理论力学 第七章
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理论力学第7章
理论力学第7章
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点，
动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点，
动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点，
摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
r
r
y x si n y co r s 1 co v s tsi ω n rt sivn c tω ost
理论力学r 第 7章
r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
z
O x
绝对运动
M'
M2 v a
相对运动vrFra bibliotekveM1
M
y
牵连点的运动
理论力学第7章
点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
第七章点的合成运动71相对运动牵连运动绝对运动72点的速度合成定理73牵连运动是平移时点的加速度合成定理74牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理科氏加速度理解相对运动绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义恰当选择动点动系熟练应用点的速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动；
2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
（1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点，
动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点，
动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点，
摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
r
r
y x si n y co r s 1 co v s tsi ω n rt sivn c tω ost
理论力学r 第 7章
r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
z
O x
绝对运动
M'
M2 v a
相对运动vrFra bibliotekveM1
M
y
牵连点的运动
理论力学第7章
点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
第七章点的合成运动71相对运动牵连运动绝对运动72点的速度合成定理73牵连运动是平移时点的加速度合成定理74牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理科氏加速度理解相对运动绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义恰当选择动点动系熟练应用点的速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动；
2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
（1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。
理论力学第七篇_复合运动
例： 刨床急回机构。曲柄长OA r , 两轴间
距杆的oo角1 速 度l 。w求1 。当曲柄在水平位置时摇
wo
w1
o1
步 骤:
运
速
动
度
分
分
析
析
va ve vr
wo
y 解：动点：滑块A；
va B
动系：固连在摇杆O1B上；
vr
ve A
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：转动。
va ve vr
t0 t
t0 t
t0 t
aa
lim
t 0
va ' va t
ar
lim vr
t 0
' vr1 t
ae
lim
t 0
ve1 ve t
lim vr ' vr lim vr ' vr1 vr1 vr
t0 t
t 0
t
ar
lim vr1 vr t0 t
ar w vr
lim ve ' ve lim ve ' ve1 ve1 ve
牵连运动：平动
aa ae ar
arn
vr2 R
vr
ve
sin
v
sin
arn
1 R
v2
sin2
aa ae ar arn
vr
va
ve
aa sin ae cos arn
aa
1
sin
a
cos
v2
R sin2
actg
v2
R sin3
例2 已知曲柄转动的匀角速度为w, OAr,
OO1 =l, 求当OA处于水平时摇杆O1B的 加速度
理论力学第七章
12
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
理论力学第七章摩擦课件
>>摩擦力与摩擦角
当物体A保持静止并且临界状态为先滑动时，只要保证所有主动
外力的合力与公法线的夹角小于等于摩擦角m，则无论外力多大，
全约束反力总可以与其形成平衡，而不会滑动。这种现象称为自锁 现象。如果主动力合力的作用线位于摩擦锥以外，则无论力多小， 物体都不能保持平衡。
7.2 考虑摩擦时物体系统的平衡
F
F4
b cos h sin a cos
W 2
1m cos20 2m sin20 200 kN
1.8m cos30
2
104 .2kN
综合以上四个结果，可得系统保持平衡时，拉力F的取值范围为
40.2 kN F1 F F4 104 .2 kN
>> 考虑摩擦时物体系统的平衡
例7-4 等厚均质矩形体A和B，如图7.14 所示。A重20kN，A与铅垂墙间是光 滑的，A与B和B与水平固定面间的摩 擦系数均为fs。试求系统平衡时fs至 少应为多大？B的重量W2至少应为多 少？
(2) 当物体处于向上滑动的临界状态时，摩擦力方向与图（b）所示的 摩擦力方向相反。
F
F2
sin cos
f f
cos sin
W
sin 20 0.2 cos 20 200 kN cos30 0.2 sin 30
109 .7 kN
(3) 当物体处于绕O点翻倒的临界状态时，此时有：x=0
Fy 0 FNB W 0 (c)
求解可得：
FNB
W cos 2 s in
Fs
W cos 2 s in
>> 考虑摩擦时物体系统的平衡
（2）这属于平衡的临界状态。首先
求角度的最小值，此时梯子的受力
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
理论力学第七章
dLC dt
7-2 惯性力系的简化
7-2-2 刚体惯性力系的简化 1.平面运动 ①一般情形
FIR maC , M I C dLC dt (LC J xz i J yz j J z k )
②主平面情形(如质量对称面)
LC J C ω , M IC J C α
e
Fi FI i 0
质点系达朗贝尔原理
即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理
可列6个独立投影方程
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 问题 已知 m,l,θ,ω, AB h, 求A，B处动约束力。 加惯性力，受力如图。 由动平衡
FA
A
M 0,有
ml sin2
2 2
ml sin
l
2
mg
l
2
FA FB
O
h
ml sin
mg
B
FB
考虑斜杆质量时，结果如何?
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-2 惯性力系的简化
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 7-2-2 刚体惯性力系的简化
第七章 达朗贝尔原理
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 1.主矢:
FIR FIi mi ai m aC
与质点系运动形式无关 2.主矩: ①对固定点O
M O FI i M O F
e
且 M F
e O
dLO dt
故 M I O M O FI i
dLO dt
与质点系的分布及运动形式相关 同理 M I C
7-2 惯性力系的简化
7-2-2 刚体惯性力系的简化 1.平面运动 ①一般情形
FIR maC , M I C dLC dt (LC J xz i J yz j J z k )
②主平面情形(如质量对称面)
LC J C ω , M IC J C α
e
Fi FI i 0
质点系达朗贝尔原理
即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理
可列6个独立投影方程
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 问题 已知 m,l,θ,ω, AB h, 求A，B处动约束力。 加惯性力，受力如图。 由动平衡
FA
A
M 0,有
ml sin2
2 2
ml sin
l
2
mg
l
2
FA FB
O
h
ml sin
mg
B
FB
考虑斜杆质量时，结果如何?
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-2 惯性力系的简化
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 7-2-2 刚体惯性力系的简化
第七章 达朗贝尔原理
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 1.主矢:
FIR FIi mi ai m aC
与质点系运动形式无关 2.主矩: ①对固定点O
M O FI i M O F
e
且 M F
e O
dLO dt
故 M I O M O FI i
dLO dt
与质点系的分布及运动形式相关 同理 M I C
理论力学第7章(点的合成运动)
（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学第七章
确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。
例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
趋行及半，小奚扑，束断书崩，啼 未即起。理书就束，而前门已牡下矣。 予爽然思渡者言近道。天下之以躁急 自败，穷暮而无所归宿者，其犹是也 夫？其犹是也夫！（选自《清代五十 家文选》周容）
0= 0，02
4g l
则其解为
0
cos
2
进行运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
A
O
l
m
N
最高点位非稳定平衡点，可能出现三种运动情况：
A
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回； c. 越过该顶点继续向前运动。
O
l
m
N
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下， 其解可能具有不可预测的随机性。
& 相轨线
&
2
2n
2(n 1)
三维相空间
&
相轨线
2n
环形相空间
★通过分析相轨线在庞加莱截面上的交点的分布
规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程
中系统的运动规律。
时间序列 相图
阻尼运动 周期运动 多周期运动 混沌运动
讨论：
●单周期振动，每隔2运动状态复原，即
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r11 vA v A vB vB r2 2
1 r2 i12 2 r1
§7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量 角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线滑动矢量 指向 右手螺旋规则
§7-2
1 定义其扩展部分)两点保持不动， 称为定轴转动 转轴 ： 两点连线 转角
2
运动方程
f t
3.角速度和角加速度
d d 大小： 角速度 dt dt 方向：逆时针为正 d d 2 角加速度 2 dt dt d 0 t 匀速转动 0 dt d 匀变速转动 cont
0 t
1 2 0 0t t 2 dt
§7-3
1 2 3
转动刚体内各点的速度和加速度
点的运动方程
s R
速度
R R vs
加速度
dv at s R dt v2 1 2 2 an R R R
r v at an
at r M 点切向加速度
an v ( r ) M 点法向加速度
例7-1 刚体绕定轴转动,已知转轴通过坐标原点O, t t 角速度矢为 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及
n 其中 n （0.6， 0.48， 0.64）
2 M点相对于转轴上一点M0的矢径
r r M rM 0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
3 v r n r 0.6 0.48 0.64 8 j 6k 8 6 8 i j k
加速度矢。
i
j
k
解 v r 5sin 0
t
2
5cos 2
t
2
5 3 3
10 3i 15 j 10k d a r v r v dt 15 75 3 i 200 j 75k 2
例7-2 某定轴转动的刚体通过点M0（2，1，3）， 其角速度矢ω 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。 求：刚体上点M（10，7，11）的速度。 解：1 角速度矢量
4
速度与加速度分布图
v R
a a a R
2 t 2 n 2 4
at tan 2 an
§7-４
１、齿轮传动 ① 啮合条件
轮系的传动比
R11 vA vB R22
② 传动比
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
２、带轮传动
第七章 刚体的简单运动
§７-１刚体的平行移动
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置称为平移。
2
运动方程
rA rB AB
3 速度和加速度分布
drB drA d AB vA 0 vB dA dA dt
dvB dv A aB aA dt dA
刚体平移→点的运动
k
角加速度矢量
d d k k dt dt
2 绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
大小 r sin R v 速度 v r 方向 矢积方向 dv d 加速度 a r d t dt
d dr r dt dt