含参数的一元一次方程
6.3一元一次方程及其解法3
求方程的整数解
2x 1 2x 2 3
x 1或x 0
小结
1、含参数的一元一次方程的解法
2、绝对值方程的解法
绝对值方程
2 x 1 x 2 3、解方程 (1ห้องสมุดไป่ตู้
1 ( ２ ) x 1 2 0.5 x 1 0 2
4、解方程
(1) x 1 x 2 5
(2) 2 x 1 x 2 5
说明：去掉绝对值符号的关键是确定绝对 值记号内式子的值是正还是负.为此先要求 出使它们的值为0的x值；并把求出的值在 数轴上表示出来，将所有的有理数分类； 然后分别加以讨论，即可求出绝对值方程 的解.
6.3 一元一次方程及其解法3 ---含参方程&绝对值方程
含参数的一元一次方程
解关于x的方程
解关于x的方程 (a-1)x=b
已知关于x的方程k(x-1)=6-k （1）若方程有解，求有理数k的范围 （2）若方程有正整数解，求k的值.
（3）若方程有负数解，求有理数k的 范围
1、解关于x的方程 2ax-4=(a+1)x
2、若上述方程的解是整数，求正整数a 的值 3、解关于x的方程：ax-b=cx+d
绝对值方程
1、解方程 (1) 2 3x 1 5
(2) 2x 1 ０
5 ( ３ ) ３x ２ － ３
绝对值方程
2、已知方程 ax b c ，a 0 当a、b、c满足什么条件有： （1）方程有两个解； （2）方程只有一个解； （3）无解.
一元一次方程中含参数问题的解题策略
一元一次方程中含参数问题的解题策略作者：***来源：《初中生世界·七年级》2020年第12期領衔人：杭毅组稿团队：江苏省宿迁市钟吾国际学校在方程的学习中，我们常会遇到一些含有参数的问题，解决此类问题的关键在于理解概念，明晰问题指向。
现分析几种常见的含参数方程问题的解题策略，希望对同学们的学习有所帮助。
一、根据一元一次方程的定义求解【分析】根据一元一次方程的概念可知未知数次数为1，系数不为0。
解得m=1。
二、根据方程的解的定义求解例2已知x=2是关于x的方程2（x-m）=8x-4m的解，则m=。
【分析】根据方程解的定义可知x=2能使方程左右两边相等。
解：由题意可得2（2-m）=8×2-4m。
解得m=6。
【分析】很多同学想到将x=2代入第一个方程中求出b的值，再将b的值代入第二个方程中求出方程的解。
这样解比较麻烦，我们可以仔细观察两个方程的结构特征，将第二个方程中的（y+1）看成一个整体，它与第一个方程中x的值相同，即y+1=2。
解：由题意得y+1=2，解得y=1。
三、根据方程公共解的情况求解例3若关于x的方程a-2x=9与方程2x-1=5的解相同，则a的值为。
【分析】方法一：同解问题，即两个方程的解相同，仔细观察，方程2x-1=5可解，我们可将x的值解出来，代入方程a-2x=9中，将其转化为关于参数a的方程，从而求出a的值。
方法二：我们可将两个方程分别解出来，解相同即两个代数式值相同，得到关于x的方程。
解法一：由2x-1=5，解得x=3。
将x=3代入a-2x=9得a-2×3=9，解得a=15。
解法二：由2x-1=5解得x=3。
由【分析】两个方程中都含有参数，我们利用例3的方法二较为简便。
四、根据方程整数解的情况求解例4已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k=。
【分析】对于含参数的方程，我们可先用含参数的代数式表示方程的解。
要使结果为整数，分子为整数，则分母应为分子的因数。
一元一次方程含参问题
例5、若a，b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 1 程 ，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a，b的值。 解：将x=1代入 2kx a x bk
3 2k a 1 bk 1 3 6 6 1
化简得：(4+b)k=7-2a ① ∵无论ห้องสมุดไป่ตู้为何值时，原方程的解总是x=1 ∴无论k为何值时，①总成立 ∴4+b=0且7-2a=0，解得a=-4，b=3.5
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
练习： （1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无 数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
2
（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则 a= 3 。 （3）(3a 2b) x ax b 0 是关于x的一元 一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
2
9
2
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
初一上数学真题专题练习---含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程【真题精选】1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝62．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣64．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1 5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3 6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0 7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k ＝，该方程的解x＝．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．210．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8 12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣418．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b ＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．含参数的一元一次方程参考答案与试题解析一．试题（共20小题）1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6【分析】根据等式的性质即可解决．【解答】解：A、若4x＝2，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2+2，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝3，原变形错误，故这个选项不符合题意；D、若﹣＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形正确，故这个选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等式的性质．熟知等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．2．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝【分析】根据等式的性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：如果a＝b，那么a+3＝b+3，故选项A错误；如果3a﹣7＝5a，那么3a﹣5a＝7，故选项B错误；如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故选项C正确；如果2x＝3，那么x＝，故选项D错误；故选：C．【点评】本题考查等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质，会用等式的性质解答问题．3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣6【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．是一元一次方程，故本选项符合题意；D．是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．4．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．【解答】解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，得a+1≠0，解得a≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零．5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．【解答】解：∵方程ax＝b有无数个解，∴未知数x的系数a＝0，∴b＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，x前面系数为0时方程有无数个解是解题的关键．7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．【分析】若一元一次方程ax+b＝0无解，则a＝0，b≠0，据此可得出a的值．【解答】解：原式可化为：（2a﹣3）x+2﹣a＝0，∵方程无解，∴可得：2a﹣3＝0，2﹣a≠0，故a的值为．故填．【点评】本题考查一元一次方程的解，难度不大关键是掌握无解情况下各字母的取值情况．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k＝﹣1，该方程的解x＝﹣2．【分析】由一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．可得|k|＝1，k﹣1≠0，求出k的值，再解方程即可．【解答】解：∵（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，∴|k|＝1，k﹣1≠0，∴k＝±1，k≠1，∴k＝﹣1，∴﹣2x﹣1＝3，移项，得﹣2x＝4，解得x＝﹣2，故答案为：﹣1，﹣2．【点评】本题考点一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．10．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【解答】解：依题意，得2×（﹣1）﹣（﹣1）k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7，解得，k＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为﹣．【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值．【解答】解：方程2x+1＝﹣1，解得：x＝﹣1，代入方程得：1+2+2a＝2，解得：a＝﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．【分析】首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是，列方程求得a的值．【解答】解：解2x﹣a＝1得x＝，解＝﹣a，得x＝．由题知+＝，解得a＝﹣3．【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，正确解关于x的方程是解决本题的关键．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为3或1或﹣1或5．【分析】先求方程的解得x＝，再由已知可得k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，求出k的值即可．【解答】解：kx﹣1＝2（x+1），去括号得，kx﹣1＝2x+2，移项、合并同类项，得（k﹣2）x＝3，解得x＝，∵方程的解为整数，∴k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，∴k＝3或k＝1或k＝5或k＝﹣1，故答案为：3或1或﹣1或5．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，并由方程解的情况列出k满足的等式是解题的关键．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．【分析】解方程得：x＝，x是整数，则m﹣1＝±1或±3，据此即可求得m的值．【解答】解：（m﹣1）x﹣3＝0，解得：x＝，∵解是正整数，∴m﹣1＝1或3，解得：m＝2或4．故整数m的值为2或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m﹣1＝±1或±3是关键．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定义求m，n满足的条件；（2）先根据m为整数且方程的解为正整数得出m+1＝1或m+1＝3，解一元一次方程可以得出m的值．【解答】解：（1）因为方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．所以m+1≠0，且n﹣1＝1，所以m≠﹣1，且n＝2；（2）由（1）可知原方程可整理为：（m+1）x＝3，因为m为整数，且方程的解为正整数，所以m+1为正整数．当x＝1时，m+1＝3，解得m＝2；当x＝3时，m+1＝1，解得m＝0；所以m的取值为0或2．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是求出n的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣4【分析】根据方程的解为正整数，可得（k﹣2）是6的约数，根据约数关系，可得k的值．【解答】解：解x﹣6＝（k﹣1）x，得x＝．由x＝是正整数，得2﹣k＝6时，k＝﹣4，2﹣k＝3时，k＝﹣1，2﹣k＝2时，k＝0，2﹣k＝1时，k＝1，∴﹣4﹣1+0+1＝﹣4．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用6的约数是解题关键．18．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值．【解答】解：由ax+＝，得ax+9＝5x﹣2，移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11，系数化成1得：x＝﹣，∵x是正整数，∴a﹣5＝﹣1或﹣11，∴a＝4或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝4．则x＝﹣＝11．综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或【分析】方程利用题中的新定义变形，计算即可求出解．【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：x＝2x+1，解得：x＝﹣1，不符合题意；当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：﹣x＝2x+1，解得：x＝﹣，综上，方程的解为x＝﹣，故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．【分析】（1）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案；（3）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．【解答】解：（1）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，∴m﹣4＝，解得m＝；故答案为：；（2）由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，又∵方程的解为a，∴＝a，ab+a﹣4＝a，解得a＝，b＝3，∴；故答案为：．（3）∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，∴mn+m＝，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝．∴﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]＝﹣5（m﹣n）﹣33，＝﹣5×﹣33+2×，＝，＝﹣．【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．。
含参数一元一次方程【精】
含参数一元一次方程【精】引言含参数一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数的一元一次方程。
参数是未知数的某种规定值，通过给参数赋予不同的值，可以得到不同的方程。
在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，先求相应参数下的特殊方程的解，然后分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
方程的基本形式含参数一元一次方程的基本形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
求解含参数一元一次方程的步骤1. 对于给定的参数值，将方程化为一元一次方程。
2. 求解得到一元一次方程的解。
3. 分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
示例假设我们要求解含参数的一元一次方程：ax + b = 0，其中a是一个参数。
下面是对于不同参数值的求解步骤：当a = 0时方程化为：0x + b = 0，即b = 0。
此时方程的解是：x = 0。
当a ≠ 0时方程化为：ax + b = 0。
移项得到：x = -b/a。
这就是方程的解。
参数的取值范围在解含参数一元一次方程时，要考虑参数的取值范围。
对于不同的参数取值，方程可能有不同的解。
结论含参数一元一次方程是一种特殊的一元一次方程，通过对参数的赋值，可以得到不同的方程。
在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，并考虑参数的取值范围，得到方程的解的条件。
参考文献- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 初中代数（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 高中数学（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.。
一元一次参数方程解法
提取公 1 1 1 解： x（ ） 2015 因式x 1 2 2 3 2015 2016 1 1 1 1 1 1 x( ) 2015 裂项 1 2 2 3 2015 2016
化简
1 x(1 ) 2015 2016
2015 x 2015 2016
基础巩固
1、若 kx
32 k
2k 3是关于 x的一元一次方程，则 k
解：3-2k=1 -2k=1-3 (移项) -2k=-2 （未知数的系数化为1） k=1 （方程的解）
x 3 x 1 2、方程 2 x 去分母正确的是（） 5 2
A. 2(x-3)-2=x-(x-1) C.2(x-3)-20=10x-5(x+1)
4a 18 9 a 2
2、若（k m) x 4 0和2k m x 1 0是关于x的同解方程， k 求 - 2的值 m
(k+m)x=-4
(2k-m)x=1
4 1 k m 2k m
k 5 将m 3k代入 2 m 3
化简得 m=3k
x 1 且它们的解互为相反数 ，求m, n分别是多少？关于 x的方程 p 1 5 的解是多少？
∴2x-3=0
3 x 2Leabharlann 二、同解方程知识导航
若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程。同解方程一般有两 种解法： （1）只有一个方程含有参数，另一个方程可以直接求解，此时，直接求得 两个方程的共同解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案。 （2）两个方程都含有参数，无法直接求解，此时，由于两个方程的解之间 有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量 关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法。 注意：（1）两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2 倍等。（2）一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共 根问题的前铺和基础。
专题3.2 一元一次方程中含参数问题(六大类型)(原卷版)
专题3.2 一元一次方程中含参数问题（六大类型）【题型1：一元一次方程的定义】【题型2：一元一次方程的解】【题型3：一元一次方程-整体法】【题型4：一元一次方程-同解】【题型5：一元一次方程-错解】【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】【题型1：一元一次方程的定义】【典例1】当a＝时，关于x的方程3x a﹣2﹣6a＝0是一元一次方程．【变式1-1】已知关于x的方程（m+2）x|m+3|+12＝﹣3是一元一次方程，则m的值是．【变式1-2】若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．【变式1-3】若关于x的方程x m+1﹣2＝1是一元一次方程，则m的值是．【变式1-4】如果（k﹣1）x2+kx+8＝0是关于x的一元一次方程，则k＝．【题型2：一元一次方程的解】【典例2】若x＝1是关于x的方程2x+a＝0的解，则a的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【变式2-1】若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（）A．10B．4C．3D．﹣3【变式2-2】如果x＝3是关于x的方程3m﹣2x＝6的解，则m的值是（）A．0B．C．﹣4D．4【变式2-3】关于x的方程3a+x＝18的解为x＝﹣3，则a的值为（）A．4B．5C．6D．7【变式2-4】已知方程﹣3（a﹣9）＝5x﹣1的解是x＝5，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【变式2-5】关于x的方程（k﹣3）x﹣1＝0的解是x＝﹣1，那么k的值是（）A．k≠3B．k＝﹣2C．k＝﹣4D．k＝2【题型3：一元一次方程-整体法】【典例3】（2022秋•绥德县期末）若x＝2是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则1+4m﹣2n的值为（）A．3B．5C．7D．9【变式3-1】（2022秋•金华期末）若x＝﹣2是关于x的方程2x﹣a+2b＝0的解，则代数式2a﹣4b+1的值为（）A．﹣7B．7C．﹣9D．9【变式3-2】（2023春•德宏州期末）若x＝2是关于x的一元一次方程mx+n＝3的解，则代数式6m+3n﹣2的值是（）A．2B．3C．7D．9【变式3-3】（2022秋•海兴县期末）若x＝﹣1是方程ax﹣（2a+x）＝4的解，则a的值为（）A．﹣1B．1C．D．【变式3-4】（2023春•淮阳区期末）已知x＝﹣1是方程ax+1＝bx﹣4的解，则﹣3a+5b﹣2（b﹣5）的值是（）A．5B．﹣5C．﹣10D．10【题型4：一元一次方程-同解】【典例4】（惠山区校级月考）关于x的方程＝﹣x与方程4（3x﹣7）＝19﹣35x有相同的解，求m的值．【变式4-1】（2022秋•依安县期末）若方程3x﹣5＝1与方程1﹣＝0有相同的解，则a的值等于．【变式4-2】（罗湖区校级期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和有相同的解，求a的值和这个解．【变式4-3】（房山区校级月考）若关于x的方程2x﹣3＝1和＝k﹣3x有相同的解，求k的值．【变式4-4】（江都市校级期中）已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程的解．【题型5：一元一次方程-错解】【典例5】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程＝﹣1去分母时由于粗心，方程右边的﹣1没有乘6而得到错解x＝4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．【变式5-1】某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝﹣4，他把□处看成了（）A．3B．﹣6C．6D．﹣4【变式5-2】某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝﹣，他把□处看成了（）A．3B．﹣9C．8D．﹣8【变式5-3】某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝﹣，他把□处看成了（）A．3B．﹣9C．8D．﹣8【变式5-4】小华同学在解方程3x﹣1＝□x+2时，把“□”里的数字看错了，解得x＝2，则该同学把“□”里的数字看成了．【变式5-5】某同学在解方程5x﹣5＝△x时，把△处的数字看错了，解得x＝﹣4，该同学把△看成了．【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】【典例7】（2022秋•新泰市期末）（1）x取何值时，代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数？（2）k取何值时，代数式的值比的值小1？【变式7-1】（2022秋•咸阳期末）已知关于x的方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x ﹣2a＝0的解互为相反数，求a的值．【变式7-2】（2022秋•汉台区期末）若4（x﹣1）与﹣2（x﹣3）互为相反数，求x的值．【变式7-3】（2022秋•惠东县期末）如果关于x的方程的解与关于x 的方程4x﹣（3a+1）＝6x+a+1的解互为相反数，求a的值．【变式7-4】（2022秋•长寿区期末）设y1＝1﹣，y2＝（1）当x为何值时，y1，、y2互为相反数；（2）当x为何值时，y1、y2相等．【变式7-5】（2022秋•南岗区校级月考）已知代数式与代数式，当x为何值时，代数式与代数式的值相等．【变式7-6】（2022秋•昭平县期中）x取何值时，2x﹣3与﹣5x+4的值满足下列条件：（1）相等；（2）2x﹣3比﹣5x+4多7．。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
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含参数的一元一次方程一.学习目标1．深刻理解一元一次方程的定义，会运用一元一次方程的定义求字母参数的值． 2．会利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值． 3.学会含绝对值的一元一次方程的解法．二.重难点分析1．利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值是重点． 2．一元一次方程与新定义是难点. 3．掌握含绝对值的一元一次方程的解法.三.要点集结四.精讲精练一元一次方程的定义当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含参数的一元一次方程一元一次方程的定义一元一次方程的解同解方程一元一次方程与新定义含绝对值符号的一元一次方程只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x，且x的指数是1，（2）x的系数不等于0，（3）x的指数高于一次的项系数是0．例1.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）代数式的值．【答案】解：（1）由题意得，|m|﹣4＝1，m+5≠0，解得，m＝5；（2）当m＝5时，原方程化为10x+18＝0，解得，x＝﹣，∴＝＝﹣．练习1.已知关于x的方程（k﹣1）x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为．【答案】-1【解析】根据一元一次方程定义可得：|k|＝1，且k﹣1≠0，再解即可．练习2.已知方程（a﹣1）x|a|+2＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝【答案】﹣1【解析】根据一元一次方程的定义，得到|a|＝1和a﹣1≠0，结合绝对值的定义，解之即可．练习3.已知ax2+2x+14＝2x2﹣2x+3a是关于x的一元一次方程，则其解是（）．A、x＝﹣2B、x＝12C、x＝﹣12D、x＝2【答案】A【解析】根据一元一次方程的定义，2次方的项的系数必为零，才能满足题意要求，故解：方程整理得：(a－2）x＋4x+14－3 a＝0，由方程为一元一次方程，得到a－2＝0，即a＝2，方程为4x+14－6＝0，解得：x＝－2.小结根据定义判断含字母参数的一元一次方程，一般先将方程化为标准型，x的指数高于一次的项系数是0，x的指数为1的项的系数不等于0。
一元一次方程的解一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．例1.小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为＝1，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是4，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．【答案】解：设被墨汁污染的数字为y，原方程可整理得：＝1﹣，把x＝4代入得：＝1﹣，解得：y＝﹣12，即被污染了的数字为﹣12．练习1.已知x＝3是方程ax+6＝﹣4x﹣12的解，b满足关系式|2b+a|＝14，求a+b的值．【答案】解：把x＝3代入方程得：3a+6＝﹣12﹣12，解得：a＝﹣10，把a＝﹣10代入得：|2b﹣10|＝14，解得：b＝12或b＝﹣2，则a+b＝2或﹣12．【解析】把x＝3代入方程计算求出a的值，进而确定出b的值，即可求出a+b的值．练习2.已知关于x的方程2x+a+5＝0的解是x＝1，则a的值为．【解析】解：把x＝1代入方程得：2+a+5＝0，解得：a＝﹣7，故答案为：﹣7．例2..已知x＝﹣2是方程a（x+3）＝a+x的解，求a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）的值．【答案】解：把x＝﹣2代入方程a（x+3）＝a+x得：a＝﹣2，解得：a＝﹣4，把a＝﹣4代入a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）得：原式＝﹣6﹣（﹣10﹣1）+3×8＝﹣6+11+24＝29．小结已知原方程的解，求原方程中未知系数．只需把原方程的解代入原方程，把未知系数当成新方程的未知数求解即可。
同解方程两个一元一次方程是同解方程，其中一个方程中含有字母参数．此类题型的特点是，有2个方程，一个含有字母系数，一个是不含字母系数的方程，2方程同解，求字母系数的值．例1. 已知关于x 的两个方程2x ﹣4＝6a 和＝+a ．（1）用含a 的式子表示方程2x ﹣4＝6a 的解． （2）若方程2x ﹣4＝6a 与＝+a 的解相同，求a 的值．【答案】解：（1）2x ﹣4＝6a ，2x ＝6a +4，x ＝3a +2； （2）＝+a ，2x ﹣2a ＝x +6a ，解得：x ＝8a ，∵方程2x ﹣4＝6a 与＝+a 的解相同，方程2x ﹣4＝6a 的解是x ＝3a +2，∴3a +2＝8a ，解得：a ＝0.4．练习1. 已知关于x 的方程12 (1﹣x )＝1+a 的解与方程2x +a 2 －x －13 ＝x 6 +2a 的解互为相反数，求x 与a 的值．【答案】解：解方程12 (1﹣x )＝1+a 得：x ＝﹣1﹣2a ，解方程2x +a 2 －x －13 ＝x6 +2a 得：x ＝9a －23，∵两个方程的解互为相反数，∴﹣1﹣2a +9a －23 ＝0，解得：a ＝53 ，代入x ＝﹣1﹣2a 得：x ＝﹣133．练习2. 关于x 的方程3x +5＝0与3x +3k ＝1的解相同，则k ＝（ ） A ．﹣2 B ．43 C ．2D ．﹣43【答案】C【解析】解：解第一个方程得：x ＝﹣53 ，解第二个方程得：x ＝1-3k3 ，∴1-3k 3 ＝﹣53解得：k ＝2练习3. 已知：关于y 的方程2﹣3（1﹣y ）＝2y 的解和关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝﹣8的解相同，求m 的值．【答案】解：解方程2﹣3（1﹣y ）＝2y 得：y ＝1，∵关于y 的方程2﹣3（1﹣y ）＝2y 的解和关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝﹣8的解相同， ∴x ＝1，∴把x ＝1代入m （x ﹣3）﹣2＝﹣8得：﹣2m ﹣2＝﹣8，解得：m ＝3．小结一般方法是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．一元一次方程与新定义定义一种新的运算法则，根据新定义列出一元一次方程，再解一元一次方程．例1. 若新规定这样一种运算法则：a ※b ＝a 2+2ab ，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．（1）试求（﹣2）※3的值；（2）若（﹣5）※x ＝﹣2﹣x ，求x 的值．【答案】解：（1）根据题中新定义得：（﹣2）※3＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3＝4+（﹣12）＝﹣8；（2）根据题意：（﹣5）2+2×（﹣5）×x ＝﹣2﹣x ， 整理得：25﹣10x ＝﹣2﹣x ，解得：x ＝3．练习1. 对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：a bad bc c d=-，已知24181x x-=，则x ＝（ ）． A 、﹣1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C【解析】由题意要求可解：∵a bad bc c d=-，∴242(4)61x x x x x -=--=，6x ＝18， 即：x ＝3，练习2. 我们规定，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为b ﹣a ，则称该方程为“差解方程”，例如：2x ＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x=4是差解方程． （1）判断3x ＝4.5是否是差解方程；（2）若关于x 的一元一次方程5x ＝m +1是差解方程，求m 的值．【答案】解：（1）∵3x ＝4.5，∴x ＝1.5， ∵4.5﹣3＝1.5，∴3x ＝4.5是差解方程；（2）∵关于x 的一元一次方程5x ＝m +1是差解方程， ∴m +1﹣5＝m+15 ，解得：m ＝214 ．故m 的值为214．小结解这种关于定义一种新运算的题目，关键是读懂新定义的内容，搞清楚新的运算规则，按规则解答计算。
绝对值方程绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 例1. 阅读下面的例题： 解方程：|x ﹣1|＝5．解：由绝对值的定义，得x ﹣1＝5或x ﹣1＝﹣5． 所以x ＝6或x ＝﹣4．仿照上面的思路，尝试解下列方程：（1）|3x |＝6 （2）|2x ﹣1|＝7 【答案】解：（1）|3x |＝6．由绝对值的定义，得3x ＝6或3x ＝﹣6． 所以x ＝2或x ＝﹣2． （2）|2x ﹣1|＝7，由绝对值的定义，得2x ﹣1＝7或2x ﹣1＝﹣7． 所以x ＝4或x ＝﹣3．练习1. 先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x ﹣3|＝2．解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5； 当x ﹣3＜0时，原方程可化为x ﹣3＝﹣2，解得x ＝1． 所以原方程的解是x ＝5或x ＝1．解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．【答案】解：（1）当3x ﹣2≥0时，原方程可化为3x ﹣2﹣4＝0，解得x ＝2； 当3x ﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x ﹣2）﹣4＝0，解得x ＝﹣． 所以原方程的解是x ＝2或x ＝﹣． 练习2. 方程|2x ﹣4|＝0的解是（ ） A ．2B ．﹣2C ．±2D ．12【答案】A小结解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，根据绝对值的的意义去掉绝对值符号，将方程变成我们熟悉的一元一次方程，再通过检验的方法验证方程的解是否正确．。
五,当堂总结1．一元一次方程的定义：系数不等于0，最高次数等于1． 2．一元一次方程的解.3．同解方程：两个一元一次方程的解相同． 4．含有绝对值的方程六.课后作业1. 方程（2a ﹣1）x 2+3x +1＝4是一元一次方程，则a ＝ ． 【答案】122. 已知方程x 2k ﹣1+k ＝0是关于x 的一元一次方程，则方程的解等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．﹣【答案】A3. 关于x 的方程（a +2）x |a |﹣1﹣2＝1是一元一次方程，则a ＝ ． 【答案】24. 已知关于x 的方程（m +3）x |m +4|+18＝0是一元一次方程，试求： （1）m 的值；（2）2（3m +2）﹣3（4m ﹣1）的值．【答案】解：（1）依题意有|m +4|＝1且m +3≠0，解之得m ＝﹣5，（2）当m ＝﹣5时，2（3m +2）﹣3（4m ﹣1）＝﹣6m +7＝﹣6×（﹣5）+7＝37． 5. 若方程2x ＝8和方程ax +2x ＝4的解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1C ．±1D ．0【答案】B6．小明在解方程5a ﹣x ＝13（x 为未知数）时，误将﹣x 看作+x ，得方程的解为x ＝﹣2，那么原方程的解为（ ）A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x ＝﹣3D ．x ＝1【答案】A【解析】解：把x ＝﹣2代入方程5a +x ＝13中得：5a ﹣2＝13，解得：a ＝3， 方程为15﹣x ＝13，解得：x ＝2， 7．方程|2x ﹣1|＝2的解是（ ） A ．x ＝32B ．x ＝﹣32C ．x ＝32 或x ＝﹣12D ．x ＝﹣128.已知关于x 的方程2（x +1）﹣m ＝﹣的解比方程5（x ﹣1）﹣1＝4（x ﹣1）+1的解大2．（1）求第二个方程的解； （2）求m 的值． 【答案】解：（1）x ＝3；（2）由题意得：方程2（x +1）﹣m ＝﹣的解为x ＝3+2＝5， 把x ＝5代入方程2（x +1）﹣m ＝﹣得：m ＝22．9．已知y ＝3是方程6+（m ﹣y ）＝2y 的解，那么关于x 的方程2m （x ﹣1）＝（m +1）（3x ﹣4）的解是多少？ 【答案】解：把y ＝3代入方程6+（m ﹣y ）＝2y 得：6+（m ﹣3）＝2×3，解得：m ＝3；把m ＝3代入2m （x ﹣1）＝（m +1）（3x ﹣4）得：6（x ﹣1）＝4（3x ﹣4），解得：x ＝．10. 已知方程x －25 ＝2－x +32的解也是方程|3x ﹣2|＝b 的解，则b ＝ ．【解析】解：2（x ﹣2）＝20﹣5（x +3），2x ﹣4＝20﹣5x ﹣15，7x ＝9，解得：x ＝97．把x ＝97 代入方程|3x ﹣2|＝b 得：|3×97 ﹣2|＝b ，解得：b ＝137 ．故答案为：137 ．11. 已知方程4x +2m ＝3x +1和方程3x +2m ＝6x +1的解相同． （1）求m 的值； （2）求代数式的值．【答案】解：（1）由4x +2m ＝3x +1和方程3x +2m ＝6x +1的解相同，得m ＝0.5 （2）当m ＝0.5时，＝（）2003•（﹣）2004＝（）2003•（）2003•＝（×）2003×＝．12. 已知关于x 的一元一次方程3（x ﹣1）＝3m ﹣6与2x ﹣5＝﹣1的解互为相反数， 求（m +12）3的值．【答案】解：解方程2x ﹣5＝﹣1得：x ＝2，∵关于x 的方程3（x ﹣1）＝3m ﹣6与2x ﹣5＝﹣1的解互为相反数， ∴把x ＝﹣2代入方程3（x ﹣1）＝3m ﹣6得：m ＝﹣1， ∴（m +12 ）3＝﹣18．13．已知方程（3m ﹣4）x 2﹣（5﹣3m ）x ﹣4m ＝﹣2m 是关于x 的一元一次方程， （1）求m 和x 的值．（2）若n 满足关系式|2n +m |＝1，求n 的值．解：（1）∵方程（3m ﹣4）x 2﹣（5﹣3m ）x ﹣4m ＝﹣2m 是关于x 的一元一次方程， ∴3m ﹣4＝0．解得：m ＝． 将m ＝代入得：﹣x ﹣＝﹣．解得x ＝﹣．（2）∵将m ＝代入得：|2n +|＝1．∴2n +＝1或2n +＝﹣1． ∴n ＝﹣或n ＝﹣． 14．（1）已知|x ﹣6|＝2，求x 的值；（2）已知m ＝2，且|x ﹣6|+|y +4m |＝0，求x 2﹣2xy +y 2的值． 【答案】（1）解：∵|x ﹣6|＝2，∴x ﹣6＝2或x ﹣6＝﹣2，∴x ＝8或x ＝4； （2）解：由题意得x ﹣6＝0，y +4m ＝0，∴x＝6，y＝﹣4m，∵m＝2，∴y＝﹣8，当x＝6，y＝﹣8时，x2﹣2xy+y2＝62﹣2×6×（﹣8）+（﹣8）2＝36﹣（﹣96）+64＝196．。