人教版数学必修一 课时达标训练：(二十六)

课时达标训练(二十六)
[即时达标对点练]
题组1利用已知函数模型解决实际问题
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()
A．310元B．300元C．390元D．280元
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()
题组2自建函数模型解决实际应用问题
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
4．已知某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价多少元？
题组3拟合数据构建函数模型解决实际问题
5．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x －1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．6．我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(1)
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
[能力提升综合练]
1．拟定从甲地到乙地通话m min 的电话费f (m )＝1.06·(0.50[m ]＋1)，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min 的通话费为( )
A ．3.71
B ．3.97
C ．4.24
D ．4.77
2．有一组实验数据如下表所示：
A ．u ＝log 2t
B ．u ＝2t －2
C ．u ＝t 2－12
D ．u ＝2t －2
3．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝
⎩⎨⎧
c
x
，x ＜A ，c
A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用
时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
4．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )
A ．20 g
B ．25 g
C ．35 g
D ．40 g
5．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为__________．
6．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系为y ＝a t ，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是________．
7．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
8．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
答案
[即时达标对点练]
题组1利用已知函数模型解决实际问题
1．解析：选B由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
2．解析：选B图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．
题组2自建函数模型解决实际应用问题
3．解析：选D分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
4．解：设应将每件商品定价为x元，其月利润为y元，由题意得：y＝(x－40)·[500－(x －50)×10]＝－10x2＋1 400x－40 000.
当x ＝－
1 400
2×－
＝70(元)时，y max ＝9 000元．
即商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价70元． 题组3 拟合数据构建函数模型解决实际问题
5．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．
答案：甲
6．解：(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)．
把点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐标代入上式，解方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝0.677 7，
b ＝8.206 7.
因此所求的函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7. (2)由(1)知，f (x )＝0.677 7x ＋8.206 7. f (0)＝8.206 7，等于表中实际生产总值； f (1)＝8.884 4，小于表中实际生产总值； f (2)＝9.5621，小于表中实际生产总值； f (3)＝10.239 8，等于表中实际生产总值．
[能力提升综合练]
1．解析：选C 5.5 min 的通话费为f (5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
2．解析：选C 可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B ，故选C.
3．解析：选D 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c
A
＝15，故组装第4件产品所需时间为
c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c
A
＝15，得A ＝16.
4．解析：选C 假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝W 15·203
15
3≈35.6(g)，合理的答案为35 g ．故选C.
5．解析：设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4－x ) cm ，两个三角形的面积和为S ＝
34x 2＋34(4－x )2＝3
2
[(x －2)2＋4]≥2 3 cm 2.当x ＝2 cm 时，S min ＝2 3 cm 2. 答案：2 3 cm 2
6．解析：由图象知，t ＝2时，y ＝4，∴a 2＝4，故a ＝2，①正确；当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确；当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．
答案：①②
7．解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－1，
b ＝1 000.
所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得
S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1 000)－500(－x ＋1 000) ＝－x 2＋1 500x －500 000
＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)．
所以当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62 500 元，此时销售量为250件． 8．解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …
经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．
(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．
因为8<x0<9，则取x0＝9，
即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.。