7第5章哈密顿原理
经典力学的哈密顿原理
经典力学的哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一项重要的基本原理，它为我们理解物理世界中的运动提供了一种非常独特而深入的视角。
它的提出与发展历程虽然百年有余，但对于理论物理学的研究和应用至今仍具有重要的价值。
哈密顿原理最早由法国数学家勒让德在19世纪初提出。
它与之前所熟知的拉格朗日动力学原理相似，都是描述力学系统的最优运动路径。
然而，哈密顿原理比拉格朗日原理更为普适，它通过引入哈密顿函数和广义动量，将力学系统的演化描述为在一个能量守恒的相空间中的运动。
哈密顿原理的核心思想是，物体的运动路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是动力学系统在一段时间内的能量积累，它由广义坐标和广义动量构成的哈密顿量对时间的积分得到。
具体而言，对于一个自由度为N的力学系统，其哈密顿量可以表示为H = p*q - L，其中p是广义动量，q是广义坐标，L是拉格朗日量。
哈密顿原理的应用十分广泛。
当我们将系统的哈密顿量对广义坐标和广义动量求偏导数，可以得到系统的哈密顿方程，即dq/dt = ∂H/∂p，dp/dt = -∂H/∂q。
这两个方程描述了系统在相空间中的轨迹，可以用来推导出经典力学中的牛顿运动定律。
此外，哈密顿原理还被应用于统计力学、量子力学等领域，为研究其他物理理论提供了基础。
在实际应用中，哈密顿原理为我们提供了一种非常有效的数学工具，能够帮助我们推导出物体在复杂力场中的运动方程。
通过对作用量的最小化，我们可以获得物体的最优轨迹，从而预测和解释实验现象。
例如，当我们想要分析自由下落物体的运动时，哈密顿原理可以帮助我们求解出在重力场中物体的运动轨迹。
不仅如此，哈密顿原理的推广和拓展还给理论物理学的发展带来了多个重要的数学工具。
例如，哈密顿形式的动力学不仅适用于经典力学，还可以推广到场论、相对论和量子力学等更高级的物理理论中。
这种抽象的数学框架使得我们可以统一描述多个领域的力学系统，并且能够更深入地理解物理世界的规律。
总之，哈密顿原理在经典力学中具有重要的地位和价值。
物理学中的哈密顿原理
物理学中的哈密顿原理哈密顿原理是物理学中的一种基本原理，它指出了物理系统最小作用量的原则。
该原理由英国物理学家威廉·哈密顿在19世纪初提出，对于物理学的发展有着极为重要的意义。
一、哈密顿原理是什么？哈密顿原理可以理解为：一个物理系统从其初状态到终状态所需的时间最短路径，也就是最小作用量。
其中，“作用量”是一种测量物理系统运动状态的量，它等于系统中的所有运动量在时间上积分后的结果，即作为整体的瞬时动能与势能之和。
物理系统从一个状态到另一个状态的路径，就是使得其作用量最小的路径。
而这一路径就被称为系统的正解。
二、哈密顿原理的意义和应用哈密顿原理提供了一种优雅且彻底的求解物理问题的方法。
通过将物理系统的演化从初始状态到终态视为从一个定点到另一个定点的稳定性问题，可以轻松得到此类问题的数学表达式。
同时，哈密顿原理也可以用于描述量子系统和场论的稳定性问题，因此其适用范围非常广泛。
另外，哈密顿原理也有着广泛的实用价值。
利用哈密顿原理可以推导出物理系统的运动方程，揭示出物理系统运动的本质规律，对于科学家们的研究工作具有极为重要的帮助。
此外，哈密顿原理也被广泛应用于电磁场、相对论、统计力学等多个领域，成为了这些领域中不可或缺的工具。
三、哈密顿原理与其他热力学原理的联系哈密顿原理与热力学中的另外两个基本原理——熵增原理和能量守恒原理有着密切的联系。
从熵增角度来看，哈密顿原理可以看作是熵增原理的推广，熵增原理是指任何一个物理系统在宏观上总是趋向于熵增大的方向演化；而哈密顿原理则可以更加细致地说明物理系统整体的演化方向，并与熵增原理形成相互印证的关系。
形象地说，熵增原理描述了自然界的宏观趋势，而哈密顿原理则揭示了物理系统的微观运动本质。
与能量守恒原理相比，哈密顿原理则是更进一步地明确了能量守恒关系。
应该指出的是，在哈密顿原理的框架下，能量守恒原理可以被视为系统的“可观测性”问题——也就是一个系统的可测量状态始终是相似的，换句话说，一个物理系统不会在不改变自身的能量条件下发生任何改变。
物理学中的哈密顿原理及其应用
物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理，它是研究力学和量子力学等理论的基础。
对于一个系统的运动，哈密顿原理提供了一种数学描述的方式，能够给出最小作用量原理，可以通过这个原理得到物理学的解。
在这篇文章中，我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。
1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是：对于一个系统，在一个确定的时间段内，系统的运动路径是使作用量函数最小的。
在系统运动的过程中，作用量表示为：S = ∫L dt，其中L是系统的拉格朗日函数，dt是时间差。
根据这个定义，哈密顿原理的表述是：对于在一个确定的时间段内运动的一个系统，当其在任何可行运动路径下的动作最小化时，它的实际路径将是真实路径。
2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛，例如力学和量子力学等领域。
在力学领域，哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。
在量子力学中，哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法，即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。
在天体物理中，哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。
此外，哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。
3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响，它预示了一种新的力学理论，即哈密顿力学。
在哈密顿力学中，拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换，这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。
这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用，包括分析旋转、振动和波动等行为。
此外，哈密顿原理还促进了物理学研究的发展，使科学家们更好地理解了物质和能量的性质，包括它们的高度复杂的性质。
这种方法不仅联结了现代理论物理，而且是微积分和变分原理的基础，从而成为许多物理问题的通用解法。
此外，哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路，有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。
哈密顿定理
哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。
它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。
定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。
定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。
在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。
根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。
同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。
这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。
哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。
通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。
这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。
这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。
2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。
通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。
如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。
而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。
这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。
3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。
哈密顿原理的推导
02 03
广义坐标和广义力
在非完整系统中，广义坐标不再完全独立，需要引入广义力来描述系统 受到的约束反力。哈密顿原理在形式上仍然保持不变，但需要将广义力 纳入考虑。
应用实例
非完整系统广泛存在于实际物理问题中，如滚动摩擦、滑动摩擦等。通 过应用非完整系统的哈密顿原理，可以推导出相应的运动方程，进而分 析系统的动力学行为。
应用实例
相对论性哈密顿原理在宇宙学、黑洞物理等领域具有广泛应用。例如，通过该原理可以推 导出爱因斯坦场方程，描述引力与时空几何的关系。
哈密顿原理在现代物理学中的应用前景
量子力学与量子场论
在量子力学和量子场论中，哈密顿原理提供了从经典到量子的桥梁。通过引入算符和波函数等概念，可以将哈密顿原 理应用于微观粒子的运动规律研究。
主函数$S$是拉格朗日函数$L$对时间$t$的积分，即$S=int_{t_1}^{t_2}Ldt$。
通过变分法求解$delta S=0$，可以得到质点系的真实运动方程，即拉格朗日方程 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}-frac{partial L}{partial q}=0$。
广义相对论与宇宙学
广义相对论是描述引力与时空关系的理论框架，而哈密顿原理为广义相对论提供了变分法的基础。在宇宙学中，利用 哈密顿原理可以研究宇宙的演化、黑洞的性质等问题。
高能物理与粒子物理
在高能物理和粒子物理领域，哈密顿原理可用于描述基本粒子的相互作用和衰变过程。结合实验数据， 可以进一步揭示物质的基本结构和相互作用机制。
在理论物理、应用数学以及工程科学等领域，哈密顿原理都扮演着重要的角色。
哈密顿原理是变分法的一个应用，通过求解最小作用量原理来确定系统的运动方程 。
理论力学(第三版)第5章第7节哈密顿原理
第五章 分析力学
拉格朗日
哈密顿
§5.7 哈密顿原理
本节导读
• 泛函 变分的概念 • 欧拉方程 泛函导数 • 哈密顿原理
1 变分法初步
(1) 泛函 质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑 到B所需时间
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因端点是固定的, 所以
δq tt1 δq tt2 0
( 1,2,, s)
t2
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因p, q在积分范 围内是任意的, 而且 相互独立, 故得
q
H p
p
H
q
变分运算法则
小结
注意:
δ
dq dt
t2 s
δ
p q H dt 0
t1 1
因为H是p, q, t 的函数, 并且t = 0 , 所以
t2
t1
s 1
p δq
δp q
H p
δp
H q
δq
dt
0
又
s
p δq
1
s 1
p
d dt
δq
d dt
s 1
p δq
s 1
p δq
s
1
p δq
t2 t1
t2
以s个广义坐标为直角坐标的空间叫作位形空间. 力学系统在任一时刻的位形可用位形空间中的一点 来表明.随着时间的运转,力学系统的位形发生改变, 位形空间中的代表点就描出相应曲线. 在一切可能 的曲线中,使作用量取极值的那一条曲线就代表真实 的运动.
动力学中的哈密顿原理
动力学中的哈密顿原理动力学是研究物体运动规律的学科，它揭示了物体运动背后的力学性质和动力学原理。
其中，哈密顿原理是一项重要的原理，它被广泛应用于各个领域，从天体力学到量子物理。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念和应用，并探讨其在动力学中的重要性。
哈密顿原理是由英国物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的，它是牛顿运动定律的一个推导出来的原理。
它的核心思想是“作用量极值原理”，即对于一系统所受的所有可能的路径，其实际遵循的是使作用量取极值的路径。
这里的作用量是一个物理量，它可以看作是描述系统运动的一种综合性度量，它与物体的轨道、力学特性等密切相关。
据哈密顿原理，对于系统的运动，其真实路径是能使作用量取极小值的路径。
这意味着，在给定初始状态和边界条件下，系统的运动将在所有可能的路径中选择那些使作用量最小的路径。
这一原理为研究物体运动提供了一种新的观点和描述方式，并且通过它可以推导出牛顿运动定律，从而揭示了物体运动背后的深层次规律。
应用哈密顿原理可以得到所谓的哈密顿方程，它是描述一个系统运动的重要方程。
哈密顿方程由广义坐标和广义动量构成，它们可以通过系统的动能和势能导出。
哈密顿方程提供了一种全新的视角来理解系统的运动，通过对哈密顿方程的求解，可以得到系统的运动轨迹和动力学特性。
哈密顿原理在许多领域都具有重要应用。
首先，在经典力学中，哈密顿原理为研究物体的运动提供了一种统一的方法和框架。
通过哈密顿方程，可以方便地描述和求解各种力学问题，从而揭示了物体运动的规律。
其次，在天体力学中，哈密顿原理被广泛应用于研究行星运动、天体轨迹等问题。
通过哈密顿原理，我们可以对行星轨道进行精确的计算和预测，揭示出太阳系中行星的运动规律。
此外，哈密顿原理还被应用于场论、量子力学和统计物理等领域，为研究微观粒子和宏观系统的行为提供了一种基本的方法和原则。
总的来说，哈密顿原理是动力学中的一个重要原理，它为研究物体的运动和力学性质提供了一种新的观点和方法。
哈密顿原理推导运动方程
哈密顿原理推导运动方程引言：物理学中，哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。
它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系，从而推导出系统的运动方程。
本文将以哈密顿原理为基础，推导出运动方程，并对其进行详细的阐述和解释。
一、哈密顿原理的基本概念哈密顿原理是基于变分原理的一种方法，它是由数学家威廉·哈密顿提出的。
它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。
作用量是一个函数，描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。
根据哈密顿原理，系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。
二、哈密顿原理的数学表达在哈密顿原理中，作用量可以表示为一个积分形式：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S表示作用量，L表示拉格朗日量，q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
三、推导过程为了推导运动方程，我们需要使用变分法。
变分法是一种数学方法，可以求解函数的极值问题。
我们假设系统的运动路径为q(t)，然后对作用量进行变分，使其取得极值。
我们将作用量进行变分：δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt根据变分法的定义，我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量，因此可以分别对其进行求导：∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')∂S/∂q' = ∂L/∂q'根据哈密顿原理，作用量的变分应当为零，即δS = 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：∂S/∂q = 0∂S/∂q' = 0根据以上两个方程，我们可以得到两个重要的运动方程：∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0∂L/∂q' = 0第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程，它描述了系统的运动轨迹。
第二个方程则是哈密顿原理的直接结果，它描述了广义动量的守恒。
四、运动方程的物理解释欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。
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根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
（常量）(5-11)
对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。
例5-1试写出图5-1中球面摆的正则方程及其首次积分。已知球面摆摆长为l，摆锤质量为m。
解：取图5-1所示的角、为广义坐标，A为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函数为
广义动量分别为
解得
按定义式(5-5)，系统的哈密顿函数为
5.1.1
对于主动力均有势的k个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为
(5-1)
引入广义动量
(5-2)
代入式(5-1)，有
(5-3)
设拉格朗日函数L满足条件
于是，可由式(5-2)反解出
(5-4)
式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k个二阶微分方程化为2k个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数
第二项对x积分
代回原式有
由于u任意取值，有
上式是所寻求的弦的微振动微分方程。
例2-5已知单自由度谐振子的拉格朗日函数为
求满足以下端点条件
的近似解。
解：以此为我们所熟悉而简单的谐振子问题为例，回避运动微分方程的建立，应用哈密顿原理直接求得系统运动的数值解，即变分问题的直接解法中的里兹法。
构造一个函数x(t)作为系统运动的近似解：
应用哈密顿原理可以建立动力系统的运动微分方程；也可直接求解动力学问题。
例5-2试用哈密顿原理推导拉格朗日方程。
解：考虑一个所受主动力均有势的完整系统，设其有k个自由度，广义坐标为q1，…，qk，拉格朗日函数为 ，由哈密顿原理
得
又因 （始末位置相同），故上式中 ，于是，有
由于完整系统各 的独立性和任意性，故
例5-5质量为m、半径为r的粗糙圆柱体在一空心圆柱体内的表面上作纯滚动。这空心圆柱体的质量为M；半径为R，可绕中心水平轴O转动。两圆柱体均系均质。试用哈密顿原理写出系统的运动微分方程。
解：系统有两个自由度。取空心圆柱体的转角和两柱心连线的转角为广义坐标。设小圆柱体的角速度为。系统的动能为
系统的势能为
弦的动能为
就弹性弦来讲，势能为内力的功；dx段的弧长dl为
伸长量dl－dx为
由于伸长量较小，展开根式并略去高阶微量，
得到
题给出弦是绷紧的，振动为微幅，则张力变化极小，可视张力F为常量，这样，dx段的功为
弦的势能为
于是得到哈密顿作用量S
对于正路，哈密顿作用量S的变分为零，即S= 0，则
首先作第一项对t的积分，利用分部积分公式
解：这是一个无限多自由度系统。将哈密顿原理应用于这个连续体系统，主要的是写出此连续体的动能和势能，建立哈密顿作用量后求其极值即可得到系统的动力学方程。设弦长为l，张力为F，单位长度的质量为。弦在振动时有二个方向的位移，这里只考虑横向位移，略去纵向位移。
对于任一瞬时，分析弦的dx段，其质量为dm=dx，横向位移u是x和t的函数u=u(x，t)，速度为 ，动能为
5.1
哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n个二阶微分方程变换为2n个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。
第5章哈密顿原理
如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。
将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。
a为待定常数。函数x(t)满足端点条件x(0)=0，x(1)=1。将近似解x(t)代入哈密顿函数中，为此作导数， ，有
由此哈密顿作用量S的变分为
于是
由哈密顿原理，S=0，因此有
于是得到近似解为
我们知道，单自由度谐振子问题的精确解为
近似解与精确解有较好的接近度，将t在0≤t≤1之间取值就可以得到这个结论。下面给出近似解与精确解的比较数据及误差：
哈密顿原理只涉及到系统的两个动力学函数，即动能和势能。对于这两个表达系统状态的整体性函数，没有规定必须用多少坐标（有限个参数或无限个参数）来表达。因此，哈密顿原理不但适用于有限多自由度系统，也适用于连续系统。哈密顿原理比拉格朗日方程更有普遍意义的原因就在于此。将哈密顿原理应用到连续体时，只要写出连续体的动能和势能就可以求解。
边界条件是
由哈密顿原理，并经分部积分运算，得到
(7)
由式(7)得悬链的运动微分方程
和在末端的边界条件（自然条件）
哈密顿原理只涉及到系统的状态函数，如系统的总动能和总势能，不涉及用多少个广义坐标来表达，因此，哈密顿原理不仅能用于离散系统（有限自由度系统），而且能用于连续系统（无限自由度系统），这是哈密顿原理的优点之一。哈密顿原理作为一个变分原理，能用变分学的方法提供动力学问题的直接近似解法，如里兹法、伽辽金法等。
这就是势力场中第二类拉格朗日方程。
例5-3试用哈密顿原理建立图5-2所示末端有集中质量的悬链振动微分方程。
解：设悬挂点O不动，而链的末端N附有质量m。坐标x＝a处的M点在运动中达到M点，假设悬链是匀质不可伸长和柔软的，M点的位移记作 ，而集中质量的位移记作 ，这里l是链子的长度，设M点的笛卡尔坐标为（x、y），则有
为了方便，将真实运动在位形空间中的轨线称为正路，对约束允许的可能发生的运动在位形空间的轨线称为旁路。作以下规定：在瞬时t0，正路与旁路都通过A点，在瞬时t1又都通过B点。现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。
对于质点系（n个质点）的真实运动，满足动力学普遍方程
将上式沿着位形空间中的正路自t0至t1对时间t积分：
哈密顿原理比拉格朗日方程更具有概括性，只有一个泛函极值就可表示完整保守系统的运动规律；
例5-4试应用哈密顿原理求解悬挂在弹簧上的单摆的运动微分方程。
解：系统的拉格朗日函数为
式中的r0为弹簧的初始长度。哈密顿作用量S为
根据哈密顿原理，有S= 0
由于
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中第二个积分等于零，由于r和是彼此独立的，则有弹簧单摆的运动微分方程：
5-2如题5-2图所示，光滑细直杆绕铅直轴以匀角速度转动，其与铅直轴的夹角＝常量，试用正则方程求套在杆上的小环M相对于杆的运动微分方程。
5-3如题5-3图所示，弹簧摆由刚度系数为k、自然长度为r0的弹簧及质量在m的小球构成。试用哈密顿原理建立小球的运动微分方程。弹簧的质量不计。
5-4如题5-4图(a)与(b)所示，已知A为匀质圆盘，质量为mA，小车B质量为mB，弹簧刚度系数为k，圆盘在车上只能作纯滚动，而轨道摩擦力可以不计。
(5-15)
于是式（5-14）可以表达为
S= 0(5-16)
这就是势力场完整系统的哈密顿原理：对于完整系统，若主动力有势，在相同的时间、相同的起迄位置的条件下，在所有为约束允许的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量具有极值，或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作用量的变分为零。
5.3
哈密顿原理可以表述为：沿着正路的哈密顿作用量与沿着旁路的哈密顿作用量相比较，前者具有极值，如式（5-14）所表达。应该注意的是式（5-14）只是在完整系统且主动力有势的条件下成立。对于在任意力作用下的完整系统，哈密顿原理有式（5-13）的形式，但不具有极值条件。