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宛院教发[2006] 44号
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宛院教发[2006] 44号2006-2007学年第一学期实践教学安排意见各教学单位：实践教学是高等学校教学体系的重要组成部分，实践教学水平的高低直接关系着学院整体教学质量和办学水平。
对实践教学工作进行合理安排，可以充分调动学生和教师参与实践教学的积极性，促进实践教学过程更加规范，进一步提高实践教学效果。
一、指导思想我们要按照本科教学评估的要求，以教育部《关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的若干意见》和《普通高等学校本科教学工作水平评估方案》为导向，以《南阳师范学院实验实践教学工作条例》和《关于加强实践教学的实施意见》为根据，更新实践教学观念，促进实践教学建设，规范实践教学管理，为本科教学工作水平评估做好充分准备，进一步全面提高教学质量和办学效益。
二、安排意见1．实验实践运行管理（1）实验实践教学计划的执行各院（系）应严格按照教学计划和实验实践教学大纲，保证教学计划中实验课的正常开出和实践课的顺利进行，并且要根据本科教学评估的要求，对实验、实践过程中的相关资料进行收集、整理和存档。
因特殊情况需增、减学时或调整计划应由教师或院（系）提出申请，经院（系）主管院长审查同意报教务处备案后方可实施。
未经院（系）同意，教师和实验人员不得随意更改实验实践教学计划。
实验实践课程开课前必须有实验实践课程教学进度计划、指导书（或教材）。
实验实践课程开出后应按时填好运行记录。
因特殊原因需调停课，院（系）应将调停课原因和调课时间书面报告教学单位主管领导，并向教务处备案。
实验课教师（含主讲教师和实验技术人员）应按实验课表提前做好开课准备。
实验指导教师应按教学要求预做实验，对实验的全过程心中有数；实验技术人员应认真做好仪器设备及材料等准备工作，试验期间不得擅离岗位。
实验过程中，指导教师应认真巡视学生实验，引导学生分析、解决问题，使学生独立完成实验；实验完毕后，认真填写实验室运行记录；课后认真批改实验报告。
实验室运行记录和实验报告由院（系）存档。
有关矩阵最小多项式的探讨
编号：09005110201南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目：关于矩阵最小多项式的探讨完成人：李菊花班级：2009-02学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：袁玉卓完成日期：2013-04-12目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)2矩阵最小多项式的求法 (2)2.1利用不变因子求矩阵最小多项式 (3)2.2利用特征函数求矩阵的最小多项式 (4)2.3利用Jordan标准型计算矩阵的最小多项式 (5)3 矩阵最小多项式的应用 (7)3.1矩阵最小多项式在矩阵运算中的应用 (7)3.1.1已知方阵A和多项式()f A (7)fλ，求().3.1.2A为方阵确定()f A的逆 (8)f A非奇异及求()3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用 (10)3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用 (12)参考文献 (13)Abstract (14)关于矩阵最小多项式的探讨作者：李菊花指导老师：袁玉卓摘要：总结矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了矩阵最小多项式在代数问题、常微分方程组求解问题上的应用.关键词：矩阵;最小多项式;最小多项式的应用0引言在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的概念有所阐述，但对其求法和应用讨论较少.事实上，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数、矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究矩阵最小多项式的主要方向之一.目前，国内很多学者对矩阵最小多项式的求法已有较深入的研究.为了更好地掌握矩阵最小多项式的求法，挖掘其应用价值，本文给出了矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了最小多项式的相关应用.1预备知识为了叙述的需要,我们首先引入以下符号.[]Cλ表示复数域C上的一元多项式环.()M C表示C上的全体n阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向n量空间.()fλ表示方阵A的特征多项式.A()mλ表示方阵A的最小多项式.A为了便于证明，有必要引入矩阵最小多项式的相关概念.定义1[]1 设A ∈()nMC ，()[]f C λλ∈，若()f A =0，则称()f λ为A 的零化多项式.定义2[]1 在A 的零化多项式中，次数最低的首项系数是1的多项式称为A的最小多项式，记作()Am λ.引理1[]2 若当块()000100010001k k kcc J Cc c ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()()()kkJC m c λλ=-.若当块的最小多项式恰好是其特征多项式时，()()()||kk f E J C c λλλ=-=-.引理 2[]4相似矩阵有相同的最小多项式，即若A相似于B ，则()()A B m m λλ=.引理3[]2任取()nMC 中的k阶可逆矩阵A，设其最小多项式为()111n n A n n m b b b λλλλ--=++++ ，则1A-的最小多项式是1111.nn n nnnb b b b b λλλ--++++引理4[]5设A =()12,,...,s diag A AA ，记A 的最小多项式为()Am λ，iA 的最小多项式为()iA m λ，1,2,...,,i s =则()()()()12,,...,sAA A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦. 引理 5[]1()A f λ的根必是()Am λ的根.2 矩阵最小多项式的求法在给出了矩阵的最小多项式的相关概念之后，我们容易得到以下几种计算矩阵最小多项式的方法. 2.1利用不变因子求矩阵最小多项式定理1[]6n 阶复数矩阵A 的最小多项式()Am λ就是A 的最后一个不变因子()nd λ.证明 任取()nM C 中矩阵A ，则A 相似于某一个若当块()nJ M C ∈.其中，()()()()1122,,...,,s s J diag J J J λλλ=由引理2知， ()().A J m m λλ=（1）又由引理4， ()()()()12,,...,s J J J J m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦（2）再有引理1，(),1,2,...,.iik J i m i s λλ=-=（3）其中，ik 是()iiJ λ的阶数，i λ是iJ 主对角线的元素，结合（1），（2），（3）得：()()()()()()()()121212,,...,,,...,skk kA J J J J s s m m m m m λλλλλλλλλλλ⎡⎤===---⎡⎤⎣⎦⎣⎦.由引理4及初等因子的概念，()Jm λ是各若当块的初等因子（即A 的初等因子组）的最小公倍式，恰好等于从各组同底初等因子中抽取次数最高的一个作乘积的结果.根据用初等因子组确定不变因子的方法知()()Jnm d λλ=，()()()A J n m m d λλλ==.由定理1得出求()Am λ的步骤如下： （1）首先，求出矩阵A 的特征多项式()Af λ.（2）其次，求出矩阵A 的各阶行列式因子.（3）最后，利用不变因子与行列式因子之间的关系求出矩阵A 的最后一个不变因子即为矩阵A 的最小多项式()Am λ.由定理1可以得到计算矩阵A 最小多项式的第一种方法，即通过求矩阵A的最后一个不变因子()nd λ，得到矩阵A 的最小多项式.例1求矩阵A =211011111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式.解 矩阵A 特征多项式为：()()()2211||01121111A f E A λλλλλλλ--⎛⎫⎪=-=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 各阶行列式因子分别为：()()()23||21D E A λλλλ=-=--，()21D λ=，()11D λ=.则有()()()()()()()()()()2231123121,1,21D D d D d d D D λλλλλλλλλλ======--.于是()A f E Aλλ=-⇔()()21000100021λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭.由于E A λ-的不变因子即为A的不变因子，从而有定理1知，()A f E A λλ=-的最后一个不变因子()()221λλ--就是A 的最小多项式，即()()()221A m λλλ=--.注 由例1可以看出运用定理1求矩阵的最小多项式有以下特点： (1)优点: 具有普遍适用性.(2)缺点: 由于该方法结合了矩阵的初等因子、行列式因子等的计算，计算过程比较复杂.为了减少运算，我们能否从矩阵的特征多项式出发，不用计算矩阵A 的各阶行列式因子以及利用不变因子与行列式因子之间的关系，得出求解矩阵的最小多项式的方法呢？下面我们先介绍一下另一个定理. 2.2利用特征多项式求矩阵最小多项式定理2[]7若矩阵A 的特征多项式()()()()1212||...lm m m A l f E A λλλλλλλλ=-=---其中12,,...,l λλλ为A的所有互不相同的特征值，且12,,...,l mm m 均大于等于1，则 ()()()()1212...ln n n A l m λλλλλλλ=---，其中1,1,2,...,ii nm i l≤≤=.由此定理2得出求()Am λ的步骤如下： (1)首先求出矩阵A 的特征多项式()Af λ.(2)其次将()Af λ分解不同的一次因式的幂积.(3)最后取包含一切不同的一次因式的幂积,由低次像高次逐一试验，求出使A零化的次数最低的这样的幂积即为()Am λ.由定理2可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第二种方法，即通过计算矩阵A 的特征多项式，并分解成含()()()12sλλλλλλ--- 的形式，通过检测，可以得到矩阵A 的最小多项式.例2求矩阵200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式. 解 矩阵A 的特征多项式为：()()32||1112113A f E A λλλλλλ-⎛⎫⎪=-=---=-⎪ ⎪--⎝⎭.矩阵A 的最小多项式为：()()2,1 3.kA m k λλ=-≤≤由于()20000000021110,21111110.111111111A E A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-≠-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 所以2,k=故A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-注 由代数基本定理，我们知道()A f λ在复数域C 上肯定可以作标准分解，但是有时候做标准分解时有一定的难度，也有一定的技巧.那么有没有较易的方法来计算矩阵的最小多项式呢？下面是计算矩阵的最小多项式的另外一种方法.2.3利用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式北大教材《高等代数》第七章中关于矩阵的最小多项式有这样一个定理，现叙述如下：定理3[]5设A 是一个准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭并设1A 的最小多项式为()1A m λ，2A 的最小多项式为()2A m λ，那么A的最小多项式为()1A m λ，()2A m λ的最小公倍式()()12,A A m m λλ⎡⎤⎣⎦. 这个结论可以推广到A 为若干个矩阵组成的准对角的情形，即如果12S A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭i A 的最小多项式为()iAm λ，其中1,2,i s = ，那么A的最小多项式为()()()()12,,...,s A A A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦.从上述定理和推论中，我们可以得出利用Jordan 标准型计算矩阵最小多项式的步骤如下：(1)将矩阵A 化成若干个矩阵组成的准对角的形式. (2)分别求出各个分块矩阵的最小多项式.(3)求出各个分块矩阵的最小多项式的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.由定理3及其推广我们可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第三种方法，即只要求出矩阵A 的分块矩阵iA 的最小多项式()iA m λ，然后求出它们的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.例3设2000012000012000001000011A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A 的最小多项式()Am λ.解 设12A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中1200120012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21011A⎛⎫= ⎪⎝⎭.因Jordan 矩阵1A 的最小多项式为()()132Am λλ=-.Jordan矩阵2A 的最小多项式为()()221Am λλ=-.故由上述定理可得矩阵A 的最小多项式为()()()2312.A m λλλ=--从例3中可以看出，用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式虽然比较容易计算，但是运算量比较大.那么计算矩阵的最小多项式还有其它的方法呢？目前计算矩阵A 的最小多项式的方法有四种，第一种是利用矩阵A 的最后一个不变因子，第二种是利用矩阵矩阵A 的特征多项式的标准分解，第三种是利用Jordan 标准型，第四种是利用矩阵A 的幂系列的相关性.上面给出了求矩阵A 的最小多项式的前三种最常用的方法.最后一种方法在此不再论述.当给出一个矩阵A 要求计算其最小多项式的时候，我们要灵活地选择计算矩阵A 最小多项式的方法.这样不仅可以有效地达到预计目的，而且可以大大地减少运算过程.我们知道矩阵的最小多项式在研究线性变换的结构及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，然而它在实际运算中有哪些作用呢？下面从三个方面简要叙述.3 矩阵最小多项式的应用我们在矩阵的最小多项式的相关概念以及两种基本求法的基础上，进一步探讨矩阵的最小多项式，简要地总结出了矩阵的最小多项式在矩阵函数、矩阵相似和微分方程组中的相关应用.下面从这三个角度逐一论述. 3.1 矩阵最小多项式矩阵运算中的应用 3.1.1已知方阵A 和多项式()f λ，求().f A设()f λ是任意多项式，()Am λ为方阵A 的最小多项式，有带余除法知，用()Am λ除()f λ，得到商式()q λ和余式()r λ，即()()()()()()()()()()0.A A f q m r r m r λλλλλλλ=+∂<∂=或由哈密顿-凯莱定理可知()0,A f A =再由引理5得出()0,A m A =因此()()()()().A fA q A m A r A r A =+=由此看出，由()r A 来求()fA 要比直接计算()f A 简单些.下面通过实际运算来体现矩阵A 的最小多项式在求矩阵函数中的作用.例4设()9764322241211f λλλλλλλλ=-++--+102011010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求()f A .解 矩阵A 的特征多项式为：()()()2312||011112 1.01A f E A λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎪=-=+-=-+-=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭因为()A f λ没有重根，故()()32 1.AA m f λλλλ==-+由带余除法得：()()()().A f q m r λλλλ=+计算可知()2,r λλ=+因此：()()()()()3022011.012A f A q A m A r A r A A E ⎛⎫⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭在利用矩阵的最小多项式求解矩阵函数时，从例4中可以看出，当多项式的次数比较高时，直接将A 带入()f λ求解()f A 运算量会很大，而由带余除法知利用最小多项式可以使()f λ的次数降到低于()Am λ的次数，再将A带入求解，从而简化了运算过程.注 如果已知矩阵A 的特征多项式()Af λ，而矩阵A 的最小多项式()Am λ尚未求出，为了求出()f A ，可以用()Af λ除()f λ得到余式()r λ，此时依然有()().fA r A =3.1.2A 为方阵确定()f A 非奇异及求()f A 的逆.(()f λ是多项式).定理4[]7设()Am λ是方阵A 的最小多项式，()f λ是次数大于等于1的多项式.（1）若()()|Af m λλ，则()f A 降秩（奇异）.（2）若()()()(),,Ad f m λλλ=则秩()d A =秩()f A .（3）()f A 非异的充要条件是()f λ、()Am λ互质.我们从以下两个例题来说明上述定理的简单应用.例5 设多项式()65422321f λλλλλλ=+-+-+，()432223 2.g λλλλλ=-+--矩阵200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，试判断矩阵多项式()f A 和()g A 的奇异性，并求出()g A 的秩.解：由例2知，矩阵A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-由多项式理论求得()f λ和()Am λ的最大公因式为：()()()()1,1,Ad f m λλλ==由定理3知，()f A 是非奇异矩阵.()g λ和()A m λ的最大公因式为：()()()()2,2,A d g m λλλλ==-由定理3知，()g A 是奇异矩阵，且秩()()g A =秩()()2d A ，而()220010000021112010111113001111d A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.显然，秩()()g A =秩()()2d A 1=.从例5中我们可以得出：利用定理3可以判断矩阵多项式()f A 的奇异性并可以求出()f A 的秩.在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用矩阵的最小多项式来化简.我们通过下面的例子来说明.例6 设()32682f λλλλ=+++110014104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求()f A 的逆矩阵.解 矩阵A 的特征多项式为：()()211||0143.104A f E A λλλλλλλ+-⎛⎫⎪=-=+-=+⎪ ⎪-+⎝⎭所以()()3Am λλλ=+或()()23.Am λλλ=+由于()21434280,214A A E-⎛⎫ ⎪+=--≠ ⎪ ⎪-⎝⎭故()()232369.A m λλλλλλ=+=++易知()()(),1,Af m λλ=于是存在()()[],,p q C λλλ∈使得()()()() 1.A f p m q λλλλ+=其中()()()()2211825,824.5050p q λλλλλλ=++=-++于是()()()()A fA p A m A q A E+=.由于 ()0,A m A =因此()()()()()().A fA p A m A q A E fA p A E +=⇔=从而()()()1218641182541812.5050319fA p A AA E-⎛⎫ ⎪==++=⎡⎤⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭在例6中，如果直接将A 带入()f λ求解()f A ，在求解()f A 的逆，虽然可以求出最终的结果，但是计算过程复杂繁琐的多.由此可以看出，利用矩阵最小多项式求解矩阵函数的逆，可以简化计算过程.从以上的例题中，我们可以得出：矩阵最小多项式能起到简化多项式的作用.3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用由北大数学教材《高等代数》[]5第七章定理，我们知道 ：数域p 上的n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是p 上的互素的一次因式的乘积.由此得出的推论如下：推论1[]9若A 的某一零化多项式没有重根，则A 与对角方阵相似，且对角阵的元素都是此零化多项式的根.证明 设多项式()f λ没有重根且()0f A =， 由于()()|A m fλλ (4)故()Am λ也没有重根，所以存在对角阵D ，使得12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则12,,...,nλλλ都是A 的特征根,同时12,,...,nλλλ 都是()Am λ的根.由(4)知12,,...,nλλλ都是()f λ的根.我们由北大数学教材《高等代数》[]5第七章第九节中的推论可以知道：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根.有推论1可以判断方阵能否与对角阵相似.下面举例说明与对角矩阵相似的一些特殊矩阵.例7 证明在以下三种条件下矩阵A 是否可以对角化. ()1;kAE = ()22;AA =()30, 1.kAk =>证明（1）由于kAE=，得到0kA E -=，取()1kf λλ=-使A 零化. 由于()1k f λλ=-无重根，故12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1,1,2,...,k ii nλ==.（2）由2AA=，得2AA -=，故()()21f λλλλλ=-=-使A 零化.由于()f λ没有重根，故12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0,1,2,...,ii nλ==.（3）由于0,1kAk =>，故得()kf λλ=为零化多项式.但是它有重根，由推论2知A 不可对角化.3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用在历年研究生入学考试中,对矩阵的最小多项式的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面通过线性微分方程组的定解问题和有关定理来说明矩阵的最小多项式在常微分方程组中的灵活运用.在线性控制系统中，常常涉及求解线性微分方程组的问题，用矩阵函数理论给计算带来很大方便.对于一阶线性微分方程组的定解问题：()00|{t t d X A X F td tX X t ⎛⎫⎪⎝⎭==+=，其中()()()()()()12,,,...,Tn nijn A a CX t x t x t x t ⨯=∈=易得方程组的唯一解为：()()()()000.t A t t A t t X eX t eF d τττ--=+⎰上述求解可归纳为A te 的计算，一般都用矩阵标准型来求解矩阵函数A te或()f A t ,但是若矩阵A 与对角阵()12,,...n diag λλλ不相似，计算过程会很复杂.如果运用矩阵的最小多项式理论，计算过程将大大简化.如何运用矩阵的最小多项式理论快速地求出基解矩阵呢？为此我们引入下述定理：定理5 []10若矩阵n nA C⨯∈的最小多项式()Am λ为m 次多项式，()()()()1212...ln n n A l m λλλλλλλ=---，其中12,,...,l λλλ为A的所有互不相同的特征值，又与收敛的复变幂级数()()0kk k fZ t C t Z∞==∑相应的()()0kkk f A t C t A ∞==∑是A的收敛幂级数，则()f A t 可表为A 的1m -次多项式，并且()()()()1011.m m fA t a t E a t A a t A--=+++其中系数()0a t ，()1a t ， ，()1m at -由以下方程组确定：对()1,2,.i i l λ∀=)()()()()()()()()()()()()()()()()1011212311111231|1!121|i ii i m i m i i m m i i n m n i n i m i in a t a t a t f t d f t a t a t a t m a t d d f t n a t m m m n a t d λλλλλλλλλλλλλ---------⎧+++=⎪⎪++++-==⎪⎨⎪⎪⎪-++----==⎩例8 求下列微分方程组的定解.00,1,1{Td X A X d tX ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==其中211011111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解 有定解理论得出方程组的解为：()0A tX eX =其特征方程为()()()2d et 21E A λλλ-=--.易得矩阵的最小多项式()()()221.A m λλλ=--设()()()01A tf A t ea t E a t A ==+，得20112tta a e a ae +=+={解之得：20212t t t ta e e a e e =-=-{则有()()()2222012232202.22t tttt t A ttttt t ttte eee e e ef A t a t E a t A ee ee e e ee⎛⎫---⎪==+=- ⎪ ⎪--⎝⎭故定解为：()()2200,3,3.TA tttttX eX e e e e==--从例8中我们可以看出，如果利用特征多项式来求解，由于特征多项式()()()221Af λλλ=--.特征根有两个，且特征值1的次数为2，计算量显然要比例题中的解法复杂.由此可见，用矩阵最小多项式计算微分方程组的标准矩阵和齐次线性微分方程组的初值问题能起到简化计算的目的. 此题通过利用矩阵的最小多项式灵活地求出了微分方程组的定解,体现了其在交叉学科中的重要地位.参 考 文 献[1] 赵礼峰.矩阵最小多项式求法探讨[J].淮北煤师院学报.1993,3(14):60-65.[2] 吴洁华.矩阵最小多项式的求解及应用[J].韩山师范学院学报.2010,6(31):19-24.[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003.[4] 韩振芳，杨小姝，王宇红.有关最小多项式定理及其应用[J].河北北方学院学报（自然科学报）2006，3（22）：4-5.[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[6] 龙小胖.最小多项式的求法[J].井冈山师范学院学报（自然科学）.2004，5（25）：54-55.[7] 贺加来.矩阵的最小多项式的进一步探讨[J].巢湖学院学报.2006,3(8):157-159.[8] 朱思铭，王寿松，李艳会.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.[9] 靳艳芳.最小多项式的性质、求法及应用[D].河南郑州：郑州华信学院综合教育部,1994.[10] 王子瑜，陈华如.矩阵最小多项式在微分方程组中的应用[J].铜陵学院学报.2004(3):67-71.Discussion on Minimal Polynomial of MatrixLI Ju-huaAbstract: We summarize the approaches to minimal polynomial of a matrix. Examples about the minimal polynomial in solving algebra and ordinary differential system problems are explained to prove the Validity.Key words: matrix; minimal polynomial; application of minimal polynomial.。
南阳师范学院-本科-毕业论文-文科-所有学院-格式模板
编号：(统一为学生学号)南阳师范学院20 届毕业生毕业论文（设计）题目：XXXX完成人：如为两字,中间空一格班级：年级-班号,用数字表示如: 2003-01学制： 4 年专业：规范全名指导教师：如为两字,中间空一格完成日期：年-月-日如:2007-03-31目录摘要 (1)一、绪论 (1)二、排版算法的可行性研究 (1)（一）关于目录修改后的排版技巧 (1)1. 关于目录的制作和修改 (1)2. 此处为三级标题 (2)（二）关于图片、表格、公式的解决 (3)1. 表格的样式 (3)2. 此处为三级标题 (3)（三）页眉和页码的设置 (4)（四）脚注和参考文献上标 (4)1. 脚注和参考文献上标范例 (4)2. 此处为三级标题 (4)三、PaperYes论文一键排版的概念 (4)（一）一键排版的概念 (4)1. 此处为三级标题 (4)2. 此处为三级标题 (5)（二）一键排版的概念 (5)1. 此处为三级标题 (5)2. 此处为三级标题 (6)四、总结 (6)参考文献 (6)Abstract (7)论文排版机器人PaperYes制作的论文模板作者：XXX指导教师：XXX摘要：本论文主要内容是基于本高校的论文格式要求，利用论文排版机器人PaperYes的人工智能引擎排版出来的论文模板。
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AMSRE微波雷达数据处理及其应用毕业论文
南阳师范学院20XX届毕业生毕业论文（设计）题目：AMSR-E微波雷达数据处理及其应用完成人：班级：学制：专业：地理信息系统指导教师：完成日期：目录摘要 (1)0引言 (1)1AMSR-E介绍及应用 (1)2AMSR-E微波遥感数据反演地表温度 (3)反演原理 (3)反演方法 (3)像元亮温计算 (3)建立反演模型 (4)3地表温度反演模型 (4)数据处理 (5)地震原因 (5)4地震前遥感信息异常产生的机理 (7)5结语 (8)参考文献 (9)Abstract (9)AMSR-E微波雷达数据处理及其应用摘要：由于微波具有全天候、穿透性以及不受云的影响,使其在遥感研究全球变化中具有越来越大的优势。
本文主要是介绍对地观测卫星上的AMSR-E 数据,将其转化为地表温度，然后对比不同波段的温度之间的差别。
应用不同于以前的卫星红外遥感资料处理方法, 并选用Aqua卫星AMSR-E遥感亮温资料, 对2008年汶川级特大地震和2010年玉树地震进行了热异常再研究关键词：AMSR-E；不同波段；地表温度；热异常；汶川；玉树0引言地表温度是反映地球能量平衡的重要参数之一，也是许多生态环境模型的重要输入参数之一，因此，及时准确地获得地表温度对于研究全球气候改变，生态环境变化等工作都有着十分重要的意义。
传统的依靠气象站地面测量获取地表温度的方法，虽然精度较高，但所测得数据仅为单点温度，在实际的应用中，往往代表性较差。
尤其对于全球气候、环境变化等大尺度范围内的研究工作而言，传统方法得到的温度可用性差，无法反映大范围内温度分布的真实情况，因而很难满足研究工作的要求。
卫星遥感技术具备大范围、多时相观测等特点则为获得大尺度范围内的地表温度提供了可能性[1]。
微波遥感是应用电磁波微波波段对地球进行遥感的方法,由于波长较长,它提供了一种全天候,全天时的地球观测手段,避免了红外和可见光对大气敏感而不能有效获取地表信息的问题。
鉴于此,被动微波数据现在得到了广泛的应用.很多地表参数都可以用被动微波数据进行反演,比如土壤水分、地表温度等.本文主要是介绍对地观测卫星上的AMSR-E数据,将其转化为地表温度，然后对比不同波段的温度之间的差别，与MODIS 数据的地表温度做对比分析。
数学系毕业论文(函数凸性在经济学中的应用-)
编号：09005110140南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目：函数凸性在经济学中的应用完成人：刘畅班级：2009级01班学制：4年专业：数学与应用数学专业指导教师：华柳青完成日期：2013年4月15日目录摘要 （1）0引言 （1）1凸函数的定义及判定定理（1）2函数凸性在经济学中的应用（2）2.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用（2） 2.1.1无差异曲线的凸性分析（2）2.1.2生产函数曲线的凸性分析（5）2.2凸函数在经济优化中的作用（6）2.2.1利润最大问题（7）2.2.2最省原材料问题（8）2.2.3最佳库存问题 （8） 2.3凸函数在风险态度中的应用（9）3小结 （11）参考文献 （12）Abstract （12）函数凸性在经济学中的应用作 者：刘 畅指导老师：华柳青摘要：本文主要探讨了函数凸性怎样在有关经济学问题中发挥作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，帮助学生准确的掌握这些结论，培养学生利用数学知识解决经济问题的思维习惯.关键字：凸函数；边际分析；效用函数0引言凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen 给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的. 经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点. 人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.1 凸函数的定义及判定定理定义1[]1 设()f x 在[,]a b 上有定义，如果对任意1x ，2x [,]a b ∈及(0,1)λ∈,都有121f x x f x λλλλ+≤（（1-））（）+（1-）2()f x （1） 则称()f x 为凸函数.等价定义 记221x x x x λ-=- ，则()121x x x λλ=+-.由f 的凸性可知()()()()()()121211f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+- ()()21122121x x x x f x f x x x x x --=+-- 从而有 ()()()()()()212112x x f x x x f x x x f x -≤-+-，即 ，整理后可得()()()()1212f x f x f x f x x x x x --≤-- （2）定理1 设函数()f x 在开区间I 可导，函数()f x 在区间I 是凸函数当且仅当12,x x I ∀∈，且21x x <，1()f x ' 2()f x '≤.定理2 设()f x 在开区间I 上可导，则下述论断相互等价：1）()f x 为I 上凸函数；2）()f x '为I 上的增函数；3）对I 上的任意两点12,x x ，有()()()()12112x x x f x f x f -'+≥ （3）定理3 如果函数()f x 在(,)a b 上有存在二阶导函数()f x '',1）若对(),x a b ∀∈，有()0f x ''≥，则函数()f x 在(,)a b 上是一个凸函数.2）若对(),x a b ∀∈，有()0f x ''≤，则函数()f x 在(,)a b 上是一个凹函数.定理4 （极值的第二充分条件）设f 在点0x 的某邻域()δ;0x U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()00='x f ，()00≠''x f .1）若()00<''x f ，则f 在0x 取得极大值.2）若()00>''x f ，则f 在0x 取得极小值.2 函数凸性在经济学中的应用2.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用2.1.1 无差异曲线的凸性分析无差异曲线[]3用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量x 和商品2的数量y ，曲线1L 、2L 分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.1L 曲线是连续的，并在x 轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数. 从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为2121X MRS X ∆=-∆, 式中1X ∆和2X ∆分别表示为商品1和商品2的变化量.当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为12212011lim X X dX MRS X dX ∆→∆=-=-∆ 从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值.利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线U 由a 点运动到b 点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为212X X ∆-=∆.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点a 经b 、c 、d 运动到e 的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的.这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少.经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用.2.1.2 生产函数曲线的凸性分析短期生产函数[]4(),Q f L K =表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分别为：(),K TP f L K =, (),K K TP L K AP K =,(),K K TP L K MP K ∆=∆或者()()0,,lim K K K K TP L K dTP L K MP K dK ∆→∆==∆根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系.图中的横轴表示可变要素劳动的投入量L ，纵轴表示产量Q ，TP 、AP 、MP 三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线.由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量递减规律[]5决定了边际产量表现出先上升而最终下降的特征.根据边际产量的定义公式(),L L dTP L K MP dL =可知，过L TP 曲线任何一点的切线的斜率就是相应的L MP 值.L MP 曲线在10L -的斜率大于零.L MP 曲线的一阶导数即为L TP 曲线的二阶导数.所以L TP 曲线在10L -阶段的二阶导数大于零，即L TP 在10L -阶段为凸函数.也就是说，边际产量L MP 曲线，在10L -阶段上升，达到最大值后，然后再下降.所以相应的总产量L TP 曲线的斜率先是递增的，在1L 到达拐点，然后再递减.通过上述分析可以发现：根据在边际报酬曲线递减规律作用下的边际产量L MP 曲线先上升，最终下降的特征，可以先描绘出L MP 曲线.由总产量和边际产量之间的关系可以描绘出L TP 曲线的图象.最后由平均产量和总产量之间的关系描绘出L AP 曲线的图象.凸函数在描述三者关系中间发挥了很大的作用，利用函数凸性可以描绘出生产函数图象.估算和研究生产函数，对于经济理论实践和生产实践又是前提.以上两种经济曲线的凸性分析，从数学的角度使我们对常见的经济现象有了更加深入的理解.经济教材中复杂的经济曲线，通常具有一定的凸性，所以掌握了这种分析方法，对以后的经济问题探索有很大的帮助.2.2 凸函数在经济优化中的应用在经济生产过程中，为了提高经济资源配置效率，使用最少的资源和能源，达到获得最大的经济效益的目的.厂商会进行预算估计，建立起利润，成本和价格之间的关系函数，然后利用凸函数求极值的方法来解决利润最大、成本最小的问题.函数的极值是根据定理4极值的充分条件求得的.由定理4可知，可导函数的二阶导数大于零即为凸函数，则在稳定点取得的函数值为极小值；可导函数的二阶导数小于零即为凹函数，则在稳定点取得的函数值为极大值.2.2.1利润最大问题利润最大化问题[]6的求解取决于厂商的需求函数、成本函数以及生产组合情况，它们之间存在一定的函数关系.这个函数若是凸函数的话，就满足了凸函数的性质，可以用定理4中求极值的充分条件，得到生产关系中利润函数的最大值.例1 某商品的需求函数1200080Q P =-（P 的单位为元）；商品的总成本函数为2500050C Q =+;且每件商品需要纳税2元，求出使销售利润最大的产品单价和最大利润额.解 该商品的收入函数为()()()12000802R P P P =--，将1200080Q P =-代入2500050C Q =+得出总成本函数()()250005012000806250004000C P P P =+-=-则利润函数为 ()()()L P R P C P =-()()()120008026250004000P P P =----28016160649000P P =-+- 由()160161600L P P '=-+=得101P =,又因为()1600L P ''=-<，则101P =时，根据定理3，()L P 为凹函数，则在101P =处取得极大值，由于是唯一的极值点，所以是最大值，当单价为101元时，销售利润取得最大，最大利润为()101167080L =元. 在解决最大利润问题时，先找到利润和其它生产要素之间的函数关系式，对利润函数求一阶导数，得到利润函数的稳定点.再求利润函数的二阶导数，从而判断利润函数是否为凹函数,根据推论求得的利润函数是凹函数，则在稳定点的函数值即为极大值,即利润最大值.这样就把经济问题转化为了数学中常见的函数问题，经济中最优化问题看成简单的凸函数求极值的问题，这样可以使问题简单化，便于理解.2.2.2成本最小问题下面看一下成本最小问题.例2 要做一个容量为3500cm 的圆柱形饮料罐，当罐子的底半径为多少时，才能最省材料.解： 设饮料罐的高为h ，底半径为r ，则表面积222S r rh ππ=+，由体积2500V r h π==得2500h rπ=，带入可得 210002S r rπ=+， 由210004S r r π'=-得 4.3r ≈，又因为200040S r π''=+>，可知S 为凸函数，则当 4.3r ≈时，S 取得极小值，只有一个极小值点，既是最大值.当底半径为4.3cm 时，用的材料最少.求成本最小问题时，首先建立起函数关系式，根据定理4极值的第二充分条件，判断函数关系式是凸函数，所以在稳定点求的函数值为极小值，即成本最小值.利用凸函数求极值来解决这类问题，可以在经济活动中节省资源，避免浪费.2.2.3最佳库存问题在生产与销售管理中，库存量一定要适度，库存太少，会造成供不应求，失去时机；库存太多，又会出现资金积压或货物过期等状况，生产厂家或销售公司要想维持正常的生产和销售,管理者必须确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等.可以把库存问题转换化为函数关系表示，然后用凸函数求极值解决最佳库存问题.例3 某产品年销售量为10万件，假设这些产品分成若干批生产，每批需生产准备费100元；并假设产品的平均库存量为批量的一半，且每件产品库存一年需库存费0．05元。
地形条件对河南省内各地交通发展的影响毕业论文
南阳师范学院20XX届毕业生毕业论文（设计）题目: 地形条件对河南省内各地交通发展的影响完成人：班级学制：专业：地理信息系统指导教师：完成日期：目录摘要 (1)0引言 (1)1研究区域概况 (2)地理位置 (2)区域概况 (3)行政区划 (3)区域地形条件 (3)2数据来源 (3)3研究方法 (3)4结果分析 (4)河南省各市的地形条件 (4)坡度 (4)地表起伏度 (5)河南省的交通发展状况 (6)交通发展与地形条件的关系 (8)平原 (9)山地、丘陵 (10)盆地 (11)5 结论 (12)参考文献 (12)Abstract (13)地形条件对河南省内各地交通发展的影响摘要：一个地方交通发展程度的好坏直接影响着当地的综合发展，制约交通发展的因素有很多，但是地形条件对交通发展的影响极其重要。
本文通过资料查证与分析，从河南省各地的不同地形条件着手，在ArcGIS软件支持下，运用表面分析提取河南省各市的地形坡度信息，应用领域分析中的块统计提出和河南省各市的地表起伏度的最大值、最小值、平均值与标准差，结合历年来交通业各项指标数据，如河南省各市公路、铁路、内河通航里程，探究分析地形条件对河南省各市交通发展的影响，从而为今后交通发展的扩张提供参考依据。
关键词：河南省；地形条件；ArcGIS；表面分析0 引言地形条件对一个地方的交通发展发挥着重要的作用，交通基础设施的建立也必须考虑当地的地形条件，因此地形条件与各地交通发展的关系一直是国内外学术界研究的热点之一，研究成果也相当丰富。
大致可以分为两个方面，一方面是对各地交通发展的研究，例如：曹小曙等在2007年根据城市在城市体系、区域及国家发展中的重要性，资料信息的完备性、可比性及其获取的可能性，确定中国城市交通运输发展水平等级差异变动特征[1]。
刘传明与曾菊新在2011年通过县域综合交通可达性测度方法来测度交通可达性与经济发展水平的关系[2]。
金凤君、王娇娥于2004年以中国味区域、城市为节点的交通运输研究主要集中在交通网络与城市的发展方面，铁路交通网络的发展促进了中国交通枢纽城市、城市密集区和交通经济带的成长，并导致城市体系的迅速扩展[3]。
南阳师范学院本科毕业生毕业论文（设计）开题报告书
南阳师范学院本科毕业生毕业论文（设计）开题报告书说明：1.本报告必须由承担毕业论文(设计)课题任务的学生在接到“毕业论文(设计)任务书”之后、做毕业论文(设计)之前独立撰写完成，并交指导教师审阅。
2.每个毕业论文(设计)课题撰写本报告一份，作为指导教师、毕业论文(设计)指导小组审查学生能否承担该毕业设计(论文)课题任务的依据，并接受学校的抽查。
下面是余秋雨经典励志语录，欢迎阅读。
不需要的朋友可以编辑删除！！关于年龄1.一个横贯终生的品德基本上都是在青年时代形成的，可惜在那个至关重要的时代，青年人受到的正面的鼓动永远是为成功而搏斗，而一般所谓的成功总是带有排他性、自私性的印记。
结果，脸颊上还没有皱纹的他们，却在品德上挖下了一个个看不见的黑洞。
2.我不赞成太多地歌颂青年，而坚持认为那是一个充满陷阱的年代。
陷阱一生都会遇到，但青年时代的陷阱最多、最大、最险。
3.历史上也有一些深刻的哲人，以歌颂青年来弘扬社会的生命力。
但这里显然横亘着一种二律背反：越是坚固的对象越需要鼓动青年去对付，但他们恰恰因为年轻，无法与真正的坚持相斡旋。
4.青年时代的正常状态是什么，我想一切还是从真诚的谦虚开始。
青年人应该懂得，在我们出生之前，这个世界已经精精彩彩、复复杂杂地存在过无数年，我们什么也不懂，能够站正脚下的一角建设一点什么，已是万幸。
5.中年是对青年的延伸，又是对青年的告别。
这种告别不仅仅是一系列观念的变异，而是一个终于自立的成熟者对于能够随心所欲处置各种问题的自信。
6.中年人的当家体验是最后一次精神断奶。
你突然感觉到终于摆脱了父母、兄长、老师的某种依赖，而这种依赖在青年时代总是依稀犹在的;对于领导和组织，似乎更贴近了，却又显示出自己的独立存在，你成了社会结构网络中不可缺少的一个点;因此你在热闹中品尝了有生以来真正的孤立无援，空前的脆弱和空前的强大集于一身。
7.中年人一旦有了当家体验，就会明白教科书式的人生教条十分可笑。
南阳地区水文地质特征研究毕业论文
南阳师范学院20XX届毕业生毕业论文（设计）题目：南阳地区水文地质特征研究完成人：班级：学制：专业：地理科学指导教师：完成日期：目录摘要 (1)0引言 (1)1水资源概况 (2)总概况 (2)地下水资源量 (3)地下水分类 (3)地表水资源量 (6)水质 (6)水化学特征 (6)地下水水质评价 (6)水功能区水质评价 (7)河流水质评价 (7)2影响地下水分布的因素 (8)降水量与蒸发量 (8)水文地质概况 (8)东部平原含水组 (8)西部垄岗含水层 (9)3地下水开发利用现状及存在的问题 (9)地下水开采现状 (9)地下水开采存在的问题 (10)地下水严重开采 (10)水资源浪费严重 (10)地表水污染地下水 (10)水资源缺乏统一规划，开采井布局和水资源管理的不合理 (10)4地下水资源开发利用的对策 (11)5结论 (11)参考文献 (12)Abstract (12)南阳地区水文地质特征研究摘要：研究南阳地区水文地质特征有重要的理论和实践意义。
本文通过系统分析南阳地区地下水的分布、含水层再结合前人大量地质和科研工作的多项成果资料，探究了南阳地区地下水富集规律，得出了南阳地区水资源总特征、地下水类型、水质状况以及影响地下水分布的因素。
根据目前地下水开采利用的现状和存在问题，提出了相关的对策。
关键词：水文地质特征；地下水类型；分布；南阳0 引言南阳盆地位于秦岭以南，气候分布带上属于温带大陆性季风气候向亚热带过度的特点，降水量多集中在6~9月份，雨热同期。
但是年内将水分配不均，常形成本区的旱涝灾害。
多年平均降水量为，年平均蒸发量为。
全市大小河流共有20多条，其中白河是流经南阳城区的最大天然水系，河水常年补给地下水。
现有小型水库56座，水库总容量多亿立方米。
该市水系分属长江、淮河、和黄河。
长江水系汉江流域面积23764平方千米，占全市面积的89%；淮河水系流域面积2805平方千米，占全市面积的11%；黄河水系流域面积仅24平方千米。
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2015年毕业论文大致时间段
1.2014年12月31日前完成学生选题、指导教师确定、任务下达工作，填写开题报告。
（1）任务书正面：毕业论文起止时间2015.3.9-2015.4.24（共7周），任务下达日期2014.1
2.31（2）任务书背面：任务下达日期2014.12.31（3）开题报告指导教师签名2015.
3.8（4）其他时间按照实际填写，并注意时间上的科学合理性。
2.毕业论文起止时间：2015年3月9日-2015年4月24日共七周。
3.2015年4月27日-5月8日为论文答辩和毕业论文复核、总结时间。
2015年毕业论文时间安排（仅供参考）时间任务
2014.12.31 指导教师下达任务书
2014.12.31～2015.3.9 完成开题报告，准备材料，构思
2015.3.10～2014.3.30 撰写初稿，一稿交指导教师
2015.3.31～2014.4.15 学生修改论文并提交二稿，交指导教师2015.4.15～2015.4.24 上交论文终稿，教师批改论文，进行成绩评定2015.4.27～2015.5.08 论文答辩，复核、总结。