经典力学的哈密顿理论.
经典力学的哈密顿原理
经典力学的哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一项重要的基本原理，它为我们理解物理世界中的运动提供了一种非常独特而深入的视角。
它的提出与发展历程虽然百年有余，但对于理论物理学的研究和应用至今仍具有重要的价值。
哈密顿原理最早由法国数学家勒让德在19世纪初提出。
它与之前所熟知的拉格朗日动力学原理相似，都是描述力学系统的最优运动路径。
然而，哈密顿原理比拉格朗日原理更为普适，它通过引入哈密顿函数和广义动量，将力学系统的演化描述为在一个能量守恒的相空间中的运动。
哈密顿原理的核心思想是，物体的运动路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是动力学系统在一段时间内的能量积累，它由广义坐标和广义动量构成的哈密顿量对时间的积分得到。
具体而言，对于一个自由度为N的力学系统，其哈密顿量可以表示为H = p*q - L，其中p是广义动量，q是广义坐标，L是拉格朗日量。
哈密顿原理的应用十分广泛。
当我们将系统的哈密顿量对广义坐标和广义动量求偏导数，可以得到系统的哈密顿方程，即dq/dt = ∂H/∂p，dp/dt = -∂H/∂q。
这两个方程描述了系统在相空间中的轨迹，可以用来推导出经典力学中的牛顿运动定律。
此外，哈密顿原理还被应用于统计力学、量子力学等领域，为研究其他物理理论提供了基础。
在实际应用中，哈密顿原理为我们提供了一种非常有效的数学工具，能够帮助我们推导出物体在复杂力场中的运动方程。
通过对作用量的最小化，我们可以获得物体的最优轨迹，从而预测和解释实验现象。
例如，当我们想要分析自由下落物体的运动时，哈密顿原理可以帮助我们求解出在重力场中物体的运动轨迹。
不仅如此，哈密顿原理的推广和拓展还给理论物理学的发展带来了多个重要的数学工具。
例如，哈密顿形式的动力学不仅适用于经典力学，还可以推广到场论、相对论和量子力学等更高级的物理理论中。
这种抽象的数学框架使得我们可以统一描述多个领域的力学系统，并且能够更深入地理解物理世界的规律。
总之，哈密顿原理在经典力学中具有重要的地位和价值。
哈密顿定理
哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。
它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。
定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。
定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。
在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。
根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。
同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。
这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。
哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。
通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。
这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。
这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。
2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。
通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。
如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。
而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。
这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。
3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。
哈密顿原理的应用例子
哈密顿原理的应用例子一、什么是哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理，描述了自然界中各种物理系统的运动规律。
它起源于数学家威廉·哈密顿的研究，也称为最小作用量原理。
哈密顿原理通过对系统的所有可能路径进行比较，找到系统运动的真实路径，从而得到最小作用量原理。
二、哈密顿原理的应用例子1. 光的传播路径假设有一个具有两个不同介质的透明介质界面，光从一个介质传播到另一个介质。
根据哈密顿原理，光的传播路径满足最小作用量原理。
这里的作用量是指光在传播过程中光程的积分。
光的传播路径应满足以下条件：•光线传播的路径必须满足费马原理，即光线传播的路径是光程的极值路径；•光的传播路径必须满足最小作用量原理，即光的光程在所有可能路径中取得极值。
通过应用哈密顿原理，可以求解光的传播路径，从而揭示光在界面传播的规律。
2. 量子力学中的路径积分在量子力学中，粒子的运动可以用路径积分来描述。
路径积分是一种数学工具，通过将粒子在各个可能路径上的振幅相加，来得到粒子的全体运动。
哈密顿原理在量子力学中被拓展为路径积分的形式。
应用哈密顿原理的路径积分形式可以得到以下结论：•粒子在各个可能路径上的振幅相加，得到了粒子的全体运动；•粒子的运动路径满足最小作用量原理，即粒子的作用量在所有可能路径中取得极值。
路径积分理论是现代量子力学的基石之一，它可以用来描述和计算微观粒子的行为。
3. 经典力学中的质点运动在经典力学中，物体的运动可以使用拉格朗日力学或哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是经典力学中的一种有效工具，基于哈密顿原理进行建模和计算。
哈密顿原理在经典力学中的应用可总结为：•哈密顿原理可以用于描述质点在给定势能场中的运动；•通过求解哈密顿原理，可以得到物体的运动方程和运动轨迹。
哈密顿力学在物体的运动描述和机械系统分析中具有广泛的应用。
4. 量子场论中的路径积分在量子场论中，我们可以将经典场进行量子化，并通过路径积分来解析量子场的运动。
经典力学的哈密顿理论课件
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
四大经典力学
四大经典力学
1. 牛顿力学
牛顿力学是最为经典的力学理论之一，描述了在经典物理学范畴内物体如何运动以及为什么会运动。
牛顿力学的基本前提是，物体保持相对静止或匀速直线运动，直到有外力施加才会改变。
2. 拉格朗日力学
拉格朗日力学是一种更为抽象和普遍的力学理论，它以能量为基础，通过最小作用原理来描述物体的运动。
相比于牛顿力学，拉格朗日力学更加简洁明了，在描述一些更加复杂的系统时更为方便。
3. 哈密顿力学
哈密顿力学在数学框架上类似于拉格朗日力学，但它更加关注动量和位置间的关系。
哈密顿力学是量子力学理论的重要基础，因此被认为是非常重要的物理学分支。
4. 相对论
相对论是相对于牛顿力学而言的一种全新的理论，它描述了大量高速运动和重力区域内的物理现象，其中包括了众所周知的质能等价原理。
相对论由爱因斯坦提出，划分为狭义相对论和广义相对论两个主要部分。
哈密顿凯莱定理的应用
哈密顿凯莱定理的应用哈密顿凯莱定理是经典力学中的一项重要定理，它可以用于描述质点在力场中运动的性质。
这个定理的应用广泛，为我们理解和研究物体运动提供了有力的工具。
本文将介绍哈密顿凯莱定理的应用，帮助读者更好地理解并应用这个定理。
一、哈密顿凯莱定理简介哈密顿凯莱定理是经典力学中的一个基本定理，它是质点运动的一个重要定理，可以用于描述质点在力场中的运动。
该定理的基本内容是：在保守力场中，质点的轨迹满足哈密顿凯莱方程，即质点的动能与势能之和保持不变。
二、哈密顿凯莱定理的应用1. 动力学系统的稳定性分析哈密顿凯莱定理可以用于分析动力学系统的稳定性。
对于一个动力学系统，我们可以通过求解哈密顿凯莱方程，得到系统的运动轨迹。
通过分析轨迹的形状和性质，我们可以判断系统是否稳定。
如果系统的轨迹是有界的，不会发散或趋近于无穷远，那么该系统是稳定的。
2. 能量守恒定律的应用哈密顿凯莱定理可以用于推导能量守恒定律。
在保守力场中，质点的总能量等于其动能与势能之和，而根据哈密顿凯莱定理，质点的动能与势能之和保持不变。
因此，质点的总能量在运动过程中保持不变，即能量守恒。
3. 动力学系统的模拟与预测哈密顿凯莱定理可以用于模拟和预测动力学系统的运动。
通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹。
根据这些轨迹，我们可以对系统的未来状态进行预测。
这在很多领域都有重要应用，比如天体力学中对行星轨道的预测，以及工程中对机械系统的模拟和设计。
4. 动力学系统的优化设计哈密顿凯莱定理可以用于优化设计动力学系统。
通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹和能量变化情况。
根据这些信息，我们可以优化系统的结构和参数，使系统的能量损失最小，运动效率最高。
5. 弹性碰撞问题的求解哈密顿凯莱定理可以用于求解弹性碰撞问题。
在弹性碰撞过程中，质点的动能和势能会发生变化。
通过应用哈密顿凯莱定理，我们可以求解碰撞前后质点的速度和能量变化情况，从而得到碰撞的结果。
经典力学中的哈密顿量和拉格朗日量
经典力学中的哈密顿量和拉格朗日量经典力学是物理学中最基础、最重要的分支，它涉及到的问题包括运动学、动力学、能量守恒等等。
在经典力学中，哈密顿量和拉格朗日量是两个非常重要的概念，它们在研究物体运动时起着至关重要的作用。
一、哈密顿量哈密顿量最初是由高斯和哈密顿独立提出的，它是描述物理体系在给定的一组坐标系下的能量总和，计算公式为：H = T + V，其中T是物体的动能，V是物体的势能。
哈密顿量的物理意义就是能量守恒定律，它表示一个物体对于力的响应，可以用它的能量来描述一个系统的运动。
哈密顿量也可以描述一个系统的演化规律，通过它可以计算出一个物体在不同时间点上的状态，我们可以通过哈密顿量来预测未来的情况。
在量子力学中，哈密顿量扮演着非常重要的角色，它被用来研究粒子的能级、波函数等等。
二、拉格朗日量拉格朗日量是描述粒子运动和作用的数学量，它是根据势能函数和运动函数的关系来计算的。
拉格朗日量常常被用来描述稳定的、不经常发生变化的系统，它是一个宏观体系的经典力学的核心，被广泛应用于物理、化学、材料科学等领域。
在拉格朗日量的计算中，通常需要将物理体系分解为多个系统，然后将每个系统的能量分别计算，最后将它们汇总起来。
拉格朗日量的计算过程比较复杂，通常需要用到微积分、变分法等高级数学方法。
三、哈密顿量与拉格朗日量的关系哈密顿量和拉格朗日量是两个不同的物理概念，它们分别描述了物理体系的不同方面。
哈密顿量和拉格朗日量之间存在着一定的关系，这个关系可以通过勒让德变换来实现。
勒让德变换是一种常用的数学方法，它可以将哈密顿量和拉格朗日量之间转化，其中一个物理量的表达式就是另一个物理量经过变换之后的结果。
通过勒让德变换将哈密顿量和拉格朗日量转化之后，我们就可以从两种不同的角度来研究物理体系，更加深入地理解它们的运动规律、性质等等。
总结：哈密顿量和拉格朗日量是经典力学中的两个重要概念，它们分别描述了物理体系的不同方面。
哈密顿量是关于动能和势能的函数，它描述了物体对于力的响应和演化规律；拉格朗日量是描述粒子运动和作用的数学量，常常被用来描述稳定的、不经常发生变化的系统。
经典力学的拉格朗日与哈密顿形式
经典力学的拉格朗日与哈密顿形式经典力学是物理学中的一个重要分支，用来研究物体在作运动时的力学规律。
在经典力学的发展历程中，拉格朗日力学和哈密顿力学是两个基本的理论框架。
本文将对拉格朗日力学和哈密顿力学的基本概念、原理和应用进行介绍。
一、拉格朗日力学拉格朗日力学是由意大利数学家拉格朗日于18世纪提出的一种描述力学系统的方法。
它基于一个称为“拉格朗日函数”的函数来描述物体的运动。
拉格朗日函数由广义坐标和广义速度构成，具体形式为L(q, ẋ)，其中q表示广义坐标，ẋ表示广义速度。
在拉格朗日力学中，通过引入一个称为“作用量”的量来描述系统的运动。
作用量定义为物体在运动过程中受到的广义力与广义坐标变化的积分，即S = ∫L(q, ẋ)dt。
拉格朗日原理指出，物体在运动时，其实际路径是使作用量S取极值的路径。
通过应用拉格朗日原理，可以得到运动方程及其解。
对于单个质点的运动，拉格朗日力学方程可以写为∂L/∂q - d(∂L/∂ẋ)/dt = 0。
对于多个质点的系统，可以将拉格朗日函数写为各质点的质量、速度以及势能、动能的函数，并将系统的位形空间表示为广义坐标的空间。
拉格朗日力学具有坐标变换不变性、方程形式简洁等优点，适用于描述各种复杂力学系统的运动。
二、哈密顿力学哈密顿力学是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的一种力学描述方法。
它是拉格朗日力学的一种等价形式，通过引入广义动量，将力学系统的描述从坐标空间转化为相空间。
在哈密顿力学中，广义动量定义为p = (∂L/∂ẋ)，并利用广义动量和广义坐标构成哈密顿函数H(q, p)。
哈密顿函数描述了系统的总能量，并在相空间中表示系统的状态。
利用哈密顿原理，可以推导出哈密顿力学的运动方程，即哈密顿正则方程。
对于单个质点的运动，哈密顿正则方程写为dq/dt = (∂H/∂p)，dp/dt = - (∂H/∂q)。
对于多个质点的系统，可以将哈密顿函数表示为各质点坐标、动量以及势能、动能的函数。
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第八章 经典力学的哈密顿理论教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。
教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。
教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。
§8.1 正则共轭坐标坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。
一：坐标的发展历史.1.笛卡儿直角坐标。
为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。
其用z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用k j i,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。
2.极坐标、柱坐标和球坐标。
用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。
在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。
其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v,等物理量。
从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。
另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。
3.广义坐标。
反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。
它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。
广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。
另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。
下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。
二：正则共轭坐标1.拉格朗日函数L 的不确定性如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足拉格朗日方程,0)(11=∂∂-∂∂ααq L q L dt d s ,...2,1=α。
那么可证明dtt q df t q q L t qq L ),(),,(),,(12ααααα+= 也必然满足拉格朗日方程。
证明：为了简单起见我们假设广义坐标q 只有一个，即s=1，因t fq q f dt t q df ∂∂+∂∂= ),(，q t f q qf dt t q df q ∂∂∂+∂∂=∂∂∴222]),([ ， qt fq q f q f dt d dt t q df q dt d ∂∂∂+∂∂=∂∂=∂∂222)()]),(([ 。
将L 2代入拉格朗日方程左边可得0)(]),([)]),(([)()(111122=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ααααααq L q L dt d dt t q df q dt t q df q dt d q L q L dt d q L q L dt d ， 即L 2与同样L 1满足拉格朗日方程。
因此可以看出虽然L 2≠L 1，但二着均能满足拉格朗日方程且得到的微分方程是完全一致。
所以说，在经典力学中一个力学体系的L 并不是唯一的，它们之间可以相差一项dtt q df ),(α。
以前我们定义L=T-V 只是这种情况较简单而已，也就是说L 具有不确定性， 2.广义动量αp 的不确定性如果我们定义L=T-V ，那么由ααqLp ∂∂=得到的αp 与αq 将有一一对应的关系。
但如果我们定义满足拉格朗日方程的L 均为拉格朗日函数，那么由ααqLp ∂∂=得到的αp 与αq 将无对应关系。
原因就是附加项dtt q df ),(α中同样含有αq项，所以可以说由此得到的αp 与αq 是相互独立的。
比较的这两种定义，显然后者更具有理论和实用价值。
3.正则共轭坐标在保持广义坐标αq 的定义和广义动量ααq Lp ∂∂=的定义不变的基础上，对),(t q f α也不做任何限制，可以使αp 与αq 保持相互独立，因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态，这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。
用这种坐标为基础在分析力学中开拓了一片崭新的领域—哈密顿正则方程和哈密顿原理等。
这些结论最终又推广到了物理学别的领域并取得了很大的成就。
三：本节重点：正则共轭坐标（αp ，αq ）的物理意义。
§8.2 哈密顿函数和正则方程哈密顿正则方程的建立可以有多种途径，本节我们准备从拉格朗日方程入手建立它。
一：哈密顿函数H.1. H 的定义：用2S 个变量),(ααq p 表示的广义能量),(1αααααq p H L qp H s=-=∑=被称为哈密顿函数。
下面我们来证明这种表示法是可行的。
证明：由),,(t qq L αα 可得dt t Ldq q L q d q L dL ss∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==11αααααα ， 另由拉格朗日方程得)(ααq L dt d q L ∂∂=∂∂αααp p dtdq L ==∂∂⇒)(。
所以dL 的上述表达式可改写为：dt tLdq p qd p dL ss ∂∂++=∑∑==11αααααα ○1 另外∑∑∑===+=sssdp q q d p q p d 111)(ααααααααα ○2由○2—○1可得 dt tLdq p dp q L qp d sss∂∂--=-∑∑∑===111)(ααααααααα （2.1） 因广义能量∑=-=sL qp H 1ααα ，所以上式实际上可写成dt tLdq p dp q dH ss∂∂--=∑∑==11αααααα 。
在上述∑=-=sL q p H 1ααα 的表达式可见其中有αααq q p ,, 共3s 变量，但独立的变量只有2s 个。
由（2.1）式可以看出可以选用2S 个ααq p ,做为独立变量将H 写成),(ααq p H H =。
原式中的αq可以由),,(),,(t qq p p qt qq L p αααααααα =⇒∂∂=中解出),,(t p q q q αααα =，代回∑=-=sL q p H 1ααα 中即可得到∑=-=sL q p H 1ααα ，其中L q,α表示这些量是（ααq p ,）的函数。
2. 哈密顿函数H 的常用求法.（1）由定义直接求出。
在确定体系的广义坐标后αq ，先求出),,(t qq L L αα =，接着由),,(),,(t qq p p qt qq L p αααααααα =⇒∂∂=中解出),,(t p q q q αααα =，代入),,(t q q L αα 中消去αq 可得),,(t p q L L αα =。
将),,(t p q q qαααα=、),,(t p q L L αα =代入H 的定义式∑=-=s L q p H 1ααα 最终可得),,(t p q H H αα=。
（2）由能量守恒求出。
当体系所受的约束为稳定约束时，广义能量H 就为体系的能量E（见§2.7对称性和守恒定律），因此可利用V T E H+==直接求出哈密顿函数H 。
但注意式中的V T,应为正则共轭坐标（αp ，αq ）的函数，即),,(),,(),,(t q p V t q p T t q p H αααααα +=。
V T,的表示方法与方法（1）类似，即先求出),,(t qq L L αα =，再求出),,(t q q p p αααα =，解出),,(t p q q q αααα=后代入),,(t q q L αα 、),(ααq q V 中消去αq 就可得),,(t p q L L αα =、),(ααp q V V=。
二：哈密顿正则方程 1.正则方程由),,(t q p H H αα=求H 的微分可得 dt t Hdq q H dp p H dH ss∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==11αααααα （2.4） 比较（2.1）、（2.4）两式可见⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂=t Lt H q H p p H q ,αααα s ...2,1=α （2.5）（2.5）式即为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程或正则方程。
2.正则方程和拉格朗日方程的比较。
正则方程和拉格朗日方程一样都是力学体系的运动方程，不同之处是前者是2s 个一阶微分方程而后者是s 个二阶微分方程，如果单从数学上讲二者是等价的，但显然求解2s 个一阶微分方程比求解s 个二阶微分方程更简单一些。
另外由于前者对于自变量),(ααq p 而言形式是对称的，也就是形式上更优美一些，所以被称为正则方程，),(ααq p 也被称为正则变量。
3.H 守恒的条件由t H q q H p p H dt dH ss ∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==11αααααα ，将正则方程ααααq Hp p H q ∂∂-=∂∂= ,代入可得t H dt dH t H p q q p dt dH ss ∂∂=⇒∂∂++-=∑∑==11αααααα 。
另外因t L t H ∂∂-=∂∂，所以有t Lt H dt dH ∂∂-=∂∂=。
从上式可以看出当0=∂∂-=∂∂t L t H 即H 或L 中不含时间t 时，有0=dtdH即C H =，这一点正好与§2.7节的结论一致。
4.正则方程的推广实际上L 、H 还可能含有别的各种参数，这些参数可能是力学体系本身的特性，也可能是作用在体系上的外场的特性。
设λ为这些参数中的某一个如E 、B 或g 等，则有),,,(t qq L L λαα =， dt t Ld L q d p dq q L dt d dt t L d L q d q L dq q L dL ss s s∂∂+∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑∑∑∑====λλλλαααααααααααα1111)]([ dt t Ld L q d p dq p dL ss∂∂+∂∂++=⇒∑∑==λλαααααα11 ，将其代入dL qp d dH s-=∑=)(1ααα 可得 dt tL d L dq p dp qdH ss ∂∂-∂∂--=∑∑==λλαααααα11， ○A 另一方面有dt t Hd H dq q H dp p H t q p dH s s∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==λλλαααααααα11),,,(，将正则方程代入可得 dt tLd H dq p dp qt q p dH ss ∂∂-∂∂+-=∑∑==λλλαααααααα11),,,( ○B对比○A ○B 可得q q q p L H ,,)()(λλ∂∂-=∂∂，由此可见q q qp tLt H ,,)()(∂∂-=∂∂只是该式的一个特例而已。