理论力学第七章
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理论力学B-第七章运动合成-速度ok
一个物体相对于某一固定参考系的速度等于它相对于另一运动参考系的速度与 另一参考系的牵连速度的矢量和。
具体表达式
v=v₁+v₂
角速度合成定理
角速度合成定理
一个刚体相对于某一固定参考系的角速度等于它相对于另一运动参考系的角速度 与另一参考系的牵连角速度的矢量和。
具体表达式
ω=ω₁+ω₂
03
CATALOGUE
理论力学b-第七章 运动合成-速度ok
目录
• 引言 • 运动合成基本概念 • 速度合成定理的应用 • 角速度合成定理的应用 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引言
主题介绍
运动合成
研究物体在两个或多个力共同作 用下的合成运动。
速度合成
探讨物体在不同参考系下速度的 合成关系。
章节目标
理解合成运动的基本 原理和概念。
03
04
相对速度和绝对速度的概念及 其在运动合成中的作用
速度合成定理及其推导过程
速度合成定理在不同参考系下 的应用
速度合成定理在解决实际问题 中的应用
理论应用与实例分析
飞机起飞时，机翼上下的气流 速度计算
轮船航行时，船体各部分相对 于同参考系的速度分析
滑冰运动员在冰面上旋转时， 身体各部分的速度合成分析
详细描述
当一个刚体在平面上作平动时，其上任意一点相对于地面参考系的角速度可以通过平动点在刚体上的角速度合成 计算。平动点在刚体上的角速度合成是指该点相对于地面参考系的角速度等于该点相对于刚体质心的相对角速度 加上刚体质心相对于地面参考系的角速度。
05
CATALOGUE
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
详细描述
具体表达式
v=v₁+v₂
角速度合成定理
角速度合成定理
一个刚体相对于某一固定参考系的角速度等于它相对于另一运动参考系的角速度 与另一参考系的牵连角速度的矢量和。
具体表达式
ω=ω₁+ω₂
03
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理论力学b-第七章 运动合成-速度ok
目录
• 引言 • 运动合成基本概念 • 速度合成定理的应用 • 角速度合成定理的应用 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引言
主题介绍
运动合成
研究物体在两个或多个力共同作 用下的合成运动。
速度合成
探讨物体在不同参考系下速度的 合成关系。
章节目标
理解合成运动的基本 原理和概念。
03
04
相对速度和绝对速度的概念及 其在运动合成中的作用
速度合成定理及其推导过程
速度合成定理在不同参考系下 的应用
速度合成定理在解决实际问题 中的应用
理论应用与实例分析
飞机起飞时，机翼上下的气流 速度计算
轮船航行时，船体各部分相对 于同参考系的速度分析
滑冰运动员在冰面上旋转时， 身体各部分的速度合成分析
详细描述
当一个刚体在平面上作平动时，其上任意一点相对于地面参考系的角速度可以通过平动点在刚体上的角速度合成 计算。平动点在刚体上的角速度合成是指该点相对于地面参考系的角速度等于该点相对于刚体质心的相对角速度 加上刚体质心相对于地面参考系的角速度。
05
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总结与回顾
本章重点回顾
01
02
详细描述
理论力学第7章
理论力学第7章
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点，
动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点，
动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点，
摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
r
r
y x si n y co r s 1 co v s tsi ω n rt sivn c tω ost
理论力学r 第 7章
r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
z
O x
绝对运动
M'
M2 v a
相对运动vrFra bibliotekveM1
M
y
牵连点的运动
理论力学第7章
点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
第七章点的合成运动71相对运动牵连运动绝对运动72点的速度合成定理73牵连运动是平移时点的加速度合成定理74牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理科氏加速度理解相对运动绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义恰当选择动点动系熟练应用点的速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动；
2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
（1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点，
动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点，
动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点，
摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
r
r
y x si n y co r s 1 co v s tsi ω n rt sivn c tω ost
理论力学r 第 7章
r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
z
O x
绝对运动
M'
M2 v a
相对运动vrFra bibliotekveM1
M
y
牵连点的运动
理论力学第7章
点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
第七章点的合成运动71相对运动牵连运动绝对运动72点的速度合成定理73牵连运动是平移时点的加速度合成定理74牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理科氏加速度理解相对运动绝对运动和牵连运动及相应三种速度和三种加速度的定义恰当选择动点动系熟练应用点的速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动；
2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
（1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。
理论力学第七篇_复合运动
例： 刨床急回机构。曲柄长OA r , 两轴间
距杆的oo角1 速 度l 。w求1 。当曲柄在水平位置时摇
wo
w1
o1
步 骤:
运
速
动
度
分
分
析
析
va ve vr
wo
y 解：动点：滑块A；
va B
动系：固连在摇杆O1B上；
vr
ve A
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：转动。
va ve vr
t0 t
t0 t
t0 t
aa
lim
t 0
va ' va t
ar
lim vr
t 0
' vr1 t
ae
lim
t 0
ve1 ve t
lim vr ' vr lim vr ' vr1 vr1 vr
t0 t
t 0
t
ar
lim vr1 vr t0 t
ar w vr
lim ve ' ve lim ve ' ve1 ve1 ve
牵连运动：平动
aa ae ar
arn
vr2 R
vr
ve
sin
v
sin
arn
1 R
v2
sin2
aa ae ar arn
vr
va
ve
aa sin ae cos arn
aa
1
sin
a
cos
v2
R sin2
actg
v2
R sin3
例2 已知曲柄转动的匀角速度为w, OAr,
OO1 =l, 求当OA处于水平时摇杆O1B的 加速度
理论力学第七章
12
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
理论力学第七章梁的应力
梁的剖面受力分析
上弯梁
上弯梁指在负弯矩作用下， 梁截面顶部受到压应力，底 部受到拉应力。
下弯梁
下弯梁指在正弯矩作用下， 梁截面顶部受到拉应力，底 部受到压应力。
中性面
中性面是指梁截面上不受应 力的区域，一般位于梁截面 的中间位置。
梁的应力分布结果
最大正应力 最大剪应力
位于梁截面顶部或底部的最外纤维处 位于梁截面的中性面附近
梁的内力计算方法
1
截面剖面法
通过将梁截面分成若干个小部分，计算每个小部分的内力，最后积分得到整个梁 的内力。
2
力平衡法
根据力的平衡条件，利用支反力和约束等关系来计算梁的内力。
3
应变能法Biblioteka 利用应变能的原理，将梁内力计算转化为应变能的计算问题。
梁的弯曲应力
梁的弯曲应力是指梁在受到弯曲力作用下产生的应力。它是梁结构设计中需 要重点考虑的因素之一。
2 软件
通过使用结构力学理论，我们可以构建模型来分析梁的行为。
3 截面
梁的截面形状对其受力性能有着重要影响。
梁的受力分析
力的作用点
了解荷载作用在梁上的位置是 进行受力分析的首要步骤。
支反力
支反力是梁受力分析中非常重 要的概念，可以帮助我们解出 其他未知力。
内力
内力是梁结构中材料内部的力， 包括弯矩、剪力和轴力。
理论力学第七章梁的应力
在第七章中，我们将探讨梁的应力。从定义应力开始，到了解梁的基本概念 和受力分析，再到计算梁的内力和弯曲应力，最后研究梁的剖面受力分析和 应力分布结果。
应力的定义
应力是指梁结构中单位面积上的受力情况。它是为了描述梁的内部力和力分 布情况而引入的一个重要概念。
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
理论力学第七章
dLC dt
7-2 惯性力系的简化
7-2-2 刚体惯性力系的简化 1.平面运动 ①一般情形
FIR maC , M I C dLC dt (LC J xz i J yz j J z k )
②主平面情形(如质量对称面)
LC J C ω , M IC J C α
e
Fi FI i 0
质点系达朗贝尔原理
即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理
可列6个独立投影方程
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 问题 已知 m,l,θ,ω, AB h, 求A，B处动约束力。 加惯性力，受力如图。 由动平衡
FA
A
M 0,有
ml sin2
2 2
ml sin
l
2
mg
l
2
FA FB
O
h
ml sin
mg
B
FB
考虑斜杆质量时，结果如何?
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-2 惯性力系的简化
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 7-2-2 刚体惯性力系的简化
第七章 达朗贝尔原理
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 1.主矢:
FIR FIi mi ai m aC
与质点系运动形式无关 2.主矩: ①对固定点O
M O FI i M O F
e
且 M F
e O
dLO dt
故 M I O M O FI i
dLO dt
与质点系的分布及运动形式相关 同理 M I C
7-2 惯性力系的简化
7-2-2 刚体惯性力系的简化 1.平面运动 ①一般情形
FIR maC , M I C dLC dt (LC J xz i J yz j J z k )
②主平面情形(如质量对称面)
LC J C ω , M IC J C α
e
Fi FI i 0
质点系达朗贝尔原理
即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理
可列6个独立投影方程
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 问题 已知 m,l,θ,ω, AB h, 求A，B处动约束力。 加惯性力，受力如图。 由动平衡
FA
A
M 0,有
ml sin2
2 2
ml sin
l
2
mg
l
2
FA FB
O
h
ml sin
mg
B
FB
考虑斜杆质量时，结果如何?
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-2 惯性力系的简化
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 7-2-2 刚体惯性力系的简化
第七章 达朗贝尔原理
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 1.主矢:
FIR FIi mi ai m aC
与质点系运动形式无关 2.主矩: ①对固定点O
M O FI i M O F
e
且 M F
e O
dLO dt
故 M I O M O FI i
dLO dt
与质点系的分布及运动形式相关 同理 M I C
第七章---理论力学
= −kv ,
v t =0 = v0 ,
求: x=x(t)
C LY
系 列 一
活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图 解：1 活塞作直线运动，取坐标轴 如图
2
由
dv = −kv a= dt
dυ
υ
= − kdt
得
dv = − k t dt ∫v0 v ∫0
v
v = −kt, v = v0e −kt ln v0
3
由
dx = = −v0 e− kt v dt
v0 ( −kt ) x = x0 + 1 − e k
C LY
系 列 一
§7-5 自然法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方 轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点 法叫自然坐标法 自然坐标法。 法叫自然坐标法。 一、弧坐标,自然轴系 弧坐标,
C LY
系 列 一
点都作直线运动， 轴如图所示。 解：A，B点都作直线运动，取ox轴如图所示。 点都作直线运动 轴如图所示 运动方程
xA = b + rsin ϕ = b + rsin ω +θ) ( t
xB = r sin ϕ = r sin ω +θ) ( t
B点的速度和加速度 点的速度和加速度
知 O C C t 已 ： C = AC = B = l, M = a,ϕ =ω
求：① M 点的运动方程 ② 轨迹 ③ 速度 ④ 加速度
C LY
系 列 一
已知： 已知： C = AC = B = l, M = a,ϕ =ωt O C C 求：x=x(t)， y=y(t)。 作曲线运动， 解：点M作曲线运动，取坐标系 作曲线运动 取坐标系xoy 运动方程
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确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。
例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
趋行及半，小奚扑，束断书崩，啼 未即起。理书就束，而前门已牡下矣。 予爽然思渡者言近道。天下之以躁急 自败，穷暮而无所归宿者，其犹是也 夫？其犹是也夫！（选自《清代五十 家文选》周容）
0= 0，02
4g l
则其解为
0
cos
2
进行运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
A
O
l
m
N
最高点位非稳定平衡点，可能出现三种运动情况：
A
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回； c. 越过该顶点继续向前运动。
O
l
m
N
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下， 其解可能具有不可预测的随机性。
& 相轨线
&
2
2n
2(n 1)
三维相空间
&
相轨线
2n
环形相空间
★通过分析相轨线在庞加莱截面上的交点的分布
规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程
中系统的运动规律。
时间序列 相图
阻尼运动 周期运动 多周期运动 混沌运动
讨论：
●单周期振动，每隔2运动状态复原，即
相轨线每次都从同一点穿过庞加莱截面， ★在庞加莱截面图上只有一个不动点； ●倍周期的运动，庞加莱截面图上有 两个不动点； … ●运动无周期性，则庞加莱截面图上有无穷多个点。
★受阻力和周期策动力作用的非线性单摆方程
&
&
m
g l
sin
F ml
cos
t
显含 t ，在二维相空间中为非自治系统。
引 可 相入将空新方间变程 中量化 的为 自 =三 治维系t ，&&
统：
&
m
g l
sin
F ml
cos
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
他制定出无懈可击计划，执行起来也 小心翼翼。但等他一旦回到现实，却发 现一切都已面目全非。他的行为已经造 成了损失惨重的改变，而他最亲密的那 些朋友的生活已经南辕北辙。
从不同的角度看Lorenz吸引子
从不同的角度看Lorenz吸引子
Lorenz 吸引子的 Poincare 截面
人(虫)口模型：Logistic equation
43
Mandelbrot集的自相似性
放大这个区域
进一步地放大
47
Mandelbrot 集与logistic map
zn1 zn2 c
1 c
zn1
1 c
zn2
1
xn
1 c
zn
xn1 cxn2 1
c
x n 1
1
αx
2 n
lim zn
n
Julia 集
zn1 zn2 c; z0 (x0, y0)
而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二
维 ( : &) 相平面上相轨线有相交情况。
Poincare 截面图
若沿 方向截取一截面，则根
据该自治系统的性质，每个截 面上只有一个交点，即相轨线 一次性的穿过每一个截面。
因 t 2n ，若以2 为周长，将相空间弯成
一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为庞加莱截面。
混沌的发现
●在确定性的非线性动态系统中出现的 貌似随机的、不能预测的运动,它对初始 条件有极其强烈的敏感性。
●蝴蝶效应
1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱
德华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空
管计算机速度约每秒做6次乘法。
x& ( y x)
经简化后的洛仑兹气象模型为
y&
(r
●当n，则解的数目，意味着系统已进入混
沌状态。将混沌开始时对应的 记为 ( =1.40115518909205 )。
通向混沌的其它道路
●准周期道路：平衡态→周期→准周期→混沌.
●阵发混沌道路
xn
2. 混沌区的结构 a. 窗口 ●在混沌区中重又出现 的周期性运动。
★窗口中包含着与整体 完全相似的结构。
空间非线性迭代生成分形图案： Mandelbrot集
zn1 zn2 c
曼德勃罗集合：上述方程在复平面上经过无穷次迭 代后不会逃逸到无穷远处的点的集合
Mandelbrot set: This set is defined as the collection of points c in the complex plane that does not escape to infinity for the equation
x x
x x0et
马尔萨斯人口论
x x x2
x cet
人(虫)口模型：Logistic equation
r=2
r = 3.3
人(虫)口模型：Logistic equation
r = 3.5
r = 3.9
29
人(虫)口模型：Logistic equation
混沌的演化，内部结构和普适性
了（, ）相平面上的运动轨
道，如右图所示。图中青色轨 道对应k=0.2，蓝色k=0.5，红 虚线k=1，黑色k=1.2。图中的 原点（0，0）对应k=0，是系 统的稳定平衡位置。
当 k << 1时，q 和w均为小量，方程于是可近似为
2 2 2k 2
即相轨道近乎半径为2k的圆。随着k的增大，轨道
方程所围区域扩大，轨道形状也逐渐偏离圆形。但 只要能量足够小乃致 k < 1，轨道仍是环绕平衡点 (0,0)而闭合曲线。在此情形下，摆角|θ|<π，即质点 不可能摆动到支点O的正上方（θ=±π）。
但若系统能量大到以致
k >1，则
2
4k 2
4
2
2
k2 1 k2 1
表明，角频率ω要么恒负，要么恒正，即单摆的质 点作围绕支点的顺时针或反时针旋转运动
在此情形下，质点即使运动到θ=±π的最高点也具
一定的角速度，驱使其继续往原方向转动。所以， k =1的轨道是单摆摆动与转动的分界线
自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含 时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
★由线性单摆方程可得 （角谐振动）
&
&
2
不显含 t ，在二维相空间中为自治系统。
各个系统的其他具体细节无关。
●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性，是
混沌内在规律性的另一个侧面反映。
普适常数
在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各
对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分
岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常
数 ，称为标度因子或普适常数:
= 2.5029078750958928K
z)x
y
z& xy bz
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。
他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
x,z 的时间演化序列，初始值 x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10 x,z 时间序列，初始值 x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10.01
相图
●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。
例：小角度线性单摆（简谐振动）
d 2
dt 2
2
0
Acost, & Asin t
• 单摆一般运动的相图Fra bibliotekd 2
dt 2
g sin
l
sin 0
d d d d dt d dt d
因此，单摆运动方程（1）可表达为相空间 (θ，ω)
的轨道微分方程：
第七章：非线性力学简介
非线性振动系统及混沌的基本概念
• 任意摆角情况下单摆的运动
若 f (x) 满足 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 则 f (x) 是线性的； 若 g(x) 为非线性，则
g(x1 x2 ) g(x1) g(x2 )
A
★自由单摆的运动方程：
d 2
dt 2
微小初始值对应的相轨道比较
x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10
x(0)=1.01; y(0)=1; z(0)=10
• 蝴蝶效应
“千里之堤，溃于蚁穴”
“失之毫厘，谬以千里”
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
埃文·泰瑞博(艾什顿·库奇饰)是一
个平平无奇的大学生，唯一和普通人不 同的是从童年时代起，就有心理学家不 停记录他每日生活中的全部细节。某天， 埃文忽然读到了那些记录中的一部分， 顿时，那些已经被他自己埋葬在内心最 深处许多年的黑暗记忆又再次被唤醒， 那是改变了他整个少年时代的不堪回首 往事。机缘巧合，埃文忽然发现自己可 以通过一直搁在床下那些写着当年记录 的笔记本回到过去，进入自己当年的身 体。也许这些落满灰尘的笔记本可以让 他从此摆脱所有不愉快的记忆，抱着这 样的想法，埃文回到过去，力图改写历 史，以为这样就可以治愈他受伤的记忆， 让他和所爱的人们能从此之后幸福生活。