《理论力学》第七章点的合成运动习题解
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-点的合成运动(圣才出品)
图 7-4 解：以 M 为动点，水轮为动系，牵连运动轨迹为定轴转动，速度分析如图 7-5 所示。
图 7-5 由 va = ve + vr 在 x、y 两个方向上的分量得
va sin 60o = ve + vr sin va cos 60o = vr cos
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图 7-1
图 7-2
7-2 图 7-2 中的速度平行四边形有无错误？错在哪里？
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答：都有错误，改正见图 7-3。
图 7-3 7-3 如下计算对不对？错在哪里？
图 7-4 （a）图 7-4（a）中取动点为滑块 A，动参考系为杆 OC，则 ve=ω·OA，va=cosφ （b）图 7-4（b）中 vBC=ve=vacos60°va=ωr 因为 ω=常量,所以，VBC=常量， （c）图 7-4（c）中为了求 aa 的大小，取加速度在 η 轴上的投影式：aacosφ-ac=0 所以 答：（a）不对，va 的速度平行四边形画法不正确，正确图见图 7-5。 （b）加速度的计算不正确。vBC 和 ω 为此瞬时的大小，不是任意时刻的速度和角速度 故不能对时间求导。
其中 ρ 和 φ 是用极坐标表示的点的运动方程，aρ 和 aψ 是点的加速度沿极径和其垂直 方向的投影。
答：如图 7-7 建立直角坐标系．xOy 与极坐标系 ρOφ。 取动点 Q，动系 OA
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加速度合成（图 7-8）
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aa=aen+aet+ar+ac
大小：？
方向：Hale Waihona Puke √ √ √ √图 7-7
第七章点的合成运动习题解答
习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0cos sin ='+'=t y t x y ωω 解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t bt b t x y ωωω4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v =船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
最新理论力学第七章点的合成运动(哈工大第七版版)
车刀刀尖的运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运 动的组合而成－合成运动。
§7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 定坐标系（定系）
两个坐标系 动坐标系（动系） 绝对运动：动点相对于定系的运动。
三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
v r v a 2 v e 2 2 v a v e c6 o 0 3 . s 6 m s
arcvsesiin 6n (0 )46 12
vr
例7-6 已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。 圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的
角速度w1。
解: 1.动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B
OA l2r2
2.运动分析：
绝对运动－绕 O 点的圆周运动；
相对运动－沿O1B的直线运动；
牵连运动－绕 O1 轴定轴转动。
3.
vavevr
大小 rw ? ?
方向 √ √ √
vevasijnrw
2.绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3.
va ve vr
大小 ? wOA ?
方向 √ √
√
vaveco twOO A e A we
例7-5 已知：矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。
站在地面上观察矿砂下落的速度为 v1=4m/s ，方向与铅直线成30º 角。传送带B水平传动速度 v2=3m/s 。 求：矿砂相对于传送带B 的速度。
点的运动合成习题参考解答
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
理论力学(7.4)--点的合成运动作业解答
第七章作业答案1、解 由点M 的相对运动方程可改写为
由题得点M 的坐标变换关系式
点M 的绝对轨迹方程
2、解 （a）套筒A 为动点，动系固结于杆O1 A
由图a1
（b）套筒A 为动点，动系固结于杆O2 A，速度分析如图b1 所示。
3、解 ① 活动销子M 为动点，动系固结于轮O
② 活动销子M 为动点，动系固结于杆OA
速度分析如图b 所示
4、解 速度分析，如图b所示
加速度分析，如图c所示
5、解 点A 为动点，动系固结于小车，加速度分析如图b 所示。
由题意得t = 1 s时，各量为
分别向轴x ， y 方向投影得
6、解 小环M 为动点，动系固结于曲杆OBC，速度分析如图b 所示。
加速度分析如图c 所示。
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
理论力学《点的合成运动》答案
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
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2v v e =1v v =ABr v v =04545v r =NBC.第七章 点的合成运动习题解[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。
求在B 车上观察到的Ａ车的速度。
解： 动点：A 车。
动系：固连于B 车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A 相对于地面的运动。
相对运动：动点A 相对于B 车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点，即牵连点相对于静系（地面）的运动。
当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。
2v v e =。
由速度合成定理得：→→→+=r e v v v 。
用作图法求得：h km v v AB r /40== （↑）故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。
问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的v 。
相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。
牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。
由速度合成定理得：→→→+=re v v vv r1=NBsm /2sm v e /1=v)/(118.115.02222s m v v v r e =+=+=435.635.01arctanarctan===er v v θ)(50021000tan 1000m AC ===θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。
如图所示，Ａ为出发点，Ｂ为靠岸点。
渡河所花的时间：秒分4016)(1000/110001===s sm m t（２） 03015.0arcsinarcsin===re v v α)/(866.05.012222s m v v v e r =+=-=即船头对准方向为北偏西030 渡河所花的时间：秒分1519)(1155/866.010002===s sm m t[习题7-3] 播种机以匀速率s m v /11=直线前进。
种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度s m v /22=。
求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间水平距离。
解： 动点：种子。
动系：固连于输种管的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。
相对速度：s m v v r /22== 牵连速度：s m v v e /11==→→→+=r e v v v)/(65.2120cos 21221022s m v =⨯⨯-+=120sin 65.2)60sin(1=-θ07.1965.2120sin arcsin60==-θ93.40=θ即→v 与→1v 之间的夹角为093.40=θ。
种子走过的水平距离为：t v t v s x ⋅==θcos221gt t v h y += 221sin gt t v h +=θ28.95.093.40sin 65.225.0t t ⨯+= 025.0736.19.42=-+t t ⎩⎨⎧-=±-=⨯-⨯⨯-±-=不合舍去）)((464.0)(11.08.9813.2736.19.42)25.0(9.44736.1736.12s s t )(22.011.093.40cos 65.20m s =⨯⨯=[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为s m v /41=，其方向与铅直线成30角。
设传送带Ｂ与水平面成015角，其速度为s m v /22=，求此时砂石料对于传送带Ｂ的相对速度。
又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B 带垂直。
解：动点：砂石料。
动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：砂石料相对于地面的速度，s m v v /41==。
相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。
牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：s m v v e /22==→→→+=r e a v v v)/(98.375cos 42242022s m v r =⨯⨯-+=e Aa v v =vev 当B r v v ⊥时，传送带Ｂ的速度为：)/(04.115sin 415sin 0s m v v a B ===[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成α角。
杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度v 向右运动，求活塞Ｂ的速度。
解： 动点：Ａ。
动系：固连于凸轮上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。
相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。
牵连速度：凸轮相对于地面的速度。
→→→+=r e a v v vαtan v v A =因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为： αtan v v v A B ==[习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长r OA =的曲柄，以匀角速度ω绕Ｏ轴转动。
装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成060角。
求当曲柄与水平线的夹角ϕ分别为00、030、060时，杆ＢＣ的速度。
解： 动点：Ａ。
a90BCOaevC动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。
动系平动，BCCBDEAvvv==静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度。
相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。
牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→→→+=reavvvωrva=0120sin)90120180sin(aBCvv=+--ϕ0120sin)30sin(ϕϕrvBC=-ωϕrvBC⋅-=120sin)30sin(ωωωϕrrrvBC332321120sin)30sin(|-=-=⋅-==负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。
120sin)3030sin(|300=-==ϕBCv，此时往复运动改变方向。
ωωωϕrrrvBC332321120sin)3060sin(|600==⋅-==，向右。
[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。
在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω０＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。
解：动点：C。
动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
av ev rv A3090绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。
牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
)/(231.05.030cos 4.00s m OC v e =⨯=⋅=ω→→→+=r e a v v v )/(267.030cos2.030cos 02s m v v e a ===75.0/2.01===ωr v v AB a)/(33.505.075.0/2.0/267.011s rad r ===ω即齿轮的角速度为s rad /33.51=ω[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长l ，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。
已知在图所示位置 ＯＡ⊥ＯＯ１，l AB 2=，求该瞬时ＢＣ杆的速度。
解： 动点：Ａ。
动系：固连于D O 1杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，0ωl v a =。
相对速度：Ａ相对于D O 1杆的速度。
牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。
→→→+=re a v v v002130sin ωl v v a e == 01211ωωl A O v D O e =⋅=02121ωωl l D O =⋅0411ωω=D O动点：Ｂ。
avrv Beav rvaa n 动系：固连于D O 1杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。
相对速度：Ｂ相对于D O 1杆的速度。
牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。
→→→+=r e a v v v0014141ωωωl l B O v D O e =⨯=⋅=000155.1866.030cos ωωl l v v e a ===BC 作平动，故0155.1ωl v v a BC ==[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ２。
凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。
设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。
解：动点：Ｂ。
动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。
相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
→→→+=r e a v v v凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。
A e v v =)/(23.1039360030cot 30cot 0s mm v v v v v A e a B BC ======)/(12006002230sin 0s mm v v v e e r =⨯===→→→→→→++=+=τr n re r e a a a a a a aeCv rv ra aa ea 上式在x 轴上的投影为：nr e a a a a -=030cos 60cosrv a aa a r e n re a 22323⋅-=-=)/(4.8214300)1200(2800732.122s mm a a -=⨯-⨯=，负号表示方向向下。
[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。
ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。
求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。
解：动点：Ｃ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。
相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。
牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。
→→→+=r e a v v v)/(20021001s mm A O v v v A C e =⨯=⋅===ω )/(1005.020060cos 0s mm v v e a =⨯==)/(100s mm v v v a C CD ===→→→+=r e a a a aA e a a = 0=τe a)/(4002100222112s mm A O AO vaa n ee =⨯=⋅===ω)/(4.346866.040060sin 2s mm a a e a =⨯==)/(4.346s mm a a a a C CD ===[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。