第八章经典力学的哈密顿理论之一
经典力学的哈密顿原理
经典力学的哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一项重要的基本原理，它为我们理解物理世界中的运动提供了一种非常独特而深入的视角。
它的提出与发展历程虽然百年有余，但对于理论物理学的研究和应用至今仍具有重要的价值。
哈密顿原理最早由法国数学家勒让德在19世纪初提出。
它与之前所熟知的拉格朗日动力学原理相似，都是描述力学系统的最优运动路径。
然而，哈密顿原理比拉格朗日原理更为普适，它通过引入哈密顿函数和广义动量，将力学系统的演化描述为在一个能量守恒的相空间中的运动。
哈密顿原理的核心思想是，物体的运动路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是动力学系统在一段时间内的能量积累，它由广义坐标和广义动量构成的哈密顿量对时间的积分得到。
具体而言，对于一个自由度为N的力学系统，其哈密顿量可以表示为H = p*q - L，其中p是广义动量，q是广义坐标，L是拉格朗日量。
哈密顿原理的应用十分广泛。
当我们将系统的哈密顿量对广义坐标和广义动量求偏导数，可以得到系统的哈密顿方程，即dq/dt = ∂H/∂p，dp/dt = -∂H/∂q。
这两个方程描述了系统在相空间中的轨迹，可以用来推导出经典力学中的牛顿运动定律。
此外，哈密顿原理还被应用于统计力学、量子力学等领域，为研究其他物理理论提供了基础。
在实际应用中，哈密顿原理为我们提供了一种非常有效的数学工具，能够帮助我们推导出物体在复杂力场中的运动方程。
通过对作用量的最小化，我们可以获得物体的最优轨迹，从而预测和解释实验现象。
例如，当我们想要分析自由下落物体的运动时，哈密顿原理可以帮助我们求解出在重力场中物体的运动轨迹。
不仅如此，哈密顿原理的推广和拓展还给理论物理学的发展带来了多个重要的数学工具。
例如，哈密顿形式的动力学不仅适用于经典力学，还可以推广到场论、相对论和量子力学等更高级的物理理论中。
这种抽象的数学框架使得我们可以统一描述多个领域的力学系统，并且能够更深入地理解物理世界的规律。
总之，哈密顿原理在经典力学中具有重要的地位和价值。
哈密顿定理
哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。
它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。
定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。
定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。
在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。
根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。
同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。
这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。
哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。
通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。
这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。
这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。
2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。
通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。
如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。
而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。
这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。
3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。
经典力学的哈密顿理论(精)
所以
L p m m( r )
（2 ）
p r m
（ 3）
则哈密顿函数
H p L 1 1 [m m( r )] [ m 2 m ( r ) m( r ) 2 V （4） 2 2 1 1 m 2 m( r ) 2 V 2 2
2 p 1 1 2 2 2 2 r ) ( ) (r ( pr 2 ) 2m r 2m r r
于是得正则方程
H pr r pr m r 2 ) 2 m ( r 2 r H p （径向运动方程） p r r mr 3 r 2
（ 3）
p H p mr 2 p mr 2 常数 （角动量守恒） p H 0
（ 4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。 若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守 恒，则
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
s H H H dH dp dq dt p q t 1 1 s
7 经典力学的哈密顿理论
内容： · 哈密顿正则方程 · 哈密顿原理 · 正则变换
· 哈密顿—雅可比方程
重点： ·哈密顿正则方程
· 正则变换
难点： · 正则变换
经典力学的哈密顿理论课件
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
哈密顿凯莱定理的应用
哈密顿凯莱定理的应用哈密顿凯莱定理是经典力学中的一项重要定理，它可以用于描述质点在力场中运动的性质。
这个定理的应用广泛，为我们理解和研究物体运动提供了有力的工具。
本文将介绍哈密顿凯莱定理的应用，帮助读者更好地理解并应用这个定理。
一、哈密顿凯莱定理简介哈密顿凯莱定理是经典力学中的一个基本定理，它是质点运动的一个重要定理，可以用于描述质点在力场中的运动。
该定理的基本内容是：在保守力场中，质点的轨迹满足哈密顿凯莱方程，即质点的动能与势能之和保持不变。
二、哈密顿凯莱定理的应用1. 动力学系统的稳定性分析哈密顿凯莱定理可以用于分析动力学系统的稳定性。
对于一个动力学系统，我们可以通过求解哈密顿凯莱方程，得到系统的运动轨迹。
通过分析轨迹的形状和性质，我们可以判断系统是否稳定。
如果系统的轨迹是有界的，不会发散或趋近于无穷远，那么该系统是稳定的。
2. 能量守恒定律的应用哈密顿凯莱定理可以用于推导能量守恒定律。
在保守力场中，质点的总能量等于其动能与势能之和，而根据哈密顿凯莱定理，质点的动能与势能之和保持不变。
因此，质点的总能量在运动过程中保持不变，即能量守恒。
3. 动力学系统的模拟与预测哈密顿凯莱定理可以用于模拟和预测动力学系统的运动。
通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹。
根据这些轨迹，我们可以对系统的未来状态进行预测。
这在很多领域都有重要应用，比如天体力学中对行星轨道的预测，以及工程中对机械系统的模拟和设计。
4. 动力学系统的优化设计哈密顿凯莱定理可以用于优化设计动力学系统。
通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹和能量变化情况。
根据这些信息，我们可以优化系统的结构和参数，使系统的能量损失最小，运动效率最高。
5. 弹性碰撞问题的求解哈密顿凯莱定理可以用于求解弹性碰撞问题。
在弹性碰撞过程中，质点的动能和势能会发生变化。
通过应用哈密顿凯莱定理，我们可以求解碰撞前后质点的速度和能量变化情况，从而得到碰撞的结果。
经典力学中的哈密顿量和拉格朗日量
经典力学中的哈密顿量和拉格朗日量经典力学是物理学中最基础、最重要的分支，它涉及到的问题包括运动学、动力学、能量守恒等等。
在经典力学中，哈密顿量和拉格朗日量是两个非常重要的概念，它们在研究物体运动时起着至关重要的作用。
一、哈密顿量哈密顿量最初是由高斯和哈密顿独立提出的，它是描述物理体系在给定的一组坐标系下的能量总和，计算公式为：H = T + V，其中T是物体的动能，V是物体的势能。
哈密顿量的物理意义就是能量守恒定律，它表示一个物体对于力的响应，可以用它的能量来描述一个系统的运动。
哈密顿量也可以描述一个系统的演化规律，通过它可以计算出一个物体在不同时间点上的状态，我们可以通过哈密顿量来预测未来的情况。
在量子力学中，哈密顿量扮演着非常重要的角色，它被用来研究粒子的能级、波函数等等。
二、拉格朗日量拉格朗日量是描述粒子运动和作用的数学量，它是根据势能函数和运动函数的关系来计算的。
拉格朗日量常常被用来描述稳定的、不经常发生变化的系统，它是一个宏观体系的经典力学的核心，被广泛应用于物理、化学、材料科学等领域。
在拉格朗日量的计算中，通常需要将物理体系分解为多个系统，然后将每个系统的能量分别计算，最后将它们汇总起来。
拉格朗日量的计算过程比较复杂，通常需要用到微积分、变分法等高级数学方法。
三、哈密顿量与拉格朗日量的关系哈密顿量和拉格朗日量是两个不同的物理概念，它们分别描述了物理体系的不同方面。
哈密顿量和拉格朗日量之间存在着一定的关系，这个关系可以通过勒让德变换来实现。
勒让德变换是一种常用的数学方法，它可以将哈密顿量和拉格朗日量之间转化，其中一个物理量的表达式就是另一个物理量经过变换之后的结果。
通过勒让德变换将哈密顿量和拉格朗日量转化之后，我们就可以从两种不同的角度来研究物理体系，更加深入地理解它们的运动规律、性质等等。
总结：哈密顿量和拉格朗日量是经典力学中的两个重要概念，它们分别描述了物理体系的不同方面。
哈密顿量是关于动能和势能的函数，它描述了物体对于力的响应和演化规律；拉格朗日量是描述粒子运动和作用的数学量，常常被用来描述稳定的、不经常发生变化的系统。
onsager原理和哈密顿原理
标题：onsager原理和哈密顿原理1、概述在物理学和化学领域，onsager原理和哈密顿原理都是非常重要的理论原理。
它们分别在热力学和量子力学领域有着广泛的应用，并对科学研究产生了深远的影响。
本文将分别介绍这两个原理的基本概念和应用，以帮助读者更好地理解这两个重要的物理理论。
2、onsager原理onsager原理是由美国物理学家拉尔斯·奥恩萨格在20世纪30年代提出的。
该原理主要应用于非平衡热力学系统，揭示了热力学过程中的对称性和动力学行为。
onsager原理的核心思想是在非平衡态热力学系统中，宏观的热力学量可以用微观的物理过程来描述，且在这些描述中保持宏观时间反演对称性。
3、onsager原理的具体内容onsager原理包括两个基本原则，即对称性原理和耗散定律。
对称性原理指出微观的物理过程应该满足宏观时间反演对称性，即在热力学过程中，如果时间倒转，系统的演化应该仍然是可逆的。
而耗散定律则描述了在非平衡态系统中，宏观量与微观过程之间的关系，这种关系通常表现为耗散率矩阵的对称性。
4、onsager原理的应用onsager原理在许多领域都有广泛的应用，特别是在热力学和动力学领域。
在固体物理学中，onsager原理可以用来解释晶格热传导和电子输运行为；在生物物理学中，onsager原理可以帮助解释细胞内部的物质输运过程。
onsager原理还在材料科学、环境科学和化学工程等领域有着重要的应用价值。
5、哈密顿原理哈密顿原理是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的，它是经典力学的基本原理之一，用来描述宏观系统的轨迹和动力学演化。
哈密顿原理通过变分原理和最小作用量原理揭示了系统的运动方程和能量守恒定律。
6、哈密顿原理的具体内容哈密顿原理主要包括两个方面的内容，即变分原理和最小作用量原理。
变分原理描述了在系统的位势场中，粒子的轨迹可以通过最小作用量路径来描述，这个路径是系统的真实轨迹；最小作用量原理指出在所有可能的路径中，系统的真实路径是使作用量取极小值的路径。
哈密顿原理
哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一种非常重要的原理，它由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出，被广泛应用于物理学和工程学的各个领域。
哈密顿原理描述了一个系统的运动方程，它可以通过变分原理来推导出系统的运动方程，是经典力学中最重要的原理之一。
在哈密顿原理中，我们首先需要引入拉格朗日函数。
拉格朗日函数是描述系统动力学行为的一个函数，它通常由系统的动能和势能构成。
然后，我们定义哈密顿量，它是系统的总能量函数，可以用拉格朗日函数通过勒让德变换得到。
接下来，我们引入广义坐标和广义动量，它们是描述系统运动状态的变量。
通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到哈密顿原理的表达式。
哈密顿原理的本质是要使系统的作用量取极值。
作用量是描述系统在一段时间内的积累效应，它是系统运动的一个重要量。
根据变分原理，我们要使系统的作用量对于任意的变分都取极值，从而得到系统的运动方程。
这就是哈密顿原理的核心思想。
哈密顿原理在物理学中有着广泛的应用。
在经典力学中，我们可以用哈密顿原理来推导出系统的运动方程，比如著名的哈密顿正则方程。
在量子力学中，哈密顿原理也有着重要的地位，它可以用来描述量子系统的演化。
此外，在光学、流体力学、电磁学等领域，哈密顿原理也都有着重要的应用。
除了在物理学中的应用，哈密顿原理在工程学中也有着重要的地位。
在控制理论中，我们可以用哈密顿原理来设计系统的最优控制律，从而实现系统的最优控制。
在航天航空领域，哈密顿原理也可以用来分析飞行器的轨迹和姿态控制。
总之，哈密顿原理作为经典力学中的重要原理，不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程学中也有着重要的地位。
它通过变分原理描述了系统的运动方程，是经典力学中不可或缺的一部分。
通过深入学习和理解哈密顿原理，我们可以更好地理解物理学和工程学中的许多现象，为实际问题的分析和解决提供重要的理论基础。
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第八章经典力学的哈密顿理论一．正则坐标和哈密顿函数
二．三种不同形式的哈密顿动力学方程
1．哈密顿正则方程
2．哈密顿原理
3．哈密顿-雅可比方程
一．正则坐标和哈密顿函数
为表述空间的位置，引入坐标。
常用坐标：（1）直角坐标；（2）平面极坐标；（3）柱坐标；（4）球坐标等
功能：（1）用三个坐标值表示空间的一点的位置
（2）确定空间一组相互正交的单位矢量
（有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示）区别：（1）直角坐标与物体的运动无关，使固定不变的
（2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的，
（3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标
5．变分问题的欧拉方程
（1）第一性原理：
在力学中起“几何公理”作用，可以由它推导出全部力学定律得原理或假设称为第一性原理例如：牛顿定律为第一性原理，以牛顿定律作为第一性原理建立的牛顿力学或称为经典力学体系最容易理解。
但是，牛顿定律不是唯一的作为第一性原理的理论！
1788年拉格朗日发表的《分析力学》以虚功原理为第一性原理。
目前许多教材以达朗贝尔原理为第一性原理。
最小作用量原理：整个物理学的第一性原理（2）变分法：
变分符号：
（4）变分的意义： 微分和变分是不同的，
（vi ） 我们把相差甚微的C 与C '之间的差称为变分。
用δ表示，以区别来自同一曲线轨道上由于自变数微小变化而引起的差异的微分符号 d 。
（i ）曲线 C （实线）是S 维空间中的一条曲线，且质点遵循
运动定律运行时的轨道，即动力轨道或称为真实的轨道。
（ii ）C '曲线为邻近C 的一条曲线，但不是质点的动力轨道，唯 C 和C '的两个端点 ()111P P t t == 和()222P P t t == 相同。
（iii ）设质点M 沿C 运动，而想象另一个质点
M '沿 C '
运动，它们同时自 ()111P P t t ==点出发，同时到达
()222P P t t ==。
11()P t t =
()22P t t =
P '
Q '
C
Q
C '
但是：
()()()()22dq dq dt d q dq d t d q dt dt dt dt dt αααααδδδδδ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
所以一般情况下，
δ
与d
dt
不对易，若0t δ=则：
P Q Q '→→ P P Q ''→→
()()1
P Q P P Q Q P Q q dq q dq q q d q dq ααααααααδδ'
→→'
'
→→+++=+++14243142431444424444314444244443 dq d q dq dq q q q q ααααααα
αδδδδ+++=+++
dq d q ααδδ=
即 d 与
δ 对易！
11()P t t =
()22P t t =
P '
Q '
C
Q
C '
()d d
q q dt dt
ααδδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 这种情况称为等时变分，而δ
与d
dt
不对易的变分称为全变分或不等时变分。
（5）泛函数的变分： 问题：最速落径问题
铅直平面内，所有连接两个定点 A 和 B 的曲线中，找出一条
使初始速度为零的质点在自力作用下自 A 无摩擦下滑时以最
短时间到达B 。
泛函数：如果 ()y x 是 x 的函数，则
()J y x ⎡⎤⎣⎦ 称为函数
()
y x 的泛函数。
质点
A 沿光滑曲线()y x 自由下落时，速度v 与y 的关系为：
2v gy =
例2．求悬链方程：
令： 21f y y '
=+
A ，
B 点在同一个水平面内，最低点为：()0,a
势能最小 0V δ=
()()()
2221B A B A x x x x V gyds ds dx dy gy y dx
ρρ==+'=+⎰⎰。