理论力学第七章题解
(彩色版第七版)理论力学哈工大课后题答案
第1章 静力学公理和物体的受力分析1-1 画出下列各图中物体A ，ABC 或构件AB ，AC 的受力图。
未画重力的各物体的自重不计，所有接触处均为光滑接触。
2F(a)(a1)(b) (b1)2N F 3N(c) (c1)Ax(d) (d1)B(e) (e1)Bq(f) (f1)(g)1F 2(h)(h1)Ax(i)(i1)(j)(j1)F(k) (k1)BA F FF ′ (l) (l2) (l3)图1-11-2画出下列每个标注字符的物体的受力图。
题图中未画重力的各物体的自重不计，所有接触处均为光滑接触。
22N(a1)2AxFAx(a2)3N(b)(b1)N3′(b2) (b3)1N2AxF(c)(c1)1N2N2Ax(c2)(c3)(d) (d1)CDy(d2)(d3)CxBxByF By′(e) (e1)(e2) (e3)ByBxAx(f) (f1)AxBx F′(f2)(f3)FB(g) (g1)BCx′F(g3)(h)(h1)FFAxC(i) (i1) (i2)F(i3)(i4)AyFFFCy (j) (j1)(j2) 2TFDx3TEyFCyEx′(j3) (j4) (j5)BBDECyF(k)(k1)BBCx (k2) (k3) DEA1F(l) (l1) (l2)A C E(l3) (l4)或CDxFEyFEy(l2)’(l3)’ (l4)’F′(m)(m1)EADFH2FAD′(m2) (m3)BN(n)q3N(n2)G(o)(o1)BADB(o2) (o3) (o4)图1-2第2章 平面汇交力系与平面力偶系2-1 铆接薄板在孔心A ，B 和C 处受3个力作用，如图2-1a 所示。
N 1001=F ，沿铅直方向；N 503=F ，沿水平方向，并通过点A ；N 502=F ，力的作用线也通过点A ，尺寸如图。
求此力系的合力。
(a)(b)图2-1解 （1） 几何法作力多边形abcd ，其封闭边ad 即确定了合力F R 的大小和方向。
理论力学7-2
z
M M '
rM z '
r'
O' x'
k ' rO ' i '
j'
y'
O
y
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第七章 点的合成运动
1. 动系做平移时 i 0, j 0, k 0
' k ' 0 2 x' i ' y ' j ' z
ve vr va ro
vB ve r O l l l
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第七章 点的合成运动
绝对加速度 相对加速度
n 2 aa aa O r
方向由A指向O
ar ?
n e 2 e
方向水平
2 O r2
v 牵连加速度 a l
l
方向由B指向D
v R vr aa R R 2 v R 2 r 2vr R
2 a 2
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第七章 点的合成运动
加速度合成定理(Theorem of composition of accelerations)
1. 动系做平移时
aa ae ar
2. 两个不相关的物体，求二者的相对速度。 根据题意, 选择所求相对运动速度的点为动点, 动系 固结于另一物体上。
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第七章 点的合成运动
3. 相对于运动物体在运动的物体上有一动点，求该点的绝 对运动。则取该点取为动点，动系固结于另一个运动物体 上。
理论力学第七章
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
理论力学第七章摩擦课件
>>摩擦力与摩擦角
当物体A保持静止并且临界状态为先滑动时，只要保证所有主动
外力的合力与公法线的夹角小于等于摩擦角m，则无论外力多大，
全约束反力总可以与其形成平衡，而不会滑动。这种现象称为自锁 现象。如果主动力合力的作用线位于摩擦锥以外，则无论力多小， 物体都不能保持平衡。
7.2 考虑摩擦时物体系统的平衡
F
F4
b cos h sin a cos
W 2
1m cos20 2m sin20 200 kN
1.8m cos30
2
104 .2kN
综合以上四个结果，可得系统保持平衡时，拉力F的取值范围为
40.2 kN F1 F F4 104 .2 kN
>> 考虑摩擦时物体系统的平衡
例7-4 等厚均质矩形体A和B，如图7.14 所示。A重20kN，A与铅垂墙间是光 滑的，A与B和B与水平固定面间的摩 擦系数均为fs。试求系统平衡时fs至 少应为多大？B的重量W2至少应为多 少？
(2) 当物体处于向上滑动的临界状态时，摩擦力方向与图（b）所示的 摩擦力方向相反。
F
F2
sin cos
f f
cos sin
W
sin 20 0.2 cos 20 200 kN cos30 0.2 sin 30
109 .7 kN
(3) 当物体处于绕O点翻倒的临界状态时，此时有：x=0
Fy 0 FNB W 0 (c)
求解可得：
FNB
W cos 2 s in
Fs
W cos 2 s in
>> 考虑摩擦时物体系统的平衡
（2）这属于平衡的临界状态。首先
求角度的最小值，此时梯子的受力
理论力学第七章
B
M2
M
B
vr
M
va ve
A
M1
A
由各速度的定义：
MM va lim Dt 0 Dt
MM 1 ve lim Dt 0 Dt
M 1M MM 2 vr lim lim Dt 0 Dt 0 Dt Dt
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28
va ve vr
wOC
C
va ve vr
ve va sin q v sin q
wOC
ve v sin q OA a
ab v sin q a
ve va
O
q
v A B
vr
vC OC wOC
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[例]水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落。 求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，动系取在AB杆上， 动点的速度合成矢量图如图。 A 由图可得：
摆动推杆 凸轮机构
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6
§7-1 绝对运动
绝对轨迹 绝对速度 va 绝对加速度 aa t n 或 aa ，aa ，
点的合成运动概念
动 点
点的运动
相对运动
相对轨迹 相对速度 v r 相对加速度 ar 或 art ，arn，
动系相对于定系的运动
定 系
固结于地面上的坐标系
（不需要画出）
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绝对加速度：aa
相对加速度：ar
牵连加速度：ae
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动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
理论力学第七章课件
1第七章点的合成运动§7–1 点的合成运动的概念§7–2 点的速度合成定理§7–3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理§7–4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理2689M 0→Δt 时的极限，得取14由速度合成定理：r e a v v v +=由速度合成定理v= v固结于圆盘，而∴对t 求导：d d v v a O a ==′r e a 做出速度平行四边形,如图示。
002sin v v v v e r ===ϕϕϕnϕ注: 加速度矢量方程的投影是2730（2）速度分析re a v v v +=⊥CM⊥O 1A未知方向未知大小v rv ev a 速度根据点的速度合成定理，动点的绝对速度ϕ&r v A =s&cm/s π20)π41(2e ====t r r v v A ϕ&cm/s π4π2r ===t sv &解得采用几何法可得点v32∥AO 1a en M →Ca rn⊥CM⊥O 1A未知方向未知大小a rt a eta a 加速度（3）加速度分析rnrt en et a a a a a a +++=根据点的加速度合成定理有s &&rs2&2ϕ&r ϕ&&r33∥AO 1a en B →Ca rn⊥CB⊥O 1A未知方向未知大小a rt a et a a 加速度2t et cm/s π20)π21(====t r r a a A ϕ&&s,cm/ π22rt ==s a &&2222rn cm/sπ16)π4(===R s a &s&&rs 2&2ϕ&r ϕ&&r 22222n en cm/sπ20)π41(====t r r a a A ϕ&rnrt en et a a a a a a +++=其中34上式两端向y 轴投影得上式两端向x 轴投影得2rn rt en et a cm/s87.32 45sin 45sin 30sin 30cos −=°+°+°−°=a a a a a y rnrt en et a a a a a a +++=2rn rt en et a cm/s204.90 45cos 45cos 30cos 30sin −=°−°+°−°−=a a a a a x352a cm/s87.32−=y a rnrt en et a a a a a a +++=2a cm/s 204.90−=x a 点M 绝对加速度的大小和方向分别为22a 2a a cm/s 52.207=+=yx a a a 987.0)cos(a a −==a a xi ,a a 158.0)cos(aa −==a a y j ,a aα36α，方向如图示3841可表示为4243t瞬时在位置Ｉ牵连速度v其中:。
理论力学第7章答案
x′
a
n A
sin
θ
−
aAτ
cosθ= NhomakorabeaaBx
cos
θ
−
aBy
sin
θ
aAτ
=
−aBx
+
(a
n A
+ aBy )tgθ
=
−1cm/s 2
α OA
=
a
τ A
/ OA
=
−(1/ 40)rad/s2
7.13 滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示 曲柄 OA 长 r 连杆 AB 长 l 滚子 半径为 R 若曲柄以匀角速度 ω 绕固定轴 O 转动 计算连杆 AB 和滚子的角加速度
向
v A
垂直于
OA
杆
因此瞬心为 C
不难看出 C 点相对
AB 杆和定系的位置可分别以 (2r, ϕ) 和 (r,2ϕ) 表示 则动 定瞬心迹线分别是半径为 2r 和 r 的圆
7.9 图示反平行四边形机构中 AB = CD = 2a AC = BD = 2c a > c 求杆 BD
的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹
b
杆速度瞬心在 点 vC = 0
∴ ωBC = vB / a = ω ωCD = 0
基点
aCτ = aBn + aCτ B + aCnB
x′ acτ cos θ = −aBn − aCnB
Q cos θ = sin ϕ = 7 / 4
aBn = ω2a
aCnB = ω2a
∴ aCτ = −8ω2a / 7
上二式中消去 ψ 得 (ρsin ϕ)2 + (2c − ρ cos ϕ)2 = (2a − ρ)2
理论力学第7章(点的合成运动)
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
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第七章思考题
7.1. 建立适当的坐标系，单摆悬挂点A始终在轴上，摆锤为
B，摆长，则摆锤的约束方程为：，
，，。
可见，
摆锤受完整、双侧、非稳定约束。
是否受理想约束，要视悬挂点的约束情况而定。
b5E2RGbCAP
7.2. 轮I、II、III的转角可唯一确定力学系统的位置，
被确定后，轮I及绳的位置被确定，确定后，轮II轮III 的位置随之确定。
为系统的广义坐标。
系统的自由度为
3。
p1EanqFDPw
7.3. 由于约束方程可积，积分为：<为积分常
数），所以该约束属于完整约束。
7.4.
7.5.
7.6. <1）由于已知平板的运动规律，所以圆轮与平板的接触点的虚位移<相对固定平面）＝<相对平板）＋<平板牵连运动引起
的）中的。
又因圆轮作无滑滚动，因此。
于是圆轮所受
约束力的虚功之和，圆轮受理想约束。
<2）由于平
板运动规律没有预先给定，，，圆轮
受到非理想约束。
如果以圆轮和平板作为一个系统，约束力的虚功之和为零，系统受理想约束。
DXDiTa9E3d
7.7.
7.8.
7.9. 因<是质点1相对质点2的相
对虚位移）。
所以或，都会导致两约束力的虚功之和
为零。
7.10.
7.11.
第七章习题
7.1. 杆的自由度为1，以杆与水平方向的夹角作为广义坐标，根
据虚功原理，<y轴沿碗对称轴铅垂向下，原点在碗口中
心，是杆质心的坐标）而，
，因的任意性，使
，即，得
，。
RTCrpUDGiT
7.2. 系统自由度为1，建立坐标系。
选择曲柄与水平轴
轴得夹角为广义坐标。
虚功原理写成，是点的弧坐标，正方向沿逆时针
方向，坐标变换方程为：，将虚功原理的方
程写成,由于是任意的，所以得广义平衡方程
，。
5PCzVD7HxA
7.3. 系统自由度为1，以手柄的角坐标为广义坐标<逆时针方向为正方向），由虚功原理得<轴竖直向上），而
，得。
jLBHrnAILg
7.4. 弹簧圈自由度为1，选取弹簧圈面到圆锥体顶点的距离为广
义坐标，弹簧圈势能。
通过，得
，故弹簧圈平衡时。
xHAQX74J0X
7.5. ，以为广义坐标，水平面为重力势能零点，系统势能
，约束方程为，根据虚
功原理，得。
7.6. 将约束释放并以六个约束力、、、、、代替，将其作为主动力处理，选择一足与竖直直线的夹角为广义坐
标，由于系统结构与对称性，虚功原理写成，其中
为点在对称轴上的坐标，是两足端点距离，系统的约束方
程，，最后得到绳子的张力为。
LDAYtRyKfE
7.7. 解除约束并代以约束力、，取、点连线和杆的夹
角为广义坐标，建立原点在杆中点的直角坐标系，根据虚功
原理，，由坐标变换方程得，
，，考虑到的任意性，最后得。
Zzz6ZB2Ltk
7.8. 解除绳子的约束，将绳子张力、当作主动力处理，选择杆和竖直对称轴的夹角为广义坐标，以两钉的中间固定点为坐
标原点，建立轴水平向右、轴竖直向下的直角坐标系，由虚功原理，根据坐标变换方程，并考虑到的任
意性，得到广义平衡方程，进而得到绳子的张力。
dvzfvkwMI1
7.9. 用虚功原理，可求出质点的平衡位置为，。
利用不定乘子法，将约束方程求
变分，并乘以不定乘子，，与相
加，得，，求出，用，即
可求出：大小，方向从所在处指向圆环中心。
rqyn14ZNXI
7.10. 以滑轮、绳子、重物为系统，选择滑轮的角坐标为广义坐
标，系统的拉格朗日函数为，为重
物的初始未知坐标，作用量的变分
，应用分部积分和
的条件，，对于真实
运动，，且是任意的，因此，
，重物的加速度为。
EmxvxOtOco
7.11. ，，
，
进行分部积分并利用，且考虑到是任意的，进而
得到线性谐振子的运动微分方程。
7.12. 以小球的为广义坐标，，
，
即，
进行分部积分并利用的条件，由于的任意性，得到
质点的运动微分方程：
申明：
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