浅谈波利亚解题理论
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
列方程(组)解应用题的一般步骤： 审题 ； (1)_______ 设元 ； (2)_______ 等量关系 (3)找出包含未知数的___________； 列出方程(组) ； (4)_______________ 求出方程(组)的解 ； (5)___________________ 检验并作答 ． (6)_____________
在列方程（组）解应用题时，一般采用直 接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用 什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系 ，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量 关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的 个数要与未知数的个数相同。 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样 的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时 解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用 学过的知识来判断是什么方程（组），然后， 根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组 ）。
初中数学应用题类型分类
方程应用题
一次函数应用题
统计应用题 其他应用题
不等式应用题
二次函数应用题
解直角三角形应用题
一、方程应用题芈月传中的数学题
• 例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人 类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植 树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面 积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平 均每年增长的百分率。 • 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按 定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折 出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即 审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解 方程)，检(检验)，答。 考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄 问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问 题等。
波利亚的解题理论
23
第三步
实现计划
解析：设原来的进价为 x ，售价为 y ，则由题 意可知现在的进价为 x1 10% ，由等量关系 列出方程
y x(1 10%) y x (1 25%) x(1 10%) x
13
1. 弄清问题
“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成 正确的审题方法 ① 首先，了解已知是什么?未知是什么?条件 是什么?要确定未知数,条件是否充分? 是否 不充分?
② 其次，形成正确的审题方法。
③ 最后，注意引导学生挖掘已知条件与所求之 间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。
14
例如：计算 C
y ( x 0) 2 (0 2) 2 [ x (1)] 2 (0 3) 2
17
3. 实现计划
“实现计划”阶段，加强基础教学，善用 一题多变加深和提高解题能力 ① 实现你的求解计划,检验每一步骤. ② 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正确的?
波利亚的数学教育理论
1
回顾一下，我们学过的教育理论有哪些？ 弗赖登塔尔数学教育理论 建构主义理论 数学教学理论
2
一、波利亚简介
二、波利亚数学教育理论 三、波利亚《怎样解题》
四《怎样解题》在中学数学中的应用
3
一、波利亚简介
波 利 亚 （ 1887-1985 ） ， 美 籍匈牙利数学家。生于布达佩 斯，卒于美国。青年时期曾在布 达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读 数学、物理和哲学，获博士学 位。1914年在瑞士苏黎世工业大 学任教 ， 1938 年任数理学院院 长。1940年移居美国，历任布朗 大学、斯坦福大学教授。1963年 获美国数学会功勋奖。
波利亚解题理论
四部曲
改善学生数学解题中的元认知的教学策略
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍
解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的
圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
程看得见，摸得着。
弄
拟
执
检
清
定
行
验
题
计
计
回
意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
划
划
顾
变换,推广,类 比,作出新的 数学发现.
概括方法论 因素,建立数 学模型.
波利亚的教育思想
数学教学的目的应当是提高学生的一般素养：首 先和主要的目标应当是教会青年思考。
教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识决定性的作用。
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。
核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过
波利亚四步解题法
波利亚四步解题法
波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》（How to Solve it:A New Aspect of Mathematical Method)
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形
式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷
的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
达利奥的五步成功路径：
1、设定目标：设定目标就是设定你真正想达到的，不要去想能不能完成
2、发现通向目标的障碍：这要用身外之我，“元我”思维有助于以客观、抽离的方
式来“旁观”因难，以不受制于“我”在困难面前的纠结困扰。
3、诊断问题所在并制定计划：诊断问题就是诊断问题，不要去想如何解决。
以终
为始，要把可能遇到的问题及应对想透，对怎么走到现在、如何走下一步，相象出其展开全景，好像写越狱的电影剧本。
4、列出解决问题的任务清单：分解目标，可执行，越细越好。
5、坚决执行任务，但不忘初心，不忘目标。
然后这五步反复迭代。
对波利亚的解题理论的一些思考
Ａ ｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｒｅ ｖ ｉ ｅ ｗ ｏ ｆ Ｐ ｏ ｌ ｙ ａ ｓ ｐ ｒ ０ ｂ １ ｅ ｍ— ｓ ０ ｌ Ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｔ ｏ ｅ ｘ ｐｌ ｏ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｙ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ”ｑ ｕ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ” ，” ｓ ｅ ａ ｔ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ， ”ｔ ｈ ｅ
《 怎样解题 》将数学解题领人一个新的阶段 ，波利 满足的条件等 ，画一个 图，引人适当的符号 ，方便
亚通 过 对 解题 过 程 中最 富有 特征 性 的 典型 有用 的智 对题 目进 行分析理 解 。 “ 怎样解题 ”表的第二 步
力活动 的分析归纳 ，提炼 出分析和解决数学问题 的
一
“ 拟定计 划 ”的分 析是最 为引人人胜 的 。在 第二
２ ８ 教 育理论
青 年时代
Ｙ Ｏ Ｕ Ｔ Ｈ・ Ｔ Ｉ Ｍ Ｅ Ｓ
２ ０ １ ３ 年８ 月 １ ５ ～ １ ６ 期
对波利亚 的解题 理论 的一些思考
罗
贵阳第 三十三 中学 摘
璇
贵阳 ５ ５ ０ ０ ０ ０
要 ：对渡利 亚的解题 理论进行述 评 ，探 讨 了该理 论与 “ 提 出问题” 、 “ 题 海战术”之 间的关 系，并举
在第 一步 “ 弄 清问题 ”中 ，波利亚 指 出 ，在
理论基础 。 《 怎样解题 》（ １ ９ ４ ４ ） ，《 数学的发现 》
解题之前 ，我们要先弄清楚 问题 ，弄清楚 自己要求
（ １ ９ ５ ４ ） 和 《 数学与猜想 》（ １ ９ ６ １ ） 这三本书就是他智 慧 的是什么？题 目告诉我们的是什么？换 句话说 ，在 的结 晶。按波利亚 的解释， 他 的解题方法是关于数学 真正做一道题 目之前 ，我们要先观察题 目，分析题 “ 发现和发明的方法和规律 ”的研究。而波利亚 的 目，弄清楚题 目的已知条件 ，以及 由已知条件所能
波利亚“解题理论”及启示
检 验 回顾 是 解 题 的魅 力 所 在 。这 一 步 相 当 于 我 们 平 日解 题 所 说 的 “ 算 ” 但 比单 纯 的验 算 内容 更 丰 富 ， 义 更 深 邃 。 验 ， 意 它 不 只是 简单 地 核 对 答 案 ， 断解 题 是 否 正 确 ， 而 找 出 错 误 判 进 并 予 以 纠 正 ， 是 要用 多种 方法 ， 不 同的 角 度 去 获 得 正 确 的 而 从 结 果 ， 要 的 是 对 解题 结果 或方 法 进 行 迁 移 思 考 ， 结 解 题 经 重 总 验 ， 大 解 题 成果 。 如 波利 亚 所 说 ：这是 领 会 方 法 的最 佳 时 扩 正 “ 机”“ ， 当解 题 者 完 成 了 他 的 任务 。 且 他 的 体 验 在 头 脑 中 还 是 而 新 鲜 的 时候 ， 回 顾他 所 做 的一 切 ， 能 有 利 于 探 索 他 刚 才 克 去 可 服 困难 的实 质 。 可 以对 自己 提 出许 多有 用 的 问题 ： 键 在 哪 他 关 里 ？ 要 的 困难 是什 么 ？ 么地 方 我 们 可 以 完 成 得更 好 些 ？ 重 什 我 为 什 么没 有 觉 察 到 这 一 点 ？ 看 出这 一 点 ． 必 须 具 备 那 些 知 要 我 识 ？ 该 从 什 么角 度 去 考 虑 ？ 里 有 没 有值 得 学 习 的诀 窍 可 供 应 这
下 次 遇到 类 似 问 题 时 应用 ？ ” ２波 利 亚 “ 题 理 论 ” 数 学 教 学 的启 示 ． 解 对 ２１ 助 “ 题 理 论 ”培 养 学生 良好 的 解题 习惯 ［。 ．借 解 ， ２ １ 在 数 学 学 习 中 ，学 生 的 各 种 数 学 能 力 最 终 体 现 在 他 的 解
题 能力 上 ， 良好 的解 题 习惯 是 走 向成 功 的桥 梁 。那 么 ， 何 而 如 培养 学 生 良好 的 解 题 习惯 呢？ 我 认 为 可从 以下 几 点 做 起 。 ２１ 应 培 养 良好 的 审题 习惯 。 ．１ ． 学 生 解 题 出错 或 解 题 感 到 困 难 ，通 常都 是 由 于 不认 真 审 题或 审题 不 清 ， 弄 清 题 意 造 成 的 ， 当 一 部 分 学 生在 拿 到 题 未 相 目后 ， 匆浏 览 完 题 目后 就 急 于 解 题 ， 到解 不 下 去 才 回 头 重 匆 直 读题 目， 现竟 是 由于 粗 心 看错 了题 目条 件 。 培 养 良好 的 审 发 要 题 的 习惯 ， 可分 以下 几 步 走 ： 一 ， 读 题 目 ， 第 通 明确 题 意 ； 二 ， 第 注意 挖 掘 隐 含 条 件 ； 三 ， 审 边 记 ， 做 边 审 。 第 边 边 ２１２ 意 培 养一 题 多 解 ， 题 多 变 的 思 维 习 惯 。 ．－ 注 一 题 多 解 就 是 对 同 一 道 题 目分 别从 不 同 角 度 对 问 题进 行 分析 ， 解 。这 培 养 了学 生 综 合 运 用 数 学 知 识 分 析 问题 、 决 求 解
波利亚数学解题思想研究
波利亚数学解题思想研究波利亚数学解题思想研究乔治·波利亚（George Polya，1887～1985），美籍匈牙利数学家，20世纪举世公认的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。
他在长达半个世纪的数学教育生涯中，为世界数学的发展立下了不可磨灭的功勋。
他的数学思想对推动当今数学教育的改革与发展仍有极大的指导意义。
本文拟从数学解题思想方面对波利亚的数学思想进行述评，并结合当前数学教育的形势，探讨波利亚数学思想对我国数学教育改革的启示。
1.波利亚数学解题思想的产生作为一线教师出身的数学家，波利亚深知“题目是数学的心脏”这一至理，“掌握数学就意味着善于解题”，他也深知“教学一般解题方法”的必要。
为了帮助学生更好地学习数学，波利亚力求用朴素而现代化的形式来阐明探索法，经过多年的探索与总结，波利亚终于找到了“解题中典型有用的智力活动”，他所拟定的“解题表”便是实践其解题思想的首次尝试。
2.波利亚数学解题思想的主要内容2.1波利亚数学解题思想波利亚一直强调要加强对学生的解题训练，其目的在于提高学生的数学素质。
波利亚的数学解题思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感。
2.1.1问题与解法什么是问题？波利亚对此给予了十分广泛的意义：问题就是意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的。
按所要达到的目的的不同，对问题又可分为“求解的问题”和“求证的问题”这两类。
什么是问题的解法？波利亚给出的答案是：就是在原先隔开的事物或想法（已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假设和结论）之间去找出联系。
2.1.2怎样解题按照人们解题的思维程序，波利亚的解题思想自然的分成了四个部分：（1）弄清题意。
无论是谁，哪怕是解一道再简单的题目，他也首先要知道“未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知条件是否充分？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”。
只有当你明确了题意，才能做出下一步打算。
浅谈波利亚解题理论
浅谈波利亚解题理论对“怎样解题表”的认识乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。
上中学时，他就是一个很有上进心的学生。
但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”怎样解题表第一步：弄清问题第二步：拟订计划第三步：实现计划第四步：回顾我的认识与看法学习数学的目的，通常人们认为主要有两个，一是掌握必要的数学知识，二十提高分析的能力、解决问题的能力。
其中后者是数学教学的根本目标，但是，要有效的提高学生的分析和解决问题的能力却并非易事。
我认为乔治·波利亚有效地帮教师解决了这一难题。
但是要看教师个人怎样去用和实现这四部的教学法。
在我们看来这四个步骤十分的简单，但我们真的实施起来真的是那么回事吗？我想答案肯定是很难吧！下面我就这四步进行概括的说说我的看法。
①弄清问题，拟定计划这是解决数学问题的关键因素，探求解题思路的过程是训练学生良好思维方式的过程，也是教给学生恰当选取解题策略的过程。
在拟定计划中需要对问题不断地修正、转化，还经常需要类比等。
当我们引导学生将复杂问题转化为简单问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，这样一个解题的计划就基本形成了。
②回顾解答，深化理解这是巩固知识，提高解题能力的重要环节，在日常数学学习和活动中，我们往往在解答出某道题目后就立即进入另一个问题或找点别的事来干。
比利亚告诉我们：“没有任何一个题目是彻底完成了的……”。
所以当我们解决了一个问题后应该及时的进行反思，只有这样我们的解题水平才能得到有效的提高。
如果缺乏对问题本质的理解和更高层次的认识。
也失去了一个提高解题能力的好机会。
③小结应试教育，是中国平等待人的政治手法的灵活应用。
这样可以达到知识的普集和教育的平衡。
但是限制了学生的特长，使人从小养成了定向思维的习惯。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对“怎样解题表”的认识乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。
上中学时，他就是一个很有上进心的学生。
但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”
怎样解题表
第一步：弄清问题
第二步：拟订计划
第三步：实现计划
第四步：回顾
我的认识与看法
学习数学的目的，通常人们认为主要有两个，一是掌握必要的数学知识，二十提高分析的能力、解决问题的能力。
其中后者是数学教学的根本目标，但是，要有效的提高学生的分析和解决问题的能力却并非易事。
我认为乔治·波利亚有效地帮教师解决了这一难题。
但是要看教师个人怎样去用和实现这四部的教学法。
在我们看来这四个步骤十分的简单，但我们真的实施起来真的是那么回事吗？我想答案肯定是很难吧！下面我就这四步进行概括的说说我的看法。
①弄清问题，拟定计划
这是解决数学问题的关键因素，探求解题思路的过程是训练学生良好思维方式的过程，也是教给学生恰当选取解题策略的过程。
在拟定计划中需要对问题不断地修正、转化，还经常需要类比等。
当我们引导学生将复杂问题转化为简单问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，这样一个解题的计划就基本形成了。
②回顾解答，深化理解
这是巩固知识，提高解题能力的重要环节，在日常数学学习和活动中，我们往往在解答出某道题目后就立即进入另一个问题或找点别的事来干。
比利亚告诉我们：“没有任何一个题目是彻底完成了的……”。
所以当我们解决了一个问题后应该及时的进行反思，只有这样我们的解题水平才能得到有效的提高。
如果缺乏对问题本质的理解和更高层次的认识。
也失去了一个提高解题能力的好机会。
③小结
应试教育，是中国平等待人的政治手法的灵活应用。
这样可以达到知识的普集和教育的平衡。
但是限制了学生的特长，使人从小养成了定向思维的习惯。
而且广大师生沉迷于“题海战术”，这不仅给学生带来了相当大的负担，而且还给教师带来了很大的负担。
但是波利亚倡导的解题训练不同于这种题海战术。
对于“怎样解题表”
如果我们能够合理的应用，我们将能获得事半功倍的成效！。