特教整理：常见的放缩函数
放缩技巧
解析:一方面:因为 n1
∑k
k =1 n
2
<
1 1 n − 4
2
=
1 1 = 2 − , 4n − 1 2n − 1 2n + 1 4
2
所以
1
2
1 1 2 5 1 1 < 1 + 2 − + ⋯ + − < 1+ = 2n − 1 2n + 1 3 3 3 5 > 1+ 1 1 1 1 n + +⋯ + = 1− = 2 × 3 3× 4 n(n + 1) n +1 n +1
n
，只要证:
n k =1 n
∑ [k m+1 − (k − 1) m+1 ] < (m + 1)∑ k m < ∑ [(k + 1) m+1 − k m+1 ]
k =1 n
故只要证 ∑ [k
n k =1
m +1
− (k − 1) m +1 ] < (m + 1)∑ k m < ∑ [(k + 1) m +1 − k m +1 ] ,
累加得到： 2( 再由
1 1 1 + +⋯ + 2 3 n
1 < 2 ( 2n + 1 − 2 n − 1) n 1 1 1 + +⋯ + < 2 ( 2n + 1 − 1) 2 3 n
累加得到：1 + 例 3. 求证:
6n 1 1 1 5 ≤ 1+ + +⋯ + 2 < (n + 1)(2n + 1) 4 9 n 3
函数放缩法技巧全总结
函数放缩法技巧全总结函数放缩法是数学中常用的一种方法，用于求解函数的极限、导数、积分等问题。
它通过对函数进行适当的放缩，从而得到更简单、更易处理的形式，进而解决原问题。
在实际应用中，函数放缩法可以帮助我们更加灵活地处理复杂的数学问题，提高问题求解的效率和准确性。
下面，我们将对函数放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一方法。
首先，函数放缩法的核心思想是利用已知函数的性质，构造一个比较简单的函数，从而对原函数进行放缩。
常用的放缩方法包括利用三角函数的性质、利用幂函数的性质、利用指数函数的性质等。
在具体应用中，我们需要根据具体问题的特点，选择合适的放缩方法，以达到简化问题、加快求解的目的。
其次，对于常见的函数放缩技巧，我们可以总结如下：1. 利用三角函数的性质，对于涉及三角函数的问题，可以利用三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，构造合适的三角函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
2. 利用幂函数的性质，对于幂函数的问题，可以利用幂函数的增减性、凹凸性等性质，构造合适的幂函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
3. 利用指数函数的性质，对于指数函数的问题，可以利用指数函数的增减性、单调性等性质，构造合适的指数函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
4. 利用函数的极限性质，对于函数的极限问题，可以通过构造逼近原函数的序列或函数，利用函数的极限性质，对原函数进行放缩，从而求得原函数的极限。
5. 利用函数的导数性质，对于函数的导数问题，可以利用导数的定义、性质，构造合适的导数函数，对原函数进行放缩，从而简化导数的计算。
最后，需要注意的是，在使用函数放缩法时，我们需要充分理解原函数的性质，灵活选择合适的放缩方法，并且要注意放缩后的函数与原函数之间的关系，以确保放缩后的函数能够准确反映原函数的性质。
另外，对于一些特殊的函数，我们也可以通过函数的泰勒展开、泰勒公式等方法，对函数进行适当放缩，进而求解问题。
常用导数放缩法
常用导数放缩法1.已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$。
1) 设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，求 $m$ 并讨论 $f(x)$ 的单调性；2) 当 $m\leq 2$ 时，证明 $f(x)>0$。
解：(1) $f'(x)=e^{-x/(x+m)}\cdot \frac{-1}{(x+m)^2}$。
由$x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点得 $f'(x_0)=0$，即 $m=1$。
于是$f(x)=e^{-\ln(x+1)}$，定义域为 $(-1,+\infty)$，$f'(x)=e^{-x/(x+1)}\cdot \frac{-1}{(x+1)^2}$。
函数 $f'(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 单调递增，且 $f'(0)=0$。
因此当 $x\in(-1,0)$ 时，$f'(x)0$。
所以 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,+\infty)$ 单调递增。
2) 当 $m\leq 2$，$x\in(-m,+\infty)$ 时，$\ln(x+m)\leq\ln(x+2)$，故只需证明当$m=2$ 时，$f(x)>0$。
当$m=2$ 时，$f'(x)=e^{-x/(x+2)}\cdot \frac{-1}{(x+2)^2}$。
又 $f'(-1)0$，故$f'(x)$ 在 $(-2,+\infty)$ 有唯一实根 $x$，且 $x\in(-1,0)$。
当$x\in(-2,x)$ 时，$f'(x)0$，从而当 $x=x$ 时，$f(x)$ 取得最小值。
由 $f'(x)=e^{-x/(x+2)}\cdot \frac{x}{(x+2)^2}$ 得$e^{x/(x+2)}=x/(x+2)$ 在 $(-2,+\infty)$ 单调递增。
故 $f(x)\geqf(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}>0$。
放缩法技巧及例题解析(高中数学)
{an } 满足条件 an1 an f n ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来
a n 1 a1 a2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1
当 n 3 时,
1 1 1 1 1 2 ,此时 an n n 1 n n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a1 a2 an 4 3 4 n 4 2 3 3 4 n 1 n
1
1 (n 1) 2 an1 an
1 (n 1) 2 [1 an ] (n 1) 2
an (n 1)(n 1 ) n 1
这种证法还是比较自然 的, 也易让学生接受 .
.
an an 1 n 当 n 2 时， n 1
1 1 1 1 1 an an1 (n 1)(n 2) n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1
a a a am , b bm b b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用 先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差 比数列，即指数列 求和． 例 2、已知 an 2n 1(n N * ). 求证：
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
几大放缩方法
高等（泰勒、定积分）放缩这种放缩其实是不难的，题目出来出去也就这么几种，这种放缩类型的题在高考中尤其受欢迎，近几年也频频出现，它有着浓厚的高等数学背景，大多跟泰勒展开和定积分有关，下面我们先简单介绍一下泰勒公式和定积分的知识。
一 在初等数学中，我们可直接认为泰勒公式是：(2)()20000000()()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+-++-特别的，取00x =，我们有(2)()2(0)(0)(0)()(0)...1!2!!n nf f f f x f x x x n '=++++下面列举常见的泰勒展开式：()()()()21213521...1!2!!1sin ...3!5!21!nxn n n n x x x e o x n x x x x x o x n --=+++++-=-++++- ()()()224211cos 1...2!4!2!nn n x x x x o x n +-=-++++ ()()()()35512312tan 31511ln 1...123nn n x x x x o x x x x x x o x n+=++++=-+++-+ ()211...1n n x x x o x x=+++++- 上述泰勒展开式是用于函数放缩的有力工具，可以将一切难看的函数（sin,cos,ln 等）转化为一元多项式，便于导数求解。
定积分其实从几何图形上理解就是求面积，比如求函数2()f x x =的图像与x 轴从1到3围成的图形的面积（如下图）阴影部分的面积S 3233331111180313333x dx x ===⨯-⨯=⎰。
积分的运算就相当于导数的逆运算，322311,33x x x x 求导就是的原函数就是，所以放缩中就会利用构造图形比较面积大小来出题，这时它的背景就是定积分，著名的2003年江苏高考压轴题就是典型的例子，后面会有介绍。
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳) 教师版
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、放缩技巧(1)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1(2)1C1n+1C2n=2(n+1)n(n-1)=1n(n-1)-1n(n+1)(3)T r+1=C r n⋅1n r=n!r!(n-r)!⋅1n r<1r!<1r(r-1)=1r-1-1r(r≥2)(4)1+1 nn<1+1+12×1+13×2+⋯+1n(n-1)<3(5)12n(2n-1)=12n-1-12n(6)1n+2<n+2-n(7)2(n+1-n)<1n<2(n-n-1)(8)22n+1-12n+3⋅12n=1(2n+1)⋅2n-1-1(2n+3)⋅2n(9)1k(n+1-k)=1n+1-k+1k1n+1,1n(n+1+k)=1k+11n-1n+1+k(10)n(n+1)!=1n!-1(n+1)!(11)1n<2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=2n+12+n-12(11)2n(2n-1)2=2n(2n-1)(2n-1)<2n(2n-1)(2n-2)=2n-1(2n-1)(2n-1-1)=12n-1-1-12n-1(n≥2)(12)1n3=1n⋅n2<1n(n-1)(n+1)=1n(n-1)-1n(n+1)⋅1n+1-n-1=1n-1-1n+1⋅n+1+n-12n <1n-1-1n+1(13)2n +1=2⋅2n=(3-1)⋅2n>3⇒3(2n-1)>2n⇒2n-1>2n 3⇒12n -1<2n3(14)k +2k !+(k +1)!+(k +2)!=1(k +1)!-1(k +2)!(15)1n (n +1)<n -n -1(n ≥2)(16)i 2+1-j 2+1i -j =i 2-j 2(i -j )(i 2+1+j 2+1)=i +j i 2+1+j 2+1<1二、经典试题解析(一)、经典试题01、裂项放缩1.(1)求∑nk =124k 2-1的值；(2)求证:∑nk =11k2<53.【分析】(1)根据裂项相消求和即可；(2)根据1n 2<1n 2-14放缩再求和即可【详解】(1)因为24n 2-1=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以∑nk =124k 2-1=11-13+13-15+...+12n -1-12n +1=2n2n +1(2)因为1n 2<1n 2-14=44n 2-1=212n -1-12n +1 ，所以∑nk =11k2≤1+213-15+⋯+12n -1-12n +1 <1+23=532.求证:1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2).【分析】根据1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)放缩后利用裂项相消求和即可【详解】因为1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，(n ≥2)故∑nk =11(2k -1)2>1+1213-15+...+12n -1-12n +1 =1+1213-12n +1 =76-122n -1，故1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2)3.求证:14+116+136+⋯+14n2<12-14n .【详解】由14+116+136+⋯+14n 2=141+122+⋯+1n 2<141+1-1n =12-14n 根据1n 2<1n ⋅n -1 得122+⋯+1n 2<1-12+12-13+⋯1n -1-1n =1-1n 所以141+122+⋯+1n2<141+1-1n =12-14n 4.求证:12+1⋅32⋅4+1⋅3⋅52⋅4⋅6+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<2n +1-1【分析】利用分式放缩法证明出1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，进而利用数学归纳法证明13+15+⋯+12n +1<2n +1-1即可.【详解】由1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n 2<12⋅23⋅34⋯2n -12n ⋅2n 2n +1=12n +1，得1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，所以12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <13+15+⋯+12n +1，要证12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <2n +1-1，只需证13+15+⋯+12n +1<2n +1-1，下面利用数学归纳法证明：当n =1时，左边=13，右边=3-1。