2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的

拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C)

【考点】拐点的定义 【难易度】★★

【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C).

2、设21123x x y e x e ⎛⎫

=+- ⎪⎝

⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）

（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A)

【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】

211,23

x x

e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-

3、若级数

1

n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1

1n

n n na x ∞

=-∑的：

（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点

（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)

【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★

【详解】因为

1

n

n a

∞

=∑条件收敛，故2x =为幂级数

()

1

1n

n n a x ∞

=-∑的条件收敛点，进而得

()11n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故

()1

1n

n n na x ∞

=-∑的收敛区间仍为()0,2，

因而x =3x =依次为幂级数()1

1n

n n na x ∞

=-∑的收敛点、发散点.

4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==

与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则

(,)D

f x y dxdy =⎰⎰

（A ）

1

2sin 214

2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π

θπθθθθ⎰⎰

（B

）24

(cos ,sin )d f r r rdr π

πθθθ⎰

（C ）

13sin 214

2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ

θθθ⎰⎰

（D

）34

(cos ,sin )d f r r dr π

πθθθ⎰

【答案】(D)

【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4

π

θ=

；由y =得，3

π

θ=

由21xy =

得，2

2cos sin 1,r r θθ==

由41xy =

得，2

4cos sin 1,r r θθ==

所以

34

(,)(cos ,sin )D

f x y dxdy d f r r rdr π

πθθθ=⎰⎰

⎰

5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个

解的充分必要条件为

（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω

（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)

【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★

【详解】[]()()

()()2

2111111

11

,12011

11400

1212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤

⎡⎤⎢

⎥

⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢

⎥

⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦

Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =

6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2

2

2

1232y y y +-，其中

123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为

（A ）2

2

2

1232y y y -+ （B ）2

2

2

1232y y y +- （C ）2

2

2

1232y y y -- （D ）2

2

2

1232y y y ++ 【答案】(A)

【考点】二次型 【难易度】★★

【详解】由x Py =，故222

123

()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

所以222

123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)

7、若,A B 为任意两个随机事件，则

（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥

（C ）()()()2P A P B P AB +≤

（D ）()()

()2

P A P B P AB +≥

【答案】(C)

【考点】

【难易度】★★

【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥