广东省东莞市2015届高三数学文小综合专题练习：函数与导数

2015届高三文科数学小综合专题练习——函数与导数资料提供：东华高级中学老师 第一讲 函数、基本初等函数的图像和性质一、选择题1．已知定义在R 上的奇函数，)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 ．A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知)(x f 是定义在R 上的周期为2的周期函数，当)1,0[∈x 时，14)(-=x x f ，则)5.5(-f 的值为A ．2B ．1-C ．21- D ．1 3．下列函数中，奇函数是A ．x x f 2)(=B ．x x f 2log )(=C ．1sin )(+=x x fD ．x x x f tan sin )(+= 4．若函数ax y =与xb y -=在),0(+∞上都是减函数，则bx ax y +=2在),0(+∞上是 A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增5．已知实数4.0log ,21,5log 304=⎪⎭⎫⎝⎛==c b a ，则c b a ,,的大小关系为A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<6．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图象如图所示，其中b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图象是．二、填空题1．设函数],2[,22a x x x y -∈-=，若函数的最小值为)(a g ，则=)(a g _______. 2．已知函数5)3(42)(2+-+=x a ax x f 在区间)3,(-∞上是减函数，则a 的取值范围是________．3．已知2)()(x x f x F +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g ________.4．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=0,4)3(0 ,)(x a x a x a x f x 满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是________．5．使1log )(log 22+<-x x 成立的x 的取值范围是________．6．已知m x g x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛==21)(,)(2，若对]2,0[],3,1[21∈∃-∈∀x x 时有)()(21x g x f ≥成立，，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题1. 已知函数),0( )(2R a x xax x f ∈≠+=．(1)判断函数)(x f 的奇偶性；(2)若)(x f 在区间),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．2．已知函数x a b x f ⋅=)((其中b a ,为常量，且1,0≠>a a )的图象经过点)24,3(),6,1(B A ．⑴ 求)(x f ；⑵ 若不等式011≥-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛m b a xx 在]1,(-∞∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围．3.已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且)(x f 的图象关于1=x 对称，当]1,0[∈x 时，12)(-=x x f .⑴ 求证：)(x f 是周期函数； ⑵ 当]2,1[∈x 时，求)(x f 的解析式.4.设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=32 ,121,1)(x x x x f ，]3,1[,)()(∈-=x ax x f x g ，其中R a ∈，记函数)(x g 的最大值与最小值的差为)(a h ．(1)求函数)(a h 的解析式；(2)画出函数)(x h y =的图象并指出)(x h 的最小值． 一选择题 B D D B D B 二、填空题⎩⎨⎧≥-<≤--)1(,,1)12(,22a a a a ； ]43,0[； 1-； ]41,0(； )0,21(-； ),41[+∞. 三、解答题1.解 (1)当0=a 时，)0(,)(2≠=x x x f 为偶函数；当0≠a 时，)()(),()(x f x f x f x f -≠-≠-， ∴)(x f 既不是奇函数也不是偶函数． (2)解法一：设212≥>x x ，则])([)()(2121212122212121a x x x x x x x x x a x x a x x f x f -+-=--+=-, 由212≥>x x ，得0,0,16)(21212121><->+x x x x x x x x . 要使)(x f 在区间),2[+∞上是增函数，只需0)()(21<-x f x f ，即0)(2121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a .解法二：利用)(x f 的导函数在),2[+∞上大于等于零恒成立解决.2.解析 (1)把)24,3(),6,1(B A 代入xa b x f ⋅=)(，得⎩⎨⎧⋅==3246ab ab，结合1,0≠>a a ，解得⎩⎨⎧==32b a .∴x x f 23)(⋅=.(2)要使m x x ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛3121在]1,(-∞ 上恒成立，只需保证函数xx y ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121在]1,(-∞ 上的最小值不小于m 即可．∵函数x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121在]1,(-∞ 上为减函数，∴当1=x 时，xx y ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121有最小值65. ∴只需65≤m 即可．∴m 的取值范围]65,(-∞. 3.解析 (1)证明 函数)(x f 为奇函数，则)()(x f x f -=-，函数)(x f 的图象关于1=x 对称，则)()()2(x f x f x f -=-=+，所以)()2(]2)2[()4(x f x f x f x f =+-=++=+，所以)(x f 是以4为周期的周期函数．(2) 当]2,1[∈x 时，]1,0[2∈-x ，又)(x f 的图象关于1=x 对称，则]2,1[,12)2()(2∈-=-=-x x f x f x.4.解 (1)由题意知⎩⎨⎧≤<--≤≤-=32,1)1(21,1)(x x a x ax x g ,当<a 时，函数)(x g 是]3,1[上的增函数，此时a g x g a g x g 21)1()(,32)3()(min max -==-==，所以a a h 21)(-=；当1>a 时，函数)(x g 是]3,1[上的减函数，此时a g x g a g x g 21)1()(,32)3()(max min -==-==，所以12)(-=a a h ；当10≤≤a 时，若]2,1[∈x ，则ax x g -=1)(，有)1()()2(g x g g ≤≤；若]3,2(∈x ，则1)1()(--=x a x g ，有)3()()2(g x g g ≤<，因此a g x g 21)2()(min -==，而a a a g g 21)1()32()1()3(-=---=-，故当210≤≤a 时，a g x g 32)3()(max -==，有a a h -=1)(； 当121≤<a 时，a g x g -==1)1()(m a x ，有a a h =)(.综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<≤≤-<-=1 ,12121 ,210 ,10 ,21)(a a a a a a a a a h .(2)画出)(x h y =的图象，如图所示，数形结合可得21)21()(min ==h x h.第二讲 函数的零点、函数的应用一、选择题1．“2-<a ”是“函数3)(+=ax x f 在区间]2,1[-上存在零点0x ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是3．函数a xx f x--=22)(的一个零点在区间)2,1(内，则实数a 的取值范围是A ．)3,1(B ．)2,1(C ．)3,0(D ．)2,0(4．已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f y =的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．95．函数x x x f cos )(-=在),0[+∞内A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 6．甲、乙两人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1212,()v v v v <．甲一半路程使用速度1v ，另一半路程使用速度2v ，乙一半时间使用速度1v ，另一半时间使用速度2v ，甲、乙两人从A 地到B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴S 表示路程），其中正确的图示分析为A ．(1)B ．(3)C ．(1)或(4) D. (1)S 2S S（1） （2） （3） （4）二、填空题1．用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(,0)0(><f f 可得其中一个零点∈0x ______，第二次应计算________．2．已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是________．3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为km 3(不超过km 3按起步价付费)；超过km 3但不超过km 8时，超过部分按每千米15.2元收费；超过km 8时，超过部分按每千米85.2元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费6.22元，则此次出租车行驶了________km.三、解答题 1．设函数).0(|,11|)(>-=x xx f (1)作出函数)(x f 的图象；(2)当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； (3)若方程m x f =)(有两个不相等的正根，求m 的取值范围．2．已知函数124)(+⋅+=xxm x f 有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．3．已知二次函数316)(2++-=q x x x f .(1)若函数在区间]1,1[-上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数)0(,≥t t ，当]10,[t x ∈时，)(x f 的值域为区间D ，且区间D 的长度为t -12(视区间],[b a 的长度为a b -)．4．已知函数)0(,)(,12)(22>+=-++-=x xe x x g m ex x xf ． (1)若m xg =)(有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得0)()(=-x f x g 有两个相异实根．5.某市出租车的计价标准是：km 3以内(含km 3)10元；超过km 3但不超过km 18的部分1元/km ；超出km 18的部分2元/km .(1)如果某人乘车行驶了km 20，他要付多少车费？某人乘车行驶了xkm ，他要付多少车费？(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？ 参考答案 A C C B B D1.)25,0(),5.0,0(f ；2.]22ln 2,(--∞；3.190；4.9. 1.解 (1)如图所示．(2)∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x xx xx x f故)(x f 在]1,0(上是减函数，而在),1(+∞上是增函数，由b a <<0且)()(b f a f =， 得b a <<<10，且211,1111=+∴-=-ba b a . (3)由函数)(x f 的图象可知，当10<<m 时，方程m x f =)(有两个不相等的正根． 2.解124)(+⋅+=x x m x f 有且仅有一个零点，即方程012)2(2=+⋅+x x m 仅有一个实根．设)0(,2>=t t x，则012=++mt t .当0=∆时，即042=-m ，2-=∴m 时，2,1==m t 时，1-=t (不合题意，舍去)，0,12==∴x x 符合题意．当0>∆时，即2>m 或2-<m 时，012=++mt t 有两正或两负根， 即)(x f 有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意． 综上可知：2-=m 时，)(x f 有唯一零点，该零点为0=x .3.解 (1)∵函数316)(2++-=q x x x f 的对称轴是)(,8x f x ∴=x ＝8，在区间]1,1[-上是减函数．∵函数在区间]1,1[-上存在零点，则必有⎩⎨⎧≥-≤0)1(0)1(f f ,即⎩⎨⎧≥+++≤++-0316103161q q ,1220≤≤-∴q . (2))(,100x f t <≤ 在区间]8,0[上是减函数，在区间]10,8[上是增函数，且对称轴是8=x .①当60≤≤t 时，在区间]10,[t 上，)(t f 最大，)8(f 最小，t f t f -=-∴12)8()(，即520152+-t t ，解得21715,21715-=∴±=t t ； ②当86≤<t 时，在区间]10,[t 上，)10(f 最大，)8(f 最小，t f f -=-∴12)8()10(，解得8=t ；③当108<<t 时，在区间]10,[t 上，)10(f 最大，)(t f 最小，t t f f -=-∴12)()10(，即072172=+-t t ，解得8=t 或9，9=∴t .综上可知，存在常数9,8,21715-=t 满足条件. 4.解 (1)法一：e e xe x x g 22)(22=≥+= ，等号成立的条件是e x =， 故)(x g 的值域是),2[+∞e ，因而只需e m 2≥，则m x g =)(就有零点．法二：作出)0(,)(2>+=x x e x x g 的大致图象如图：可知若使 m x g =)(有零点，则只需e m 2≥.法三：由m x g =)(得022=+-e mx x .此方程有大于零的根，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-=∆>040222e m m等价于⎩⎨⎧-≤≥>e m e m m 220或，故e m 2≥.(2)若0)()(=-x f x g 有两个相异的实根，即)(x g 与)(x f 的图象有两个不同的交点，作出)0(,)(2>+=x xe x x g 的大致图象．2221)(12)(e m e x m ex x x f +-+--=-++-=.其图象的对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m +-. 故当e e m 212>+-，即122++->e e m 时，)(x g 与)(x f 有两个交点，即0)()(=-x f x g 有两个相异实根．∴m 的取值范围是),12(2+∞++-e e .5.解：(1)乘车行驶了km 20，付费分三部分，前km 3付费10(元)，km 3到km 18付费1)318(⨯-15=(元)，km 18到km 20付费42)1820(=⨯- (元)，总付费2941510=++(元)．设付车费y 元，当30≥<x 时，车费10=y ；当183≤<x 时，车费7)3(10+=-+=x x y ；当18>x 时，车费112)18(225x x y =-+=.故⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<=.18 ,112,183,7,30,10x x x x x y第三讲 导数及其应用1．若函数32)(kx k x x h +-=在),1(+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 A ．),2(+∞- B ．),2(+∞ C ．)2,(--∞D ．)2,(-∞2．函数bx ax x f +=3)(在ax 1=处有极值，则ab 的值为 A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 3．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(/≥-x f x ，则必有A ．)1(2)2()0(f f f <+B ．)1(2)2()0(f f f ≤+C ．)1(2)2()0(f f f ≥+D ．)1(2)2()0(f f f >+4．函数)(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，且满足0)()(,0)(/<+>x f x xf x f ，则对任意正数b a ,，若b a >，则必有A ．)()(a bf b af <B ．)()(a bf b af >C ．)()(b f a af <D ．)()(a f b bf <5．已知函数)(x f 的导函数为)(/x f ，且满足x xf x f ln )1(2)(/+=，则=)1(/fA ．e -B ．1-C ．1D ．e6．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．)2,1(-B ．),6()3,(+∞--∞C ．)6,3(-D ．),2()1,(+∞--∞7.函数)(x f 在R 上可导，其导函数),('x f 且函数)(x f 在2-=x 处取得极小值，则函数)('x xf y =的图象可能是二、填空题1．若过原点作曲线x e y =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 2．若曲线x ax x f ln )(3+=存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．3．已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+y x 平行，若)(x f 在区间]1,[+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是________． 4．已知函数x axxx f ln 1)(+-=，若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为________． 5．已知函数b x b bx x y -++-+-=2)32(3123在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________． 三、解答题1．设)(,3)(23R a x ax x f ∈-=，且2=x 是)(x f y =的极值点，求函数)()(x f e x g x⋅=的单调区间．ABCD2．已知函数1)(3--=ax x x f .(1)若)(x f 在),(+∞-∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使)(x f 在)1,1(-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．3．已知函数)(,3ln )(R a ax x a x f ∈--=． (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为045，对于任意的]2,1[∈t ，函数]2)([)(/23mx f x x x g ++=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．4．设函数23)(,2)(223+-=+++=x x x g a bx ax x x f ，其中b a R x ,,∈为常数，已知曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线l .(1)求b a ,的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程mx x g x f =+)()(有三个互不相同的实根21,,0x x ，其中21x x <，且对任意的],[21x x x ∈，)1()()(-<+x m x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围．5．设函数xbax x f -=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为01247=--y x . (1)求)(x f 的解析式；(2)证明：曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．6.已知定义在正实数集上的函数b x a x g ax x x f +=+=ln 4)(,23)(22，其中0>a ，设两曲线)(x f y =与)(x g y =有公共点，且在公共点处的切线相同. ⑴ 若1=a ，求两曲线)(x f y =与)(x g y =在公共点处的切线方程； ⑵ 用a 表示b ，并求b 的最大值.7．设函数1ln )(-+=x a x x f 在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若),1(),1,0(21+∞∈∈x x )．求证：ee xf x f 12)()(12-+>-.注：e 是自然对数的底数．参考答案 一、选择题 A D C B B B C 二、填空题1.e e ),,1(；2.)0,(-∞；3.]1,2[--；4.),1[+∞；5.),3()1,(+∞--∞1.解:)2(363)(2/-=-=ax x x ax x f ．因为2=x 是函数)(x f y =的极值点． 所以0)2(/=f ，即0)22(6=-a ，因此1=a ， 经验证，当1=a 时，2=x 是函数)(x f 的极值点，所以)3()(23x x e x g x -=g (x )＝e x(x 3－3x 2)，x e x x x x g )6)(6()(/-+=.因为0>xe ，所以)(x g y =的单调增区间是)0,6(-和),6(+∞；单调减区间是)6,(--∞和)6,0(．2.解 (1)a x x f -=2/3)(由0≤∆，即012≤a 12，解得0≤a ， 因此当)(x f 在),(+∞-∞上单调递增时，a 的取值范围是]0,(-∞．(2)若)(x f 在)1,1(-上单调递减，则对于任意)1,1(-∈x 不等式03)(2/≤-=a x x f 恒成立即23x a ≥，又)1,1(-∈x ，则332<x ，因此3≥a .函数)(x f 在)1,1(-上单调递减，实数a 的取值范围是),3[+∞． 3.解：(1)根据题意知)0(,)1()(/>-=x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调递增区间为]1,0(，单调递减区间为),1(+∞；当0<a 时，)(x f 的单调递增区间为),1(+∞，单调递减区间为]1,0(；当0=a 时，)(x f 不是单调函数．(2)2,12)2(/-=∴=-=a af .32ln 2)(-+-=x x x f .x m x x g 222)(3-⎪⎭⎫⎝⎛+=∴.2)4(3)(2/-++=∴x m x x g .∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且2)0(/-=g ，⎪⎩⎪⎨⎧><0)3(0)(//g t g .由题意知：对于任意的0)(],2,1[/<∈t g t 恒成立， ⎪⎩⎪⎨⎧><<∴0)3(0)2(0)1(///g g g ，9337-<<-∴m . 4.解:(1)32)(,43)(/2/-=++=x x g b ax x x f ，由于曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线，故有1)2()2(,0)2()2(//====g f g f ，由此解得5,2=-=b a ；切线l 的方程为：02=--y x .(2)由(1)得x x x x g x f 23)()(23+-=+，依题意得：方程0)23(2=-+-m x x x 有三个互不相等的根21,,0x x ，故21,x x 是方程0232=-+-m x x 的两个相异实根，所以41,0)2(49->∴>--=∆m m ；又对任意的)1()()(],,[21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立，特别地，取1x x =时，m mx x g x f -<-+111)()(成立，即0,0<∴>-m m ，由韦达定理知：02,032121>-=⋅>=+m x x x x ，故210x x <<，对任意的],[21x x x ∈，有0,012≥-≤-x x x x ，0>x ,则0))(()()(21≤--=-+x x x x x mx x g x f ；又0)()(111=-+mx x g x f ，所以函数在],[21x x x ∈上的最大值为0，于是当0<m 时对任意的)1()()(],,[21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立．综上：m 的取值范围是)0,41(.5.解：(1)方程01247=--y x ，当2=x 时，21=y .又2/)(xb a x f +=， 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-4742122b a b a ，解得⎩⎨⎧==31b a ，故x x x f 3)(-=.(2)证明 设),(00y x P 为曲线上任一点，由2/31)(xx f +=知，曲线在点),(00y x P 处的切线方程为20000034ln 2431x x x b x x +=+⎪⎨+=⎪⎩0000()()'()'()f x g x f x g x =⎨=⎩2002004ln 3ax a x b a x a x ⎧=+⎪⎪+=⎩①②)()31(020x x x y y -⋅+=-，即)()31()3(0200x x x x x y -⋅+=--． 令0=x 得，06x y -=，从而得切线与直线0=x 交点坐标为)6,0(0x . 令x y =，得02x x y ==，从而得切线与直线x y =的交点坐标为)2,2(00x x ． 所以点),(00y x P 处的切线与直线x y x ==,0所围成的三角形面积为6|2||6|2100=⋅-x x . 故曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值，此定值为6. 6.解：（1）当1=a 时，)0(,l n 4)(,23)(2>+=+=x b x x g x x x f .x x g x x f 4)(,13)(//=+=.设曲线)(x f y =与)(x g y =在公共点),(00y x 处的切线相同，则有 即解得25,10==b x （其中340-=x 舍去）∴公共点为)25,1(，公共点处的切线方程为0328=--y x .（2）xa x g a x x f 2//4)(,3)(=+=，设在点),(00y x 处的切线相同，则有 即由②得0433220=-+a ax x ，即0)43)((00=+-a x a x ，得a x =0或340ax -=（舍去） 于是a a a a a a a b ln 425ln 42322222-=-+=. 令)0(,ln 425)(22>-=t a a a t h .则)ln 81(4ln 85)(/t t t t t t t h -=--=.1111484454ln 22ee e e -=于是当0)ln 81(>-t t ，即810e t <<时，0)(/>t h ，故)(t h 在),0(81e 上递增. 当0)ln 81(<-t t ，即81e t >时，0)(/<t h ，故)(t h 在),(81+∞e 上递减. 所以，)(t h 在81e t =处取得最大值. 所以，当81e a =时，b 取得最大值.7.解：(1)易知函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ ，22/)1(1)2()(-++-=x x x a x x f . 由函数)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内有极值函数，可知方程0)(/=x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内有解，令1)2()(2++-=x a x x g))((βα--=x x ．不妨设e e><<βα,10，又01)0(>=g ， 所以0121)1(2<++-=e a e e g ，解得21-+>e e a . (2)证明 由(1)知0)(/>x f 得α<<x 0或β>x ，0)(/<x f 得1<<x α或β<<x 1，所以函数)(x f 在),(),,0(+∞βα上单调递增，在),1(),1,(βα上单调递减． 由)1,0(1∈x 得1ln )()(1-+=≤αααaf x f ，由),1(2+∞∈x 得1ln )()(2-+=≥βββaf x f ， 所以)()()()(12αβf f x f x f ->-． 由(1)易知2,1+=+=⋅a βαβα， 所以)1)(1(ln 211111lnln )()(---⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=-αββαβαβββαβa a f f ββββββ1ln 2)2(21ln 2-+=+--⋅+=a a .记)(,1ln 2)(e h >-+=βββββ，则0)11(112)(22/>+=++=ββββh ,- 21 - 所以函数)(βh 在),(+∞e 上单调递增， 所以e e e h h x f x f 12)()()()(12-+=>≥-β..。