数学11不等关系课件北师大
新教材北师大版高中数学必修一 1.3.1 不等式的性质 教学课件
第十五页，共二十一页。
那可不一定，你是 不是成立，得问问
c，c=0时，你就不成 立！
5 不等式的性质又是哪些呢？
第十六页，共二十一页。
5 不等式的性质又是哪些呢？
★【对称性】 ★【传递性】
证明：
第十七页，共二十一页。
5 不等式的性质又是哪些呢？
第四页，共二十一页。
P
AC Q B
2 实数大小的比较
第五页，共二十一页。
2 实数大小的比较
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么
这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题 要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
第十二页，共二十一页。
3 一个重要不等式
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式： 因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
第十三页，共二十一页。
4 等式的性质是哪些？
第十四页，共二十一页。
4 等式的性质是哪些？
★【对称性】 ★【传递性】 ★【加减性】 ★【同乘性】 ★【同除性】
我成立，你不 一定成立！
1 不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、 大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不 少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等 式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• • • •
是( ) A．a·lgx>lgx·b(x>0) B．ax2>bx2 C．a2>b2 D．a·2x>b·2x
• 解析：对于A：当x>0时，lgx∈R，当lgx≤0时，
a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；
• 对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2， • ∴ax2>bx2不成立，故应排除B； • 对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b可知a－ • • • 答案：D
m＋n＝4， 于是得 m－n＝2， m＝3， 解得 n＝1.
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以
利用换元法来求解．在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值 范围，否则容易出错．下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解．
解析：由已知得 2≤f(1)＝a＋b≤4,1≤f(－1)＝a －b≤2，又 f(－2)＝4a－2b. 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－ n)· b.
•
•
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论， 或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不 等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小 得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双 向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的 对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不 等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断 要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符 号． (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反 证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论 3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的 问题转化为其反面进行说明.
2014新版 北师大版八年级数学下册2.1不等关系
2.1 不等关系
看一看
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工 作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两 端的重量对比来工作的．
不相等 处处可见
由此可见，“不相等”处处可见。 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识： 不等式．
学习目标：
1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解 不等式的意义，初步体会不等式是研究量与量 之间关系的重要模型之一。
做一做：
铁路部门对旅客随身携带的行李有如下 规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得 超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出行李的长、宽、 高满足的关系式 。
做一做：
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可 以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围 为6cm，以后树围每年增加约3cm。这棵树至少 生长多少年其树围才能超过30cm？
2、经历由具体实例建立不等式模型的过程， 进一步发展符号感与数学化的能力。
想一想
如下图，用两根长度均为lcm的绳子，分别围成一 个正方形和圆。
1、如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 应满足怎样的关系式？
2、如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长 l应满足怎样的关系式？ 3、当l = 8时，正方形和圆的面积哪个大？ l = 12 呢？改变l的值再试一试，由此你能得到什么猜想？
试举出生活中用不等式表示的例子
课堂小结：
这节课-----我发现了生活中…… 我学会了…... 使我感到最困难的是…… 我想进一步研究的问题是……
课后作业
习题2.1 1、 2、 3、 4
随堂小考
1．a是非负数的表达式是（ ） A ．a＞0 B ． a≥0 C．a≤0 D ．a ≤0 2．a、b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A．a＞0，b＜0 B ．a＜0，b＞0 C．ab＞0 D．以上均不对 3．下列不等关系一定正确的是（ ） A． a＞0 B．－x2＜0 C．（x+1）2≥0 D．a2 ＞0 4．用不等式表示下列关系： （l）a的2倍比a与3的和小； (2)y的一半与5的差是非负数； （3）x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差． （4）y的3倍与x的4倍的和是负数 （5）一个数的平方是非负数； （6）某天的气温不高于 25℃．
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_1。3。1_不等式的性质教学设计(2)
第一章预备知识第3节不等式3.1不等式的性质与相等关系一样，不等关系是数学中最基本的数量关系，作为预备知识，掌握好不等关系和不等式的基本性质，是证明和求解不等式的基础，是解决二次函数和二次不等式问题的前提，通过不等关系和不等式性质的学习，有助于提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力，同时为培养学生数学建模能力奠定基础。
(1)知识目标：掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的基本方法；掌握不等式的基本性质；熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明。
(2)核心素养目标：通过不等式性质的运用，提高学生数学运算能力和数学建模能力。
（1）作差法比较两个实数（代数式）的大小；（2）不等式的基本性质；（3）熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明。
多媒体课件一、复习引入一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然。
这个对话里面包含了什么数学知识呢？提示：两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等。
思考讨论：高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？提示：车速为v，行车道上的车速应该满足100km/ℎ≤v≤120km/ℎ.二、新知识在生活中，有很多数量关系的问题，它们既有相等关系，又有不等关系。
在数学中，用不等式来表示不等关系。
1、实数大小的比较两个实数a,b，如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−b<0，那么a<b.即注意：①这种比较实数大小的方法叫作“作差法”，另外在数轴上可以更加直观的看出两个实数的大小；②比较两个代数式的大小，基本方法也是“作差法”，作差后的结果一般要进行因式分解或配方，然后与0相比较。
如：已知实数a，试比较a2+2与2a的大小.a2+2−2a=a2−2a+1+1=(a−1)2+1>0 ∴a2+2>2a例1.试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.解：作差比较，(x+1)(x+5)−(x+3)2=(x2+6x+5)−(x2+6x+9)=−4<0∴(x+1)(x+5)<(x+3)2例2.试证明：若0<a<b，m>0，则a+mb+m >ab.证明：作差比较，a+mb+m −ab=b(a+m)−a(b+m)b(b+m)=m(b−a)b(b+m)a−b>0⇔a>b a−b=0⇔a=b a−b<0⇔a<b因为a <b ，所以b −a >0，又因a >0,b >0,m >0，所以m(b−a)b (b+m )>0∴a +mb +m >ab2、不等式的基本性质性质 内容备注性质1 如果a >b ，且b >c ，那么a >c 传递性性质2 如果a >b ，那么a +c >b +c 加（减）乘（除）运算性质3如果a >b ，c >0，那么ac >bc如果a >b ，c <0，那么ac <bc性质4 如果a >b ，c >d ，那么a +c >b +d 同向不等式相加 性质5如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd如果a >b >0，c <d <0，那么ac <bd不等式相乘注意：①以上性质均可以利用“作差法”给出证明，下面以性质4为例给出证明，其它，请同学们自行完成.性质4的证明：(a +c )−(b +d )=(a −b )+(c −d)因为a >b ，c >d ，有a −b >0，c −d >0，所以有(a −b )+(c −d )>0 得a +c >b +d②根据性质5，可以得出不等式乘方（开方）的运算性质.即：如果a >b >0，n ∈N +，那么a n >b n如果a >b >0，n ∈N +，那么√a n>√b n③不等式的变形、运算等，务必根据性质进行，避免错误. 如：如果a >b ，那么1a<1b ，对吗？提示：不正确，要由a >b 得到1a <1b ，应该将不等式两边同乘以1ab ，但条件并没有给出ab 的正负，所以结论错误例3. (1)已知a >b ，ab >0，求证：1a <1b ；(2)已知a >b ，c <d ，求证：a −c >b −d .证明：(1)因ab>0，则1ab >0，由不等式的性质3，a·1ab>b·1ab，得1a<1b.(2)因c<d. 由不等式的性质3，−c>−d再由a>b，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得a−c>b−d思考讨论(综合练习)：(1)已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2；(2)已知2≤x≤4，1≤y≤2，求x−2y的范围；(3)已知1≤a−b≤2，2≤a+b≤3，求2a−4b的范围.提示：(1)作差，(a3+b3)−(a2b+ab2)=(a3−a2b)+(b3−ab2)=a2(a−b)+b2(b−a)=(a−b)2(a+b)因a>0，b>0，(a−b)2≥0，所以(a−b)2(a+b)≥0得a3+b3≥a2b+ab2.(2)由 1≤y≤2得−4≤−2y≤−2，与2≤x≤4不等式相加得−2≤x−2y≤2即x−2y∈[−2,2].(3)设a−b=x,a+b=y，则1≤x≤2, 2≤y≤3，且a=x+y2,b=y−x2所以2a−4b=2·x+y2−4·y−x2=3x−y，与上(2)小题一样得2a−4b∈[0,4].三、课堂练习教材P26，练习1～6.四、课后作业教材P30，习题1-3，A组1～5(1)“作差法”比较大小，是证明不等式的基础，另外还可以采用“作商法”，即如果a>0，b>0，则ba>1⇔b>a；(2)不等式的基本性质是不等式变形、化简、证明的基础，不仅要熟练运用基本性质，还要特别注意性质中的条件.。
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
(名师整理)最新北师大版数学8年级下册第2章第1节《不等关系》精品课件
生活中的应用
小林到水果摊上称了24橘子，摊主称了几 只橘子说：“你看秤，高高的．”这个 “高高的”，是什么意思？你能用不等 式把它表示出来吗？
补充练习：（用不等式表示）
1、ａ绝对值是非负数。 2、ｙ的一半比-3大，比3小。 3、ｍ的5倍与2的差不大6。 4、ｘ除以2的商加上2，至多为5。 • （要求独立完成）
拓展应用
1、设“●”、“▲”、“■”表示三种 不同的物体，现用天平称了两次，情况 如图所示，那么●、▲、■这三种物体 按质量从大到小的顺序排列应为（ ）
A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●
拓展应用
2、小明和小华都在看同本长篇小说，到 今天为止，小明看到第28页，小华看到 第83页，如果从现在起，小明每天看16 页，小华每天看10页，问至少几天后小 明看的比小华看的页数多？请你根据题 意列出不等式。
常识２、如果a>b且b>c，那么a>c． 推论：如果a<b且b<c，那么a<c．（传递性
常）识3、比较两数（式）大小的方法： （1）若a-b=0则a_=__b (2) 若a-b>0则a_>__b (3) 若a-b<0则a_<__b
注：比较两数大小可以用作差法.
开动脑筋
1、如图，用一根长度
为l cm 的绳子，围成一
开动脑筋
4、如图，用两根长度均
为12cm 的绳子，分别围
成一个正方形和圆.
问:正方形和圆的面积会 有怎样的关系?
开动脑筋
5、如图，用两根长度均
为l cm 的绳子，分别围
成一个正方形和圆.ຫໍສະໝຸດ 问:正方形和圆的面积会 有怎样的关系?你能得到 什么猜想？
高考北师大版数学总复习课件：7.1不等关系与不等式
π π 5．(教材改编题)已知－ <α <β < ，则 α－β 的取值范围是 2 2 ________．
[答案] (－π，0) π π π π [解析] ∵－ <α<β < ，∴－ <α< ，α－β<0， 2 2 2 2
π π － <－β< ，∴－π<α－β<0 2 2
6． (2012· 盐城模拟 )已知 a<0，－ 1<b<0，那么 a， ab， ab2 的大小关系是________．
[答案] A
)
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵“a＋c>b＋d”⇒ / “a>b 且 c> d”， ∴充分性不成立； 又“a> b 且 c> d”⇒“a＋c>b＋d”， ∴必要性成立，故选 A.
2．(2012· 泉州模拟)若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的 是( ) A．若 a> b，则 ac2> bc2 B．若 a< b<0，则 a2> ab> b2 1 1 C．若 a< b<0，则 < a b b a D．若 a< b<0，则 > a b
知识梳理 1．比较两个实数大小的法则 设 a， b∈ R，则 (1)a>b⇔ a－b>0 ； (2)a＝ b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔ a－b<0 .
2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b， b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔a＋c>b＋c ； (4)a>b， c>0⇒ ac>bc； a>b， c<0⇒ ac<bc；
3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
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学习目标
感受生活中存在大量的不等关系，会列不 等式表示数量关系；
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2
警告！为了你的生命安全，燃
放时请及时转移至5米之外。
此例中有不等关系： “大于5”
生产日期：2006.02.15 保质期： 6个月
此例中有不等关系： “不大于6”
看一看
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过 它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠 不断改变两端的重量对比来工作的．
4、完成课本第4页做一做，总结满足什么条件的
式子叫不等式呢？ 编辑ppt
6
想一想(如下图)：用两根长度均为lcm的
绳子，分别围成一个正 方形和圆。
1.如果要使正方形的面积不大于25cm2, 那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
l2
≤1 26 5
2.如果要使圆的面积不小于100cm2， 那么绳长l 应满足怎样的关系式？
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9
例、判断下列各式哪些是等式？哪些是不等式？ ①x+y； ②3x＞7； ③5=2x+3； ④x²≥0； ⑤2x-3y=1； ⑥5²；
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10
例、根据下列的数量关系列出关系式； ①x的4倍大于7； ②8与y的2倍的和是正数； ③x与5的和的30％不大于6； ④x除以2的商加上1至多为5； ⑤爸爸的年龄比儿子年龄的2倍还大；
l2 4
≥ 100
3.当 l = 8时，正方形与圆
的面积哪个大？l = 12呢？
∵ 82 4 16
cm 2
82 5.1 cm2
4
4.你能得到什么猜想？改 变 l 的取值再试一试。
l2
4
l2 ＞ 16
∴ 圆的面积大
做一做（P4）
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可 以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5cm的地方作为测量部位。某树栽种时的树 围为5cm，以后树围每年增加约3cm。这棵树至 少生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关 系式）
解：设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m， 根据题意得：
5＋3x＞240
不等式的定义
观察由上述问题得到的如下关系式，它们有
什么共同特点？
(1)
l 4
2
≤
25
Байду номын сангаас
(2)
l
2
2 ≥100
(3)
l2 4
＞ l2 16
(4) 5＋3x＞240
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或 “≥”）
连接的式子叫做不等式。 如：4＜5.1， a≥3, x-7＞6+2x. m≤n 等
此例中也含不等关系。
学习任务
预习课本第2—4页，思考下列问题：
1、“不大于”指是什么意思？通常用哪个符号 表示，若“a不大于5”，可怎么表示？那么 “不小于”呢？
2、日常生活中常见的表示不等关系的词语有哪 些？它们的符号分别是什么？分别列举出来；
3、观察并思考课本中的引例中l在每个图形中代 表什么意思？若想表示其面积我们要用l分别表 示出两个图形的什么？该怎么解决？
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11
（6）从2，4，6，8，10中任取两个数就组成一组 数，写出其中两数之和不大于10的所有数组。
( 2，4）（2，6 ) （4，6）（2，8）
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12
（7）写出A,B,C之间的大小关系：
（A，B，C表示重量）（用符号“＞”表示）
B
A A ＞B
A
C ＞A
C
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13