多元函数微积分及其应用1
第九章多元函数微积分及其应用习题参考答案
习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域： （1）ln(z y x =- （2）u =。
解 (1) 函数的定义域为(){}22,,0,1x y y x x xy >≥+<.(2) 函数的定义域为(){}22,0x y z x y ≤+≠.2.求下列各极限： （1）(,)(0,0)limx y →； （2）(,)(2,0)tan()lim x y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+ （4）()(,0,0limx y →解 (1) 原式()(()(()(,0,0,0,0,0,0441limlim lim 4x y x y x y xy →→→-+====-(2) 原式()()()()()()()()()()(),2,0,2,0,2,0,2,0tan tan tan limlim lim lim 122x y x y x y x y xy xy xy x x yxy xy →→→→⎡⎤==⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦(3) 令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===(4) 令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数：（1）2sin()cos ()z xy xy =+； （2）(1)yz xy =+； （3）arctan()zu x y =-. 解 (1)()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zy xy xy xy y y xy xy x∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ ()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zx xy xy xy x x xy xy y∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ (2)()121y z y xy x -∂=+∂; ()()()ln 11ln 11y y xy z xy e xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦. (3) ()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 证 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂,左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=； （2）xz y =. 解 (1) ()22222222212,;1z y y z xy xx x y x y x y x ∂∂⎛⎫=⋅-=-= ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22222222112,;1z x z xy yx x y y y x y x ∂∂⎛⎫=⋅=-=- ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()()()22222222222222x y y y z y y x x y y x y x y x y +-⋅⎛⎫∂∂-=-=-= ⎪∂∂∂+⎝⎭++. (2) 222ln ,ln x x z z y y y y x x ∂∂==⋅∂∂, ()2122,1x x z z xy x x y y y--∂∂==-∂∂, ()()21ln 1ln x x z y y y x y x y y -∂∂==+∂∂∂. 习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分：（1）y xz e =； （2）yzu x =. （3）sin2yz yu x e =++. （4）()222tan z y x u ++=解 (1) 因为2y x z y e x x ∂=-∂, 1y x z e y x ∂=∂,所以()21yxz z dz dx dy e ydx xdy x y x∂∂=+=--∂∂. (2) 因为1,ln ,ln yz yz yz u u u yzx zx x yx x x y z-∂∂∂===∂∂∂,所以 ()1ln yz yz u u udu dx dy dz yzx dx x x zdy ydz x y z-∂∂∂=++=++∂∂∂.(3)11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.(4) 因为u x ∂=∂，u y ∂=∂u z ∂=∂,所以)du xdx ydy zdz =++.2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。
多元函数微积分范文
多元函数微积分范文多元函数微积分是微积分的一个重要分支，主要研究多元函数的导数、偏导数、积分、微分方程等基本概念和定理。
在实际应用中，多元函数微积分经常用于描述和解决涉及多个变量的问题，如物理、经济、工程等领域的建模和分析。
多元函数的导数是多元函数微积分的核心概念之一、对于单变量函数，导数表示了函数在其中一点的变化率。
而对于多元函数，导数则表示了函数在其中一点沿着其中一方向的变化率。
多元函数的导数可以通过偏导数或全导数来定义。
偏导数是多元函数对于其中一个变量的导数，它可以通过将其他变量视为常数来计算。
全导数则是多变量函数的所有偏导数组成的向量，也可以用一个雅可比矩阵表示。
导数的计算和应用包括导数的定义、连续性、可导性、微分、泰勒公式等等。
偏导数和全导数的计算通常使用求导法则，类似于单变量函数的求导法则。
例如，对于二次函数f(x,y)=x^2+y^2，它的偏导数可以分别计算为∂f/∂x=2x和∂f/∂y=2y。
全导数的计算也类似，只需将所有的偏导数组合在一起。
求导法则包括乘法法则、除法法则、链式法则等等。
多重积分是多元函数微积分的另一个重要部分。
多重积分是对多元函数沿一个或多个变量进行积分，用于计算曲面、体积、质量等问题。
多重积分包括二重积分和三重积分，可以用定积分的概念来定义。
例如，对于平面上的函数f(x,y)，其二重积分可以表示为∬f(x,y)dxdy。
多重积分的计算可以使用重积分法和换元法等技巧。
微分方程是多元函数微积分的重要应用，描述了变量之间的关系和变化规律。
微分方程通常包括未知函数及其导数的关系，可以是常微分方程或偏微分方程。
常微分方程描述了未知函数及其一阶或高阶导数的关系，常见的常微分方程有一阶线性微分方程、二阶线性齐次微分方程等。
偏微分方程描述了未知函数及其偏导数之间的关系，常见的偏微分方程有波动方程、热传导方程、扩散方程等。
多元函数微积分的应用广泛存在于各个学科和领域中。
在物理学中，它用于描述运动、引力、电磁场等现象；在经济学中，可以用于描述供求关系、边际效应等经济现象；在工程学中，可以用于优化设计、信号处理等问题。
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
数学中的多元函数与多元微积分
数学中的多元函数与多元微积分多元函数是数学中一个重要的概念，它在多元微积分中扮演着至关重要的角色。
本文将从多元函数的定义入手，介绍多元函数的性质以及多元微积分的基本概念和方法。
一、多元函数的定义多元函数是指输入多个变量，并输出一个数的函数。
在二维平面上，可以描述成 f(x, y)，其中 x 和 y 是自变量，f(x, y) 是因变量。
在三维空间中，可以描述成 f(x, y, z)，其中 x，y 和 z 是自变量。
二、多元函数的性质1. 定义域和值域：多元函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是函数的所有可能的输出值。
通过定义域和值域的分析，可以得到函数的一些性质，例如函数是否有界。
2. 连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域上的任意一点都能够满足连续性的要求。
连续性的研究对于多元微积分的推导和应用具有重要的意义。
3. 偏导数：多元函数的偏导数是指在某一点上，函数对于其中一个自变量的变化率。
偏导数可以用来描述函数在某一点的斜率以及其在不同自变量上的变化趋势。
三、多元微积分的基本概念和方法1. 偏导数与全微分：在多变量函数中，可以通过偏导数来研究函数的不同变量之间的关系。
而全微分则是在一点附近用一阶线性函数来近似表示多元函数的变化。
2. 多元函数的极值与最值：通过求偏导数，可以找到多元函数的临界点，进而求得函数的极值和最值。
求解极值和最值的方法包括二阶导数判别法和拉格朗日乘数法等。
3. 重积分：重积分是多元函数的积分运算。
它的应用广泛，例如计算曲面的面积、质心等问题。
在多元微积分中，可以通过重积分来解决空间中各种物理问题。
4. 广义积分：广义积分是对无界函数或某些间断点的函数进行积分运算。
广义积分的研究对于理解多元函数的奇点和振荡现象具有重要意义。
结语多元函数与多元微积分是数学中的重要内容，它们在物理、工程、经济等各个领域的应用广泛。
通过对多元函数的性质和多元微积分的基本概念的研究，我们可以更好地理解和应用这些数学工具。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
多元函数的概念
E
• 若对点 的任一邻域 U(P) 既含 中的内点 若对点P 任一邻域 既含E中的内点 也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, 的内点必属于 的内点必属于E 的外点必不属于E 显然, E的内点必属于 , E 的外点必不属于 , E 的边界点可能属于 , 也可能不属于E . 的边界点可能属于E, 也可能不属于
o
x
o 1 2x
o 1 2x
y
点集
{ ( x, y)
x > 1}
−1o 1 x
是开集， 是开集，但非区域 . 对区域D 若存在正数K 使一切点P∈ 对区域 , 若存在正数 , 使一切点 ∈D 其中O是坐标原点 有 D ⊂ U (O , K ) 其中 是坐标原点 否则称为无界域 则称D为 则称 为有界域 ,否则称为无界域 .
说明2 说明2 任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数. 事实上 二元函数 事实上,z = f (x) = f (x) + 0 ·y 即二元函数是一元函数的推广, 即二元函数是一元函数的推广 而一 元函数则 是二元函数的特殊情形. 是二元函数的特殊情形 二元函数是定义在 x0y 平面某点集上的函数,而一元函数是定义 平面某点集上的函数,而 面上一条直线(x 上的二元函数. 在 x0y 面上一条直线 轴)上的二元函数 上的二元函数
说明3 多元函数定义域、值域的定义与一元函数类似， 说明3 多元函数定义域、值域的定义与一元函数类似， z
O
例如, 例如 二元函数 z = 1− x − y
2 2
1
y
O
定义域为 圆域 { (x, y) x2 + y2 ≤1}
x
z
又 , z = sin(xy) , (x, y) ∈R2 如
多元函数的概念与应用
多元函数的概念与应用多元函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的概念以及其在实际问题中的应用。
一、多元函数的概念多元函数是指自变量有两个或更多的函数。
具体来说，如果有n个自变量x1，x2，...，xn，一个因变量y以及一个函数关系f，那么我们可以将其表示为y = f(x1, x2, ..., xn)。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
与一元函数不同的是，多元函数的图像无法用一个二维平面来表示，而是需要用高维空间来展示。
二、多元函数的应用多元函数在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，多元函数用于描述物体的运动和力学性质。
例如，牛顿的万有引力定律中就包含了一个多元函数。
通过多元函数可以描述天体之间的引力关系，并预测它们的运动轨迹。
2. 经济学中的应用经济学中的需求函数和供给函数都是多元函数的例子。
需求函数描述了消费者对商品的需求与价格之间的关系，而供给函数描述了生产者供给商品的数量与价格之间的关系。
通过分析这些多元函数，可以帮助我们理解市场的运行规律，进行经济预测和政策制定。
3. 工程学中的应用工程学中的多元函数应用广泛，如电路设计、材料强度分析、车辆运行特性等方面。
通过建立多元函数模型，可以优化工程设计，提高产品质量和性能，降低成本和风险。
三、多元函数的分析方法要研究多元函数的性质和应用，需要使用多元微积分的方法。
这些方法包括偏导数、多元极值、方向导数、梯度等。
1. 偏导数偏导数用于衡量多元函数在某个变量上的变化率，其定义与一元函数的导数类似。
通过求取偏导数，可以判断函数在某个点上的增减性以及各个方向上的变化程度。
2. 多元极值多元极值是指多元函数在某个区域内取得最大或最小值的点。
通过求取偏导数，并令其等于零，可以求得多元函数的极值点。
3. 方向导数与梯度方向导数用于描述多元函数在某个方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向与多元函数在某点上的变化最快的方向一致。
多元函数微分法和应用
第8章多元函数微分及其应用第一卷研究一元函数的微分方法。
利用这些知识，我们可以求出直线上质点运动的速度和加速度，也可以求出曲线切线的斜率。
还不够，因为一元函数只研究由一个因素决定的事物。
一般来说，对自然现象的研究总是离不开时间和空间。
需要三个坐标来确定空间中的点。
因此，一般物理量往往取决于四个变量。
在某些问题中，需要考虑更多的变量。
这样，就有必要研究多元函数的微分。
多元函数微分是一元函数微积分的扩展，所以多元函数微积分与一元函数微积分有很多相似之处，但也有很多不同之处。
学生在学习这部分时要特别注意他们的差异。
地方。
一、教学目标和基本要求(1)了解多元函数的概念。
(2)了解两个变量的函数的极限和连续性的概念，与有界封闭区域上的连续函数的性质有关。
(3)了解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充要条件，并在近似计算中应用全微分。
(4)了解方向导数和梯度的概念，掌握它们的计算方法。
(5)掌握复合函数一阶和二阶偏导数的计算方法。
(6)找到隐函数的偏导数，包括那些由方程组确定的函数。
(7)了解曲线的切面和法线以及曲面的切面和法线，掌握它们的方程。
(8)理解多元函数极值的概念，找出函数的极值。
了解条件极值的概念，利用拉格朗日乘子法求条件极值，解决一些比较简单的最大值和最小值的应用问题。
二、教学内容及课时分配：第 1 节多元函数的基本概念 2 小时第二部分偏导数 1 学分第三个全差1学分第 4 节多元复合函数的导数规则 2 小时练习课2小时第五节隐函数2小时的推导公式第六节多元函数微积分的几何应用2学分第七节方向导数和梯度 2 学分第 8 节多元函数的极值及其方法 2 小时练习课2小时三、教学内容的重点和难点：强调：1．多元函数的极限和连续性；2．偏导数的定义；总微分的定义3．多元复合函数的推导规则；隐函数的推导规则4．方向导数和梯度的定义5．如何找到多元函数的极值和最大值困难：1．多元函数微分的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、连续性的关系偏导数；2．在多元复合函数的求导规则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的推导规则；4．梯度大小和方向的重要性；5．如何找到条件极值四、教学内容的深化与拓宽：1．多元函数微积分几个概念的深厚背景；2．多元复合函数求导法则的应用；3．由方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微积分的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，从而得到梯田的概念6．利用多元函数微积分的知识研究无条件极值和条件极值。
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6.二元z 函 f(x,数 y)的图形
设函数 z f (x, y) 的定义域为D，对于任意 取定的P(x, y) D，对应的函数值为z f (x, y)， 这样以x 为横坐标、以y 为纵坐标、以z 为竖坐标 在空间确定一点M(x, y, z)，当(x, y) 取遍D中的 一切点时，得到一个空点间集
无界开区 域．
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3. 聚点
设E是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E，则称P 为E 的聚点.
说明： (1). 内点一定是聚点； (2) .边界点一定是聚点；
例如 E {x ,( y ) |0 x 2 y 2 1 },
第八章 多元函数微分法及其应用
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第一节 多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、区域
1. 邻域
设 P0(x0,是y0平) 面上的一个点， 是某一正数，
与点
P距0(离x0小,y于0) 的点 的P全(体x,，y)称
(3). n 维空间中邻域、区域等概念
邻域：U ( P ,) P |P | , P P R n
0
0
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
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5. 二元函数的定义
设D是平面上的一个点果集对，于如每一个 P(x, y)D,变量z按照一定的法则定总的有值确和 它对应，则 z是称变量 x, y的二元函数，记为 z f(x, y)(或记为 z f(P)).
E的边界点的全体E称的为边界．
•P
设 D 是开集．如果对于D内 任何两点，都可用折连线结起来， 且该折线上的点都属于 D，则称 开集D 是连通的．
E
• •
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连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{x ,(y )|1 x 2 y 2 4 }.
o
x
开 区 域 连 同 它 的 边 界 一 起 称 为 闭 区 域 .
(1,0)既是 E 的边界点也是聚点．
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(3). 点集 E 的聚点可以属于E，也可以不属于 E．
例如, E {x ,( y ) |0 x 2 y 2 1 },
(1,0) 是E的聚点但不属于集合 E．
例如, E {x ,( y )|x 2 y 2 1 },
(2). n 维空间中两点间距离公式 .
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设两点为 P(x,x, ,x),Q (y,y, ,y),
12
n
12
n
| P | ( y Q x ) 2 ( y x ) 2 (地当 n1,时2,，3便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
y 例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
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对 于 点 集 E 如 果 存 在 正K数， 使 一 切 点 PE与某一定A点间的距离 AP不超过K， 即AP K，则称E为有界点集，否则称为 无界点集．
例如，{x ,( y )|1 x 2 y 2 4 }
有界闭区域； {x ,( y )|x y 0 }
类似地可定义三元及三元以上函 当 数．n2时，n元函数统称为多元. 函数
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因 变量因变量等概念.
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例 1求函 f(x,数 y)arc3six2 ny (2)的定.义 xy2
解
3 x2 y2
1
x y2 0
2xxy22 y2 4
边界上的点都是 E 的聚点也都属于集合E ．
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4. n维空间
设n 为取定的一个自我然们数称 n，元数组 (x1,x2,,xn) 的全体n为维空间，而n每元个数 (x1,x2,,xn)称为 n维空间中的一个x点 i 称，为数 第i个坐标 .
说明：
(1). n 维空间的记号为 R n ;
为点 的 邻域，记P 0 为，
U(P0,),
U(P,)P|P|P
0
0
• P0
( x , y ) |( x x ) 2 ( y y ) 2 .
0
0
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2. 区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 蘿E ， 则称 P 为 E 的内点 . E 的内点属于E .
函数z f (x, y)当x x0, y y0 时的极限， 记作 lim f (x, y) A.
xx0 y y0
或记为 ( f (x, y) A,( 0),这里 PP0 ) .
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说明：
义P中 P0的方式是
(2) 二元函数的极 二限 重也 极 lim 叫 限 f(x,做 y); xx0 yy0
{(x, y, z) z f (x, y),(x, y) D}， 这个点集称为二元函的数图形.
二元函数的图形通常是一张曲面.
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二、多元函数的极限
定义1 设函数z f (x, y)的定义域为D，P0(x0 , y0 )
是其聚点，如果对于意 任给定的正数 ,总存在正数， 使得对于适合不等式0 PP0 (x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点P(x, y),都有f (x, y) A 成立，则称A为
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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如果点集E的点都是内点，
则称E为开集.
•P
例如，E {x ,( y )1 x 2 y 2 4 }
1
E
即为开集．
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如 果P点 的 任 一 个 邻 域于 内E既 的有 点属 ， 也 有 不 属 E的 于点 （P点 本 身 可 以E属 ，于 也 可 以 不 属 E）于， 则P称 为E的 边 界 点 ．