经典力学的哈密顿理论(精)
哈密顿原理的推导
02 03
广义坐标和广义力
在非完整系统中，广义坐标不再完全独立，需要引入广义力来描述系统 受到的约束反力。哈密顿原理在形式上仍然保持不变，但需要将广义力 纳入考虑。
应用实例
非完整系统广泛存在于实际物理问题中，如滚动摩擦、滑动摩擦等。通 过应用非完整系统的哈密顿原理，可以推导出相应的运动方程，进而分 析系统的动力学行为。
应用实例
相对论性哈密顿原理在宇宙学、黑洞物理等领域具有广泛应用。例如，通过该原理可以推 导出爱因斯坦场方程，描述引力与时空几何的关系。
哈密顿原理在现代物理学中的应用前景
量子力学与量子场论
在量子力学和量子场论中，哈密顿原理提供了从经典到量子的桥梁。通过引入算符和波函数等概念，可以将哈密顿原 理应用于微观粒子的运动规律研究。
主函数$S$是拉格朗日函数$L$对时间$t$的积分，即$S=int_{t_1}^{t_2}Ldt$。
通过变分法求解$delta S=0$，可以得到质点系的真实运动方程，即拉格朗日方程 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}-frac{partial L}{partial q}=0$。
广义相对论与宇宙学
广义相对论是描述引力与时空关系的理论框架，而哈密顿原理为广义相对论提供了变分法的基础。在宇宙学中，利用 哈密顿原理可以研究宇宙的演化、黑洞的性质等问题。
高能物理与粒子物理
在高能物理和粒子物理领域，哈密顿原理可用于描述基本粒子的相互作用和衰变过程。结合实验数据， 可以进一步揭示物质的基本结构和相互作用机制。
在理论物理、应用数学以及工程科学等领域，哈密顿原理都扮演着重要的角色。
哈密顿原理是变分法的一个应用，通过求解最小作用量原理来确定系统的运动方程 。
11哈密顿原理
牛顿三定律 基础理论 力的独立作用原理 基本物理量 基本方程 研究特点
r F
d dt
r mv
r r (m v ) = F
L
d ∂L ∂L = 0 ⋅ − dt ∂ q ∂q
个体逐个研究 （每个质点） 矢量运算+几何 出现约束，直观
整体研究 （自由度） 标量运算+代数 3 不出现约束，抽象
绪论
4
§11-1. 力学系统的约束与广义坐标 一 自由度与约束
&1, y &1 , z &n , y &n , z &1 ,..., x &n ; t) = 0 fβ(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn; x (β = 1,2,…,s)
7
如果在约束方程中不显含时间t,既约束不随时间而 改变,这种约束称为定常约束. 如果在约束方程中显含时间t , 既约束随时间而改变, 这种约束称为非定常约束. 如左图圆周的半径随时间改变 , 约束 方程为x2 + y2 = (r + at)2
δr
B B
δr A dr A
对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随时 间而改变 ,而虚位移与时间无关 , 实位移却与时 间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一.
11
！虚位移是假想的，瞬时的，无限小的，符合约束条件 的位置变更。 ※ 两者区别： 实位移 虚位移 实际的 只有一个 需要时间 假想的 不止一个 瞬时的
x i= xi (q1,q2,…,qk) yi = yi (q1,q2,…,qk) zi = zi (q1,q2,…,qk)
(i =1,2,…,n)
显然质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数 ri=ri(q1,q2,…,qk) (i =1,2,…,n)
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
经典力学的哈密顿理论.
第八章 经典力学的哈密顿理论教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。
教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。
教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。
§8.1 正则共轭坐标坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。
一：坐标的发展历史.1.笛卡儿直角坐标。
为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。
其用z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用k j i,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。
2.极坐标、柱坐标和球坐标。
用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。
在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。
其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v,等物理量。
从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。
另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。
3.广义坐标。
反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。
它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。
广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。
另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。
下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。
二：正则共轭坐标1.拉格朗日函数L 的不确定性如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足拉格朗日方程,0)(11=∂∂-∂∂ααq L q L dt d s ,...2,1=α。
哈密顿力学课件
x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
第19页/共57页
cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
第2页/共57页
1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx
经典力学中的哈密顿力学
经典力学中的哈密顿力学经典力学是研究物体运动的学科，是描述宏观物体运动的物理学分支。
在经典力学中，哈密顿力学是一种与牛顿力学等其他形式的力学相比较而独特的表述方式。
1. 哈密顿力学的定义哈密顿力学是由W.R. Hamilton在19世纪的初期发展起来的。
它是经典力学的一种数学表述方式，而不是新的力学理论。
在哈密顿力学中，对于物体的运动是由哈密顿函数和哈密顿方程来描述的。
哈密顿函数H是一种描述物体状态的函数，它由物体的位置和动量组成。
哈密顿函数可以看作一个确定物体状态的函数，通常情况下，它的定义是：H = T + V，其中T是动能，V是势能。
对于一个系统，T和V是已知的。
哈密顿方程是描述经典力学中物体运动的基本方程之一。
在哈密顿力学中，物体的运动由哈密顿函数和哈密顿方程来描述。
2. 哈密顿力学的应用哈密顿力学的应用范围广泛。
例如，它可以用来描述分子运动、经济系统、天体力学等问题。
在分子运动中，哈密顿力学可以用来计算分子的能量和动量。
在经济系统中，哈密顿力学可以用来描述经济交易和市场价格的变化。
在天体力学中，哈密顿力学可以用来描述行星的运动和轨道。
在物理学中，哈密顿力学的应用也非常重要。
哈密顿力学在量子力学中的应用，特别是在量子场论和量子微扰理论中，是不可缺少的。
3. 哈密顿力学的数学基础哈密顿力学的数学基础是泊松括号。
泊松括号在经典力学中是描述位形和动量演化的工具，它可以用来计算任意两个物理量的变化率。
泊松括号是两个函数的反对称李括号：[f,g] = ∂f/∂q * ∂g/∂p - ∂f/∂p * ∂g/∂q其中，q和p分别为位置和动量，f和g是任意两个函数。
4. 哈密顿力学和其他力学形式的比较哈密顿力学是牛顿力学和拉格朗日力学的补充，它提供了一种更加方便的方式来描述动态系统。
与拉格朗日力学相比，哈密顿力学的优点是它的形式不变性，使其比拉格朗日力学更加容易理解和应用。
5. 结论哈密顿力学是经典力学中的一种表述方式，它通过哈密顿函数和哈密顿方程来描述物体的运动。
第7章 经典力学的哈密顿理论
从物理学的新思想到数学的渗透，量子场 论和弦理论影响了数学的许多分支，得到 了众多的新结果、新思想和新技术。 SimonDona1dson在四维流形方面的工作； Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作； 镜面对称，量子群；“魔群”等。
量子场论和维度
数学研究维数从有限维到无穷维而告终， 在量子场论方面，物理学家试图对广泛的无穷 维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空 间是各类典型的函数空间，它们有复杂的代数、 几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群， 即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大 部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李 群和流形上分析的发展。
Atiyah-Singer指标理论
Atiyah-Singer指标理论的根源RiemannRoch定理和Guass-Bonnet-Chern定理，在 Chern-Weyl示性类下发展起来。 各种量子场论（量子引力，量子规范场， 非线性 ） 用到各种模空间上的积分， 而模空间的结构需要用指标理论来研究，模空 间的积分要用到局域化方法。
1＋1维量子场论
代数几何的计数问题被称为“量子上同调” 的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得 到的． 弯曲族上的曲线的问题，得到了另一个具 有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，
2+1维的量子场论 2-维空间和1-维时间，就可以得到 Vaughan-Jones的扭结不变量理论．这 个理论已经用量子场论的术语给予了很 美妙的解释和分析． 而扭结理论中的Jones多项式和 Witten的拓扑不变量 相联系。而Witten 的理论解决了规范变换。
量子场论
量子场论是量子力学和经典场论相结合的物理理论，已被广泛的应用 于粒子物理学和凝聚态物理学中。量子场论为描述多粒子系统，尤其 是包含粒子产生和湮灭过程的系统，提供了有效的描述框架。非相对 论性的量子场论主要被应用于凝聚态物理学，比如描述超导性的BCS 理论。而相对论性的量子场论则是粒子物理学不可或缺的组成部分。 自然界目前人类所知的有四种基本相互作用：强作用，电磁相互作用， 弱作用，引力。除去引力，另三种相互作用都找到了合适满足特定对 称性的量子场论来描述。强作用有量子色动力学（QCD，Quantum Chromodynamics)；电磁相互作用有量子电动力学（QED,Quantum Electrodynamics)，理论框架建立于1920到1950年间，主要的贡献者 为保罗· 狄拉克，弗拉迪米尔· 福克，沃尔夫冈· 泡利，朝永振一郎，施 温格，理查德· 费曼和迪森等；弱作用有费米点作用理论。后来弱作用 和电磁相互作用实现了形式上的统一，通过希格斯机制（Higgs Mechanism）产生质量，建立了弱电统一的量子规范理论，即GWS （Glashow, Weinberg, Salam）模型。量子场论成为现代理论物理学 的主流方法和工具。
7经典力学的哈密顿理论
H*
H
F3
t
（7.19）
④ 第二类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF3 (q, Q, t )
p
F3 , q
P
F3 Q
（7.15）
满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是：
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF (q, Q,（t ) 7.16）
式中F为正则变换母函数。
由（7.16）式可得
p
F q
,
P
F Q
,
1,2,, s
p
F2 q
,
P
F2 Q
,
1,2,
H*
H
F2
t
③ 第二类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF3 (q, Q, t )
p
F3 q
,
P
F3 Q
,
1,2,
p r
m
（3）
（2）
则哈密顿函数
H p L
[m m( r)] [1 m 2 m ( r) 1 m( r)2 V （4）
2
2
1 m 2 1 m( r)2 V
2
2
（3）式代入（4）式，得
q
p
H p
H q
Q
1,2,s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。
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所以
L p m m( r )
（2 ）
p r m
（ 3）
则哈密顿函数
H p L 1 1 [m m( r )] [ m 2 m ( r ) m( r ) 2 V （4） 2 2 1 1 m 2 m( r ) 2 V 2 2
2 p 1 1 2 2 2 2 r ) ( ) (r ( pr 2 ) 2m r 2m r r
于是得正则方程
H pr r pr m r 2 ) 2 m ( r 2 r H p （径向运动方程） p r r mr 3 r 2
（ 3）
p H p mr 2 p mr 2 常数 （角动量守恒） p H 0
（ 4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。 若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守 恒，则
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
s H H H dH dp dq dt p q t 1 1 s
7 经典力学的哈密顿理论
内容： · 哈密顿正则方程 · 哈密顿原理 · 正则变换
· 哈密顿—雅可比方程
重点： ·哈密顿正则方程
· 正则变换
难点： · 正则变换
在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律 描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂 性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广 义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广 义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐 标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不 同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程， 称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是 等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。 7.1 哈密顿函数和正则方程 （1）哈密顿函数
, q 和t的函数： 拉格朗日函数是 q
s
, q，它的全微分为 L L(q ,t)
s L L L dL dq dq dt t 1 q 1 q
将广义动量和拉格朗日方程：
L 1 2 ) 2 r 2 m( r 2 r
（ 1）
广义动量
pr L p m r , r r r m p L mr 2 , p mr 2
（ 2）
哈密顿函数
H T V (Why ?)
代入上式，得
L) q dq p dq d ( p q
1 1 1
s
s
s
L dt t
（7.1）
式中
，
L H ( p, q, t ) h p q
1
s
（7.2）
是体系的广义能量。由 p
L q ( p, q, t ) , t ) 可以解出 q p (q, q q
（3）式代入（4）式，得
p2 H p ( r ) V 2m
（ 5）
正则方程为
H p ( r) P m H V p p r r
（ 6）
将 p m m r 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程 m m r m m r F
ma F m ( r ) 2m
7.2 哈密顿原理 （1）最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出 一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩 擦地滑下时，以最短时间到达B点。 设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
H q p H p Q q
1,2, s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。 [例1] 写出粒子在中心势场
V 中的哈密顿函数和正则方程。 r
解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？ 粒子的拉格朗日函数为
（7.3）
比较（7.2）和（7.3）式，得
H q p 1,2, s H p q H L t t
（7.4）
（7.5）
（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对 称，结构紧凑。
对于非保守系，正则方程形式为
(dx ) 2 (dy ) 2 1 y' 2 ds 2 gy dx dt dt dt