《常微分方程》_(方道元_著)_课后习题答案__浙江大学出版社
《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
常微分方程 习题答案
常微分方程习题答案常微分方程（ODEs）是数学中的一个重要分支，研究方程中的未知函数的导数与自变量之间的关系。
在实际应用中，ODEs广泛用于描述各种自然现象和工程问题，如物理学中的运动学、天体力学、电路理论等。
本文将通过一些常见的ODEs习题，探讨其解答方法和相关概念。
1. 一阶线性常微分方程考虑形如$y'+p(x)y=q(x)$的一阶线性常微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
我们可以使用常数变易法来求解该方程。
首先求出齐次方程$y'+p(x)y=0$的通解$y_h(x)$，然后寻找特解$y_p(x)$，使得$y_p(x)$满足原方程。
最后，将通解$y_h(x)$和特解$y_p(x)$相加，即可得到原方程的通解。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指包含未知函数的高阶导数的方程。
考虑形如$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=f(x)$的齐次线性常微分方程，其中$a_1,\ldots,a_n$是已知常数，$f(x)$是已知函数。
我们可以使用特征方程的方法来求解该方程。
首先求出齐次方程的特征方程$r^n+a_1r^{n-1}+\ldots+a_n=0$的根$r_1,\ldots,r_n$，然后根据根的性质得到齐次方程的通解$y_h(x)$。
接下来，我们需要找到一个特解$y_p(x)$，使得$y_p(x)$满足原方程。
最后，将通解$y_h(x)$和特解$y_p(x)$相加，即可得到原方程的通解。
3. 常见的ODEs应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律$F=ma$可以转化为二阶常微分方程$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=F(x,t)$，其中$x(t)$表示物体的位置。
在天体力学中，开普勒定律可以通过常微分方程来描述行星的运动。
在电路理论中，基尔霍夫电流定律和电压定律可以转化为常微分方程，用于分析电路中的电流和电压。
常微分课后答案第一章培训讲学
常微分课后答案第一章第一章 绪论§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2 基本概念习题1.21．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）y x dxdy-=24； （2）012222=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d ；（3）0322=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy ；（4）x xy dx dydxy d x sin 3522=+-；（5）02cos =++x y dxdy； （6）x e dx y d y=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程0222=+y dxyd ω的解，这里0>ω是常数．（1）x y ωcos =；（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．解 （1）y x dx y d x dxdy2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωcos =为方程的解．（2）y x C y x C y 2211cos ,sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωcos 1=为方程的解．（3）y x dx y d x dxdy2222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωsin =为方程的解．（4）y x C y x C y 2222sin ,cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωsin 2=为方程的解．（5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2=+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ；（6）x y 1-=，1222++='xy y x y x ；（7）12+=x y ，x y x y y 2)1(22++-='； （8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于x Ce y ='，x Ce y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ． （4）由x e y ='，因此x x x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--． （5）因为x y cos ='，所以0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．（6）从21x y ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='． 4．给定一阶微分方程x dxdy2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解； （4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 C x xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=x y ． （3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=x y ．（4）由231)31()(1310210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=x y ． （5）如图1-1所示．图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x y y -+='； （2）2422y y x x x y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则BAy -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或0)(22=-++B A B C x B A B A ，所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C BAB A ，得到 ⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ．7．微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是0),(=--y x F ．由于0),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xy y y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代y x ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y y x -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由ο100C 冷至ο60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到ο30C ？假设空气的温度为ο20C ．解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=a u ，微分方程为)(a u u k dtdu--=，解得kt a Ce u u -+= ，根据初始条件10000===u u t ，得800=-=a u u C ，因此kt a a e u u u u --+=)(0，根据60,201===u u t ，得到k a a e u u u u 2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到ο30C ． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； （3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分； （5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项； （7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-y y x 和y x y '-）． 解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y y x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有 2y x y y '-=，或0=+'y y x ． （5）由（2），2x y x y ='-． （6）同样由（2），2yx y x y +='-，或x y x y ='-2． （7）易得kx y =' （k 为常数且0>k ）．。
常微分方程课后习题答案
1 dy y
2xdx, 两边同时积分得：ln y
x2 c,即y
e c x2 把x
0, y
1代入得
e c 1,故它的特解为y
x
2
。
y 2. 2 dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.
解：对原式进行变量分离得：
1 dx 1 dy,当y 0时，两边同时积分得；ln x 1 1 c,即y 1
解： dy ( y3 )2 2x2 dy3 3[(y3 )2 2x2 ]，，令y3 u，则原方程化为
dx y 2 (2xy3 x2 dx
解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c
xy-y 2 +y-x 2 -x=c
14: dy = x y 5 dx x y 2
解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
1 du - 1 =u 2 +3 4 dx 4 du =4 u 2 +13 dx u= 3 tg(6x+c)-1
2 tg(6x+c)= 2 (x+4y+1).
3
16:证明方程 x dy =f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： y dx
1） y(1+x 2 y 2 )dx=xdy
1 u2
x
arcsin y =sgnx ln|x|+c x
7. tgydx-ctgxdy=0
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
《常微分方程》_(方道元_著)_课后习题答案__浙江大学出版社
X +Y X °Y
arctan u ° ln C 3. u=
y °1 x+2
p
1 + u2 = ln |x| + C
dy ax + by + m = dx cx + dy + n a b c d m n ad ° bc 6= 0 dY aX + bY = dX cX + dY ad = bc ad ° bc 6= 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 3. (1) (2) (3) (4)
y = Cx + x2 xy = C
y=9 2C +
C 2 xx
x (1)y 00 = 2 (2)y + xy 0 = 0 (3)y 000 + (y 0 )2 y 000 = 3y 0 (y 00 )2 (4)y 000 = 0
(5) (6) (7)
e°y + ex+3 = C sin y = 0 C y = k º (k 2 Z)
2 y = tan(x ° 1 2 x + C)
ln |x| +
xy = °1
1 xy +1
=C C
C
xy 6= °1
C sin y 6= 0
(8) z = y 2
sin2 y ° C sin2 x = 0
1. (1) (2)
dy dx d y dx2
2
= y + sin x; °
1 1°x2 y = 1 + x, Rx ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
y (0) = 1;
常微分课后答案第五章
常微分课后答案第五章第五章 线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理习题5.11．给定方程组x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='0110，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ． （*）)a 试验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u sin cos )(，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)0(v 的解；)b 试验证)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)(c c t w 的解，其中21,c c 是任意常数．证明)a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(v 显然．)(0110sin cos 0110cos sin )(t u t t t t t u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='，)(0110cos sin 0110sin cos )(t v t t t t t v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u sin cos )(，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(v 的解．)b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=2121211001)0()0()0(c c c c v c u c w ，又)(0110)(0110)()()(2121t v c t u c t v c t u c t w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=')(0110))()((011021t w t v c t u c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)(c c t w 的解，其中21,c c 是任意常数．2．将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：)a t e tx x x -=+'+''72，7)1(=x ，2)1(-='x ；)b tte x x =+)4(，1)0(=x ，1)0(-='x ，2)0(=''x ，0)0(='''x ；)c ⎩⎨⎧=-'+-''=+-'+''tx y y y e y x y x t cos 15132,675，1)0(=x ，0)0(='x ，0)0(=y ，1)0(='y ．（提示：令y w y w x w x w '=='==4321,,,）解 )a 设x x x x '==21,，则21x x x ='='，te tx xx x -+--=''='12272，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-==+--='='-．2)1(,7)1(,27,2121221x x e x tx x x x t)b 设x x x x x x x x'''=''='==4321,,,，则21x x x ='='，32x x x =''='，43x x x ='''='，tte xx +-='14，则得等价的一阶方程组的初值问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='='='='tte x x x x x x x x 14433221,,,，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211)0()0()0()0()0(4321x x x x x ．)c 令y w y w x w x w'=='==4321,,,，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+='='+--='='tw w w w w w e w w w w w w t cos 13215,,567,431443431221 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001)0()0()0()0()0(4321w w w w w ，为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题． 3．试用逐步逼近法求方程组xx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='0110，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(x 的第三次近似解．解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)(0t ϕ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰110011010)(01t ds t tϕ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰2210211011010)(t t ds s t tϕ，第三次近似解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰2213610221*********)(t t t ds s s t t ϕ．§5.2 线性微分方程组的一般理论习题5.21．试验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ12)(2t t t t是方程组x t tx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-='22102，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x在任何不包含原点的区间b t a ≤≤上的基解矩阵． 证明 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t 2)(21ϕ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(2t t ϕ，则由于)(22102221022)(12221t t t t t t t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='，)(22101221001)(2222t t t t t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='，所以)(,)(21t t ϕϕ都是方程组的解，因而[])()()(21t t t ϕϕ=Φ是所给方程组的解矩阵．又由于在任何不包含原点的区间],[b a 上，0)(det 2≠-=Φt t （],[b a t ∈），故)(t Φ是所给方程组的基解矩阵． 2．考虑方程组xt A x )(='， （5.15）其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为)(t a ij，n j i ,,2,1, =．)a 如果)(,,)(,)(21t x t x t x n是（5.15）的任意n 个解，那么它们的Wronsky 行列式)](,,)(,)([21t x t x t x W n满足下面的一阶线性微分方程Wt a t a t a W nn )]()()([2211+++=' ．（提示：利用行列式的微分公式，求出W '的表达式）；)b 解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：⎰=+++tt nn dss a s a s a e t W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t∈．证明 )a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nn n nn n nn n n n n '''++'''='+=∑∑∑===)()()()()()()()()()()()(212222111121111t x t x t x t x t x t x t x t at x t at x t ann n n n nk kn knk k knk k k∑∑∑===+nk kn nknk k nknk k nkn n t x t at x t at x t at x t x t x t x t x t x 112112222111211)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(21222211121121222211121111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a nn n n n n nn nn n n n n++=)()]()([11t W t a t a nn ++= ，所以)(t W 是一阶线性微分方程Wt a t a t a W nn )]()()([2211+++=' 的解．)b 由)a 知，Wt a t a t aW nn )]()()([2211+++=' ，分离变量后两边积分求解得⎰=+++tt nn dss a s a s a cet W 02211)]()()([)( ，t t =时就得到)(0t W c =，所以⎰=+++tt nn dss a s a s a et W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t ∈．3．设)(t A 为区间],[b a 上的连续n n ⨯实矩阵，)(t Φ为方程x t A x )(='的基解矩阵，而)(t x ϕ=为其一解．试证：)a 对于方程yt Ay T)(-='的任一解)(t ψ必有=)()(t t Tϕψ常数；)b )(t ψ为方程yt Ay T)(-='的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(．证明)a 由于)(t ϕ是方程x t A x )(='的解，故有)()()(t t A t ϕϕ='，)(t ψ为方程yt A y T )(-='的解，故)()()(t t A t T ψψ-='．所以[][])()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t TTTTTϕψϕψϕψϕψϕψ'+'='+'=')()()()()]()([t t A t t t t A TT T ϕψϕψ+-=)()()()()()(=+-=t t A t t t A t T T ϕψϕψ，所以=)()(t t Tϕψ常数．)b “⇒” )(t Φ是方程x t A x )(='的基解矩阵，因此)()()(t t A t Φ=Φ'，)(t ψ是方程yt Ay T)(-='的基解矩阵，故)()()(t t A t T ψ-=ψ'，且0)(det ≠Φt 和0)(det ≠t ψ．所以[][])()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t TTTTTΦ'ψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'ψ='Φψ)()()()()]()([t t A t t t t A TTTΦψ+Φψ-=)()()()()()(=Φψ+Φψ-=t t A t t t A t T T ， 故)()(t t TΦψ是常数矩阵，设Ct t T=Φψ)()(，则)(det )(det )(det )(det )]()(det[det ≠Φ⋅ψ=Φ⋅ψ=Φψ=t t t t t t C T T ，因此存在非奇异常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(．“⇐”若存在非奇异常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(，则有)(det )(det )(det )(det )]()(det[det 0t t t t t t C T T Φ⋅ψ=Φ⋅ψ=Φψ=≠，所以0)(det ≠ψt ，即)(t ψ是非奇异矩阵或说)(t ψ的各列是线性无关的．又[])()()()()]([)()()(])([)()(0t t A t t t t t t t t t T T T t T Φψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'ψ='Φψ=，并注意到)(det ≠Φt ，有)()()]([t A t t T T ψ-=ψ'，即)()()(t t A t T ψ-=ψ'．从而)(t ψ是方程yt Ay T)(-='的基解矩阵．4．设)(t Φ为方程Ax x ='（A 为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即E =Φ)0(），证明)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．证明 由于A 为n n ⨯常数矩阵，故A 在),(∞+-∞有定义、连续，从而它的解也在),(∞+-∞连续可导．由)(t Φ为方程Ax x ='的基解矩阵，故),(∞+-∞∈∀t ，有0)(det ≠Φt ，并且有)()(t A t Φ=Φ'，从而对某个0t ，有)(det 0≠-Φt t ，且)()()()(])([00000t t A t t t t t t t t -Φ=-Φ'='-⋅-Φ'='-Φ，即)(0t t -Φ亦为方程Ax x ='的基解矩阵．由推论2*，存在一个非奇异常数矩阵G ，使得在区间),(∞+-∞上，G t t t )()(0Φ=-Φ．又因为Gt t tE )()()0(000Φ=-Φ=Φ=，所以)(01t G -Φ=．因此)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．5．设)(,)(t f t A 分别为在区间],[b a 上连续的n n ⨯矩阵和n 维列向量．证明方程组)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解． 证明 设方程组xt A x )(='的基解矩阵为)](,,)(,)([)(21t t t t n ϕϕϕ =Φ，而)(~t ϕ是方程组)()(t f x t A x +='的一个特解，则其通解为)(~)(t c t x ϕ+Φ=，其中c 是任意的常数列向量．若)(t f 不恒为0，则)(~t ϕ必与)(,,)(,)(21t t t n ϕϕϕ 线性无关，从而)(~t ϕ，)(~)(1t t ϕϕ+，)(~)(2t t ϕϕ+，)(~)(,2t t ϕϕ+ 线性无关，即方程组)()(t f x t A x +='存在1+n 个线性无关解．又假若)(t x 是方程组)()(t f x t A x +='的任意一个解，则一定有确定的常数列向量c ，使得)(~)()(t c t t x ϕ+Φ=，将其加入)(~t ϕ，)(~)(1t t ϕϕ+，)(~)(2t t ϕϕ+，)(~)(,2t t ϕϕ+ 这一组向量就线性相关，故方程组)()(t f x t A x +='的任何2+n 个解必线性相关．从而方程组)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解．6．试证非齐线性微分方程组的叠加原理：设)(,)(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t fx t A x +='的解，则)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解． 证明 因为)(,)(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t fx t A x +='的解，故)()()()(111t f t x t A t x +='，)()()()(222t f t x t A t x +='，所以有)]()()([)]()()([)()(])()([22112121t f t x t A t f t x t A t x t x t x t x +++='+'='+)()()]()()[(2121t f t f t x t x t A +++=，所以)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解． 7．考虑方程组)(t f Ax x +='，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t f cos sin )(． )a 试验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φt t te te e t 2220)(是Ax x ='的基解矩阵；)b 试求)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解)(t ϕ．证明)a 00)(det 4222≠==Φtt t te ete e t ，),(∞+-∞∈∀t 成立．而)(0201220)12(2)(222222t A e te e e e t e t t t tt t tΦ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Φ'，所以)(t Φ是Ax x ='的基解矩阵．)b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--10101)(222241s e e se e es s s s s s，这样，由定理8，方程组满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00)0(ψ的解就是⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t s t t ttds s s s e e te e ds s f s t t 0222201cos sin 1010)()()()(ψ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t s t t tds s s s s e e te e 02222cos cos sin 0⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--52)cos 2(sin 51252)cos 2sin 14sin 5cos 10(251022222t t e t t t t t t e e te e t tt tt⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=)cos 2sin 2(51)cos sin 75(252222t t e t t e te t tt ，对应的齐线性方程组满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(h ϕ的解就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t t t t th h e t e E e te e t t 2212221)1(110)0()0()()(ϕϕ，所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+--=+=)cos 2(sin 5153)cos sin 7(252)1527(251)()()(22t t e t t t e t t t t t h ψϕϕ．8．试求)(t f Ax x +='，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t f cos sin )( 满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解)(t ϕ．解 由上题知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t t h e t e t 22)1()(ϕ，且这里⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t s s t t ttds e s e e te e ds s f s t t 0222220101010)()()()(ψ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰t t t t t t t t tte e t t t e te e ds s e te e 222222202222121010，所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+=t t h e t e t t t t t 222)1()211()()()(ψϕϕ．9．试求下列方程的通解：)a t x x sec =+''，22ππ<<-t ； )b te x x 28=-'''； )c te x x x =+'-''96．解 )a 易知对应的齐线性方程0=+''x x 的基本解组为t t x cos )(1=，t t x sin )(2=，用公式（5.31）来求方程的一个解．这时1cos sin sin cos )](,)([21=-=tt t t t x t x W ，取0=t，有 ⎰⎰-=-=t t t sdss t s t ds s f s x s x W s x t x s x t x t 0212112sec )sin cos cos (sin )()](,)([)()()()()(0ϕtt t t sds t ds t tt cos ln cos sin tan cos sin 0+=-=⎰⎰所以方程的通解为tt t t t c t c x cos ln cos sin sin cos 21+++=． )b 由于特征方程083=-λ的根是21=λ，i313,2±-=λ，故对应的齐线性方程的基本解组为te t x 21)(=，te t x t 3cos )(2-=，tet x t3sin )(3-=．原方程的一个特解由公式（5.29）有（取0=t），∑⎰==313213210)()](,)(,)([)](,)(,)([)()(k tt k k dss f s x s x s x W s x s x s x W t x t ϕ，其中)](,)(,)([)(321t x t x t x W t W =)3sin 3cos 3(2)3sin 33(cos 24)3sin 3cos 3()3sin 33(cos 23sin 3cos 222t t e t t e e t t e t t e e te te e t t tt t tt t t +----+-=------312=，)](,)(,)([)(3211t x t x t x W t W =)3sin 3cos 3(2)3sin 33(cos 21)3sin 3cos 3()3sin 33(cos 03sin 3cos 0t t e t t e t t e t t e te te t t t t t t +----+-=------te 23-=，)](,)(,)([)(3212t x t x t x W t W =)3cos 33sin 3()3sin 3cos 3(214)3sin 3cos 3(023sin 0222t t e t t e e t t e e te e t t tt tt t -=+--=---，)](,)(,)([)(3213t x t x t x W t W =)3sin 33cos 3(1)3sin 33(cos 240)3sin 33(cos 203cos 222t t e t t e e t t e e te e t t tt tt t +-=--+-=---．所以⎰⎰-+⋅=--ts s tts stdse s s e t e ds e eet 020222312)3cos 33sin 3(3cos 3123)(ϕ⎰+-+-ts s tdse s s e t e 02312)3sin 33cos 3(3sin)3cos 33(sin 324124112122t t e e te t t t ++-=-，故通解tt tte t c t c e ec t x 23221121)3sin 3cos ()(+++=-．)c 特征方程0962=+-λλ，得到特征根32,1=λ，故对应的齐线性方程的基本解组为te t x 31)(=，tte t x 32)(=，tttt tee t ete e t W 63333)31(3)(=+=．取0=t，由（5.31），得特解⎰⎰⋅-=-=t sss t st tt dse e se e e te ds sf s W s x t x s x t x t 06333321120)()()()()()()(ϕtt t ts t e te e ds e s t e 33023412141)(++=-=⎰-，所以得到通解tt e et c ct x 41)()(321++=．10．给定方程)(78t f x x x =+'+''，其中)(t f 在+∞<≤t 0上连续，试利用常数变易公式，证明：)a 若)(t f 在+∞<≤t 0上有界，则上面方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界；)b 若当∞→t 时，0)(→t f ，则上面方程的每一个解)(t ϕ，满足0)(→t ϕ（当∞→t 时）． 证明 对应的特征方程0782=++λλ有特征根7,1--，故对应的齐线性方程的基本解组te t x -=)(1，tet x 72)(-=，ttt t tee e e e t W 87767)(------=--=．由公式（5.31）得原方程的一个特解（0=t）为⎰⎰-------=-=t s st st tt dss f e e e e e ds s f s W s x t x s x t x t 08772112)(6)()()()()()()(~0ϕ⎰⎰---=t s t t s t dss f e e ds s f e e 0770)(61)(61，所以方程的任一解可写为⎰⎰-----++=t st t s t ttdss f e e ds s f e e ec e c t 0770721)(61)(61)(ϕ．)a 由于)(t f 在+∞<≤t 0上有界，故0>∃M ，),0[∞+∈∀t ，有M t f ≤)(．又由于10≤<-te ，107≤<-te，从而当),0[∞+∈t 时，⎰⎰⋅+⋅++≤--ts t ts t ds e M e ds e M e c c t 0770216161)(ϕ=)1(42)1(67721-+-++--tt t t e e M e e M c c)1(42)1(6721t t e M e M c c ---+-++=M c c 21421++<，即方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界．)b 当∞→t 时，0)(→t f ，故由⎰⎰-----++=ts t ts t t t ds s f e e ds s f e e e c e c t 0770721)(61)(61)(ϕ知，若⎰t sdss f e)(有界，则)(0)(610∞→→⎰-t ds s f e e t st ，若⎰t sdss f e)(无界，由于)(s f 在),0[∞+连续，故⎰t s dss f e 0)(为无穷大量，因此0)(lim 616)(lim 6)(lim )(61lim 00====∞→∞→∞→-∞→⎰⎰t f et f e e ds s f e ds s f e e t t t t t tst t s t t ，即总有)(0)(610∞→→⎰-t ds s f e e t st ．同理)(0)(61077∞→→⎰-t ds s f e e t st ．从而对方程的每一个解)(t ϕ，有)(0)(∞→→t t ϕ．11．给定方程组x t A x )(='，这里)(t A 是区间],[b a 上的连续n n ⨯矩阵．设)(t Φ是它的一个基解矩阵，n 维向量函数),(x t F 在∞<≤≤x b t a ,上连续，],[0b a t∈．试证明初值问题：⎩⎨⎧=+='ηϕ)(,),()(0t x t F x t A x（*）的唯一解)(t ϕ是积分方程组⎰--ΦΦ+ΦΦ=tt dss x s F s t t t t x 0))(,()()()()()(101η （**）的连续解．反之，（**）的连续解也是初值问题（*）的解． 证明)(t ϕ是初值问题（*）的解，故))(,()()()(t t F t t A t ϕϕϕ+='，这说明),(x t F 是t 的向量函数，于是由公式（5.27）得⎰--ΦΦ+ΦΦ=t t ds s s F s t t t t 0))(,()()()()()(101ϕηϕ，即)(t ϕ是积分方程组（**）的连续解．反之，设)(t ϕ是积分方程组（**）的连续解，则有⎰--ΦΦ+ΦΦ=t t ds s s F s t t t t 0))(,()()()()()(101ϕηϕ，两端对t 求导，就有))(,()()())(,()()()()()(11010t t F t t ds s s F s t t t t t t ϕϕηϕ---ΦΦ+ΦΦ'+ΦΦ'='⎰))(,(]))(,()()()[(0101t t F ds s s F s t t tt ϕϕη+Φ+ΦΦ'=⎰-- ))(,(]))(,()()()[()(0101t t F ds s s F s t t t A t t ϕϕη+Φ+ΦΦ=⎰-- ))(,(]))(,()()()()()[(0101t t F ds s s F s t t t t A t t ϕϕη+ΦΦ+ΦΦ=⎰--))(,()()(t t F t t A ϕϕ+=，即)(t ϕ也是初值问题（*）的解．§5.3 常系数线性微分方程组习题5.31．假设A 是n n ⨯矩阵，试证：)a 对任意的常数21,c c 都有A c A c A c A c 2121exp exp )exp(⋅=+；)b 对任意整数k ，都有kAA kexp )(exp =．（当k是负整数时，规定kk A A --=])[(exp )(exp 1．证明 )a 因为))(())((1222121A c A c A c c A c A c ==，所以矩阵Ac 1与A c 2可交换，故Ac A c A c A c 2121exp exp )exp(⋅=+．)b ①先证明N k ∈∀，有kAA kexp )(exp =，这只须对k 施以数学归纳法． 当1=k 时，)1exp(exp )(exp 1A A A ⋅==成立，设当k 时，kAA k exp )(exp =，则当1+k 时，有Ak A kA A A A k k )1exp(exp exp exp )(exp )(exp 1+===+，故对一切自然数k ，kAA kexp )(exp =．②)0exp(0exp )(exp 0A E A ===．③若k 是负整数，则N k ∈-，注意到)exp()(exp 1A A -=-，并由以上证明应用于矩阵A -，就有kAA k A A A k k k exp )](exp[)][exp(])[(exp )(exp 1=--=-==---，由①②③，对一切整数k ，均有kAA kexp )(exp =．2．试证：如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)]([exp )(0t t A t -=．证明 由于 ηηϕ⋅⋅-='-='A t t A t t A t )]([exp ])([exp )(0，)(})]({[exp 0t A t t A A ϕη=-=，又ηηηϕ==⋅=E A t )]0[exp()(0，故ηϕ)]([exp )(0t t A t -=是方程组Axx ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解．由解的唯一性，命题得证．3．试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量．)a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421； )b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---244354332；)c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102111121；)d ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6116100010．解 )a 特征方程0543421)det(2=--=----=-λλλλλA E ，特征值11-=λ，52=λ，对应于特征值11-=λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21u u u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得到0≠∀α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．类似地可求得对应于特征值52=λ的特征向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21βv ，其中0≠β的任意常数．)b 特征方程0)2)(1)(2(244354332)det(=++-=---+---=-λλλλλλλA E ，特征值21-=λ，12-=λ，23=λ．对应于特征值21-=λ的特征向量u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得到≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110αu 是对应于特征值21-=λ的特征向量．类似地，可以求出对应于特征值12-=λ以及23=λ的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011βv （0≠β的任意常数）和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111γw （0≠γ的任意常数）．)c 特征方程0)1)(3(12111121)det(2=+-=---+----=-λλλλλλA E ，特征值12,1-=λ，33=λ．对应于特征值12,1-=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321u u u u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得0≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212αu 是对应于特征值12,1-=λ的特征向量．类似地，可以求出对应于特征值33=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212βv （0≠β的任意常数）．)d 特征方程0)3)(2)(1(61161001)det(=+++=+--=-λλλλλλλA E ，特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ．由0)(1=+-u E A λ，推出0≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．同样可求得对应于特征值22-=λ和33-=λ的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=421βv （0≠β的任意常数）和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=931γw （0≠γ的任意常数）．4．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并计算Atexp ，其中A 为：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；)b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421；)c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---244354332；)d ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--115118301．解)a 特征方程032112)det(2=-=--+=-λλλλA E ，得32,1±=λ是特征值．对应的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3211αu ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3212βu ，0,0≠≠βα为任意常数．所以方程组Axx ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Φ--t ttt e e ee t 3333)32()32()(．133331323211)32()32()0()(exp ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ΦΦ=t ttt e e ee t At⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+----+=----t ttttt tt e eee e ee e 33333333)32()32()32()32(63．)b 由第3题)a 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Φ--t tt te e e e t 552)(． 155121112)0()(exp ----⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=t tt t e e e e t At⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=----t t t t t t tt e e e e e e e e 55552)(2231．)c 由第3题)b 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ----t t t t tt t e e e e ee e t 222220)(．12222211011111100)0()(exp ------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=t t tt tt t e e e e ee e t At⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---=--------t tt t t tt tt t t tt t t t te e e e e e e e e e e e e e e e e 2222222222222． )d 特征方程)34)(3(11511831)det(2=--+=+------=-λλλλλλλA E ，特征值为31-=λ，723,2±=λ．对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4731αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=7174532βu ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=7174533γu ，γβα,,均为不等于零的任意常数．故方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=Φ-+--+--+-t tt tt tttt e e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(．由)0()(exp 1-ΦΦ=t At 立即可得[])()()(exp 321t t t At ψψψ=，其中列向量函数⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++--+++--+++=-+--+--+-t t t t t t t t t e e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7514(2)7514(256)71349()49713(98)737(3)737(342841)(ψ， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-+-+-+=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)714(2)714(256)753175()753175(98)757(3)757(3422521)(ψ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++++--+++-+-=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7137()7137(112)98761()98761(196)714(3)714(3841261)(ψ．（该题计算量太大，作为该法的习题不是太好！）5．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并求满足初始条件ηϕ=)0(的解)(t ϕ：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33η；)b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=115118301A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=720η；)c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001η．解 )a 由上题)b 知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112231exp 55t tt te e e e At ，所以所求解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+==--t t t t e e e e At t 5542)(exp )(ηϕ．)b 由上题)d 知)0()(exp 1-ΦΦ=t At ，其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=Φ-+--+--+-t tt tt tttte e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(．所以所求解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---+--⋅Φ==720)714(2775)773(3)714(2775)773(33214422521)()(exp )(t At t ηϕ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--+--+-++-+=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e ee e )72()72(3)72()72(3)72()72(3)7317(3)78977(728)7160289(3)7374511(1274)7435(9)9172(35461261．)c 由第3题)c 知，矩阵A 的特征值为12,1-=λ，33=λ．对应于特征值33=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212αv （0≠α的任意常数）．又由648324648)(32121=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-u u u u A E λ，得到⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=)24(3331γβγβu （γβ,是任意常数），由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)24(3331212001γβγβαη解出41,21,41-===γβα．依公式（5.52），得满足初始条件ηϕ=)0(的解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=--212120212124121241)]([)(33t tt t tt t e e u E A t E e Ev e t t t t t ϕ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=---)(2)(241333t t tt t t e e e e e e6．试求方程组)(t f Ax x +='的解)(t ϕ：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1)(t e t f ；)b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000)0(ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6116100010A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-t e t f 00)(；)c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)0(ηηϕ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1234A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t f cos 2sin )(．解 )a 由第4题)b 知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112231exp 55t tt te e e e At ，由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--------t s s t s t s t s t t t t tds e e e e e e e e e 0)(5)()(5)(5511112231111112231⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-=--53109235420934355t t t t tt e e e e e e ．)b 由第3题)d 知A 的特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ，对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421βv ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=931γw ，其中γβα,,均是不为零的任意常数．Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==Φ---------t tt tt tt t ttt te e e e e ee e e w e v e u et 3232329432][)(321λλλ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=Φ--13228615621941321111)0(11，而)0()(exp 1-ΦΦ=t At ．由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---------000132286156943221323232t tt tt t t t te e ee e e e e e⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-------------------t s s t s t s t s t s t s t s t s t s t dse e e e e e e e e e 0)(3)(2)()(3)(2)()(3)(2)(00132286156943221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+---+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=------------------⎰t t t tt t t t t t t s t s t t s t s t t s t s t e e e t e e e t e e e t ds e e e e e e e e e 3232320322322322916)72(38)25(4)32(419834221．)c A的特征方程0)2)(1(1234)det(=--=+--=-λλλλλA E ，求解得特征值11=λ，22=λ，对应的特征向量分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11αu ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23βv ，其中βα,是不为零的任意常数．所以方程组Axx ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Φt tt t tte e e e v eu e t 2223][)(21λλ，从而，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=ΦΦ=-1132)()0()(exp 1t t At ．由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----t s t s t s t s t t t t tds s s e ee e e e e e 0)(2)()(2)(2122cos 2sin 113223113223ηη⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=t t e e t t e e e e e e t t t t t t t t cos 2sin 224cos sin 234)(2)23()(3)23(222211222112ηηηηηηηη⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--+--+--=t t e e t t e e t t t t cos 2sin 2)(2)423(cos sin 2)(3)423(2211222112ηηηηηηηη．7．假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mtce Ax x +='有一解形如mte t ρϕ=)(，其中ρ,c 是常数向量．证明 设方程组有形如mte t ρϕ=)(的解，代入方程得m tm t m t ce e A e m +=ρρ，由此得cA m +=ρρ，即cA mE =-ρ)(．因为m 不是矩阵A 的特征值，故0)det(≠-A mE ，即矩阵A mE -可逆，得到c A mE 1)(--=ρ唯一确定．所以方程组有一解m tm t e ce A mE t ρϕ=-=-1)()(8．给定方程组⎩⎨⎧=+'+-'=-'++'-''．02,023221122111x x x x x x x x x)a 试证上面方程组等价于方程组Au u ='，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211321x x x u u u u ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112244010A ；)b 试求)a 中的方程组的基解矩阵；)c 试求原方程组满足初始条件0)0(1=x ，1)0(1='x ，)0(2=x 的解．解 )a 设11x u=，12x u'=，23x u=，则原方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧--='=''-+-=''='='=',2,23,32123331212211u u u x u u u u u x u u x u或⎪⎩⎪⎨⎧--='++-='='32133212212,244,uu u u u u u u u u ，即u u ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='112244010或Au u ='．反之，设11u x =，21u x ='，32u x=，则方程组Au u ='化为⎩⎨⎧-'-='+'+-=''．211221112,244x x x x x x x x即⎩⎨⎧=+'+-'=-'++'-''．02,023221122111x x x x x x x x x)b 由0)2)(1(11224401)det(=--=+----=-λλλλλλλA E ，得矩阵A的特征值01=λ，12=λ，23=λ．对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=201αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122βv ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021γw ，其中γβα,,均为不等于零的任意常数．由此得Au u ='的一个基解矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Φ0222021][)(22321t t tt t t t t e e e e e w e v e u e t λλλ．)c 求与之等价的方程组Au u ='，满足初始条件η=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010)0(u 的解ηη)0()()(exp )(1-ΦΦ==t At t u⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t tt t t t t t t t e e e e e e e e e e 226434121010012220121022202122122，所以，原方程组满足初始条件0)0(1=x ，1)0(1='x ，0)0(2=x 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=t t t e e e t 2234121)(2ϕ．9．试用Laplace 变换法解第5题和第6题． 解 5．)a 方程组两边取Laplace 变换，有)()(s AX s sX =-η，即η=-)()(s X A sE ，由具体数值代入得方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----33)()(342121s X s X s s ，根据Gramer 法则得 5211)(1-++=s s s X ，5411)(2-++-=s s s X，所以tte et -+=512)(ϕ，tte et --=524)(ϕ，故初值问题5．)a 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--t t t t e e e e t t t 552142)()()(ϕϕϕ．5．)b 对方程组两边施行Laplace 变换，并化简有η=-)()(s X A sE ，用具体数值代入得方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------720)()()(115118301321s X s X s X s s s ，根据Gramer 法则得)72(427291)72(4272913313)34)(3(1521)(21--+-+---+=--++-=s s s s s s s s X ，)72(1267376511)72(12673765113991)34)(3(14372)(222--+++--++-=--+-+-=s s s s s s s s s X ，)72(12678977)72(126789773952)34)(3(5127)(223----+-+-+-=--+-+-=s s s s s s s s s X ，所以ttt e e e t )72()72(31427291427291313)(-+-+---=ϕ，ttt ee e t )72()72(3212673765111267376511991)(-+-++-+-=ϕ，ttt ee e t )72()72(331267897712678977952)(-+---+--=ϕ，故初值问题5．)b 的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--++-+-+---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+--+--+-t t t t t t t t t e e e e e e ee e t t t t )72()72(3)72()72(3)72()72(3321126789771267897795212673765111267376511991427291427291313)()()()(ϕϕϕϕ．5．)c 对方程组两边施行Laplace 变换，并化简有η=-)()(s X A sE ，用具体数值代入得方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+----001)()()(102111121321s X s X s X s s s ，根据Gramer 法则得31211121)(1-++=s s s X ，31411141)(2--+=s s s X，31211121)(1-++-=s s s X ， 所以)(21)(31t te e t -+=ϕ，)(41)(32t te e t ---=ϕ，)(21)(33t te e t --=ϕ，故初值问题5．)a 的解为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 z0 = x z°x
e°
R
3 x
dx
y 2 = |x|3 (C + |x|°1 ) C (9) u =
y x
u
x2 (1 °
p
p u)u0 = xu u
u=0 px
y
y=0
u 6= 0
y = Ce°2 C (10) u =
x y u +e y du dy = ° 1+eu
u
x + ye y = C C (11) [(x2 cos y )dy + (2x sin y )dx] + [(y 3 ex )dx + (3y 2 ex )dy ] = 0 7
(5) (6) (7)
e°y + ex+3 = C sin y = 0 C y = k º (k 2 Z)
2 y = tan(x ° 1 2 x + C)
ln |x| +
xy = °1
1 xy +1
=C C
C
xy 6= °1
C sin y 6= 0
(8) z = y 2
sin2 y ° C sin2 x = 0
1. (1) (2)
dy dx d y dx2
2
= y + sin x; °
1 1°x2 y = 1 + x, Rx ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 dy dx
=
(6) (y ln x ° 2)ydx = xdy ; (8)
dy dx
dy (7) cos y sin x dx = sin y cos x; dy (8) 2xy dx = 3y 2 ° x2 ; p dy (9) (x ° xy ) dx = y;
(10) e y
y2 2
x
dy dx
+ y (1 + e y ) = 0;
x
dy (11) 2x sin y + y 3 ex + (x2 cos y + 3y 2 ex ) dx = 0;
!p ¯
+e
!p ¯
Z
!
q (t)e°
0
Rt
0
p(s) ds
dt
y (x) = y (x + ! ) , p ¯= 0
R
y (x) = y (x + ! ) , p ¯ 6= 0
p(x) dx
y=e
(C +
Z
q (x)e°
R
p(x) dx
dx),
C=
1 ¯ 1 ° e!p
Z
!
q (t)e°
0
Rt
0
p(s) ds
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 3. (1) (2) (3) (4)
y = Cx + x2 xy = C
y=9 2C +
C 2 xx
x (1)y 00 = 2 (2)y + xy 0 = 0 (3)y 000 + (y 0 )2 y 000 = 3y 0 (y 00 )2 (4)y 000 = 0
1.
1000 / -20000 /
2
h
a = °2oooom/h2 8 > > > < > > > :
dh dt
v0 = 1000m/h, = v0 + at.
T
h(T ) = 0
dh dt |t=T
=0
1 v0 T + 2 aT 2 + C = 0,
2 h = v0 t + 1 2 at + C ,
Rx
0
Rx
0
a(t) dt
, (x ∏ 0).
a(s) ds
|y | ∑ Cex + M
f (x + ! ) = f (x)
! )e°s ds = y (x) 4.
C =0 y = R R y (x + ! ) = e(x+!) f (s + ! )e°(s+!) ds = e(x+!) e°! f (s + dy p(x)y + q (x), dx
dx
z = x2 (C + x°1 y 2 = x2 (C + x°1 ) (6) y¥0 C y 6= 0 °y °2 dz 2z ln x = ° dx x x e°
R
2 x
z = y °1
dx
y °1 = x2 (C + 4
1 + 2 ln x ) 4x2
C (7) y=0 e
R
1 x
y 6= 0
an°mc bc°ad , X
ax + by + m = 0 =x° µ
nb°md ad°bc dY dX
cx + dy + n = 0
aX +bY cX +dY dy dx
Y =y° ad = bc C
=
°md an°mc ( nb ad°bc , bc°ad )
r
e°x
y = ex (C + x) C (4) 3y 2 z = y3 dz 3z = 3x3 + dx x e°
R
3 x
C=1
y = ex (1 + x)
dx
z = x3 (C + 3x) C (5) z = y 2 dz 2z = °1 dx x e°
R
2 x
y 3 = x3 (C + 3x)
p(x) q (x) (1) q (x) ¥ 0
! (2.4.23) ! Z 1 ! p ¯= p(x) dx = 0 ! 0 5 p(x)
(2) q (x) 6= 0
(2.4.23)
!
p(x)
p ¯ 6= 0
y (x) = y (x + ! ) , (1) q (t) = 0 (2) q (t) 6= 0 C = Ce
0 T = °v a
C
h(0) = C = 25m. V V2 / A V 1 + V2 2000 / V1 2000 / A A
2.
A 5m0
m0 5
A A P(t), 8 < V P 0 (t) + P (t)(V1 + V2 ) = : P (0) = 5m
0 m0 5 V1
P (t) = e° 3.
8 < Vc (t) = : V (t) =
s
Mc mc ∏ (1 Ms ms ∏ (1
° e° mc t )
∏
∏
° e° ms t )
1. (1)
dy dx
d y dy (3) x2 dx 2 ° 2x dx + y = 2x sin x; d y x dy (5) y dx 3 ° e dx + 3xy = 0;
y 6= 0
1 °1 2 2y
z = y2
1
e°2x
y = (Ce2x ° 6
x 1 2 ° ) 4 8
C (2) 2y z = y2 y= C (3) z = xy z0 =
4z 2 +4z +1 4x
e p C
°
R
x x2 °1
dx
1 ° x2 (C °
z = °1 2 y=
p y = 2 1 ° x2 ° (1 ° x2 ) z 6= ° 1 2
(5) 2xydy ° (2y 2 ° x)dx = 0;
dy (7) 3xy 2 dx + y 3 + x3 = 0;
=
y x+y 3 .
3
(1)
e°x y = Cex ° C
R
1 1°x2
sin x + cos x 2
(2)
e
°
dx
C (3) x
y 0 = ex + y (x)
1+x º (C + ) 1°x 2 q 1+x C =1° º y= 1 2 °x y= y (0) = 1
1 3 Y +k (a) h k dy x+y+1 = dx x°y+3 dY X +Y = dX X °Y dy x+y+1 = dx x°y+3 (1) x = X + h, y = Y + k
dY dX
x = X + h, y =
(b)
=
(2)
h = °2, k = 1
8 < h+k+1=0 : h°k+3=0
dt
1. p dy (1) x dx ° 4xy = x2 y ;
dy dx dy dx
(2) (3)
°
= y2 +
xy 2(x2 °1)
1 4x2 ;
°
x 2y
= 0, y (0) = 1;
dy (4) x2 dx ° x2 y 2 = xy + 1;
(5)
dy dx dy dx
(6)
= 1 ° x + y 2 ° xy 2 ; = ex+y+3 ;
V1 +V2 V
t
[5m0 +
V1 +V2 m0 V1 t V 5 V1 +V2 (e
° 1)]. v0 v1
(x, y ) 8 > > > < 4. 200kg