简单的论述哈密顿原理
经典力学的哈密顿原理

经典力学的哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一项重要的基本原理,它为我们理解物理世界中的运动提供了一种非常独特而深入的视角。
它的提出与发展历程虽然百年有余,但对于理论物理学的研究和应用至今仍具有重要的价值。
哈密顿原理最早由法国数学家勒让德在19世纪初提出。
它与之前所熟知的拉格朗日动力学原理相似,都是描述力学系统的最优运动路径。
然而,哈密顿原理比拉格朗日原理更为普适,它通过引入哈密顿函数和广义动量,将力学系统的演化描述为在一个能量守恒的相空间中的运动。
哈密顿原理的核心思想是,物体的运动路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是动力学系统在一段时间内的能量积累,它由广义坐标和广义动量构成的哈密顿量对时间的积分得到。
具体而言,对于一个自由度为N的力学系统,其哈密顿量可以表示为H = p*q - L,其中p是广义动量,q是广义坐标,L是拉格朗日量。
哈密顿原理的应用十分广泛。
当我们将系统的哈密顿量对广义坐标和广义动量求偏导数,可以得到系统的哈密顿方程,即dq/dt = ∂H/∂p,dp/dt = -∂H/∂q。
这两个方程描述了系统在相空间中的轨迹,可以用来推导出经典力学中的牛顿运动定律。
此外,哈密顿原理还被应用于统计力学、量子力学等领域,为研究其他物理理论提供了基础。
在实际应用中,哈密顿原理为我们提供了一种非常有效的数学工具,能够帮助我们推导出物体在复杂力场中的运动方程。
通过对作用量的最小化,我们可以获得物体的最优轨迹,从而预测和解释实验现象。
例如,当我们想要分析自由下落物体的运动时,哈密顿原理可以帮助我们求解出在重力场中物体的运动轨迹。
不仅如此,哈密顿原理的推广和拓展还给理论物理学的发展带来了多个重要的数学工具。
例如,哈密顿形式的动力学不仅适用于经典力学,还可以推广到场论、相对论和量子力学等更高级的物理理论中。
这种抽象的数学框架使得我们可以统一描述多个领域的力学系统,并且能够更深入地理解物理世界的规律。
总之,哈密顿原理在经典力学中具有重要的地位和价值。
物理学中的哈密顿原理

物理学中的哈密顿原理哈密顿原理是物理学中的一种基本原理,它指出了物理系统最小作用量的原则。
该原理由英国物理学家威廉·哈密顿在19世纪初提出,对于物理学的发展有着极为重要的意义。
一、哈密顿原理是什么?哈密顿原理可以理解为:一个物理系统从其初状态到终状态所需的时间最短路径,也就是最小作用量。
其中,“作用量”是一种测量物理系统运动状态的量,它等于系统中的所有运动量在时间上积分后的结果,即作为整体的瞬时动能与势能之和。
物理系统从一个状态到另一个状态的路径,就是使得其作用量最小的路径。
而这一路径就被称为系统的正解。
二、哈密顿原理的意义和应用哈密顿原理提供了一种优雅且彻底的求解物理问题的方法。
通过将物理系统的演化从初始状态到终态视为从一个定点到另一个定点的稳定性问题,可以轻松得到此类问题的数学表达式。
同时,哈密顿原理也可以用于描述量子系统和场论的稳定性问题,因此其适用范围非常广泛。
另外,哈密顿原理也有着广泛的实用价值。
利用哈密顿原理可以推导出物理系统的运动方程,揭示出物理系统运动的本质规律,对于科学家们的研究工作具有极为重要的帮助。
此外,哈密顿原理也被广泛应用于电磁场、相对论、统计力学等多个领域,成为了这些领域中不可或缺的工具。
三、哈密顿原理与其他热力学原理的联系哈密顿原理与热力学中的另外两个基本原理——熵增原理和能量守恒原理有着密切的联系。
从熵增角度来看,哈密顿原理可以看作是熵增原理的推广,熵增原理是指任何一个物理系统在宏观上总是趋向于熵增大的方向演化;而哈密顿原理则可以更加细致地说明物理系统整体的演化方向,并与熵增原理形成相互印证的关系。
形象地说,熵增原理描述了自然界的宏观趋势,而哈密顿原理则揭示了物理系统的微观运动本质。
与能量守恒原理相比,哈密顿原理则是更进一步地明确了能量守恒关系。
应该指出的是,在哈密顿原理的框架下,能量守恒原理可以被视为系统的“可观测性”问题——也就是一个系统的可测量状态始终是相似的,换句话说,一个物理系统不会在不改变自身的能量条件下发生任何改变。
哈密顿力学

哈密顿力学《哈密顿力学》是现代力学的基础,回顾整个物理学发展史,其地位可谓不可替代。
它的发现者哈密顿用其独特的思维方法,对动能定律、动量定律等物理定律进行整体性概括,从而构建了物理学的新学科力学,为后来研究研究阿基米德力学等提供了坚实的基础。
哈密顿力学,又称“哈密顿原理”,指的是哈密顿研究运动学规律的结果,是现代物理学中对运动学定律进行系统综合的理论,属于力学的范畴。
它是由英国物理学家哈密顿在18世纪末发现的,是古典力学的基础理论。
它将动能定律和动量定律统一起来,将运动学的定律完整地表达出来,从而构建了力学的完整的理论体系。
哈密顿力学的基本原理是:某物体总把其完全内在的能量(总能量)保持恒定,即总能量守恒原理。
它能够比较准确地描述系统中每一粒粒子的运动轨迹,从而使物理定律具有了更高的普遍性、深刻性和准确性,可以精确地描述出在各种环境、各种物理条件下,物体形成的一系列运动模式。
在哈密顿力学的体系中,系统的总动量和总动能均保持不变,满足动量守恒定律和能量守恒定律。
哈密顿力学对物体运动的描述进一步概括,构成了动量定律、能量定律等力学定律。
这一理论,无论是从力学定律上还是从动量定律上,均有着极其重要的影响,这与哈密顿在力学史上的地位是一致的。
哈密顿力学的研究,为现代科学的发展做出了重要的贡献,它的发现为现代物理学的发展奠定了坚实的基础,为物理学家研究经典力学和量子力学奠定了基础。
它也为新物理学的发展提供了指导性的理论,这种理论指导可以帮助物理学家更好地理解复杂的物理现象,深入探究它们背后的奥秘,从而为新兴物理学的发展提供新的借鉴和灵感。
哈密顿力学是力学研究的基础,其发现使物理学从蒙古病变解脱出来,使力学取得了显著的发展,开启了物体运动规律和物性研究的新纪元。
哈密顿力学的研究在现代物理学发展史上具有重要的地位,它具有极大的价值,为促进现代物理学的发展做出了不可磨灭的贡献。
哈密顿原理

关于哈密顿原理
哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。
W.R.哈密顿于1834年发表。
其数学表达式为:
式中L=T-V为拉格朗日函数,T 为系统的动能,V为它的势函数。
哈密顿原理可叙述为:拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。
它指出,受理想约束的保守力学系统从时刻t1 的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中,实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值,大多取极小值。
由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。
哈密顿原理不但数学形式紧凑,且适用范围广泛。
如替换L的内容,就可扩充用于电动力学和相对论力学。
此外,也可通过变分的近似算法,用哈密顿原理直接求解力学问题。
物理学中的哈密顿原理及其应用

物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理,它是研究力学和量子力学等理论的基础。
对于一个系统的运动,哈密顿原理提供了一种数学描述的方式,能够给出最小作用量原理,可以通过这个原理得到物理学的解。
在这篇文章中,我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。
1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是:对于一个系统,在一个确定的时间段内,系统的运动路径是使作用量函数最小的。
在系统运动的过程中,作用量表示为:S = ∫L dt,其中L是系统的拉格朗日函数,dt是时间差。
根据这个定义,哈密顿原理的表述是:对于在一个确定的时间段内运动的一个系统,当其在任何可行运动路径下的动作最小化时,它的实际路径将是真实路径。
2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛,例如力学和量子力学等领域。
在力学领域,哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。
在量子力学中,哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法,即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。
在天体物理中,哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。
此外,哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。
3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响,它预示了一种新的力学理论,即哈密顿力学。
在哈密顿力学中,拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换,这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。
这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用,包括分析旋转、振动和波动等行为。
此外,哈密顿原理还促进了物理学研究的发展,使科学家们更好地理解了物质和能量的性质,包括它们的高度复杂的性质。
这种方法不仅联结了现代理论物理,而且是微积分和变分原理的基础,从而成为许多物理问题的通用解法。
此外,哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路,有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。
哈密顿原理的应用例子

哈密顿原理的应用例子一、什么是哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理,描述了自然界中各种物理系统的运动规律。
它起源于数学家威廉·哈密顿的研究,也称为最小作用量原理。
哈密顿原理通过对系统的所有可能路径进行比较,找到系统运动的真实路径,从而得到最小作用量原理。
二、哈密顿原理的应用例子1. 光的传播路径假设有一个具有两个不同介质的透明介质界面,光从一个介质传播到另一个介质。
根据哈密顿原理,光的传播路径满足最小作用量原理。
这里的作用量是指光在传播过程中光程的积分。
光的传播路径应满足以下条件:•光线传播的路径必须满足费马原理,即光线传播的路径是光程的极值路径;•光的传播路径必须满足最小作用量原理,即光的光程在所有可能路径中取得极值。
通过应用哈密顿原理,可以求解光的传播路径,从而揭示光在界面传播的规律。
2. 量子力学中的路径积分在量子力学中,粒子的运动可以用路径积分来描述。
路径积分是一种数学工具,通过将粒子在各个可能路径上的振幅相加,来得到粒子的全体运动。
哈密顿原理在量子力学中被拓展为路径积分的形式。
应用哈密顿原理的路径积分形式可以得到以下结论:•粒子在各个可能路径上的振幅相加,得到了粒子的全体运动;•粒子的运动路径满足最小作用量原理,即粒子的作用量在所有可能路径中取得极值。
路径积分理论是现代量子力学的基石之一,它可以用来描述和计算微观粒子的行为。
3. 经典力学中的质点运动在经典力学中,物体的运动可以使用拉格朗日力学或哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是经典力学中的一种有效工具,基于哈密顿原理进行建模和计算。
哈密顿原理在经典力学中的应用可总结为:•哈密顿原理可以用于描述质点在给定势能场中的运动;•通过求解哈密顿原理,可以得到物体的运动方程和运动轨迹。
哈密顿力学在物体的运动描述和机械系统分析中具有广泛的应用。
4. 量子场论中的路径积分在量子场论中,我们可以将经典场进行量子化,并通过路径积分来解析量子场的运动。
哈密顿原理

§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数; 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明:Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
动力学中的哈密顿原理

动力学中的哈密顿原理动力学是研究物体运动规律的学科,它揭示了物体运动背后的力学性质和动力学原理。
其中,哈密顿原理是一项重要的原理,它被广泛应用于各个领域,从天体力学到量子物理。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念和应用,并探讨其在动力学中的重要性。
哈密顿原理是由英国物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的,它是牛顿运动定律的一个推导出来的原理。
它的核心思想是“作用量极值原理”,即对于一系统所受的所有可能的路径,其实际遵循的是使作用量取极值的路径。
这里的作用量是一个物理量,它可以看作是描述系统运动的一种综合性度量,它与物体的轨道、力学特性等密切相关。
据哈密顿原理,对于系统的运动,其真实路径是能使作用量取极小值的路径。
这意味着,在给定初始状态和边界条件下,系统的运动将在所有可能的路径中选择那些使作用量最小的路径。
这一原理为研究物体运动提供了一种新的观点和描述方式,并且通过它可以推导出牛顿运动定律,从而揭示了物体运动背后的深层次规律。
应用哈密顿原理可以得到所谓的哈密顿方程,它是描述一个系统运动的重要方程。
哈密顿方程由广义坐标和广义动量构成,它们可以通过系统的动能和势能导出。
哈密顿方程提供了一种全新的视角来理解系统的运动,通过对哈密顿方程的求解,可以得到系统的运动轨迹和动力学特性。
哈密顿原理在许多领域都具有重要应用。
首先,在经典力学中,哈密顿原理为研究物体的运动提供了一种统一的方法和框架。
通过哈密顿方程,可以方便地描述和求解各种力学问题,从而揭示了物体运动的规律。
其次,在天体力学中,哈密顿原理被广泛应用于研究行星运动、天体轨迹等问题。
通过哈密顿原理,我们可以对行星轨道进行精确的计算和预测,揭示出太阳系中行星的运动规律。
此外,哈密顿原理还被应用于场论、量子力学和统计物理等领域,为研究微观粒子和宏观系统的行为提供了一种基本的方法和原则。
总的来说,哈密顿原理是动力学中的一个重要原理,它为研究物体的运动和力学性质提供了一种新的观点和方法。
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简单的论述哈密顿原理
摘要:证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性,从不同角度论述了哈密顿原理的含义。
关键词:哈密顿原理,拉格朗日函数,变分,拉格朗日方程
1.引言
哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一,但它不是一个独立原理,它可已从其他原理推导出来,因而可以从不同角度说明它的物理含义。
一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和,然后再求从位形1即(到位形2,即(之间或时间至
之间的作用量得出,最后变换成,并没有说明最后一步为
什么要那样做,也没有说明那样做的意义。
本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性,然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。
2.理论
2.1变分运算与积分运算次序的可交换性
假定变量由一个或一组函数的选取而确定,则变量称
为函数的泛函,记作[]。
泛函由n个函数的形式确定,是函数的“函数”。
泛函与函数的概念略有不同,函数中的变量是可以变化的数值,而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。
下面举例说明,如图1中有,两个固定点,连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定,即
显然,依赖于函数的选取,若函数的形式发生变化,则曲线的形状随
之变化,曲线的长度也随之变化。
长度就是的
泛函。
下面证明变分运算与积分运算顺序的可交
换性,该泛函只依赖一个函数,即
自变量为的函数表示为。
函数的变分是函数的微变量,它与函数的微分有本质有本质的不同,函数的微分,粗略的讲,它是由自变量的变化引起的。
而函数的变分不是因为自变量的变化,它是来自函数形式的变化引起,这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分,记作。
与函数临近但形
式与不同的函数有许多。
假设这些函数可以表示为如下的形式:
其中是非常小的参数,是任意给定的可微函数,因时,函
数形式的变化决定于上式的第二项。
因此函数的变分写成
引入(2)式的记法(1)可记为
被积函数的形式是已知的,积分的上下限是固定的。
当函数
的形式上发生变化时,泛函就会发生变化,这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分,记作。
现将被积函数
在处展开,并只保留线性部分,
注意的变分不包含(3)式中的最后一项,因
是由于处于自变量地位的的形式变化引起的,而不是因为x变化引起的,故泛函的变分为
而
上式积分变量为,变分是由的形式变化引起,因此积分变量与变分无关时,积分次序与变分次序可以交换。
哈密顿原理的数学表达式为
在(4)中代表体系的拉格朗日函数,其表达式为,即体系的动能和势
能之差,哈密顿称为作用函数,它的量纲为功和时
间的乘积,单位为。
当它表示为端点时间和位置的函
数时,也叫主函数,并以S表示。
如图2所示,满足约
束许可条件的轨道有许多条。
其中实线为真实轨道,而
虚线为真实轨道附近只满足约束所许可的条件,图2只画了一条。
原理的含义为在约束所许可的许多条可能轨道中真实轨道的作用函数的变分为零。
此原理给出了在卫星1即(到位形2,即(之间真实轨道
必须满足的条件就是哈密顿原理。
哈密顿原理是在拉格朗日方程
的两端同乘以然后对从1到S求和
再对(6)从到积分,即
因为
把(8)代入(7)式得
利用初始条件知(9)式左边第一项为零,从而有
因为(5)式中积分变量为t,而变分是由L的形式变化引起,积分变量与
变分无关,所以积分与变分的次序可以交换,即可得到(4)的结果。
对于哈密顿原理的判断:保守的,完整的力学体系在相同时间内,由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中,真实运动的主函数具有稳定性。
即对于真实运动来讲,主函数的变分等于零卖。
从数学角度结果无可非议,但大部分教材并没有说明为什么要这样做,也没有说明哈密顿原理的物理含义,下面将从不同角度说明讨论保守,完整体系哈密顿原理的必然性和深刻含义。
2.2从不同角度理解哈密顿原理
2.2.2从对拉格朗日方程的二次积分意义角度理解
众所周知,拉格朗日函数它是体系的动能和势能之差,它是体系
的一个特性函数,表征者约束,运动状态,相互作用等性质。
它的表达式中只含有广义速度,广义坐标和时间,即
(
(11)式可以看作拉格朗日方程的第一积分或首次积分。
而
可以看作拉格朗日方程的二次积分,积分的最终形式为
(13)式的C为积分常数。
式实际上就是蕴含体系运动规律的轨道方程,那么就在位形1和位形2之间从众多约束所许可的可能轨道中挑选出真实轨道
必有,即真实轨道只有一条,所以真实轨道方程的变分为零。
也就
是(4)式所示的哈密顿原理的数学表达式。
而且还可以把上式写成微分形式,因为对给定的体系,选定的广义坐标和给定的位形拉格朗日函数的吗形式唯一,故哈密顿原理的变分形式可表示为。
2.2.2从虚功角度理解
拉格朗日方程(5)式的左端每一项的量纲都为广义力,其意义为体系在主动力和惯性力的作用下,在非惯性系中作惯性运动或保持相对平衡。
给(5)式的左端每一项乘以即(6)式,求出从位形1变化到位形2或体系从时刻
到时刻过程中总的加权(时间为权)虚功,即作用量。
若总的虚作用量为零,说明体系仍处于相对平衡,它所走的轨道为实际轨道。
否则,说明体系的轨道就不是真实轨道。
换句话说,要让体系运动的轨道为实际轨道,则在任何时间间隔内对体系的虚作用量必须为零。
2.2.3从达朗伯-拉格朗日方程的变形结果理解
达朗伯-拉格朗日方程
记
从而有
对于保守系来说,其中主动力为保守力或有势力,所以上式的左边可表示为
从推导结果看对完整,保守系来说,体系在真实轨道中必有动能和势能的虚作用量数量相等符号相反,即动能的虚增量为多少,势能的虚减小量就为多少,同样得到了(4)的结果。
3.结论
综上所述,本文首先证明了在积分变量与变分无关时,积分运算与变分次序的可交换性,使初学者对此有了更清楚的认识。
其次分别从拉格朗日方程的二次积分意义,从虚功的角度,从能量转化的角度,对哈密顿原理作了深层次的剖析和论证。
参考文献:
[1]Zhou yanbai, Theory Mechanics Tutorial [M].1986.
[2]Zhang Jianshu,Sun Xiujun,Zhang Zhengjun. Theory Mechanics[M]2005.
[3]Chen Shimin.Theory Mechanics a simple tutorial[M]2008.
[3]Lu Shengzhi.Theory Mechanics basic tutorial[M]2004.
A SIMPLE DISCUSSION OF HAMILTON`S
PRINCIPLE UM WELL
Abstract: Prove the power of the variable of integration and variational unrelated to calculus and variational operator order exchangeability, the meaning of the Hamiltonian principle discussed from different angles
Key words: hamilton’s principle,lagrangian function,the variational lagrange equation。