对“从拉格朗日力学到哈密顿力学”的研究

对“从拉格朗日力学到哈密顿力学”的研究----2010应用物理学专业----王兵本文从达朗贝尔原理出发，导出拉格朗日方程，进而得到哈密顿力学,最后再讨论两者之间的统一性，共包含三大部分。

一 拉格朗日力学体系的形成已知达朗贝尔公式：0)(1=⋅-∑=iii ni ir m F r δ（1） 仔细观察我们发现达朗贝尔公式存在如下不足：1.对于一个力学系统共含有n 个部分，单是对矢径r 共需要至少考虑3n 次，由此可见此法考虑的相关量较多，实际问题中比较复杂。

2.始终存在矢量，因此在处理过程中也会增加复杂程度。

针对以上问题，我们提出一种新的思路或方法：1.能将n 个整体量的研究转化为对另外s 个部分量(广义坐标)的研究, 从而使问题简化。

但是对这n 个量的研究意义等价于对这s 个部分量(广义坐标)的研究.2.能实现将矢量的研究转化为对标量的研究。

基于上面的分析讨论，我们将广义坐标引入,并对达朗贝尔公式做如下修正： 基本关系式：),,,,(21t q q q r r i i α⋅⋅⋅⋅⋅⋅= s ,,2,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α由此得到： αααδδq q r r sii ∑=∂∂=1 （2） 首先我们将达朗贝尔公式作如下分解：0)(111=⋅-⋅=⋅-∑∑∑===iini i in i iiii n i ir r m r F r r m F δδδ接下来将（2）式分别中的两部分分别研究：第一部分：ini ir F δ⋅∑=1将（2）式代入有：ααααααααδδδδαq Q q q r F q F r F sis ni i sq r n i iin i ii∑∑∑∑∑∑====∂∂===⋅∂∂⋅=⋅=⋅111111)()( （3）式中：ααq r F Q ini i ∂∂⋅=∑-1，由于其具有力的量纲，所以称其为广义力。

第二步分：iini i r r m δ⋅∑=1首先将（2）式代入：ααααααδδq q r r m q q r r m iis n i i si i ni i ⋅∂∂⋅=∂∂⋅∑∑∑∑====)()(1111 （4） 式中存在两阶全导数，而且还有矢量，而且还有质量。

因此我们尝试将其转化为动能，因此首先想到将其降阶处理，所以尝试用分部求导法，并将括号内的部分提取出来单独研究：)(d d )(d d 111αααq r t r m q r r t m q r r m i in i i i i n i i i i ni i ∂∂⋅-∂∂⋅=∂∂⋅∑∑∑=== （5） 观察发现上式两部分中均含有i r，为了能将其放入到偏导符号内部，我们需要将偏导符号内部的i r 转化为i r，所以我们尝试做如下分析： 假设有22y x r i+=（1）由上式可直接得到：x xr i2=∂∂，x x ri ⋅=2 再有：x xri 2=∂∂ 结果我们发现如下关系式： x r xri i ∂∂=∂∂因此，我们猜测：ββq rqr i i ∂∂=∂∂ （6）（2）已知x x r i2=∂∂，x x ri ⋅=2 则：x xr t i2)(d d =∂∂再有：x xri 2=∂∂ 我们仍可以发现：xrx r t i i ∂∂=∂∂ )(d d同样给出猜测：ββq rq r t i i ∂∂=∂∂ )(d d （7）接下来，我们分别给出（6）和（7）式的证明：证：我们已知αααqq r t r r si i i ∑=∂∂+∂∂=1 首先将上式代入（6）式得：αβααααααββq rqq q r q q r t r q q r isi s i i i ∂∂=∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∑∑== 11)( 证毕再将其代入（7）式得：)(d d )()()(11βαβααβαεαββq rt qq r q q r t q q r t r q q r i i s i s i i i ∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∑∑== 证毕 现在我们将（6），（7）两式均代入（5）式得：αααααααααq Tq T t q r m q r m t q rr m q r r t m q r t r m q r r t m q r r m ni i i ni i i i ini i i i n i i i i n i i i i n i i i i ni i ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂⋅-∂∂⋅=∂∂⋅-∂∂⋅=∂∂⋅∑∑∑∑∑∑∑=======d d )())((d d )(d d )(d d )(d d 1221122111111式中；221i i r m T =，为广义动能。

将上式代入（4）式后，再与（3）式一起代入：0)(111=⋅-⋅=⋅-∑∑∑===iini i in i iiii n i ir r m r F r r m F δδδ得：0)d d (1=⋅∂∂+∂∂-∑=sq q TqT t Q αααααδ 又由于αδq 通常不为零,所以括号内部应等于零:αααQ q TqT t =∂∂-∂∂ d d ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α （8）通常将这一方程组称之为完整系统下的拉格朗日方程。

基于拉格朗日方程，我们考虑主动力全是保守力的情况：首先我们知道当主动力全是保守力时，存在势能函数),,,,(21t r r r V n ⋅⋅⋅，使得：V F i i -∇= 由广义力的基本关系式得：ααααααααααq V q z z V q y y V q x x V k q z j q y i q x k z V j y V i x V q rV q r F Q i i i i i i ni i i i i i ni ini ii i ni i ∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂⋅∇-=∂∂⋅=∑∑∑∑====)())((1111将上式代入拉格朗日方程可以得到：0)(d d =∂-∂-∂∂ααq V T q T t ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α 而势能通常只是广义坐标的函数而与广义速度无关，所以上式又可以改写为：0)()(d d =∂-∂-∂-∂ααq V T q V T t ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α 将上式括号中的部分定义为拉格朗日函数，则：V T L -=这样我们就可以得到完整系统下，主动力全是保守力的拉格朗日方程：0d d =∂∂-∂∂ααq L qL t ),,2,1(s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α （9） 这里通常将αq L ∂∂定义为广义动量，记作：ααq L p ∂∂=，而αq L∂∂称之为拉格朗日力。

针对（9）式，我们做如下讨论：1.如果拉格朗日函数不显含广义坐标，即0=∂∂αq L则有：0d d =∂∂αqLt即：C qLp =∂∂=αα （常数） 所以就有广义动量守恒。

2.将拉格朗日函数对时间求全导数得：t qq L q q L t L t L ss d d d d 11αααααα ∑∑==∂∂+∂∂+∂∂=在主动力全是保守力的情况下，利用拉格朗日函数0d d =∂∂-∂∂ααq L qL t 得到： )(d d d d )(d d d d 111∑∑∑===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=s ss q q L t t L tqq L q q L t t L t L ααααααααα 将广义动量带入可得：tLL qp t s ∂∂-=-∑=)(d d 1ααα 定义广义能量函数：L qp H s-=∑=ααα 1这样就可以得到：tLt H ∂∂-=d d 如果拉格朗日函数不显含时间，则：0=∂∂tL那么就可以得到广义能量积分：=H 常数为了弄清楚广义能量函数的意义，接下来作如下讨论：首先，我们先证明齐次函数的欧拉定理：mf xx fini i=∂∂∑=1已知f 是m 次齐次多项式。

证：因为f 是m 次齐次多项式，所以f可以表示为k l k n i m ii x f )(11∑∏===，且m m ni i =∑=1mfm f f m x x f f m x m x x f x m x f ni i n i i ni i ii k l k n i m i i i i klk n i m i i i i i ===∂∂∴==∂∂∴=∂∂∴∑∑∑∑∏∑∏=======-11111111)()()( 证毕接下来我们考虑广义能量函数,首先假设势能与广义速度无关，此时我们可以用tL∂∂代替tH∂∂. 如果变换式)(q r r i i =不显含时间，则：αααq q r rsii ∑=∂∂=1 于是;βαβαβαβββαααq qq rq r m q q r q rq m r rm T i n i s si i sii sn i i i i i ni ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=⋅=∑∑∑∑∑∑∑=======1111111212121这是广义坐标的二次齐次多项式，依据齐次函数的欧拉定理可以得到：T q Ts21=∂∂∑=αα由此，我们可以得到广义能量函数：V T V T T L T H +=+-=-=22如果约束是非定常的，用同样的方式也可得到相应的广义能量函数。

到此，拉格朗日力学的体系基本已经形成。

最后，我再谈谈我个人对广义力，广义动量等的理解；首先，对于这些广义量，它们都分别具有与相应量相同的量纲。

而且其并不是表示一种量，而是一类量。

比如广义动量就包含我们常见的角动量，通常的动量等等。

再者，我认为这些广义力并没有什么实在的物理意义，而是人们在用数学解决物理问题时产生的一种产物，仅仅是一种数学形式。

二 哈密顿力学体系的建立首先，我们先思考这样一个问题:“为什么拉格朗日函数与哈密顿函数都是一个三元函数？”从哲学里我们知道：时空具有不可分割性，即时间和空间是辩证统一的！而物质存在于时空之中，但物质与时空也是辩证统一的。

换句话说，空间总是充实的空间，绝不能和充实于其中的物质分离开，即不存在抽象的绝对空间。

因此，物质存在必然也具有时空特性，这是物质存在的基本属性之一。

然而事物存在并不是孤立的，其必然存在着和其他事物的相互作用。

即在物理学中，我们除了研究物质的时空特性之外，还要考虑其与其他物质的相互作用。

（在此我们以力学系统为例，即要考虑物体之间的机械相互作用）所以我们在研究力学系统的时候必须以这两大性质或量去描述力学系统。

换句话说用于描述物体运动状态的函数必须是二元函数。

但由于在通常情况下我们不将时间和空间看成是统一的，所以在研究时将时间与空间分开。

因此直接导致了拉格朗如函数和哈密顿函数是三元函数。

在上面的讨论中，我们已经知道：在研究力学系统时，除了时空特性，还要考虑机械相互作用。

可以发现在拉格朗日函数和哈密顿函数中分别用速度和动量来描述机械相互作用。