第七章 经典力学的哈密顿理论
经典力学的哈密顿原理
经典力学的哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一项重要的基本原理，它为我们理解物理世界中的运动提供了一种非常独特而深入的视角。
它的提出与发展历程虽然百年有余，但对于理论物理学的研究和应用至今仍具有重要的价值。
哈密顿原理最早由法国数学家勒让德在19世纪初提出。
它与之前所熟知的拉格朗日动力学原理相似，都是描述力学系统的最优运动路径。
然而，哈密顿原理比拉格朗日原理更为普适，它通过引入哈密顿函数和广义动量，将力学系统的演化描述为在一个能量守恒的相空间中的运动。
哈密顿原理的核心思想是，物体的运动路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是动力学系统在一段时间内的能量积累，它由广义坐标和广义动量构成的哈密顿量对时间的积分得到。
具体而言，对于一个自由度为N的力学系统，其哈密顿量可以表示为H = p*q - L，其中p是广义动量，q是广义坐标，L是拉格朗日量。
哈密顿原理的应用十分广泛。
当我们将系统的哈密顿量对广义坐标和广义动量求偏导数，可以得到系统的哈密顿方程，即dq/dt = ∂H/∂p，dp/dt = -∂H/∂q。
这两个方程描述了系统在相空间中的轨迹，可以用来推导出经典力学中的牛顿运动定律。
此外，哈密顿原理还被应用于统计力学、量子力学等领域，为研究其他物理理论提供了基础。
在实际应用中，哈密顿原理为我们提供了一种非常有效的数学工具，能够帮助我们推导出物体在复杂力场中的运动方程。
通过对作用量的最小化，我们可以获得物体的最优轨迹，从而预测和解释实验现象。
例如，当我们想要分析自由下落物体的运动时，哈密顿原理可以帮助我们求解出在重力场中物体的运动轨迹。
不仅如此，哈密顿原理的推广和拓展还给理论物理学的发展带来了多个重要的数学工具。
例如，哈密顿形式的动力学不仅适用于经典力学，还可以推广到场论、相对论和量子力学等更高级的物理理论中。
这种抽象的数学框架使得我们可以统一描述多个领域的力学系统，并且能够更深入地理解物理世界的规律。
总之，哈密顿原理在经典力学中具有重要的地位和价值。
物理学中的哈密顿原理及其应用
物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理，它是研究力学和量子力学等理论的基础。
对于一个系统的运动，哈密顿原理提供了一种数学描述的方式，能够给出最小作用量原理，可以通过这个原理得到物理学的解。
在这篇文章中，我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。
1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是：对于一个系统，在一个确定的时间段内，系统的运动路径是使作用量函数最小的。
在系统运动的过程中，作用量表示为：S = ∫L dt，其中L是系统的拉格朗日函数，dt是时间差。
根据这个定义，哈密顿原理的表述是：对于在一个确定的时间段内运动的一个系统，当其在任何可行运动路径下的动作最小化时，它的实际路径将是真实路径。
2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛，例如力学和量子力学等领域。
在力学领域，哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。
在量子力学中，哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法，即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。
在天体物理中，哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。
此外，哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。
3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响，它预示了一种新的力学理论，即哈密顿力学。
在哈密顿力学中，拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换，这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。
这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用，包括分析旋转、振动和波动等行为。
此外，哈密顿原理还促进了物理学研究的发展，使科学家们更好地理解了物质和能量的性质，包括它们的高度复杂的性质。
这种方法不仅联结了现代理论物理，而且是微积分和变分原理的基础，从而成为许多物理问题的通用解法。
此外，哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路，有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。
经典力学的哈密顿理论(精)
所以
L p m m( r )
（2 ）
p r m
（ 3）
则哈密顿函数
H p L 1 1 [m m( r )] [ m 2 m ( r ) m( r ) 2 V （4） 2 2 1 1 m 2 m( r ) 2 V 2 2
2 p 1 1 2 2 2 2 r ) ( ) (r ( pr 2 ) 2m r 2m r r
于是得正则方程
H pr r pr m r 2 ) 2 m ( r 2 r H p （径向运动方程） p r r mr 3 r 2
（ 3）
p H p mr 2 p mr 2 常数 （角动量守恒） p H 0
（ 4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。 若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守 恒，则
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
s H H H dH dp dq dt p q t 1 1 s
7 经典力学的哈密顿理论
内容： · 哈密顿正则方程 · 哈密顿原理 · 正则变换
· 哈密顿—雅可比方程
重点： ·哈密顿正则方程
· 正则变换
难点： · 正则变换
7.Hamilton力学(中科大朱界杰)
得������������ = ������������(������1, ⋯ , ������������)之后代入，以完成变量代换。这个方程可解的条件是
det
(������������������������������������)
=
det
������2������ (������������������ ������������������ )
称������(������, ������, ������)为哈密顿量或者哈密顿正则函数。
广义能量函数和哈密顿量是同一个物理量，只是自变量不同。
4. 保守系统的 HAMILTON 方程
对广义能量函数微分，
������������(������, ������, ������̇ ) = ������{������������������̇������ − ������(������, ������, ������̇ )}
������ ������������ ＋������̇ ������ ������������������
利用广义动量的定义������������ = ������������/������������̇������消去������������̇������项，再由拉氏方程
������������ ������ ������������ ������������������ = ������������ ������������̇������ = ������̇������
得
3 / 37
对哈密顿量微分
������������(������,
������,
������̇ )
=
−
������������ ������������
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
哈密顿力学课件
x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
第19页/共57页
cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
第2页/共57页
1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx
经典力学中的哈密顿力学
经典力学中的哈密顿力学经典力学是研究物体运动的学科，是描述宏观物体运动的物理学分支。
在经典力学中，哈密顿力学是一种与牛顿力学等其他形式的力学相比较而独特的表述方式。
1. 哈密顿力学的定义哈密顿力学是由W.R. Hamilton在19世纪的初期发展起来的。
它是经典力学的一种数学表述方式，而不是新的力学理论。
在哈密顿力学中，对于物体的运动是由哈密顿函数和哈密顿方程来描述的。
哈密顿函数H是一种描述物体状态的函数，它由物体的位置和动量组成。
哈密顿函数可以看作一个确定物体状态的函数，通常情况下，它的定义是：H = T + V，其中T是动能，V是势能。
对于一个系统，T和V是已知的。
哈密顿方程是描述经典力学中物体运动的基本方程之一。
在哈密顿力学中，物体的运动由哈密顿函数和哈密顿方程来描述。
2. 哈密顿力学的应用哈密顿力学的应用范围广泛。
例如，它可以用来描述分子运动、经济系统、天体力学等问题。
在分子运动中，哈密顿力学可以用来计算分子的能量和动量。
在经济系统中，哈密顿力学可以用来描述经济交易和市场价格的变化。
在天体力学中，哈密顿力学可以用来描述行星的运动和轨道。
在物理学中，哈密顿力学的应用也非常重要。
哈密顿力学在量子力学中的应用，特别是在量子场论和量子微扰理论中，是不可缺少的。
3. 哈密顿力学的数学基础哈密顿力学的数学基础是泊松括号。
泊松括号在经典力学中是描述位形和动量演化的工具，它可以用来计算任意两个物理量的变化率。
泊松括号是两个函数的反对称李括号：[f,g] = ∂f/∂q * ∂g/∂p - ∂f/∂p * ∂g/∂q其中，q和p分别为位置和动量，f和g是任意两个函数。
4. 哈密顿力学和其他力学形式的比较哈密顿力学是牛顿力学和拉格朗日力学的补充，它提供了一种更加方便的方式来描述动态系统。
与拉格朗日力学相比，哈密顿力学的优点是它的形式不变性，使其比拉格朗日力学更加容易理解和应用。
5. 结论哈密顿力学是经典力学中的一种表述方式，它通过哈密顿函数和哈密顿方程来描述物体的运动。
第7章 经典力学的哈密顿理论
从物理学的新思想到数学的渗透，量子场 论和弦理论影响了数学的许多分支，得到 了众多的新结果、新思想和新技术。 SimonDona1dson在四维流形方面的工作； Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作； 镜面对称，量子群；“魔群”等。
量子场论和维度
数学研究维数从有限维到无穷维而告终， 在量子场论方面，物理学家试图对广泛的无穷 维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空 间是各类典型的函数空间，它们有复杂的代数、 几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群， 即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大 部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李 群和流形上分析的发展。
Atiyah-Singer指标理论
Atiyah-Singer指标理论的根源RiemannRoch定理和Guass-Bonnet-Chern定理，在 Chern-Weyl示性类下发展起来。 各种量子场论（量子引力，量子规范场， 非线性 ） 用到各种模空间上的积分， 而模空间的结构需要用指标理论来研究，模空 间的积分要用到局域化方法。
1＋1维量子场论
代数几何的计数问题被称为“量子上同调” 的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得 到的． 弯曲族上的曲线的问题，得到了另一个具 有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，
2+1维的量子场论 2-维空间和1-维时间，就可以得到 Vaughan-Jones的扭结不变量理论．这 个理论已经用量子场论的术语给予了很 美妙的解释和分析． 而扭结理论中的Jones多项式和 Witten的拓扑不变量 相联系。而Witten 的理论解决了规范变换。
量子场论
量子场论是量子力学和经典场论相结合的物理理论，已被广泛的应用 于粒子物理学和凝聚态物理学中。量子场论为描述多粒子系统，尤其 是包含粒子产生和湮灭过程的系统，提供了有效的描述框架。非相对 论性的量子场论主要被应用于凝聚态物理学，比如描述超导性的BCS 理论。而相对论性的量子场论则是粒子物理学不可或缺的组成部分。 自然界目前人类所知的有四种基本相互作用：强作用，电磁相互作用， 弱作用，引力。除去引力，另三种相互作用都找到了合适满足特定对 称性的量子场论来描述。强作用有量子色动力学（QCD，Quantum Chromodynamics)；电磁相互作用有量子电动力学（QED,Quantum Electrodynamics)，理论框架建立于1920到1950年间，主要的贡献者 为保罗· 狄拉克，弗拉迪米尔· 福克，沃尔夫冈· 泡利，朝永振一郎，施 温格，理查德· 费曼和迪森等；弱作用有费米点作用理论。后来弱作用 和电磁相互作用实现了形式上的统一，通过希格斯机制（Higgs Mechanism）产生质量，建立了弱电统一的量子规范理论，即GWS （Glashow, Weinberg, Salam）模型。量子场论成为现代理论物理学 的主流方法和工具。
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对于非保守系，正则方程形式为
H q p p H Q q
1,2 , s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。 [例1] 写出粒子在中心势场
V 中的哈密顿函数和正则方程。 r
解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？ 粒子的拉格朗日函数为
（3）
p H 2 p mr H p 0
2 p mr 常数 （角动量守恒）
（4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
（7.10）
（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程， 思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？ （3）哈密顿原理 一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q ( t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点，
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
dL
L L ( q , q ，它的全微分为 ,t)
dq L t dt
1
s
L q
d q
1
s
L q
将广义动量和拉格朗日方程：
p
L
L q
L q 0
d
dt q
代入上式，得
d ( p q L )
1
s
1
s
q dq
1
s
p dq
L t
dt
（7.1）
式中
，
h
1
s
p q L H ( p , q , t )
（7.2）
q ( p , q , t )
2 2
1 2 m ( r ) m ( r ) V 2
（4）
1 2
2 m ( r ) V
（3）式代入（4）式，得
H p
2
p ( r ) V
2m
（5）
正则方程为
H p ( r ) P m p H p V r r
P F q
规定，F由
（2）正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中 出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。 设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它 们的变换关系为
Q Q (q1 , q 2 , q s , p1 , p 2 , p s ; t ) P P ( q 1 , q 2 , q s , p 1 , p 2 , p s ; t ) d 1,2 , s
1
（7.6）
)
y 2 y 1 y 1 y 2 y2
2
（7.8）
( y ) ( x 0 )
)
d dx
t2
1
t
ydt
t ydt
（2）变分问题的欧拉方程 求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件： 为普遍起见，将（7.6）式改写
J [ y ( x )]
x
x2
1
( y1 y 2 ) y1 y 2 ( y 1 y 2 ) y 1 y 2 y 2 y 1 ( y1 y2 ( xy ) k y ( dy ) d ( y ) ( dy dx
t2
（7.12）
给出——哈密顿原理。
对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为
s
t [ T ( q , q , t ) Q q ]dt
1
t2
0
（7.13）
式中
Q
为广义力。
由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程， 因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起 “几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学 第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等 都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的， 各有优缺点，但都是等价的。 7.3 正则变换 （1） 选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程 度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在 正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程 的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术 性的环节。
（7.11）
为哈密顿作用量（或主函数），是 q ( t ) 的泛函数。 · 哈密顿原理 1843年哈密顿提出：对于一个保守系 的完整力学体系，其由动力学规律所决定 t 的真实运动轨道可由泛函数 s t L ( q , q , t ) dt 取极值的条件
2 1
s
t
t2
1
L ( q , q , t ) dt 0
轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在
t1 ~ t 2
时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q ( t ) ？
哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。 · 定义： 体系的拉格朗日函数在
s
t 1 ~内的积分 t2
t
t2
1
L ( q , q , t ) dt
）， 随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t 1 和 t 2 体系位于位形空间的 P 1
q (t1 )
点和
P2
点，相应的广义坐标为
和 q ( t 2 ) （或缩写为 q ( t 1 ) 和 q ( t 2 )
P2
由
P1
点通向和
点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实
1
s
H p
dp
1
s
H q
dq
H t
dt
（7.3）
比较（7.2）和（7.3）式，得
H q p p H q
H t L t
1,2 , s
（7.4）
（7.5）
（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对 称，结构紧凑。
式中F为正则变换母函数。
由（7.16）式可得
p F q , P F Q ,
1,2 , , s
（7.17）
H* H
F t
（7.18）
以上二式表明：由 则 P 来确定。 由
P
p , q P , Q
F Q
时，Q 可任意规定；Q 规定后，
2 2
(Why ?)
2
( r r ) (
r
)
1 2m
(p
2 r
p r
2
2
)
r
于是得正则方程
p H r r pr m 2 m ( r ) 2 r 2 r p H （径向运动方程） pr 2 3 r mr r
L 1 2 m
2
2 1 m ( r ) m ( r ) V 2
（1）
所以
L p m m ( r )
（2）
p m
r
（3）
则哈密顿函数
H p L 1 [ m m ( r )] [ m 2 1 2 m
f ( y , y ' , x ) dx
（7.9）
对上式求变分，令δJ=0：
J
x
x2
1
x2
1
f ( y , y ' , x ) dx
x f ( y , y ' , x ) dx
1
x2
x x
[
f y f y
y y
x2 x1
f y' d
y ) dx
L 1
2 2 2 m ( r r ) 2 r
（1）
广义动量
p L pr mr , r r r m p L mr 2 , p 2 mr
（2）
哈密顿函数
H T V 1 2m
（7.14）
如果变换后，新的哈密顿函数 H * ( P , Q , T ) 仍然满足正则方程
H * Q , P H * P , Q
1,2 , , s
（7.15）
满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。 满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是： t) ( p dq P dQ ) ( H * H ) dt dF ( q , Q , （7.16）
f
x2
1
[
dx y '
(
y)
d
dx y ' y ) ydx
(
f
y )] dx
f y'
y
x
x2
1
(
d f dx y ' y
f
(
x1
x2
d f dx y '
f
) ydx 0
因此，