1+2a ，∴a ＞-4，∴不等式（a-3） 13 ＜（1+2a ） 13 的解集为 （-4，+∞）．故答案为：（-4，+∞）．【点评】：本题考查利用幂函数的单调性解不等式，属于中档题．9.（填空题，5分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f （2）=1，对于任意正数x 、y 满足等式f （xy ）=f （x ）+f （y ），不等式f （x ）+f （x-3）≤2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]{x|3＜x≤4}【解析】：令x=y=2，可求出f （4），将不等式f （x ）+f （x-3）≤2转化为f[x （x-3）]≤f（4），结合函数的单调性，即可求出解集．【解答】：解：由于f （2）=1，对于一切x ，y∈R +，都有f （xy ）=f （x ）+f （y ）， 令x=y=2，则f （4）=2f （2）=2，不等式f （x ）+f （x-3）≤2，∴f （x ）+f （x-3）≤f （4），∴f[x （x-3）]≤f （4），∵函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴ {x ＞0x −3＞0x (x −3)≤4 ，∴ {x ＞0x ＞3−1≤x ≤4 ，∴3＜x≤4， ∴不等式的解集为{x|3＜x≤4}．故答案为：{x|3＜x≤4}．【点评】：本题考查函数的单调性及运用，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f（x）=lg（√x2+1 +ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][-1，1]【解析】：根据对数函数的真数大于0，得出√x2+1 +ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=lg（√x2+1 +ax）的定义域为R，∴ √x2+1 +ax＞0恒成立，∴ √x2+1＞-ax恒成立，设y= √x2+1，x∈R，y2-x2=1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为y=±x；令y=-ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y=-ax的图象应在y= √x2+1的下方，画出图形如图所示∴0≤-a≤1或-1≤-a≤0，解得-1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[-1，1]．故答案为：[-1，1]．【点评】：本题考查了不等式恒成立问题，是基础题．11.（填空题，5分）已知a＞b＞0，那么当代数式a2+4b(a−b)取最小值时，点P（a，b）的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（2，1）【解析】：根据题意，有b（a-b）≤（b+a−b2）2= a24，当且仅当b=a-b，即a=2b时等号成立．所以a2+ 4b(a−b)≥a2+ 16a2≥16，结合a＞b＞0以及两个不等式等号成立的条件可求出a、b的值，从而可求出点P（a，b）的坐标．【解答】：解：由a ＞b ＞0，得a-b ＞0，所以b （a-b ）≤（b+a−b 2 ）2= a 24 ，当且仅当b=a-b ，即a=2b 时等号成立． 所以a 2+ 4b (a−b ) ≥a 2+ 16a 2 ≥16，其中第一个不等式的等号当且仅当a=2b 时成立，第二个不等式的等号当且仅当a 2= 16a 2 时成立．所以当a 2+ 4b (a−b ) 取最小值时，有 {a ＞b ＞0a =2b a 2=16a 2，即 {a =2b =1 ．所以点P （a ，b ）的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，解题的关键是需要多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号时的条件，本题属于中档题．12.（填空题，5分）关于函数 f (x )=|x|||x|−1| ，给出以下四个命题： ① 当x ＞0时，y=f （x ）单调递减且没有最值：② 方程f （x ）=kx+b （k≠0）一定有实数解：③ 如果方程f （x ）=m （m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④ y=f （x ）是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ___ ．【正确答案】：[1] ① ③【解析】： ① x ＞0时，由x ≠1知y=f （x ）不具有单调性，判定命题错误；② 函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，在x ＞0且k ＞0时，判定函数y=f （x ）与y=kx 在第一象限内有交点；由对称性知，x ＜0且k ＞0时，函数y=f （x ）与y=kx 在第二象限内有交点；得方程f （x ）=kx+b （k≠0）有解；③ 函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，且f （x ）=0，举例说明k=0时，方程f （x ）=k 有1个解；④ 函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，由 ① ，即可判断结论是否正确．【解答】：解： ① 当x ＞1时，y=f （x ）= x x−1 =1+ 1x−1 在区间（1，+∞）上是单调递减的函数，0＜x ＜1时，y=f （x ）=- x x−1 =-1- 1x−1 在区间（0，1）上是单调递增的函数且无最值；∴命题 ① 错误；② 函数f （x ）= f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，当x ＞0时，y=f （x ）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；当k ＞0时，函数y=f （x ）与y=kx 在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x ＜0且k ＞0时，函数y=f （x ）与y=kx 在第二象限内一定有交点； ∴方程f （x ）=kx+b （k≠0）一定有解；∴命题 ② 正确；③ ∵函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，且f （x ）=0，当k=0时，函数y=f （x ）与y=k 的图象只有一个交点，∴方程f （x ）=k 的解的个数是奇数；∴命题 ③ 错误；④ ∵函数 f (x )=|x|||x|−1| ，是偶函数，x≠±1，当x=0时取得最小值，命题 ④ 正确．故答案为： ① ③ ．【点评】：本题考查了含有绝对值的分式函数的图象与性质的问题，解题时应先去掉绝对值，化为分段函数，把分式函数分离常数，属于中档题．13.（单选题，5分）已知直线a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若a⊥α，a⊥β，则α || βB.若a || α，b || β，α || β，则a || bC.若a⊥b ，b⊥α，a || β，则α || βD.若α || β，a 与α所成角和b 与β所成角相等，则a || b【正确答案】：A【解析】：由直线与平面垂直的性质判断A ；由直线与平面平行、平面与平面平行的关系判断B ；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断C ；由直线与平面所成角判断D ．【解答】：解：若a⊥α，a⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α || β，故A 正确；若a || α，b || β，α || β，则a || b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故B 错误；若a⊥b ，b⊥α，则a || α或a⊂α，又a || β，则α || β或α与β相交，故C 错误；若α || β，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，可得a 与α所成的角和b 与α所成的角相等，则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误．故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.（单选题，5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]=4，则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集是（）A.[2，3]B.[2，4]C.[2，4）D.[3，4）【正确答案】：C【解析】：把不等式的左边因式分解，然后结合二次函数的图象得到关于[x]的解集，再由[x]表示不超过x的最大整数得到x的具体范围．【解答】：解：由[x]2-5[x]+6≤0，得（[x]-2）（[x]-3）≤0．解得2≤[x]≤3．因为[x]表示不超过x的最大整数，所以2≤x＜4．所以原不等式的解集为[2，4）．故选：C．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法，解答的关键是由[x]的解集得到x的解集，是基础题．15.（单选题，5分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【正确答案】：B【解析】：运用集合的子集的概念，令m∈P1，推得m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；再由b=1，b=5，求得Q1，Q2，即可判断B正确，A，C，D错误．【解答】：解：对于集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b=5时，Q1={x|x2+x+5＞0}=R，Q2={x|x2+2x+5＞0}=R，可得Q1是Q2的子集；当b=1时，Q1={x|x2+x+1＞0}=R，Q2={x|x2+2x+1＞0}={x|x≠-1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．【点评】：本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．16.（单选题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：① 过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；② 过点P 有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A. ① 为真命题，② 为真命题B. ① 为真命题，② 为假命题C. ① 为假命题，② 为真命题D. ① 为假命题，② 为假命题【正确答案】：B【解析】：作出过P与两直线相交的直线l判断① ；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断② ．【解答】：解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ || A1D1，且 PQ=A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P 共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故① 为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故② 为假命题．∴ ① 为真命题，② 为假命题．故选：B．【点评】：本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．17.（问答题，12分）已知全集U=R，A={m|关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0}，非空集合B={x|（x-2a）（x-1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁U A；（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围；【正确答案】：【解析】：（1）由B≠∅，可得a≠ 12，分a＞12和a＜12两种情况讨论求出集合B；（2）关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0，结合韦达定理及二次函数图象性质，求出集合A，然后再求出A的补集；（3）x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，判断出两个集合的包含关系，从而求出实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由B≠∅，可得a≠ 12，分a＞12和a＜12两种情况，当a＜12，即2a＜1时，集合B={x|2a＜x＜1}．当a＞12，即2a＞1时，集合B={x|1＜x＜2a}．综上，当a＜12时，集合B={x|2a＜x＜1}．当a＞12时，集合B={x|1＜x＜2a}．（2）因关于x的方程有正负相异的实数根x2-2x+4-|m-1|=0，∴x1•x2=4-|m-1|＜0，且Δ=4-4（4-|m-1|）＞0，∴|m-1|＞4，∴m＜-3或m＞5，∴A={m|m＜-3或m＞5}；故集合∁U A={m|-3≤m≤5}．（3）若x∈∁U A是x∈B的必要非充分条件，则B⫋∁U A，由（1）、（2）可得：当a＜12时，集合B={x|2a＜x＜1}，则2a≥-3，∴ −32≤a＜12；当a＞12时，集合B={x|1＜x＜2a}，则2a≤5，∴ 12＜a≤ 52．综上，实数a的取值范围为[ −32，12）∪（12，52]．【点评】：本题考查了集合间的关系，一元二次不等式的解法，一元二次方程根的情况，充分、必要条件，分类讨论的数学思想方法，属于中档题．18.（问答题，13分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．【正确答案】：【解析】：设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为2πr=25π•10，所以r=2．则ℎ=√102−22=4√6．则圆锥的表面积S= π•1025+2π•22=28π≈87.96(cm2)．体积V= 13π•22×4√6+23π•23=163(√6+1)π≈57.80(cm2)．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．【点评】：本题考查了圆锥的表面积和体积，解答的关键是明确圆锥的底面周长是展开后的扇形的弧长，同时熟记有关公式，是基础题．19.（问答题，15分）如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=2，AC⊥BC，D、E 分别为线段AB、BC上的点，且CD=DE=√2，CE=2EB=2．（1）证明：DE⊥平面PCD；（2）已知AC=32，求锐二面角A-PD-C的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明PC⊥DE，DE⊥CD，即可证明DE⊥平面PCD，（2）CA、CB、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PDA的法向量，平面PCD 的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】：（1）证明：因为PC⊥平面ABC ，DE⊂平面ABC ，所以PC⊥DE ，因为 CD =DE =√2 ，CE=2，所以DE 2+CD 2=CE 2，所以DE⊥CD ，又因为PC∩CD=C ，所以D E⊥平面PCD ，（2）解：因为PC⊥平面ABC ，所以PC⊥CA 、PC⊥AB ，又因为 ∠ACB π2 ，所以CA 、CB 、CP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得 A (32，0，0) ，B （0，3，0），P （0，0，2），D （1，1，0），E （0，2，0）， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，0，2) ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，1，0) ， 设平面PDA 的法向量为 π⃗ =(x ，y ，z) {AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =−32x +2z =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =−12x +y =0 ，令x=4， π⃗ =(4，2，3) ， 平面PCD 的一个法向量为 n ⃗ =DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0) ，． 所以锐二面角A-PD-C 的余弦值为 |m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√29⋅√2=√5829 ．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.（问答题，15分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x （单位：平方米）之间的函数关系是C （x ）= k 20x+100 （x≥0，k 为常数）．记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C （0）的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】：【解析】：（1）C （0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C （0）= k 100 =24，可求得k ，从而得到F 关于x 的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F 取得的最小值及F 取得最小值时x 的值．【解答】：解：（1）C （0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用， 即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C （0）= k 100 =24，得k=2400 …（3分）所以F=15× 240020x+100 +0.5x= 1800x+5 +0.5x ，x≥0…（7分）（2）因为 1800x+5 +0.5（x+5）-2.5≥2 √1800×0.5 -2.5=57.5，…（10分）当且仅当 1800x+5 =0.5（x+5），即x=55时取等号 …（13分）所以当x 为55平方米时，F 取得最小值为57.5万元…（14分）【点评】：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．21.（问答题，15分）已知 f (x )={2x ，x ≤0log 2x ，x ＞0． （1）s ＞0，t ＞0，s≠t ，比较f 2（s ）+f 2（t ）+1与f （s ）+f （t ）+f （s ）f （t ）的大小；（2）设k 和m 均为实数，满足以下两个条件：① 当x∈（-∞，m]时，f （x ）的最大值为1，此时m 的取值集合记为A ；② 对任意m∈A 且x∈（-∞，m]，不等式f （x ）≤m 2-（k-2）m+3k-10恒成立；求k 的取值范围：（3）设t 为实数，若关于x 的方程f[f （x ）]-log 2（t-x ）=0恰有两个不相等的实数根x 1、x 2且x 1＜x 2，试将 2x 1+log 2x 2+2−|x 1−1|+|x 2−1| 表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．【正确答案】：【解析】：（1）设f（s）=x，f（t）=y，x≠y，将原式变换成x2+y2+1-（x+y+xy），再结合配方的知识，即可求解．（2）① 由于f（x）的最大值为1，分x≤0、x＞0两种情况讨论，② 结合含参方程得求法、以及均值不等式，即可求解．（3）当x≤1时，2x=t-x，1＜t≤3，当x＞1时，log2x=t-x，t＞1，再结合对数函数和指数函数得知识，即可求解．【解答】：解：（1）设f（s）=x，f（t）=y，x≠y，由题意可得，x2+y2+1-（x+y+xy）= 12(x2−2x+1)+12(y2−2y+1) + 12(x2−2xy+y2)= 12(x−1)2+12(y−1)2+12(x−y)2≥0，∴f2（s）+f2（t）+1＞f（s）+f（t）+f（s）f（t）．（2）① 令log2x=1，得x=2，令2x=1 得x=1，∴0≤m≤2，即m={m|0≤m≤2}．② ∵不等式f（x）≤m2-（k-2）m+3k-10恒成立，∴m2-（k-2）m+3k-10≥f（x）max=1，∴m2-（k-2）m+3k-11≥0对任意m∈[0，2]都成立，∵1≤3-m≤3，∴ k≥(m−3)+4m−3+8，∵ 3−m＞0，43−m＞0，∴ (m−3)+4m−3+8≤−4+8=4，当且仅当m-3= 4m−3，即m=1时等号成立，∴k≥4，∴k得取值范围为[4，+∞）．（3）∵ f(x)={2x，x≤0log2x，x＞0，∴ ff(x)={x，x≤1log2(log2x)，x＞1，① 当x≤1时，方程f[f（x）]-log2（t-x）=0 变为x=log2（t-x），即2x=t-x，1＜t≤3，② 当x＞1时，方程f[f（x）]-log2（t-x）=0 变为log2（log2x）=log2（t-x），即log2x=t-x，t＞1，∴x1，x2分别是方程2x=t-x，log2x=t-x 的两个根且x1≤1＜x2＜t，∴ t=2x1+x1=log2x2+x2，得x2=2x1，将其代入t= 2x1+x1，可得x1+x2=t，∵ 2x1+log2x2+ 2-|x1-1|+|x2-1|=（t-x1）+（t-x2）+2-（1-x1）+（x2-1）=2t，∴函数得定义域为（1，3]．【点评】：本题考查一元二次函数的配方、以及不等式恒成立问题，以及对数函数和指数函数的知识，综合性强，属于难题．。
上海市2020-2021学年高二下学期期末考试复习卷数学试题
上海市2020-2021学年高二下学期期末考试复习卷数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________．2．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体．3．圆柱的高为1，侧面展开图中母线与对角线的夹角为60°，则此圆柱侧面积是_________．4．若对任意实数x ，都有()()()2330123222x a a x a x a x =+-+-+-，则2a =__________。
5．设地球O 的半径为R ，P 和Q 是地球上两地，P 在北纬45°，东经20°，Q 在北纬45，东经110°，则P 与Q 两地的球面距离为__________。
6．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.7．若RtΔABC 的斜边AB =5，BC =3，BC 在平面α内，A 在平面α内的射影为O ，AO =2，则异面直线AO 与BC 之间的距离为___________．8．在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．9．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________．10．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．11．把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有___________种12．若(12)()n x n N *-+∈的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n =___________。
2020-2021学年上海市奉贤区高二下学期期末考试调研测试数学试题 解析版
2020-2021学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷一．填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝．2．如果1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，其中i是虚数单位，则pq＝．3．若＝110，则n＝．4．函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是．5．已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121°27'，北纬31°8'，台北的位置约为东经121°27'，北纬25°5'，则两个城市之间的距离约为千米．（结果精确到1千米）6．（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项是．7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是立方米．8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是．9．在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有种．（用数字作答）10．设圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与双曲线的渐近线相切，则实数b＝．11．二次函数y＝ax2（a＞0）图象上的A、B两点均在第一象限．设点F（0，），当|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3时，直线AB的斜率为．12．在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，则异面直线AC 与BD所成角的大小为．二．选择题（13-16每题5分，共20分）13．在复平面内，复数z＝sin2+i cos2（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．下列参数方程（t是参数）与普通方程y2＝x表示同一曲线的方程是（）A．B．C．D．16．直线+＝1（ab≠0）与椭圆+＝1相交于两点M、N，点P使得△PMN的面积为|ab|，则这样的点P在椭圆上的个数有（）A．0个B．2个C．3个D．4个三、解答题(14+14+14+16+18）17．设z＝x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，复数z在复平面对应的点为Z（x，y），已知为实数．（1）求Z（x，y）的轨迹方程；（2）求|z﹣1|的取值范围．18．我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点A、B分别为近地点和远地点，如图所示．卫星在近地点A与地球表面的距离为439千米，在远地点B与地球表面的距离为2384千米，地球中心与A、B 在同一直线上．已知地球的半径R为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨道的方程．19．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC 周长的取值范围．20．（16分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，的棱长为2，点E为BB1的中点．（1）求直线AA1与平面D1AE所成角的大小；（2）作出过D1，A，E三点的平面截正方体所得的截面α，并求截面α与侧面ADD1A1所成的锐二面角的大小；（3）点F为CC1的中点，动点P在底面正方形ABCD（包括边界）内，若FP∥平面D1AE，求线段C1P长度的取值范围．21．（18分）已知椭圆，过动点M（0，m）（m＞0）的直线1交x轴于点N，交椭圆于点A，P（点P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交椭圆于另一点Q，延长QM交椭圆于点B．点T（，）在椭圆上．（1）求椭圆的焦距；（2）设直线PM的斜率为k，直线QM的斜率为k′，证明：为定值；（3）求直线AB倾斜角的最小值．参考答案一．填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝﹣．解：由题意，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），所以x＝﹣3，y＝4，r＝5，cosθ＝＝﹣．故答案为：﹣．2．如果1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，其中i是虚数单位，则pq＝﹣10．解：1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，则1+2i也是方程的根，所以，解得p＝﹣2，q＝5，所以pq＝﹣10．故答案为：﹣10．3．若＝110，则n＝11．解：∵＝n（n﹣1）＝110，则n＝11，故答案为：11．4．函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是π．解：∵y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴．∴故答案为：π．5．已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121°27'，北纬31°8'，台北的位置约为东经121°27'，北纬25°5'，则两个城市之间的距离约为672千米．（结果精确到1千米）解：因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上，则这个大圆上，设地球的球心为O，上海、台北分别为点A，B，由上海、台北的经纬度可知，∠AOB＝6°3'，地球的半径为r＝6371，故AB的弧长为672千米，所以上海和台北两个城市之间的距离约为672千米．故答案为：672．6．（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项是495a8．【分析】由题意可得，本题即求展开式的第9项，再利用二项展开式的通项公式，得出结论．解：（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项，即展开式的第9项，为T9＝•a8＝495a8，故答案为：495a8．7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是立方米．【分析】由题意，圆锥的母线长为l＝2，由圆锥的底面周长等于半圆弧长列式求圆锥底面半径，根据勾股定理计算圆锥的高，代入体积公式计算．解：由题意，圆锥的母线长为l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，即r＝1，∴圆锥的高h＝，∴圆锥的体积V＝•πr2•h＝•π•＝．故答案为：．8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是．【分析】首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，再利用古典概型求概率．解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有＝12种排法，再所有的4个人全排列有＝24种排法，利用古典概型求概率p＝＝，故答案为：．9．在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有90种．（用数字作答）【分析】根据题意，按照男女主任医师是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①只有男主任医师被选出，有C52C32＝30种选法；②只有女主任医师被选出，有C53C31＝30种选法；③男女主任医师都被选出，有C51C31＝30种选法；则有30+30+30＝90种选派方法；故答案为：90．10．设圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与双曲线的渐近线相切，则实数b＝．【分析】先由圆的方程得圆心，半径，由双曲线的方程，得渐近线的方程，则圆心（1，2）到渐近线y＝﹣bx的距离d＝＝r＝1，记得b，即可得出答案．解：圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0化为标准方程得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，圆心为（1，2），半径r＝1，双曲线x2﹣＝1的渐近线为y＝±bx，所以圆心（1，2）到渐近线y＝﹣bx的距离d＝＝r＝1，解得b＝±，故答案为：±．11．二次函数y＝ax2（a＞0）图象上的A、B两点均在第一象限．设点F（0，），当|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3时，直线AB的斜率为．【分析】将二次函数y＝ax2转化为焦点在y轴正半轴的抛物线，结合抛物线的定义，以及两点之间的距离公式，即可求解．解：∵二次函数为y＝ax2，∴，即该方程可看作，焦点在y轴正半轴的抛物线，即焦点F（0，），设A（x A，y A），B（x B，y B），∵|AF|＝4，|BF|＝2，∴由抛物线的定义，可得，，两式相减，可得y A﹣y B＝2，∵|AB|＝3，∴，又∵A、B两点均在第一象限，且，y A＞y B，∴x A﹣x B＞0，∴，∴直线AB的斜率为．故答案为：．12．在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，则异面直线AC 与BD所成角的大小为arccos或arccos．【分析】分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，由EF//BD，EG//AC，可得∠FEC为异面直线AC与BD所成的角，由已知中的定义，分∠BCD＝90°和∠BDC＝90°两种情况讨论，利用余弦定理求解即可．解：如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF//BD，EG//AC，所以∠FEC为异面直线AC与BD所成的角，易知FO//AB，且AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，因为AB＝1，BC＝2，AB⊥BC，所以AC＝，所以EG＝AC＝，当∠BCD＝90°时，由CD＝1，BC＝2，可得BD＝，所以EF＝BD＝．又因为OF＝AB＝，OG＝CD＝，所以FG＝＝，所以cos∠FEG＝＝，即异面直线AC与BD所成的角为arccos；当∠BDC＝90°时，由CD＝1，BC＝2，可得BD＝，EF＝BD＝．因为OF＝AB＝，OG＝CD＝，所以FG＝＝，所以cos∠FEG＝＝，即异面直线AC与BD所成的角为arccos．综上可得，异面直线AC与BD所成的角为arccos或arccos．故答案为：arccos或arccos．二．选择题（13-16每题5分，共20分）13．在复平面内，复数z＝sin2+i cos2（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由2在第二象限可解决此题．解：∵2在第二象限，∴sin2＞0，cos2＜0，∴复数z＝sin2+i cos2（i是虚数单位）对应的点位于第四象限．故选：D．14．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：①若m，n，l在同一平面内，则m，n，l可能平行，可能相交，即m，n，l两两相交不一定正确，即充分性不成立，②若m，n，l两两相交，且不过同一点，则m，n，l一定在同一平面内，即必要性成立，∴m，n，l在同一平面内是m，n，l两两相交的必要不充分条件，故选：B．15．下列参数方程（t是参数）与普通方程y2＝x表示同一曲线的方程是（）A．B．C．D．【分析】由代入法、正弦函数的值域和三角函数的二倍角公式，将参数方程化为普通方程，可得结论．解：对于A，由，可得y＝x2；由，可得y2＝x（0≤x≤1）；由，可得y2＝|x|；由，可得x＝＝tan2t＝y2，即y2＝x．故选：D．16．直线+＝1（ab≠0）与椭圆+＝1相交于两点M、N，点P使得△PMN的面积为|ab|，则这样的点P在椭圆上的个数有（）A．0个B．2个C．3个D．4个【分析】设点P的坐标为（a cosθ，b sinθ），θ∈[0，2π），结合题意可得，方程有几个解就有几个P点．解：因为点P在椭圆上，设点P的坐标为（a cosθ，b sinθ），其中θ∈[0，2π），不妨设M（a，0），N（0，b），因为△PMN的面积为，，设P点到直线MN的距离为h，则直线，所以②，①②联立得，即，或，又即，或，数形结合可知θ共有3个解，所以P点共有3个．故选：C．三、解答题(14+14+14+16+18）17．设z＝x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，复数z在复平面对应的点为Z（x，y），已知为实数．（1）求Z（x，y）的轨迹方程；（2）求|z﹣1|的取值范围．【分析】（1）由z＝x+yi，根据为实数得到关于x，y的方程，即可得到Z（x，y）的轨迹方程；（2）求出|z﹣1|，利用二次函数的性质求出范围即可．解：（1）因为z＝x+yi（x，y∈R），复数z在复平面对应的点为Z（x，y），所以＝因为为实数，所以xy﹣（x+2）（y﹣1）＝0，所以Z（x，y）的轨迹方程为x﹣2y+2＝0，点（0，1）除外．（2）|z﹣1|＝＝，所以|z﹣1|的取值范围为．18．我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点A、B分别为近地点和远地点，如图所示．卫星在近地点A与地球表面的距离为439千米，在远地点B与地球表面的距离为2384千米，地球中心与A、B 在同一直线上．已知地球的半径R为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨道的方程．【分析】以卫星轨道的中心为原点O，线段AB所在直线为x轴方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，设椭圆的方程为+＝1，F2（c，0），则a﹣c＝AF2，a+c＝BF2，解得a，c，b，即可得出答案．解：以卫星轨道的中心为原点O，线段AB所在直线为x轴，方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，设椭圆的方程为+＝1，F2（c，0），设A′，B′是直线AB与地球表面的两个交点，则a﹣c＝AF2＝AA′+R＝6371+439＝6810，a+c＝BF2＝AB′+R＝6371+2384＝8755，a＝7782.5，c＝972.5b＝＝7721.5，所以椭圆的标准方程为+＝1，即+＝1．19．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC 周长的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的图象求出函数的解析式；（2）利用函数的关系式求出A的值，进一步利用正弦定理和三角函数的关系式和正弦型函数的性质的应用求出周长的范围．解：（1）根据函数的图象，函数的周期T＝，故ω＝2．由于点（）满足函数的图象，所以A sin（φ）＝0，由于0＜φ＜，所以φ＝．由于点（0，1）在函数的图象上，所以A＝2．故函数f（x）＝2sin（2x+）．（2）由于f（）＝2sin（A+）＝2，所以A＝．由正弦定理：，整理得b＝，同理c＝＝，由于，所以，由于，所以，所以．所以：l△ABC∈（4，6]．20．（16分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，的棱长为2，点E为BB1的中点．（1）求直线AA1与平面D1AE所成角的大小；（2）作出过D1，A，E三点的平面截正方体所得的截面α，并求截面α与侧面ADD1A1所成的锐二面角的大小；（3）点F为CC1的中点，动点P在底面正方形ABCD（包括边界）内，若FP∥平面D1AE，求线段C1P长度的取值范围．【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面D1AE的法向量，由线面角的向量计算公式求解，结合反三角函数即可得到答案；（2）利用（1）中的结论，再取侧面ADD1A1的法向量，然后由二面角的向量计算公式求解，结合反三角函数即可得到答案；（3）设P（x，y，0），利用，得到x和y的关系，然后由，求出x 的范围，利用距离公式表示出C1P，由二次函数的性质求解即可．解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D1（2，0，2），E（0，2，1），A1（0，0，2），所以，设平面D1AE的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝2，z＝﹣2，故，所以＝，故直线AA1与平面D1AE所成角的大小为arcsin；（2）取侧面ADD1A1的法向量为，由（1）可知，平面D1AE的法向量为，则＝，故截面α与侧面ADD1A1所成的锐二面角的大小为；（3）因为F（2，2，1），C1（2，2，2），设P（x，y，0），则，因为PF//平面D1AE，则，故2x+y＝4，因为，则，解得1≤x≤2，所以＝（1≤x≤2），故，所以线段C1P长度的取值范围为．21．（18分）已知椭圆，过动点M（0，m）（m＞0）的直线1交x轴于点N，交椭圆于点A，P（点P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交椭圆于另一点Q，延长QM交椭圆于点B．点T（，）在椭圆上．（1）求椭圆的焦距；（2）设直线PM的斜率为k，直线QM的斜率为k′，证明：为定值；（3）求直线AB倾斜角的最小值．【分析】（1）把T点代入椭圆方程，解出B，即可求焦距2c；（2）设P（x0，y0），则直线PM的斜率，直线QM的斜率，进而可证明：＝3；（3）把直线AB的斜率用k表示，，再结合基本不等式求k AB的最小值，即可求直线AB倾斜角的最小值．解：（1）把T点代入椭圆方程得到，解得b2＝2，所以焦距为．（2）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．所以直线PM的斜率，直线QM的斜率，此时．所以为定值﹣3．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m，直线OB的方程为y＝﹣3kx+m．联立，整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4＝0．由，可得所以．同理．所以x2＝，＝，所以，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以，等号当且仅当时取得，此时，即，所以直线AB的斜率的最小值为．所以倾斜角的最小值为．。
2020-2021学年上海市青浦区高二下学期期末考试数学试卷及解析
2020-2021学年上海市青浦区高二下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝．解：∵z＝＝，∴|z|＝．故答案为：．2．抛物线x2＝﹣y的焦点到准线的距离是．解：抛物线的焦点为（0，﹣），准线方程为y＝，所以抛物线x2＝﹣y的焦点到准线的距离﹣（﹣）＝，故答案为：．3．双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±x．解：∵双曲线方程为﹣＝1的，则渐近线方程为线﹣＝0，即y＝±，故答案为y＝±．4．在（2x+）6的二项展开式中，常数项为60 ．解：∵（2x+）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为•22＝60，故答案为：60．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且，则该四棱锥P﹣ABCD的体积为．解：因为PA⊥底面ABCD，且，所以四棱锥P﹣ABCD的体积为：V＝•S正方形ABCD•PA＝×22×2＝．四棱锥P﹣ABCD故答案为：．6．已知两条直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝ 3 ．解：两条直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，∵l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，∴l1⊥l2，∴a×4﹣2×6＝0，解得a＝3．故答案为：3．7．已知抛物线y2＝8x的焦点（a＞0）的右焦点重合，则a＝．解：抛物线的焦点坐标为（2，0），因为抛物线y2＝8x的焦点（a＞0）的右焦点重合，所以c＝2，所以a2＝b2+c2＝1+4＝5，所以a＝，故答案为：．8．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有54 种．解：根据题意，分2种情况讨论：。