高考数学专题练习：平面向量与复数
高考数学复习单元检测(文)：平面向量与复数【含答案】
高考数学复习单元检测（文）：平面向量与复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D解析 因为z ＝3＋4ii ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42＋(－3)2＝5.2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A解析 由m ∥n ，m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4，故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)，故|m ＋n |＝5，故选A.4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →，则( )A ．c ＝12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝－13a ＋43b答案 D解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →＝43b －13a .故选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0，4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b|a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D.6.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →，则λ－μ等于( )A ．1B ．3C ．－1D ．－3答案 D解析 E 为DC 的中点，故AE →＝12(AC →＋AD →)，所以AD →＝－AC →＋2AE →，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.7．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，4)则“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ∥b ，则x 2＝4，解得x ＝±2，当且仅当x ＝－2时，向量a 与b 反向，所以“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|A B →|＝1，|AC →|＝2，则AP →·BC →的值为( )A ．3B.32C.3D.32答案 B解析 由题知QP ⊥BC ，所以QP →·BC →＝0，则AP →·BC →＝(AQ →＋QP →)·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(A C →2－AB →2)＝32，故选B.9．已知a ＝(2，cos x )，b ＝(sin x ，－1)，当x ＝θ时，函数f (x )＝a ·b 取得最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C ．－210D ．－7210 答案 D解析 f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝15，cos φ＝25，θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z ，所以sin θ＝cos φ＝25，cos θ＝－sin φ＝－15，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－45，cos2θ＝1－2sin 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin2θ＋cos2θ)＝－7210，故选D.10.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BE →·CE →＝2，BF →·CF →＝－1，则BA →·CA →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 BE →·CE →＝ED →2－BD →2＝4FD →2－BD →2＝2，BF →·CF →＝FD →2－BD →2＝－1，所以FD →2＝1，BD →2＝2，因此BA →·CA →＝AD →2－BD →2＝9FD →2－BD →2＝7，故选C.11．(2018·西宁检测)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．6B ．－8或8C ．－8D ．8答案 D 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－610＝－35，且θ∈[0，π]，则sin θ＝45，则|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝10×45＝8，故选D.12．在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．63B ．23C ．6D ．2 答案 D解析 由已知易得，AM →＝23AB →＋13AC →，∴AM →＝23m AP →＋13n AQ →.又M ，P ，Q 三点共线， ∴23m ＋13n＝1， ∴m ＝2n3n －1，易知3n －1>0.mn ＋m ＝m (n ＋1)＝2n3n －1·(n ＋1) ＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3n －1)＋43n －1＋5≥2， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号． ∴mn ＋m 的最小值为2.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________． 答案 －1解析 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1，2a )． 又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.14．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7.若O 为△ABC 的外接圆的圆心，则AO →·BC →＝________. 答案 12解析 取BC 的中点D ，由O 为△ABC 的外接圆的圆心得OD ⊥BC ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12.15．欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2i 3e π，z 2＝i 2e π，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四解析 因为z 1＝2i 3e π＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝i2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．16．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝______.答案 16解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，c ＝(1，1)． (1)求向量a 与b 的夹角的大小； (2)若c ∥(a ＋k b )，求实数k 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝a ·b |a |·|b |＝－3－210·5＝－22，又α∈[0，π]，所以α＝3π4，即向量a 与b 的夹角的大小为3π4.(2)a ＋k b ＝(－3＋k ，1－2k )，因为c ∥(a ＋k b )，所以1－2k ＋3－k ＝0， 解得k ＝43，即实数k 的值为43.18．(12分)已知a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，O 为坐标原点． (1)若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； (2)设OA →＝a ，OB →＝b ，求△OAB 的面积． 解 (1)∵a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，∴m a ＋b ＝(3m ＋2，－2m ＋1)，a －2b ＝(－1，－4)， 令(m a ＋b )·(a －2b )<0， 即－3m －2＋8m －4<0，解得m <65，∵当m ＝－12时，m a ＋b ＝－12a ＋b ，a －2b 与m a ＋b 方向相反，夹角为平角，不合题意．∴m ≠－12，∴若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，65. (2)设∠AOB ＝θ，△OAB 面积为S ， 则S ＝12|a |·|b |sin θ，∵sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2， ∴4S 2＝|a |2|b |2·sin 2θ ＝|a |2|b |2－(a ·b )2＝65－16＝49. ∴S ＝72.19．(13分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)，∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝6，AP →＝λPB →(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ>0，∴3－131＋λ∈(－10，3)．∴OP →·AB →的取值范围是(－10，3)．20．(13分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12.又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C .又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.。
专题2 平面向量与复数(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析
专题2平面向量与复数一、单选题1．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5 BC ．D ．5i【答案】B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.3．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．－iD ．i【答案】B 【分析】1iz i-+=，然后算出即可. 【详解】由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +【答案】D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D . 5．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z ==故选：B.6．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③【答案】D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.7．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B 【分析】设AB a AD b ，==，由12BE BC =，13DF DC =，得到1123AE a b AF a b =+=+，，结合平面向量的基本定理，化简得到1132a b a b λμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-， 所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
高考专题——平面向量与复数 -含答案
高考专题——平面向量与复数一、单选题1．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-2．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +4．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +6．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．28．（2022·全国·高考真题（文））若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -10．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 a ，b 满足||5a =， ||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+>（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．193511．（2020·海南·高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)-D ．(4,6)-12．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件13．（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1 B ．()2,6--或()2,1- C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--14．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +15．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．216．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6-B ．5-C ．5D ．617．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +18．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --19．（2011·全国·高考真题（理））复数2i12i+-的共轭复数是（ ） A ．3i 5-B ．35iC ．i -D ．i20．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i)+-=（ ） A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -21．（2022·全国·高考真题（理））若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-+D ．13-22．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-23．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．2524．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==25．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-26．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（ ）A ．()12a b + B ．()12a b - C ．()12b a - D ．12a b +27．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题28．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题29．（2020·浙江·高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 30．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.31．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．32．（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．33．（2022·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为_______． 34．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.35．（2020·全国·高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.36．（2020·全国·高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.37．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 38．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．39．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.40．（2021·全国·高考真题）已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．41．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．42．（2021·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 43．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．44．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．四、双空题45．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．46．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．47．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．48．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，,CA a CB b ==，D 是AC 中点，2CB BE =，试用,a b 表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________ 49．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.参考答案：1．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D2．C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-. 故选：C. 3．C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C. 4．C【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C. 5．D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+. 故选：D. 6．A【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置. 【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限， 故选：A. 7．D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 8．D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D. 9．D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 10．D【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 11．A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 12．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，△不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，△()00a b c c -⋅=⋅=,△成立，△是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B. 13．C【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -，故选：C ． 14．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 15．C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：△222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又△||1,||3,|2|3,==-=a b a b △91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， △1a b ⋅= 故选：C. 16．C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C 17．C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 18．B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B. 19．C【分析】利用复数的乘除运算求出2ii 12i+=-，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】由题意知， 令2i (2i)(1+2i)i 12i (12i)(1+2i)z ++===--， 所以复数的共轭复数为i z =-， 故选：C 20．D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-， 故选：D. 21．C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-+- 故选 ：C 22．A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A. 23．B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z =．故选：B ． 24．B【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B. 25．A【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】12i z =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A 26．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线， ∴111222EF AC a b ==+，故选：A 27．D【分析】先求得a b -，然后求得a b -.【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D 28．AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC 29．2829【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤， 1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 30．25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b cm n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =，所以d a -在c 方向上的投影(1()||m x ny d a c z c -+-⋅==， 即252x y z +=,所以(()()2222222222112212510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++++≥+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值. 31．185或0 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】△,,A D P 三点共线， △可设()0PA PD λλ=>，△32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，△32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， △321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， △9AP =，△3AD =，△4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， △5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.△根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，△()cos cos 0θπθ+-=，△()()2570665x x x --+=-，解得185x =，△CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．32．[12+【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++，然后利用cos 22.5||1OP ≤≤即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A ⎛-- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,822A ⎛ ⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+．33．15i -##5i 1-+【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----===--． 故答案为：15i -．34．2【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 35【分析】整理已知可得：()2a b a b+=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=-所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 36．5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.37．85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.38．103-. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值 【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.39．【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】△5a b -=△222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= △32b =.故答案为： 40．92-【分析】由已知可得()20a b c ++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-.故答案为：92-. 41．11【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11． 42．4i -【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-. 故答案为：4i -.43．35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得， ()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．44．34-##0.75-【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.45．16 132【分析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,△3,60AB ABC =∠=︒，△A 的坐标为32A ⎛ ⎝⎭,△又△16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 46． 11120【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120.故答案为：1；1120.47．1-【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 48．3122b a - 6π【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE ，以{},a b 为基底，表示出,AB DE ，由AB DE ⊥可得2234b a b a +=⋅，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点E 为原点建立平面直角坐标系，设(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，由AB DE ⊥可得点A 的轨迹为以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，方程为22(1)4x y ++=，即可根据几何性质可知，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，即求出． 【详解】方法一：31=22DE CE CD b a -=-，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b +=⋅222333cos 244a b a b b a ACB a ba ba b⋅+⇒∠==≥=，当且仅当3a b =时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a -；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x yDE AB x y +=--=--， 23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+=22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a-；6π．49．03【分析】根据坐标求出a b+，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c==-=，()4,0a b∴+=，()40010a b c+⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.。
高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
数学练习(新教材人教A版强基版)第五章平面向量与复数51平面向量的概念及线性运算
1．化简2(a －3b )－3(a ＋b )的结果为( )A ．a ＋4bB ．－a －9bC ．2a ＋bD ．a －3b2．(多选)下列命题中，正确的是( )A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D ．如果非零向量a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a ，b 之一的方向一定相同3．设a ，b 是平面内两个向量，“|a |＝|a ＋b |”是“|b |＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( )A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线5．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，且FC →＝λFD →＋μFE →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12 8．已知向量OA →＝OB →·logsin θ＋OC →·log 2cos θ，若A ，B ，C 三点共线，则sin θ＋cos θ等于( )A ．－355B.355 C ．－55 D.559．设向量a ，b 不平行，向量t a ＋b 与a ＋3b 平行，则实数t 的值为________．10．已知A ，B ，C 三点共线，且AC →＝3BC →，若AB →＝λCB →，则λ＝________.11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||CA →|等于( ) A.13 B.34 C.12 D.4312．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是( )A ．|MA →|＝|MB →|＝|MC →|B.MA →＋MB →＋MC →＝0C.BM →＝23BA →＋13BD → D ．S △MBC ＝13S △ABC 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△ABO 与△ABC 的面积之比为( )A.16B.13C.12D.2314．(2023·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y的最小值为________．15．(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A ．若BM →＝13BC →，则AM →＝13AC →＋23AB → B ．若AM →＝2AC →－3AB →，则点M ，B ，C 三点共线C ．若点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0D ．若AM →＝xAB →＋yAC →且x ＋y ＝13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的2316．如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CN CE ＝r ，当r ＝________时，B ，M ，N 三点共线．。
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
2022年高考数学真题：平面向量与复数(解析版)
第4讲平面向量与复数一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t a b c a b ，若,,a cbc ，则t （）A ．6B ．5C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解： 3,4c t ,cos ,cos ,a c b c ,即931635t t c c,解得5t ,故选：C2．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA ．记CA m CD n，，则CB （）A ．32m nB ．23m nC ．32m nD ．23m n【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA ，所以2BD DA，即2CD CB CA CD ，所以CB 3232CD CA n m 23m n ．故选：B ．3．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b，，则a b r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b，然后求得a b r r .【详解】因为 2,12,44,3a b ，所以5a b .故选：D4．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||2|3a b a b ，则a b（）A ．2B ．1C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44a b a a b b ，又∵||1,||2|3,a b a b ∴91443134 a b a b ，∴1a b 故选：C.6．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i) （）A ．24i B ．24iC ．62iD ．62i【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求 22i 12i .【详解】22i 12i 244i 2i 62i ，故选：D.7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z ，则z z （）A ．2B ．1C ．1D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z .【详解】由题设有21i1i i iz ，故1+i z ，故 1i 1i 2z z ，故选：D8．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a bB ．1,1a bC ．1,1a bD ．1,1a b 【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b ÎR ， 2i 2i a b a ，所以0,22a b a ，解得：1,1a b ．故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））若1z ，则1zzz （）A ．1B ．1 C ．133 D ．1i33【答案】C 【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】1(1113 4.z zz 13i 13i 1333z zz 故选：C10．（2022·全国·高考真题（文））若1i z ．则|i 3|z z （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为1i z ，所以 i 3i 1i 31i 22i z z ，所以i 3z z 故选：D.11．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i ，且0z az b ，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a bB ．1,2a b C ．1,2a b D ．1,2a b 【答案】A 【解析】【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz 12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a 由0z az b ,得10220a b a ,即12a b故选:A 二、填空题12．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a ，3b r ，则2a b b_________．【答案】11【解析】【分析】设a 与b 的夹角为 ，依题意可得1cos 3，再根据数量积的定义求出a b ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为 ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3，又1a ，3b r ，所以1cos 1313a b a b ，所以22222221311a b b a b b a b b ．故答案为：11．13．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m．若a b ，则m ______________．【答案】34##0.75【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m，解得34m .故答案为：34.。
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高考数学专题练习：平面向量与复数
1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A
2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13
C.13 D ．3
解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝
－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13
＝－3.
答案：A
3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( )
A ．1 B. 2
C. 3 D ．2
解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝
±12＋32＝2,故选D.
答案：D
4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( )
A ．1 B.62
C. 2 D ．4
解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝
±1,∴|a |＝m 2＋12＝ 2.故选C. 答案：C 5．已知A (－1,cos θ),B (sin θ,1),若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点),则锐角θ＝( )
A.π3
B.π6
C.π4
D.π12
6．在△ABC 中,AB ＝AC ＝3,∠BAC ＝30°,CD 是边AB 上的高,则CD →·CB →＝( )
A ．－94 B.94
C.274 D ．－274
解析：依题意得|CD →|＝32,CD →·AB →＝0,CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB →＝CD →·CA →＝|CA
→|·|CD →|·cos60°＝3×32×12＝94,故选B.
(2)由(1),可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ,
即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.
因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2,所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时,当且仅当cos x ＝0时,f (x )取得最小值－1,这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时,当且仅当cos x ＝λ时,f (x )取得最小值－1－2λ2,由已知得－1－2λ2＝－32,解得λ＝12；
③当λ＞1时,当且仅当cos x ＝1时,f (x )取得最小值1－4λ,由已知得1－4λ＝－32,解得λ＝58,这与λ
＞1相矛盾；综上所述λ＝12. 26．设复数z=a+i （i 是虚数单位,a ∈R,a ＞0）,且|z|=
．
（Ⅰ）求复数z ；
（Ⅱ）在复平面内,若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限,求实数m 取值范围． 【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.
27．已知平面上三个向量,,a b c ,其中(1,2)a =．
（1）若35c =,且//a c ,求c 的坐标；
(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，2π3上的单调区间． 20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,向量m ＝(cos B ,cos C ),n ＝(2a ＋c ,b ),且m ⊥n .
(1)求角B 的大小；学=科网
(2)若b ＝3,求a ＋c 的取值范围．
(2)由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34
(a ＋c )2,当且仅当a ＝c 时取等号, ∴(a ＋c )2≤4,∴a ＋c ≤2,
又a ＋c >b ＝3,∴a ＋c ∈(3,2]．。