结构力学 虚功原理
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结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
结构力学虚功原理
W V
R c lF N d u lF Q d v lM d
lF N d u lF Q d v lM d R c
整理ppt
26
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
式 中 M 、 F N P 、 F Q P 代 表 结 构 实 际 状 态 的 内 力
§9-4 荷载作用下的位移计算
说明：
1.逐段、逐杆积分。
2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截 面高≤R），可得较精确的解。 3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：
MMPdx EI
对只有轴力的结构（桁架）：
FNFNPdxFNFNPl
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶Leabharlann PWPM WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M 整理ppt
注意： P1 （1）属同一体系；
（11122 ）均应力为状满可态足能应变状满形态足协。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
整理ppt
14
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
R c lF N d u lF Q d v lM d
lF N d u lF Q d v lM d R c
整理ppt
26
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
式 中 M 、 F N P 、 F Q P 代 表 结 构 实 际 状 态 的 内 力
§9-4 荷载作用下的位移计算
说明：
1.逐段、逐杆积分。
2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截 面高≤R），可得较精确的解。 3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：
MMPdx EI
对只有轴力的结构（桁架）：
FNFNPdxFNFNPl
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶Leabharlann PWPM WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M 整理ppt
注意： P1 （1）属同一体系；
（11122 ）均应力为状满可态足能应变状满形态足协。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
整理ppt
14
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
结构力学之虚功原理
虚力原理
FB ac C c FP l
变形体虚力方程
虚设平衡力系
F F C
* p
* RK K
M F F ds
* * N * Q O
实际协调变形
变形体虚位移方程
虚设变形状态
F
p
*
F
* K K
C
M
*
FN FQ O ds
① 虚位移原理：虚设位移，求未知力。 ② 虚力原理:虚设力系，求位移。
3.虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力 拟求支座A处的支反力 FP
FP
A
FA
B
A
FA
B FBx a b
FBy
△A
△P
B
A l
W FA A FP P 0
P FA FP A
b FA FP l
A 1
P
b l
B
P b A l
A
FA FP P
虚位移原理
3.虚功原理的两种应用
2.虚设力状态——求未知位移 拟求C点的竖向位移 FP=1
A C a l
C
c B b
FAx 0 A
C
FAy b l FB a l
B
FP C FB c 0
其约束力在可能位移上所作的 功恒等于零的那种约束
变形体的虚功原理
• 表述如下：设变形体在力系作用下处于平 衡状态，又设变形体由于其他原因产生符 合约束条件的微小连续变形，则外力在位 移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合 力在变形上所作的内虚功Wi。
W= Wi
虚功原理的两种应用
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。
虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。
首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。
虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。
所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。
这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。
虚功原理的核心思想是能量守恒。
在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。
根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。
通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。
虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。
通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。
除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。
通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。
这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。
总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。
在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。
通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。
结构力学-虚功原理
R
G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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结构力学 虚功原理.
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
结构力学 刚体体系的虚功原理
1
0.25/a
qa
F
qa2
E
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
2a qa2
D
a
C
2a
B
a
A
qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MA
0.25 0.25a 0.5a
1
a
虚功方程为: MA×1 +qa×0.25a －qa2×0.25 +q×(a×2a/2 － 0.5a ×a/2 )＝0 MA= － 0.75qa2 (上拉)
是指约束反力在可能位移上所作虚功恒等于零的约束作功的双方平衡力系可能位移彼此独立无关虚功原理的应用1需设位移求未知力虚位移原理2需设力系求位移虚力原理刚体内力在可能的位移上所作虚功恒为零1由虚位移原理建立的虚功方程实质上是平衡方程
§3-8 刚体虚功原理静力分析的方法
基本方法：选分离体，列平衡方程。 虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。 是指约束反力在可能位移 刚体内力在可能的位 上所作虚功恒等于零的约束 1、虚功原理 移上所作虚功恒为零 作功的双方（平衡力系、 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系， 又设 注： 可能位移）彼此独立无关 体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移， 则主动力在位移上 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡 所作的虚功总和恒为零。 方程。如（c）式就是力矩平衡方程∑MC＝0 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方 虚功原理的应用 2）需设力系求位移（虚力原理） 便，可以随意虚设，如设δX=1。 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 求杠杆在图示位置平衡时X的值。 X P 静力平衡问题。 X ΔX －P ΔP=0 A C B Db P b ΔX （X－ D P）=0=0（c） X = P a b a X a δX =1，δP=b/a
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理是指在静力学分析中，结构平衡的条件可以通过能量守恒原理来表示。
根据虚功原理，结构在任何形变状态下，受力系统所作的虚功等于外界对结构所做的虚功。
虚功是指由于结构内部力引起的位移所做的功。
根据虚功原理，结构的平衡可以通过计算结构内部力引起的位移所做的功来判断。
具体而言，可以通过计算结构每个构件上的受力与位移的乘积，然后将它们求和，得到结构内部力所作的总虚功。
如果结构处于平衡状态，则结构受力与位移之积的总和为零。
虚功原理的应用非常广泛。
它可以用于计算结构的位移、应力、应变等重要参数。
例如，在弹性力学中，可以利用虚功原理求解结构的位移和应力分布。
在塑性力学中，虚功原理可以用来分析结构在超过弹性极限后的变形情况。
此外，虚功原理还可以用于分析非线性和非弹性结构的行为。
通过应用虚功原理，可以对结构进行静态分析和设计。
静态分析可以确定结构在受力条件下的平衡状态，进而计算各个构件的受力和位移。
静态设计可以根据结构的受力和位移要求，确定结构的尺寸和材料，以满足结构的强度和刚度要求。
总之，结构力学虚功原理为结构分析和设计提供了重要的理论基础。
通过虚功原理，可以建立结构平衡的数学模型，计算结构的位移、应力和应变等关键参数，为工程实践提供了可靠的理论支持和设计方法。
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B
D
求△Dy
C
A
B
D
P 1
求θBC
C P
1
2a
P 1
A
2a B
D
【例7－5】用虚功原理求图示桁架BC杆转角θC ，各杆EA为常数。
PD
E
F
D
E
F1
a
a
AC
B
aa
1
AC
B
a
杆件 DE EF AD AE CE BE BF AC CB
NP -P 0
1
N 0a
杆长 a a
0 2P 0 2P 0 1P 1P
实际位移状态
d
d
NP
NP QP
QP MP
MP
dx d(△l)
dx
dx
内力虚功：U N d ( l) Q d M d
N NPdx EA
Q
kQPdx GA
M
MPd EI
x
由虚功原理 W ＝ U 得位移计算的一般公式
N E N Pd A x kG Q Q Pd A x M E M PIdx
应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
3．虚功的计算 ⑴外力虚功的计算： W1 ⑵内力虚功的计算：
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
实际位移状态
d
d
N
NQ
QM
M
dx d(△l)
dx
dx
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
（b） 1lh3h3lh2 22 4
3．虚拟力状态 求△Cx
P
B
CB
D
q
A
A
C
P 1
求△Cy
P 1
B
C
A
求θC
m 1
B
C
A
求△DE
P 1 B
DC E P 1A
求θBC
m 1 m 1
B
C
A
求θB
m 1
B
C
A
求△Ex
B
C
P 1 E
A
4．解题步骤：
⑴ 画荷载下的弯矩MP图；
⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图；
h ql 2 8
C
l/2 l/2
l/3 2l/3
l/2 l/2
A=lh
A=lh/2
A=2lh/3
h h
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
h/2 h
2h
h
h/2
C2 C1
yC
h
y1
y2
l/2 l/2 （a）
l/2 l/2
C
（b）
（a）
1l h 1l hh lh 2 h
222 2223 12
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B x2 EI
x1 C A
P 1
B x2
x1 C
l
l
l
l
MP(x1)=0 MP(x1) x1 q
M(x1) x1 M (x1)
MP(x2)
x2
l
MP(x2)=
1 2
qx
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M (x2 ) x2
l
M(x2)x2l
CyE1I
MMPdxE 1I0l1 2q2 2 x(x2l)d2x274
⑶
由图乘
1 A EI
yC 求位移。
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B
C
EI
l
l
A 1 ql 2 2
q B
EI l
1 ql2 8
MP图
2l l
M图
1 M图
C l
Cy E 1(2 Ilq22l5 3 l2 3 lq82l3 2 l)
7 ql 4
（外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
（外力虚功）W ＝（内力虚功）U ，称为虚功原理。 实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。
虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。
x
xC
于是虚功原理
可写作： 1 A EI
yC
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
⑵ yC所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线，需 分段图乘，并取和。
C1 A1 C2 A2 C3 A3
y1
y2
y3
1 EI
A
yC
E 1(IA1y1A2y2)
常用图形的面积和形心位置：
C
C
2
2
2
2
0
2 0 2 0 1 1
2a
2a
2a 2a
a 2a a 2a a a a
B F E 2 (2 A 2 P 2 a 2 2 a 1 2 P 2 1 a a ) (2 1 2 )E P 0 A .9E P 14 A
P 1
24 EI
CE 1(I2 lq22l23lq82l)1
m 1
ql 3 6 EI
【例7－4】用虚功原理求图示刚架C端的水平位移△Cx和转角θC 。
B EI
C
l
q EI
ql2/2
ql2/2
ql2/8
A
l
l l
P 1
m 1
1
MP图
M图
M图
C xE 1(2 lIq 2 2l2 3 l22 3 lq 8 2l2 l)3 8 q E 4lI
结构力学 虚功原理
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理
1．虚功的概念 PP
1
2
△11
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P
在△11
力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在
△21
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。
CE 1I(2lq22l1 3)1q2E3l I
三、静定桁架的位移计算 桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为：
NNPl EA
N 为单位荷载下各杆轴力，NP为实际荷载下各杆轴力，l为杆长。 桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。
P
C
a
图示桁架
A
B
D
aa
求△Cx
C
P 1
A
M (x2 )
x2
l
M(x2) 1
C
1 EI
MMPdx
1 EI
l 0
12qx22dx2
ql 3 6 EI
m=1 m=1
2．图乘法
积分 MMPdx可用几何法（图乘法）求之。
y
MP
C MP图
B
AMMPdx
B
A x t gMPdx
A
B
dx
tgAxC
M
o
A
yC M 图 Bx
A yC
A — MP图的面积 yC — MP图形心所对 M 图的竖距
ql 4 EI
P 1
x1
P 1
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B x2 EI
x1 C A
B x2
x1 C m=1
l
l
l
l
MP(x1)=0 MP(x1) x1 q
M(x1) 1 M (x1) x1
MP(x2)
x2
l
MP(x2)=
1 2
qx
2 2
N 、Q 、M 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩；
NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。 二、静定梁、刚架的位移计算
1．积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚 功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：
MMP EI
dx
等截面杆可写作：E1IMMPdx
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向