2019年高中数学学业水平考试模拟试卷(三)
19数学高中学业水平考试模拟试卷(三)
学业水平考试模拟测试卷(三)(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设a 是实数，且a 1＋i＋1＋i 2是实数，则a ＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．2 解析：a 1＋i＋1＋i 2＝a （1－i ）2＋1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 2i 是实数，所以12－a 2＝0，所以a ＝1. 答案：A2．设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：A ∩B ＝{3，4}，U ＝A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，∁U (A ∩B )＝{1，2，5}，∁U (A ∩B )的元素个数有3个．答案：C3．函数y ＝（x ＋1）0|x |－x的定义域是( ) A ．{x |x ＜0} B ．{x |x ＞0}C ．{x |x ＜0且x ≠－1}D ．{x |x ≠0且x ≠－1，x ∈R}解析：依题意有⎩⎨⎧x ＋1≠0，|x |－x ＞0，解得x ＜0且x ≠－1，故定义域是{x |x ＜0且x ≠－1}．答案：C4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当该直线经过该平面区域内的点(3，0)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是z max ＝2x ＋y ＝2×3＋0＝6.答案：C5．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 解析：A 、B 、C 中α与β都有可能相交．答案：D6．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(0，1)解析：因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， 所以函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，因此f (－2)f (－1)＜0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，所以－32＜a ＜－56，又a ∈Z ，所以a ＝－1，不等式f (x )＞1，即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.答案：C7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.因为a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 6b 8＝16.答案：D8．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x＜0的解集为( ) A ．(－2，0)∪(0，2) B ．(－∞，，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(2，＋∞)解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f (2)＝0，所以x ＞2或－2＜x ＜0时，f (x )＞0；x ＜－2或0＜x ＜2时，f (x )＜0.f （x ）－f （－x ）x ＜0，即f （x ）x＜0，可知－2＜x ＜0或0＜x ＜2.答案：A9.sin （180°＋2a ）1＋cos 2α·cos 2αcos （90°＋α）等于( ) A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α解析：原式＝（－sin 2α）·cos 2α（1＋cos 2α）·（－sin α）＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.答案：D10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线的方程为( )A.x 25－y 26＝1B.x 27－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 24－y 23＝1 解析：抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2c ＝－1，c a ＝3，c 2＝a 2＋b 2.解得a 2＝3， b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1.答案：C11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：依题意设圆心C (a ，1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：B12．已知命题p ：∃ x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀ x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤2解析：若p ∧q 为假命题，则p 与q 至少有一个为假命题．(1)若p 假q 真，则⎩⎨⎧m ＋1＞0，m 2－4＜0⇒－1＜m ＜2； (2)若q 假p 真，则⎩⎨⎧m ＋1≤0，m 2－4≥0⇒m ≤－2；(3)若q 假p 真，则⎩⎨⎧m ＋1＞0，m 2－4≥0⇒m ≥2.综上可得m ≤－2或m ＞－1.答案：B13．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC→＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3，2) D ．(1，3) 解析：设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，所以⎩⎨⎧4＝2x ，3＝2（y －2），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，即点D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72. 答案：A14．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数解析：由y ＝sin x 的单调性可知B 正确．答案：B15．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手五次射击的成绩的方差是( )A ．0.127B ．0.016C ．0.08D ．0.216解析：x －＝15×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5， 所以s 2＝15×[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分．)16．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________．解析：因为cos C ＝13，0＜c ＜π， 所以sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 又S △ABC ＝43，即12ab sin C ＝43，所以b ＝2 3. 答案：2317．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 解析：由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18.答案：1818．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN→的模为________． 解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，所以y ＝－4，所以M (4，－4)，N (－4，4)，故向量MN →＝(－8，8)，|MN →|＝8 2. 答案：8219．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________．解析：m 可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，对应的基本事件个数依次为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，所以7对应的事件发生的概率最大．答案：7三、解答题(本大题共2小题．每小题12分，满分24分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)20．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝203，b sin A ＝4. (1)求cos B 和a ；(2)由△ABC 的面积S ＝10，求cos 4C 的值．解：(1)由b sin A ＝4，得a sin B ＝4，又a tan B ＝203，所以cos B ＝35. 又由a tan B ＝203知tan B ＞0，则sin B ＝45，tan B ＝43，故a ＝5. (2)由S ＝12ac sin B ，得c ＝5，所以A ＝C . 由cos 4C ＝2cos 22C －1＝2cos 2(A ＋C )－1＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 21.(12分)如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，CD ＝12AB ，G 为线段AB 的中点，将△ADG 沿GD 折起，使平面ADG ⊥平面BCDG ，得到几何体ABCDG .(1)若E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，求证：EF ∥平面ABG ；(2)求证：AG ⊥平面BCDG .证明：(1)依题意，折叠前后CD 、BG 的位置关系不改变， 所以CD ∥BG .因为E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，所以在△ACD 中，EF ∥CD ，所以EF ∥BG .又EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，所以EF∥平面ABG.(2)将△ADG沿GD折起后，AG、GD的位置关系不改变，所以AG⊥GD.又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG＝GD，AG⊂平面AGD，所以AG⊥平面BCDG.。
2019三模理数试卷+答案
2019年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足i 2i z =-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A ．【命题意图】本题考查复数的运算和几何意义，难度：简单题．2．已知集合{0,1}A =，{1,2}A =，则集合{|,,}C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为A ．7B ．8C ．15D ．16 【答案】B ．【命题意图】本题考查集合和子集的概念，难度：简单题．3．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量(单位：百千克)，其频率分布直方图如下图，据此以下判断错误．．的选项是A ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D ．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大 【答案】D ．第3题图旧培育法新培育法产量/百千克 产量/百千克新养殖法旧养殖法频率/组距箱产量/kg 箱产量/kg 频率/组距35404550556065700.0680.0460.0440.0200.0100.0080.0047065605550454035302500.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012【命题意图】本题考查频率分布直方图，难度：简单题．4．若x y ，满足约束条件220200x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．2-B ．2C ．103D ．4【答案】B ．【命题意图】本题考查线性规划，难度：简单题． 5．下列命题中正确的是A ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题B ．命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则1x ≠或1x ≠-”C ．命题p 为“存在0x ∈R ，使得20010x x ++<”，则p ⌝为“任意x ∉R ，都有210x x ++≥”D ．“1x <”是“2540x x -+>”的充分不必要条件 【答案】D ．【命题意图】本题考查简易逻辑，难度：简单题．6．已知函数()()sin 1f x x ωϕ=++（0ω>，ϕπ<）在()0,2π内仅有两个零点712π和1912π，则 A ．1ω=，512πϕ=B ．1ω=，1112πϕ=C ．2ω=，6πϕ=-D ． 2ω=，3πϕ=【答案】D ．【命题意图】本题考查三角函数的图像和性质，难度：中等题． 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C ．【命题意图】本题考查程序框图，难度：中等题．8．已知在ABC △中，D 为线段AC 的中点，点E 在边BC 上且12BE EC =，AE 与BD 交于O ，则AO =A ．1124AB AC + B ．1144AB AC + C ．1142AB AC +D ．1122AB AC +【答案】A【命题意图】考查平面向量的线性运算与基本定理，中等题．9．如图，有一块正方形菜地ABCD ，AB 在一条河边，在A 处有一座桥通向对岸，在D 点和河对岸的E 点，各一个蔬菜运送点，收获的蔬菜可送到两个蔬菜运送点运走．菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜经过A点送到蔬菜运送点E 较近，2S 中的蔬菜送到蔬菜运送点D 较近，1S 和2S 的分界线Γ上的蔬菜，送到两个蔬菜运送点的距离相等．则分界线Γ是下列哪种曲线的一部分 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E【答案】C ．【命题意图】本题考查圆锥曲线概念的运用，难度：中等题．10．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若()4cos cos a b C c B -=，且ABC △的CA CB ⋅=A ．2B ．1C ．1-D ．2- 【答案】A ．【命题意图】本题考查解三角形与向量的数量积运算，难度：中等题．11．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，xxx f x -++=21log 2)(2，则 A ．20192019()()(2019)24f f f << B ．20192019()(2019)()24f f f <<C ．20192019(2019)()()24f f f <<D ．20192019(2019)()()42f f f << 【答案】C ．【命题意图】本题考查函数的基本性质，难度：中等题．12．已知1111ABCD A B C D -为长方体，在空间内到平面ADC ，平面1ADD ，平面1CDD ，平面11A BC 距离相等的点的个数为 A ．1 B ．4 C ．5D ．无穷多【答案】C ．【命题意图】本题考查空间点线面位置关系，难度：较难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高三数学三模试卷及答案
2019年高三第三次模拟测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为 ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞ 的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分 因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分 所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分 又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。
2019年高考数学模拟试卷(三)
2019年高考数学模拟试卷（三）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A ．16B ．8+6C ．16D ．16+610．（5分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F （﹣3，0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点M （﹣1，3）满足PF+PM 的最大值为17，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．（5分）已知f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣kx 恒有一个零点，则k的取值范围为（ ）A ．k ≤0B ．k ≤0或k ≥1C ．k ≤0或k ≥eD ．k ≤0或k ≥12．（5分）已知数列{a n }的通项公式为a n =﹣2n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣4，设c n =，若在数列{c n }中c 6＜c n （n ∈N *，n ≠6），则p 的取值范围（ ）A ．（11，25）B ．（12，22）C ．（12，17）D ．（14，20）二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）13．已知集合},02/{2R x x x x M ∈=+=，},02/{2R x x x x N ∈≤-=， 则=N M ▲ ．14．已知复数z 满足z3＋2i＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ▲ ．15．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为 ▲ ．16. 在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为 奇数的概率是 ▲ ．17．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为▲________． 19．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的 解集为 ▲ ．20．在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 23＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．21．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1c m A B B C C D ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .22. 已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ▲ .23．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切， 且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．（第5题）5060 70 80 90 100成绩(第3题)24．正五边形ABCDE的边长为⋅的值为 ▲ ．25．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为 ▲ ．26．若对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥18， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 27．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+．（Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状．28．（本小题满分12分）某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:积极参加班级工作 不太主动参加班级工作合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 合计242650（1）如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? （2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.附：独立性检验的随机变量2K 的计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K 临界值参考表如下：20()P K k ≥0．40．250．150.100.050.0250.0100.0050.0010k0．7081．3232．0722.7063.8415.0246.6357.87910.82829． （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．30．（本小题满分14分）已知函数． Ks5u (Ⅰ) 若曲线在和处的切线互相平行，求的值； (Ⅱ) 求的单调区间；21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ()y f x =1x =3x =a ()f x A BCDEF(Ⅲ) 设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．31． （本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并2()2g x x x =-1(0,2]x ∈2(0,2]x ∈12()()f x g x <a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>e =20x y -+=,A B P C P ,A B PA PB 12,k k 12k k M P x OP OMλ=M说明轨迹是什么曲线．32． （本小题满分14分）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k 的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x ≥0时，函数f （x ）=ln （x+1）的导数f′（x ）=，则f′（0）=1，当x ＜0时，函数f （x ）=e x﹣1的导数f′（x ）=e x，则f′（0）=e 0=1， 即当k=1时，y=x 是函数f （x ）的切线，则当0＜k ＜1时，函数f （x ）和y=kx 有3个交点，不满足条件． 当k ≥1时，函数f （x ）和y=kx 有1个交点，满足条件． 综上k 的取值范围为k ≤0或k ≥1， 故选：B ．12．（5分）已知数列{a n }的通项公式为a n =﹣2n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣4，设c n =，若在数列{c n }中c 6＜c n （n ∈N *，n ≠6），则p 的取值范围（ ）A ．（11，25）B ．（12，22）C ．（12，17）D ．（14，20）【解答】解：∵a n ﹣b n =﹣2n+p ﹣2n ﹣4， ∴a n ﹣b n 随着n 变大而变小，又∵a n =﹣2n+p 随着n 变大而变小，b n =2n ﹣4随着n 变大而变大， ∴，（1）当（2）当，综上p ∈（14，20）， 故选D ．二、填空题答案13. {0} 14. 3 15. 120 16.21 17. 2118. －5 19. （0，1） 20. y 2＝2x 21. 3π 22.3π 23. 258解：因为直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，=又因为圆心C 在直线l 的上方，所以20a b +>， 所以25a b +=，52a b =+≥ 所以ab 的最大值为258．24. 6解：利用在上的投影得，221AE AE AC =⋅=6．25． ()[]6,40, ∞- 解：①0<a0≤x 时，01e )(<-=x a x 'f ，所以)(x f 在)0(,-∞单调递减，且0)0(<=a f ，所以)(x f 在)0(,-∞有一个小于0的零点．0>x 时，)(x f 在)0(+∞,单调递增，因为1)1(=f ，所以)(x f 在)0(+∞,有一个小于1的零点． 因此满足条件． ②0>a（1）1≤0a <时，)(x f 在)0(,-∞单调递减，0)0(>=a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（2）41<<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-a 1ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛01ln ,a 上单调递增，0ln 11ln >+=⎪⎭⎫⎝⎛a a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（3）4=a 时，⎩⎨⎧>+--=04404)(2x x x x x e x f x ,≤ ,，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，零点只有2，满足条件．（4）4>a 时，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，在)0(+∞,上有两个不相等的零点，且和为a ，故满足题意的范围是64≤a <．综上所述，a 的取值范围为()[]6,40, ∞-．26. a ≤6或a ≥72解：因为222()2a b a b -+≥对任意a 、b 都成立，所以，(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥12 (2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2，(2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2≥14，即对任意θ∈[0，π2]，都有132sin cos 2sin cos a θθθθ++≥+或132sin cos 2sin cos a θθθθ+-≤+，因为132sin cos 512sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθ++=++⋅++,当θ∈[0，π2]时，1sin cos θθ≤+所以72a ≥，同理a ≤6. 因此，实数a 的取值范围是a ≤6或a ≥72．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 27．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 （Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分 ∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，∴1cos 122B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形．……………………12分28．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分 （2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ，所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ，所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分30．（本小题满分14分）解：（Ⅰ），，解得． ……………3分（Ⅱ）． ……………………5分①当时，，， 在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是． ……………………6分2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >(1)(3)f f ''=23a =(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >0a ≤0x >10ax -<(0,2)()0f x '>(2,)+∞()0f x '<()f x (0,2)(2,)+∞②当时，， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是． …………………7分Ks5u③当时，， 故的单调递增区间是． ……………………8分④当时，， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．……………………9分（Ⅲ）由已知，在上有．……………………10分 由已知，，由（Ⅱ）可知，①当时，在上单调递增， 故，所以，，解得，故．……………………11分②当时，在上单调递增，在上单调递减， 102a <<12a >(0,2)1(,)a +∞()0f x '>1(2,)a()0f x '<()f x (0,2)1(,)a +∞1(2,)a12a =2(2)()2x f x x-'=()f x (0,)+∞12a >102a <<1(0,)a (2,)+∞()0f x '>1(,2)a()0f x '<()f x 1(0,)a (2,)+∞1(,2)a(0,2]max max ()()f x g x <max ()0g x =12a ≤()f x (0,2]max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+222ln 20a --+<ln 21a >-1ln 212a -<≤12a >()f x 1(0,]a 1[,2]a故． 由可知，，， 所以，，， ……………………13分 综上所述，． ……………………14分 31．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，∵直线与圆相切，∴，即， 又，即，，解得， 所以椭圆方程为． ……………………3分 （Ⅱ）设， ，，则，即， 则，Ks5u即， ∴为定值． ……………………6分 （Ⅲ）设，其中．max 11()()22ln 2f x f a a a==---12a >11ln ln ln 12ea >>=-2ln 2a >-2ln 2a -<22ln 0a--<max ()0f x <ln 21a >-222x y b +=20x y -+=d b ==b =3c e a ==a =222a b c =+a =1c =22132x y +=000(,)(0)P x y y ≠(A B 2200132x y +=2200223y x =-1k =2k =22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----12k k 23-(,)M x y [x ∈由已知及点在椭圆上可得，整理得，其中．……………………8分①当时，化简得， 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；②当时，方程变形为，其中， 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．……………………14分 32．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+，所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21nn a =-． ……………………4分222OP OMλ=P C 2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++2222(31)36x y λλ-+=[x ∈3λ=26y =M y x =≤≤x λ≠2222166313x y λλ+=-[x ∈0λ<<M y x ≤≤1λ<<M x x ≤≤1λ≥M x21 （Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列． 所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>； 所以11122311111111111()()()n i i i n n n b b b b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑．……………………14分。
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)(附答案)
2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．[2019·新乡二模]已知集合{}2,3,4A =，集合{},2B m m =+，若{}2A B =，则m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．[2019·湘赣联考]设复数()iia z a a -=∈+R 在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围 是（ ） A ．1a <-B ．0a <C ．0a >D ．1a >3．[2019·南通期末]已知向量(),2a =m ，()1,1a =+n ，若∥m n ，则实数a 的值为（ ） A ．23-B ．2或1-C ．2-或1D ．2-4．[2019·毛坦厂中学]某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元5．[2019·广东模拟]若3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．12-B ．13-C ．13D ．126．[2019·临川一中]函数()12sin 12xxf x x ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．[2019·南昌一模]如图所示算法框图，当输入的x 为1时，输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．[2019·宜宾二诊]已知ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =30B =︒，则AB 边上的中线的长为（ ） AB ．34C ．32D ．349．[2019·江西九校联考]如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．28+ B．28+ C．16+D．16+10．[2019·汕尾质检]已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．[2019·临川一中]如图所示，1A ，2A 是椭圆22:194x y C +=的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与1A ，2A 重合，点N 满足11NA MA ⊥，22NA MA ⊥，则1212MA A NA A S S =△△（ ）A ．32B ．23C ．94D ．4912．[2019·江西九校联考]设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的 个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ）（1）34a = （2）190是数列{}n a 中的项 （3）1056S = （4）当7n =时，21n a n+取最小值 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·深圳期末]已知不等式组20202x y x y x -≥-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．14．[2019·南京二模]若函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象经过点π,26⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则4πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值为______． 15．[2019·赣州期末]若曲线ln y x x =在1x =处的切线l 与直线:10l ax y '-+=垂直，则切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为_______．16．[2019·南通期末]在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,A a ，()3,4B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·江南十校]已知数列{}n a 与{}n b 满足：()1232n n a a a a b n ++++=∈*N ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()1nn n n a c n b b +=∈*N ，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明1n T <．18．（12分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图：（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；（2）令ln z x =，由散点图判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆy bz a =+哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程．（ˆb结果保留一位小数） （3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L 最大？（年销售额365L =⋅入住率⋅收费标准x ）参考数据：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-，200x =，621325000ii x ==∑， 5.1z ≈，6112.7i i i y z =≈∑，621158.1i i z =≈∑，3148.4e ≈，19．（12分）[2019·凉山二诊]设矩形ABCD 中，4AD =，AB =F 、E 分别是BC 、CD 的中点，如图1．现沿AE 将AED △折起，使点D 至点M 的位置，且ME MF ⊥，如图2．图1 图2（1）证明：AF ⊥平面MEF ； （2）求二面角M AE F --的大小．20．（12分）[2019·临沂质检]已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，O 为坐标原点，OFP △的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为3π． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 交C 于A ，B 两点，M 是AB 的中点，若12AB =，求点M 到y 轴的距离的最小值，并求此时l 的方程．21．（12分）[2019·石家庄质检]已知函数()e sin x f x a x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·新疆一模]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>． （1）将圆C 的参数方程化为极坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，求OAB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·咸阳模拟]已知函数()()2f x x m x =--∈R ，且()20f x +≤的解集为[]1,1-． （1）求实数m 的值；（2）设a ，b ，c +∈R ，且222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】A 【解析】因为{}2AB =，所以2m =或22m +=．当2m =时，{}2,4AB =，不符合题意，当22m +=时，0m =．故选A ． 2．【答案】A【解析】()()()()22222212i i i 12i i i i 111a a a a a az a a a a a a -----====-++-+++， z 对应的点在第一象限，222210101122001a a a a a a a ⎧->⎪⎧->⎪+∴⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪->⎪+⎩，故本题选A ．3．【答案】C【解析】根据题意，向量(),2a =m ，()1,1a =+n ， 若∥m n ，则有()12a a +=，解可得2a =-或1，故选C ． 4．【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为127508500015%=元，故选D ． 5．【答案】B【解析】因为3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=所以21cos22cos 13αα=-=-，故选B ．6．【答案】A【解析】因为()()()122112sin sin sin 122112x x x x x x f x x x x f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=⋅-=-⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，C ；因为2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ，故选A ．【解析】当1x =时，1x >不成立，则1112y x =+=+=， 011i =+=，20y <成立，2x =，1x >成立，24y x ==，112i =+=，20y <成立， 4x =，1x >成立，28y x ==，213i =+=，20y <成立，8x =，1x >成立，216y x ==，314i =+=，20y <成立16x =，1x >成立，232y x ==，415i =+=，20y <不成立，输出5i =， 故选C ． 8．【答案】C【解析】∵3b =，c =30B =︒，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得29272a a =+-⨯⨯， 整理可得29180a a -+=，∴解得6a =或3． 如图：CD 为AB边上的中线，则12BD c = ∴在BCD △中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得222626CD =+-⨯⎝⎭，或222323CD =+-⨯⎝⎭， ∴解得AB 边上的中线32CD =C ．9．【答案】A【解析】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在ADC △中，AC =CD AC ⊥，∴6AD =，114S AC DC =⋅=⨯⨯=在ABD △中，AB =BD =，由余弦定理得，222cos 2AD AB BD DAB AD AB +-∠===⋅，∴sin DAB ∠=，∴11sin 61222ABD S AD AB DAB =⋅∠=⨯⨯=△， 又ABC S △与BDC S △均为边长为4的正方形面积的一半，即为8， ∴三棱锥A BCD -的表面积为122828+⨯++，故选A ． 10．【答案】A 【解析】如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体A BCD -的球心，由2AB AC DB DC BC =====，得正方形OEGF，则OG = ∴四面体A BCD -的外接球的半径R === ∴球O的表面积为220π4π3⨯=．故选A ． 11．【答案】C【解析】由题意以及选项的值可知：1212MA A NA A S S △△是常数，所以可取M 为椭圆的左顶点，由椭圆的对称性可知，N 在x 的正半轴上，如图：则()10,2A ，2A 是()0,2-，()3,0M -，由射影定理可得21OM ON OA ⋅=，可得43ON =， 则12121212139214423MA A NA A A A OM S OM S ON A A ON ⨯⋅====⨯⋅△△，故选C ． 12．【答案】C【解析】当1n =时，[)0,1x ∈，[]0x =，[]0x x =，[]{}0x x ⎡⎤∈⎣⎦，故11a =． 当2n =时，[)0,2x ∈，[]{}0,1x ∈，[][)0,2x x ∈，[]{}0,1x x ⎡⎤∈⎣⎦，故22a =． 当3n =时，[)0,3x ∈，[]{}0,1,2x ∈，[][)[)[)0,11,24,6x x ∈，故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤∈⎣⎦，共有4个数，即34a =，故（1）结论正确．以此类推，当2n ≥，[)0,x n ∈时，[]{}0,1,,1x n ∈-，[][)[)[)()())20,11,24,1,61x x n n n ⎡∈--⎣，故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为()22112312n n n -++++++-=，即()2222n n n a n -+=≥， 当1n =时上式也符合，所以222n n n a -+=；令190n a =，得()1378n n -=，没有整数解，故（2）错误． ()()1211221212n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以111111112223341222n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 故1011522126S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以（3）判断正确．21221112222n a n n n +=+->=，222n n =，244n =， 当6n =时，21166n a n +=+；当7n =时，21167n a n +=+， 故当7n =时取得最小值，故（4）正确． 综上所述，正确的有三个，故选C ．二、填空题．13．【答案】25π4【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知1232tan 14122MON -∠==+⨯，故3sin 5MON ∠=， 又3MN =，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠，即52R =，故所求外接圆的面积为2525ππ24⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．14．【答案【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππω=，2ω∴=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+． 因为函数的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin π13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πϕ<<，π6ϕ∴=．所以()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 42πππ6f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．【答案】1【解析】由题可得ln 1y x '=+，故切线l 的斜率为1， 又切点坐标为()1,0，所以切线l 的方程为1y x =-，因为切线l 与直线l '垂直，所以11a ⋅=-，所以直线l '的方程为1y x =-+，易得切线l 与直线l '的 交点坐标为()1,0，因为切线l 与y 轴的交点坐标为()0,1-，直线l '与y 轴的交点坐标为()0,1，所以切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为12112⨯⨯=．16．【答案】55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭44a a +-设ABC △的高为h ，则∵ABC △的面积为5，∴115522S AB h h ==⨯=，即2h =， 直线AB 的方程为43y a x -=，即4330x y a -+=， 若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ， 则圆心O 到直线4330x y a -+=的距离35a d ==，则应该满足321d R h <-=-=，即315a <，得35a <，得5533a -<<，故答案为55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =，21n n b =-；（2）见解析．【解析】（1）由1232n n a a a a b +++⋅⋅⋅+=……①2n ≥时，123112n n a a a a b --+++⋅⋅⋅+=……②①-②可得：()()133222248n n n a b b a b b -=-⇒=-=⨯=，12a =，0n a >，设{}n a 公比为q ，2182a q q ∴=⇒=，()1222n n n a n -∴=⨯=∈*N ， ()()123121222222222112n n n n n n b b n +-∴=+++⋅⋅⋅+==-⇒=-∈-*N ．（2）证明：由已知：()()11121121212121n n n n n n n n n a c b b +++===-⋅----，121223111111111121212*********n n n n n T c c c ++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=--------， 当n ∈*N 时，121n +>，11021n +∴>-，111121n +∴-<-，即1n T <．18．【答案】（1）见解析；（2）0.5ln 3ˆy x =-+；（3）最大值约为27083元．【解析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2．则()2426C 620C 155P ξ====，()112426C 81C 15C P ξ⋅===，()2226C C 1215P ξ===， ξ∴的分布列（2）由散点图可知ˆˆˆybz a =+更适合于此模型． 其中6162216 1.070.52.046ˆi ii ii z yzybzz ==--==≈--∑∑，ˆ3ˆˆay bz =-=， 所求的回归方程为0.5ln 3ˆyx =-+． （3）()3653650.5ln 3ln 10952L x x x x x -=-+=+， 365365ln 365322L x =--+⨯'，令50ln 5e 148.4L x x =⇒=⇒=≈'， ∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额最大，最大值约为27083元．19．【答案】（1）见解析；（2）π3． 【解析】（1）证明：由题设知：AM ME ⊥， 又ME MF ⊥，AMMF M =，AM ，MF ⊂面AMF ，ME ∴⊥面AMF ，AF ⊂面AMF ，AF ME ∴⊥，在矩形ABCD 中，4AD =，AB =E 、F为中点， 224218AE ∴=+=，22226EF =+=，228212AF =+=，222AEEF AF ∴=+，AF EF ∴⊥，又ME ，EF ⊂面MEF，AF ∴⊥面MEF ，（2）AF ⊂面ABCE ，由（1）知面MFE⊥面AFE ，且90AFE∠=︒， ∴以F 为原点，FE 为x 轴，FA 为y 轴建立如图的空间直角坐标系，在MFE Rt △中，过M 作MN EF ⊥于N ，ME =EF =，2MF =，MN ∴==cos 2FN MF MFE =∠==（也可用2MF FN FE =⋅） ()A ∴、)E、()0,0,0F 、M⎝⎭， 面AFE 的一个法向量为()0,0,1=n ，设面AME 的一个法向量为(),,x y z =m ，EM ⎛=⎝⎭、()6,AE =-，由00EM AE ⎧⎪⎨=⎪⋅⋅=⎩m m，即00+=-=⎧⎪，令1x =，则y =，z = ⎛∴= ⎝⎭m，1cos ,2∴==m n ，π,3=m n ， ∴二面角M AE F --为π3． 20．【答案】（1）24y x =；（2）最小值为5，直线方程为10x -=． 【解析】（1）因为OFP △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFP △的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径， 圆周长为3π，所以圆的半径为32r =， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上2p OF =， 所以3422p p +=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =． （2）①当l 的斜率不存在时，所以点M 到y 轴的距离为9，此时，直线l 的方程为9x =，②当l 的斜率存在且0k ≠时，设l 的方程为y kx b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,M x y ， 由24y x y kx b==+⎧⎨⎩，化简得()222220k x kb x b +-+=， 所以16160Δkb =-+>，由韦达定理可得12242kbx x k -+=，2122b x x k =， 所以12AB ==， 即42911k kb k -=+，又因为2120222222191911151211x x kb k x k k k k k +-===+=++-≥=++， 当且仅当2113k+=时取等号，此时解得k =， 代入12kb =-中，得k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以直线l的方程为y-y =，即直线方程为10x ±-=． 21．【答案】（1）见证明；（2）()0,1a ∈．【解析】（1）当1a =时，()e sin x f x x =-，于是()e cos x f x x '=-． 又因为当()0,x ∈+∞时，e 1x >且cos 1x ≤． 故当()0,x ∈+∞时，e cos 0x x ->，即()0f x '>．所以函数()e sin x f x x =-为()0,+∞上的增函数，于是()()01f x f ≥=． 因此对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥．（2）方法一：由题意()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π0f a ⎛⎫=⋅> ⎪'，所以，存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，所以00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点；②1a ≥当时，()e cos e cos 0x x f x a x x ≥-'=->在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值；③当0a ≤时，()e cos 0x f x a x =-<'在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值，综上所述，使()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1．方法二：由题意，函数()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．即e cos x x a =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 设()cos e xx g x =，2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数． 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．事实上，当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π0f a ⎛⎫=⋅> ⎪'，所以，存在唯一实数0,πx ⎛⎫∈ ⎪，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，即00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点．综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．22．【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2．【解析】（1）圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数， ∴圆C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， ∴圆C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．（2）射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点， 4cos OB α∴=，π2α≠， 点A的直角坐标为(，2OA ∴==，()1sin 602OAB S OA OB α=⨯⨯⨯︒-△()124cos sin 602αα=⨯⨯⨯︒-14cos sin 2ααα⎫=-⎪⎪⎝⎭22sin cos ααα=-)1cos2sin2αα=+-()2sin 602α=︒-+()2sin 260α=--︒+∴当26090α-︒=-︒，即15α=-︒时，OAB △面积取最大值2S =．23．【答案】（1）1m =；（2【解析】（1）依题意得()2f x x m +=-，()20f x +≤，即x m ≤， 可得1m =．（2）依题意得2221a b c ++=（0a b c >，，）由柯西不等式得，23a b c ++当且仅当23b ca ==，即a =，b =c = ∴23a b c ++。
2019-2020学年高中学业水平数学模拟测试卷五套—解析版
2019-2020学年高中学业水平数学模拟测试卷五套—解析版高中学业水平考试模拟测试卷(一)2高中学业水平考试模拟测试卷(二)11高中学业水平考试模拟测试卷(三)19高中学业水平考试模拟测试卷(四)27高中学业水平考试模拟测试卷(五)38高中学业水平考试模拟测试卷(一)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合N＝{1，3，5}，则M∩N等于()A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}解析：M∩N＝{1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，故选 C.答案：C2．函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为()A．{x|x>－3}B．{x|x>0}C．{x|x>3}D．{x|x≥3}解析：由x－3>0得x>3，则定义域为{x|x>3}．故选C.答案：C3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2>0，所以B为假命题．故选B.答案：B4．设i是虚数单位，若复数z＝5(1＋i)i，则z的共轭复数为()A．－5＋5iB．－5－5iC．5－5iD．5＋5i解析：由复数z＝5(1＋i)i＝－5＋5i,得z的共轭复数为－5－5i.故选B.答案：B5．已知平面向量a＝(0，－1)，b＝(2，2)，|λa＋b|＝2，则λ的值为()A．1＋B.－1C．2D．1解析：λa＋b＝(2，2－λ)，那么4＋(2－λ)2＝4，解得，λ＝2.故选C.答案：C6．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5解析：线段AB的中点为，kAB＝＝－，所以垂直平分线的斜率k＝＝2，所以线段AB的垂直平分线的方程是y－＝2(x－2)⇒4x－2y－5＝0.故选B.答案：B7．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台解析：(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱．(2)三视图复原的几何体是四棱锥．(3)三视图复原的几何体是圆锥．(4)三视图复原的几何体是圆台．所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C.答案：C8．已知f(x)＝x＋－2(x>0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：由x>0，可得>0,即有f(x)＝x＋－2≥2－2＝2－2＝0,当且仅当x＝，即x＝1时，取得最小值0.答案：B9．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是()A．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D．(1)(2)都用分层抽样法解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.答案：C10．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，则a∶b∶c＝()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶∶1D．1∶∶2解析：在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1,可得A＝30°，B＝60°，C＝90°.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1＝1∶∶2.故选D.答案：D11．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么{an}的前7项和S7＝()A．22B．24C．26D．28解析：因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12,所以3a4＝a3＋a4＋a5＝12，解得a4＝4，所以S7＝＝＝7a4＝28.故选D.答案：D12．抛物线y＝x2的焦点到准线的距离是()A.B.C．2D．4解析：方程化为标准方程为x2＝4y.所以2p＝4，p ＝2.所以焦点到准线的距离为2.故选C.答案：C13.＝()A．－B．－C.D.解析：＝cos2－sin2＝cos＝.故选D.答案：D14．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是()A．16πB．8πC．4πD．2π解析：因为三视图均为边长为2的正方形，所以几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12＝4π.故选C.答案：C15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－10，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则Sn取最小值时，n的值是()A．3B．4C．5D．6解析：在数列{an}中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3(n∈N*),所以数列{an}是公差为3的等差数列．又a1＝－10，所以数列{an}是公差为3的递增等差数列．由an＝a1＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解得n≥.因为n∈N*，所以数列{an}中从第五项开始为正值．所以当n＝4时，Sn取最小值．故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．若点(2，1)在y＝ax(a>0，且a≠1)关于y＝x对称的图象上，则a＝________．解析：因为点(2，1)在y＝ax(a>0，且a≠1)关于y＝x对称的图象上，所以点(1，2)在y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上，所以2＝a1，解得a＝2.答案：217．已知f(x)＝x2＋(m＋1)x＋(m＋1)的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________(用区间表示)．解析：依题意Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)<0⇒－1<m<3,故m的取值范围用区间表示为(－1，3)．答案：(－1，3)18．设f(x)＝则f(f(－2))＝________．解析：因为x＝－2<0，所以f(－2)＝10－2＝>0,所以f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f(f(－2))＝－2.答案：－219．已知＋＝1，且x>0，y>0，则x＋y的最小值是________．解析：因为＋＝1，且x>0，y>0,所以x＋y＝(x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即x＝10且y＝15时取等号．答案：25三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cosB－b＝2a.(1)求角C的大小；(2)设角A的平分线交BC于D，且AD＝，若b＝，求△ABC的面积．解：(1)由已知及余弦定理得2c×＝2a＋b,整理得a2＋b2－c2＝－ab,所以cosC＝＝＝－，又0<C<π，所以C＝，即角C的大小为.(2)由(1)知C＝，依题意画出图形．在△ADC中，AC＝b＝，AD＝，由正弦定理得sin∠CDA＝＝×＝，又△ADC中，C＝，所以∠CDA＝，故∠CAD＝π－－＝.因为AD是角∠CAB的平分线，所以∠CAB＝，所以△ABC为等腰三角形，且BC＝AC＝.所以△ABC的面积S＝BC·AC·sin＝×××＝.21．已知圆C经过A(3，2)、B(1，6)两点，且圆心在直线y＝2x上．(1)求圆C的方程；(2)若直线l经过点P(－1，3)且与圆C相切，求直线l的方程．解：(1)方法1：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0),依题意得，解得a＝2，b＝4，r2＝5.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5.方法2：因为A(3，2)、B(1，6)，所以线段AB中点D的坐标为(2，4),直线AB的斜率kAB＝＝－2，因此直线AB的垂直平分线l＇的方程是y－4＝(x－2)，即x－2y＋6＝0.圆心C的坐标是方程组的解．解此方程组，得即圆心C的坐标为(2，4)．圆C的半径长r＝|AC|＝＝.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5.(2)由于直线l经过点P(－1，3),当直线l的斜率不存在时，x＝－1与圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝5相离，不合题意．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋3＝0.因为直线l与圆C相切，且圆C的圆心为(2，4)，半径为，所以有＝.解得k＝2或k＝－.所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)或y－3＝－(x＋1),即2x－y＋5＝0或x＋2y－5＝0.高中学业水平考试模拟测试卷(二)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝()A．{－1，0，1，2}B．{－1，0，1}C．{－1，0，2}D．{0，1}解析：因为集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2},所以M∪N＝{－1，0，1，2}．答案：A2．“sinA＝”是“A＝30°”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为sin30°＝，所以“sinA＝”是“A＝30°”的必要条件；150°，390°等角的正弦值也是，故“sinA ＝”不是“A＝30°”的充分条件．故选B.答案：B3．已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a⊥b，则y的值为()A．－12B．－3C．3D．12解析：因为a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a⊥b,所以a·b＝0，即4×6＋2y＝0，解得y＝－12.故选A.答案：A4．若a<b<0，则下列不等式：①|a|>|b|；②>；③＋>2；④a2<b2中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，根据不等式的性质，可知若a<b<0，则|a|>|b|，故正确；对于②，若a<b<0，两边同除以ab，则<，即<，故正确；对于③，若a<b<0，则>0，>0，根据基本不等式即可得到＋>2，故正确；对于④，若a<b<0，则a2>b2，故不正确．故选C.答案：C5．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.解析：因为α是第二象限角，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故选B.答案：B6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2－2D．y＝logx解析：因为y＝x－1是奇函数，y＝logx不具有奇偶性，故排除B，D；又函数y＝x2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C.故选A.答案：A7．不等式组表示的平面区域是()解析：由题意可知，(0，0)在x－3y＋6＝0的下方，满足x－3y＋6≥0；(0，0)在直线x－y＋2＝0的下方，不满足x－y＋2<0.故选B.答案：B8．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下，组距(10，20](20，30](30，40](40，50](50，60](60，70]频数234542则样本在(10，50]上的频率为()A.B.C.D.解析：根据题意，样本在(10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14,所求的频率为P＝＝.故选D.答案：D9．cos40°sin80°＋sin40°sin10°＝()A.B．－C．cos50°D.解析：cos40°sin80°＋sin40°sin10°＝cos40°cos10°＋sin40°sin10°＝cos(40°－10°)＝.答案：D10．函数y＝log2(x2－3x＋2)的递减区间是()A．(－∞，1)B．(2，＋∞)C.D.解析：由x2－3x＋2>0，得x<1或x>2，又y＝log2(x2－3x＋2)的底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A.答案：A11．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为()A.B.C.D.解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a、b、c、d，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种，符合条件的情况为ab共1种，故概率为，选D.答案：D12．将函数y＝sin的图象沿x轴向左平移m(m＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为()A.B.C.D.解析：y＝sin的图象向左平移m个单位长度后得到y＝sin，因为y＝sin为奇函数，所以sin＝0.所以2m＋＝kπ，k∈Z，即有m＝－，k∈Z，所以正数m的最小值为.答案：A13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：由双曲线的离心率为，则e＝＝，即c＝a,b＝＝＝a，由双曲线的渐近线方程为y＝±x,得其渐近线方程为y＝±x.故选D.答案：D14．函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：函数f(x)＝log2x＋x－2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(1)＝0＋1－2<0，f(2)＝1＋2－2>0，故函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间是(1，2)．故选B.答案：B15．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝()A．2B．－2C．3D．－3解析：以A为原点，AD所在直线为x轴，与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系，那么＝(1，0)，＝(1，2)，＝(2，－2)，那么解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．解析：当x－1＝0，即x＝1时，y＝2.所以函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，2)．答案：(1，2)17．等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6＝________．解析：由等差数列的通项公式可得，a3＋a4＝2a1＋5d＝9，a1＋d＝3，所以a1＝2，d＝1，所以a1a6＝2×7＝14.答案：1418．某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取________名学生．解析：抽样比为1∶10，而C学院的学生有1200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名．答案：4019．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则∠A的度数为________．解析：根据正弦定理可得，sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A⇔sin(B＋C)＝sin2A，而sin(B＋C)＝sinA，所以sinA＝sin2A，所以sinA＝1，所以∠A＝90°.答案：90°三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值．解：(1)f(x)＝2sin＋a.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)当x∈时，2x－∈，所以x＝0时，f(x)取得最小值，即2sin＋a＝－2，故a＝－1.21．已知函数f(x)＝1＋－xα(α∈R)，且f(3)＝－.(1)求α的值；(2)求函数f(x)的零点；(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．解：(1)由f(3)＝－，得1＋－3α＝－，解得α＝1.(2)由(1)，得f(x)＝1＋－x.令f(x)＝0，即1＋－x＝0，也就是＝0，解得x＝.经检验，x＝是1＋－x＝0的根，所以函数f(x)的零点为.(3)函数f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是减函数．证明如下：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x2－x1).因为x1<x2<0，所以x2－x1>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是减函数．高中学业水平考试模拟测试卷(三)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()A．{1}B．{0，1}C．{－1，0}D．{－1，0，1}解析：x2－x＝0⇒x(x－1)＝0⇒N＝{0，1}，所以M∩N＝{0，1}．答案：B2．已知等比数列{an}的公比为2，则值为()A.B.C．2D．4解析：＝q2＝4.答案：D3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()A．－B.C．±D．1解析：命题“存在x0∈R，x－1＝0”的否定为“对任意的x∈R，x2－1≠0”．答案：D4．直线l过点(1，－2)，且与直线2x＋3y－1＝0垂直，则l的方程是()A．2x＋3y＋4＝0B．2x＋3y－8＝0C．3x－2y－7＝0D．3x－2y－1＝0解析：设直线l：3x－2y＋c＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c＝0，解得c＝－7，即直线l的方程为3x－2y－7＝0.答案：C5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为()A.B.C.D.解析：因为k＝tanα＝－，所以α＝π－＝，故选C.答案：C6．已知复数z满足zi＝2＋i，i是虚数单位，则|z|＝()A.B.C．2D.解析：由题意得z＝＝1－2i，所以|z|＝.答案：D7．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析：y＝cos2x→y＝cos(2x＋1)＝cos.故选C.答案：C8．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：A．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A正确；B．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B正确；C．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C正确；D．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D不正确．故选D.答案：D9．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是()A．(－2，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析：因为f(1)＝13－2＝－1<0，f(2)＝23－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)．答案：C10．已知等差数列{an}中，a2＝2，a4＝6，则前4项的和S4等于()A．8B．10C．12D．14解析：设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a2＋(4－2)d⇒d＝＝2，a1＝a2－d＝2－2＝0，所以S4＝＝2(0＋6)＝12.故选C.答案：C11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是()A．6B．9C．18D．36解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱，其底面面积S＝×4×＝6，高是3，所以它的体积为V＝Sh＝18.故选C.答案：C12．双曲线－＝1的一个焦点为(2，0)，则m的值为()A.B．1或3C.D.解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x轴上且c＝2，所以m＋3＋m＝c2＝4，所以m＝.答案：A13．设x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为()A．－10B．－6C．－1D．0解析：由z＝x－2y得y＝x－，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，平移直线y＝x－，由图象可知，当直线y＝x－过点B时，直线y＝x－的截距最大，此时z最小，由解得即B(2，4)．代入目标函数z＝x－2y，得z＝2－8＝－6，所以目标函数z＝x－2y的最小值是－6.故选B.答案：B14.＝()A．－B．－C.D.解析：＝＝＝＝sin30°＝.故选C.答案：C15．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则()A．v＝B．v＝C.<v<D．b<v<解析：设甲地到乙地的距离为s.则他往返甲、乙两地的平均速度为v＝＝，因为a>b>0，所以>1，所以v＝>b.v＝<＝.所以b<v<.故选D.答案：D二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4＝________．解析：S4＝＝15.答案：1517．若函数f(x)＝loga(x＋m)＋1(a>0且a≠1)恒过定点(2，n)，则m＋n的值为________．解析：f(x)＝loga(x＋m)＋1过定点(2，n)，则loga(2＋m)＋1＝n恒成立，所以⇒所以m＋n＝0.答案：018．已知函数f(x)＝则f的值是________．解析：f＝log2＝－2，f＝f(－2)＝3－2＝.答案：19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的方程为______________．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，将点(－5，4)代入得＋＝1，又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，所以a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；(3)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1，0)，因为直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.(3)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，所以弦AB的长为2＝.21．已知等差数列{an}满足a2＋a5＝8，a6－a3＝3.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)若bn＝＋3·2n－2，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由a6－a3＝3得数列{an}的公差d＝＝1，由a2＋a5＝8，得2a1＋5d＝8，解得a1＝，所以Sn＝na1＋d＝.(2)由(1)可得＝＝－，所以bn＝＋3·2n－2＝－＋3·2n－2.所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＋(1＋2＋…＋2n－1)＝－(＋＋…＋＋＋)＋×＝－－＋×(2n－1)＝3·2n－1－－.高中学业水平考试模拟测试卷(四)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，全集U＝{1，2，3}，则∁U(P∩Q)等于()A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，3}解析：因为全集U＝{1，2，3}，集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，所以P∩Q＝{2}，所以∁U(P∩Q)＝{1，3}，故选D.答案：D2．圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的圆心和半径分别是()A．(2，－3)；B．(2，－3)；2C．(－2，3)；1D．(－2，3)；解析：圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为，故选A.答案：A3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()A．－B.C．±D．1解析：因为3a＋2b与ka－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，因为a⊥b，所以a·b＝0，所以12k－18＝0，k＝.答案：B4．若cos＝，则sin＝()A.B.C．－D．－解析：因为cos＝，所以sin＝sin＝cos＝，故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域是()A．[－1，2)B．[－1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[－1，2)∪(2，＋∞)解析：根据题意得解得x≥－1且x≠2，故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，故选D.答案：D6．若双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，则正实数a的值为()A．9B．3C.D.解析：双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，由题意可得＝3，解得a＝，故选D.答案：D7．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为()A．3x＋2y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y＋1＝0D．2x－3y－1＝0解析：因为2x－3y＋4＝0的斜率k＝，所以直线l的斜率k′＝－，由点斜式可得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0，故选A.答案：A8．已知＝(1，－1，0)，C(0，1，－2)，若＝2，则点D的坐标为()A．(－2，3，－2)B．(2，－3，2)C．(－2，1，2)D．(2，－1，－2)解析：设点D的坐标为(x，y，z)，又C(0，1，－2)，所以＝(x，y－1，z＋2)，因为＝(1，－1，0)，＝2，所以(x，y－1，z＋2)＝(2，－2，0)，即则点D的坐标为(2，－1，－2)．故选D.答案：D9．已知平面α，β和直线m，直线m不在平面α，β内，若α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由α⊥β，m∥β，可得m⊥α或m∥α或m与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；由α⊥β，m⊥α可得m∥β，故必要性成立，故选B.答案：B10．将函数y＝sin的图象经怎样平移后，所得的图象关于点成中心对称()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析：将函数y＝sin的图象向左平移φ个单位，得y＝sin的图象，因为该图象关于点成中心对称，所以2×＋2φ＋＝kπ(k∈Z)，则φ＝－(k∈Z)，当k＝0时，φ＝－，故应将函数y＝sin的图象向右平移个单位，选B.答案：B11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，b＝3a，则△ABC的面积为()A.B.C.D.解析：已知C＝，c＝，b＝3a，所以由余弦定理可得7＝a2＋b2－ab＝a2＋9a2－3a2＝7a2，解得a＝1，则b＝3，所以S△ABC＝absinC＝×1×3×＝.故选B.答案：B12．函数y＝的图象大致是()解析：因为y＝的定义域为{x|x≠0}，所以排除选项A；当x＝－1时，y＝>0，故排除选项B；当x→＋∞时，y→0，故排除选项D，故选C.答案：C13．若实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最大值是()A.B．4C．9D．10解析：作出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，因为A(0，－3)，C(0，2)，所以|OA|>|OC|.联立解得B(3，－1)．因为x2＋y2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB|2＝9＋1＝10，所以z＝x2＋y2的最大值是10.故选D.答案：D14．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比数列，则()A．a1d>0，dS3>0B．a1d>0，dS3<0C．a1d<0，dS3>0D．a1d<0，dS3<0解析：由a2，a3，a6成等比数列，可得a＝a2a6，则(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0，因为公差d不等于零，所以a1d<0，2a1＋d＝0，所以dS3＝d(3a1＋3d)＝d2>0.故选 C.答案：C15．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点A，B，C重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则公比q＝______，数列{an}的前4项的和为_______．解析：公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，所以a＝－，解得a2＝－，a3＝－q，a4＝－q2，又a2，a4，a3成等差数列，故2a4＝a2＋a3，解得q＝－，a1＝1，由Sn＝可得S4＝.答案：－17．设函数f(x)(x∈R)满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝________．解析：由|f(x)－x2|≤，得－≤f(x)－x2≤.由|f(x)＋1－x2|≤，得－≤f(x)－x2＋1≤，即－≤f(x)－x2≤－，所以f(x)－x2＝－，则f(1)－1＝－，故f(1)＝.答案：18．若半径为10的球面上有A、B、C三点，且AB＝8，∠ACB＝60°，则球心O到平面ABC的距离为________．解析：在△ABC中，AB＝8，∠ACB＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为＝16，即半径为8，又球心在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故球心到平面ABC的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d，则有d2＝102－82＝36，解得d＝6.故球心O到平面ABC的距离为6.答案：619．已知动点P是边长为的正方形ABCD的边上任意一点，MN是正方形ABCD的外接圆O的一条动弦，且MN＝，则·的取值范围是________．解析：如图，取MN的中点H，连接PH，则＝＋＝－，＝＋.因为MN＝，所以·＝2－2＝2－≥－，当且仅当点P，H重合时取到最小值．当P，H不重合时，连接PO，OH，易得OH＝，则2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋－2||||·cos∠POH＝2＋－||·cos∠POH≤2＋＋||≤＋，当且仅当P，O，H三点共线，且P在A，B，C，D其中某一点处时取到等号，所以·＝2－≤＋1，故·的取值范围为.答案：三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为2，c＝2，求△ABC的周长．解：(1)由sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB及正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)由(1)知C＝.由△ABC的面积为2得ab·＝2，解得ab＝8，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab＝12，所以(a＋b)2＝36，a＋b＝6，故△ABC的周长为6＋2.21．如图，直线l与椭圆C：＋＝1交于M，N两点，且|MN|＝2，点N关于原点O的对称点为P.(1)若直线MP的斜率为－，求此时直线MN的斜率k的值；(2)求点P到直线MN的距离的最大值．解：(1)设直线MP的斜率为k′，点M(x，y)，N(s，t)，则P(－s，－t)，k′＝－，且＋＝1，＋＝1，所以y2＝2－，t2＝2－.又k′·k＝·＝＝＝－.且k′＝－，所以k＝1.(2)当直线MN的斜率k存在时，设其方程为y＝kx＋m，由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，则Δ＝8(4k2－m2＋2)>0，x1＋x2＝，x1·x2＝，由|MN|＝|x1－x2|＝·＝2，化简得m2＝.设点O到直线MN的距离为d，则P到MN的距离为2d，又d＝，则4d2＝＝＝8－<8，所以0<2d<2.当直线MN的斜率不存在时，则M(－，1)，N(－，－1)，则P(，1)，此时点P到直线MN的距离为2.综上，点P到直线MN的距离的最大值为2.高中学业水平考试模拟测试卷(五)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∪B＝()A．{2}B．{6}C．{1，3，4，5，6}D．{1，2，3，4，5}解析：A∪B＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，故选D.答案：D2．设p：log2x2>2，q：x>2，则p是q成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由log2x2>2得，x2>4，解得x<－2或x>2，所以p是q成立的必要不充分条件．故选A.答案：A3．角θ的终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－，则tanθ＝()A．－B.C．－D.解析：因为角θ的终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－＝，所以y＝－3，则tanθ＝＝－，故选C.答案：C4．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有()A．8桶B．9桶C．10桶D．11桶解析：易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9桶，故选B.答案：B5．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于()A．45B．75C．180D．360解析：由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，得到a5＝90，则a2＋a8＝2a5＝180.故选C.答案：C6．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y＋1＝0平行，则m的值为()A．－8B．0C．2D．10解析：因为直线2x＋y＋1＝0的斜率等于－2，且过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以kAB＝－2，所以＝－2，解得m＝－8，故选A.答案：A7．已知向量a＝(，0)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k＝()A．2B．－2C.D．－解析：由a＝(，0)，b＝(0，－1)，得a－2b＝(，2)，若(a－2b)⊥c，则(a－2b)·c＝0，所以k＋2＝0，所以k＝－2，故选B.答案：B8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；在B中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错误；在C中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误，故选C.答案：C9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A＋sin2B－sin2C＝0，a2＋c2－b2－ac＝0，c＝2，则a＝()A.B．1C.D.解析：因为sin2A＋sin2B－sin2C＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即C为直角，因为a2＋c2－b2－ac＝0，所以cosB＝＝，B＝，因此a＝ccos＝1.故选B.答案：B10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n＋1＋λ，则λ的值为()A．4B．2C．－2D．－4解析：根据题意，当n＝1时，2S1＝2a1＝4＋λ，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.因为数列{an}是等比数列，所以a1＝1，故＝1，解得λ＝－2.故选C.答案：C11．若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点和点(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于()A.B．1C.D．2解析：由题意，双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为(－c，0)、(c，0)，因为两焦点和点(1，)为顶点的三角形为直角三角形，所以(1－c，)·(1＋c，)＝0，所以1－c2＋2＝0，所以c＝，因为a＝，所以b＝1.故选B.答案：B12．已知函数f(x)＝2sin，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝解析：由题意得g(x)＝2sin[2(x－)＋]＝2sin，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，得x＝，所以函数g(x)图象的一条对称轴方程为x＝.故选C.答案：C13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是直线BD1上异于B，D1的点，则平面DEM可能经过下列点中的()A．AB．C1C．A1D．C解析：连接A1D，A1E，因为A1D1∥BE，所以A1，D1，B，E四点共面．设A1E∩BD1＝M，显然平面DEM与平面A1DE重合，从而平面DEM经过点A1.故答案为C.答案：C14．已知x、y满足则3x－y的最小值为()A．4B．6C．12D．16解析：由约束条件作出可行域如图，联立解得A(2，2)，令z＝3x－y，化为y＝3x－z，由图可知，当直线y＝3x－z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4.故选A.答案：A15．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为()A.B.C.D．1解析：由x＋4y－xy＝0可得x＋4y＝xy，左右两边同时除以xy得＋＝1，求的最大值，即求＝＋的最小值，所以×1＝×＝＋＋＋≥2＋＋＝3，当且仅当＝时取等号，所以的最大值为.所以选A.答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．函数f(x)＝＋－1的定义域是________．解析：要使函数f(x)有意义，则即解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3，1]．答案：[－3，1]17．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的半径为________，表面积为________．解析：设长方体的外接球的半径为R，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即2R＝，解得R＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝8π.答案：8π18．在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________．解析：因为圆心在y＝－2x上，所以可设圆心坐标为(a，－2a)，又因为圆过A(2，－1)，且圆C和直线x＋y＝1相切，所以＝，解得a＝1，所以圆半径r＝＝，圆心坐标为(1，－2)，所以圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝219．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋m，若函数f(x)有5个零点，则实数m的取值范围是________．解析：由题意，函数f(x)是奇函数，f(x)有5个零点，其中x＝0是1个，只需x>0时有2个零点即可，当x>0时，f(x)＝＋m，转化为函数y＝－m和f(x)＝的图象交点个数即可，画出函数的图象，如图所示．结合图象可知只需<－m<1，即－1<m<－.答案：三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0.(1)求角B的大小；(2)已知c＝2，AC边上的高BD＝，求△ABC的面积S的值．解：(1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0，所以由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，所以2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，因为A＋B＝π－C且sinC≠0，所以2sinCcosB－sinC＝0，即cosB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为S＝acsin∠ABC＝BD·b，代入c，BD＝，sin∠ABC＝，得b＝a，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos∠ABC＝a2＋4－2a.代入b＝a，得a2－9a＋18＝0，解得或又因为△ABC是锐角三角形，所以a2<c2＋b2，所以a＝3，所以S△ABC＝acsin∠ABC＝×2×3×＝.21．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其右顶点是A(2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．(1)解：因为椭圆C的右顶点是A(2，0)，离心率为，所以a＝2，＝，所以c＝1，则b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：当直线MN斜率不存在时，设MN：x＝m，与椭圆方程＋＝1联立得：|y|＝，|MN|＝2.设直线MN与x轴交于点B，则|MB|＝|AB|，即＝2－m，所以m＝或m＝2(舍)，所以直线l过定点.当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋n(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，Δ＝(8kn)2－4(4k2＋3)(4n2－12)>0，k∈R.所以y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2，由·＝0，则(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，所以7n2＋4k2＋16kn＝0，所以n＝－k 或n＝－2k，所以直线MN：y＝k或y＝k(x－2)，所以直线过定点或(2，0)(舍去)．综上知，直线过定点.五年级下册数学期中试卷一、填空。
2019届浙江省普通高中学业水平11月模拟考试数学仿真模拟(三)试题(word版)
○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前|试题命制中心2018年11月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题03考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合M ={x ∈Z |–1≤x ≤1}，N ={x |x 2=x }，则M ∪N = A ．{–1} B ．{–1，1} C ．{0，1}D ．{–1，0，1}2．函数f （x ）=214x-+ln （2x +1）的定义域为 A ．[–12，2] B ．[–12，2） C ．（–12，2] D ．（–12，2） 3．如果ac <0，bc <0，那么直线ax +by +c =0不经过 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．双曲线2222x y a b -=1（a >0，b >0）的离心率为3，则其渐近线方程为A ．y =±2xB ．y =±3xC ．y =±22x D ．y =±32x 5．若x log 34=1，则4x +4–x = 8106．已知036020x y x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z =22x +y 的最小值是A ．1B ．16C ．8D ．47．将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为A ．4πB ．2πC ．22πD ．2π8．已知3sin(30)2α︒+=，则cos （60°–α）的值为 A ．12B ．12-C ．32D ．–329．已知数列112，314，518，7116，…则其前n 项和S n 为 A ．n 2+1–12n B ．n 2+2–12nC ．n 2+1–112n -D ．n 2+2–112n - 10．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为A ．x 2+（y +3）2=1B ．x 2+（y –3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=111．如图，在平行六面体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则向量BM =A ．–12a +12b +cB ．1122++a b cC ．–11–22a b +cD ．11–22a b +c○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________A ．（–∞，1]∪[2，+∞）B ．[1，2]C ．（–∞，0]∪[3，+∞）D ．[0，3]13．已知函数f （x +1）为偶函数，且f （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （–1）=0，则f （x –1）>0的解集为A ．（–∞，0）∪（4，+∞）B ．（–∞，–1）∪（3，+∞）C ．（–∞，–1）∪（4，+∞）D ．（–∞，0）∪（1，+∞）14．设a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a <b 成立的充分不必要条件是A ．a <b +1B ．a <b –1C ．a 2<b 2D ．a 3<b 315．已知某几何体的三视图如图所示，图中每个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．2B ．83C ．103D ．316．已知椭圆22x a +22y b=1（a >b >0）的左，右焦点分别为F 1（–c ，0），F 2（c ，0），过点F 1且斜率为1的直线l 交椭圆于点A ，B ，若AF 2⊥F 1F 2，则椭圆的离心率为A ．212- B ．21-C ．22D ．1217．已知函数f （x ）=–x 2+4x +a 在区间[–3，3]上存在2个零点，求实数a 的取值范围A ．（–4，21） B ．[–4，21]C ．（–4，–3]D ．[–4，–3]18．如图，在正三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AB =1，若二面角C –AB –C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为A ．34B ．12C ．32D ．1非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（A >0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，则φ=____________；ω=____________．21．已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2–2bc sin A ，则内角A 的大小是____________．22．函数8()21f x x m x =+--，若当x ∈（1，+∞）时f （x ）≥0恒成立，则m 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{2nna }的前n 项和． 24．（本小题满分10分）已知O 为坐标原点，抛物线y 2=–x 与直线y =k （x +1）相交于A ，B 两点． （1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 时，求实数k 的值． 25．（本小题满分11分）已知函数f （x ）=x |x –a |，（1）若函数y =f （x ）+x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，2]，函数f （x ）的图象恒在直线y =1的下方，求实数a 的取值范围；（3）设a ≥2，求函数f （x ）在区间[2，4]上的值域．。
2019版浙江省学业水平考试数学仿真模拟试卷(三)含答案
仿真模拟(三）一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．已知集合A＝{x｜x<－2或x>1｝，B＝｛x|x〉2或x〈0｝,则(∁R A)∩B等于(）A．（－2,0）B．［－2,0）C．∅D．(－2，1)答案B解析∵∁R A＝｛x|－2≤x≤1｝，∴(∁R A）∩B＝{x|－2≤x〈0｝．2．函数f(x)＝错误!的定义域是()A．［1，＋∞)B．（1，＋∞）C．［1,2)∪（2，＋∞)D．（1,2)∪（2,＋∞）答案D解析由错误!解得x>1且x≠2，即函数的定义域为(1，2）∪(2，＋∞）．故选D.3．已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝2错误!，且a⊥（a＋b)，则a与b的夹角为（）A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!答案D解析由a⊥(a＋b），得a·（a＋b）＝|a|2＋|a|·|b｜·cos<a,b〉＝9＋6错误!cos〈a,b〉＝0，解得cos〈a，b>＝－错误!，因为〈a，b〉∈[0, π］,所以向量a与b的夹角为错误!，故选D.4．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A．1 B．－1 C．－2 D．2答案A解析∵ax＋y－2＝0在y轴上的截距为2，∴ax＋y－2＝0在x轴上的截距也为2，∴2a－2＝0，∴a＝1.5．已知角α的终边过点P（1,2），则sin(π－α)－sin错误!＋cos(－α）等于（）A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!答案B解析根据三角函数的定义知，sin α＝错误!，cos α＝错误!。
∴sin（π－α)－sin错误!＋cos(－α)＝sin α－cos α＋cos α＝sin α＝错误!.6．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（)A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台答案B解析∵正视图和侧视图为三角形，∴该几何体为锥体．又∵俯视图是四边形，∴该几何体为四棱锥．7．若直线l:y＝x＋b是圆C：x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的切线，则实数b的值是(）A．－2或－6 B．2或－6C．2或－4 D．－2或6答案A解析圆C：(x－1)2＋(y＋3）2＝2的圆心为C（1,－3），半径为错误!,圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!，可得b＝－2或b＝－6.8．若a，b为实数，则“a＞b”是“log3a＞log3b”成立的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为log3a＞log3b，即a＞b＞0,所以“a＞b"是“log3a＞log3b"成立的必要不充分条件,故选B.9。
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2019高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知α＝130°，则角α的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A＝{|x(x＋2)(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是()A. －2∈AB. 1∉AC. 2∈AD. －1∈A3. 函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A. (0，＋∞)B. (－∞，＋∞)C. [－1，＋∞)D. (－1，＋∞)4. 如果直线x－2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为()A. 2B. 12 C. －2 D. 05. 已知a＝(2，4)，b＝(x，2)，且a⊥b，则x的值是()A. 4B. 1C. －1D. －46. 在空间中，下列命题正确的是()A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一直线的两条直线平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行7. 焦点在x轴上，且a＝3，b＝2的双曲线的标准方程是()A. x23－y22＝1 B.y23－x22＝1 C.x29－y24＝1 D.y29－x24＝18. “x＝0”是“xy＝0”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件9. 在数列{a n}中，已知a n＋1＝2a n，且a1＝1，则数列{a n}的前五项的和等于()A. －25B. 25C. －31D. 3110. 若a>b，则下列各式正确的是()A. a＋2>b＋2B. 2－a>2－bC. －2a>－2bD. a2>b211. 不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集是()A. {|x－2<x<－1}B. {|x x<－2或x>－1}C. { |x 1<x <2}D. { |x x <1或x >2}12. 在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，∠A ＝π4，则∠B ＝( ) A. 30° B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°13. 在不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域内的点是( )A. (0，1)B. (5，0)C. (0，7)D. (2，3)14. 函数y ＝cos 2x －sin 2x 是( )A. 周期为2π的奇函数B. 周期为2π的偶函数C. 周期为π的奇函数D. 周期为π的偶函数15. 计算8·sin 15°·cos 15°·cos 30°·cos 60°的结果为( )A. －12B. 12C. －32D. 3216. 圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0经过点A (3，1)，则圆的半径为( )A. 8B. 4C. 2D. 217. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1经过(－5，0)和(0，4)，则它的离心率为( ) A. 54 B. 53 C. 45 D. 3518. 设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝n 2＋n ＋c ，则c 的值为( )A. －1B. 1C. 0D. 2(第19题)19. 如图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的( )A. m <0，n >1B. m >0，n >1C. m >0，0<n <1D. m <0，0<n <120. 平面上满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤0，x －y －6≤0的点(x ，y )形成的区域为D ，且区域D 和E 关于直线y ＝2x －1对称，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为( )A. 3B. 5C. 2 5D. 421. 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A. (2, 1)B. (1，0)C. (0，1)D. (1，2)22. 已知AB →＝(3，－1)，n ＝(2，1)，且n ·AC →＝7，则n ·BC →＝( )A. －2B. 0C. 2D. －2或223. 若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x(k 为常数)在定义域上为奇函数，则k 的值为( ) A. 1 B. －1 C. 0 D. －1或124. 某同学研究了①y ＝x －1；②y ＝x －2；③y ＝x 3；④y ＝x 13其中的一个函数，并给出两个性质：(1)定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}；(2)值域是{y |y ∈R 且y ≠0}，如果他给出的两个性质中，有一个正确，一个错误，则他研究的函数是( )A. ①B. ②C. ③D. ④(第25题)25. 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A. 2 33B. 62C. 2D. 3二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 抛物线y 2＝2x 的通径为________．27. 在△ABC 中，∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝________． 28. y ＝log a x (a >1)在[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．29. 若点P (x ，y )在直线x ＋2y －4＝0上运动，则它的横、纵坐标之积的最大值是________．30. 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|AB →－AC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)已知0<α<π2，sin α＝45. (1)求tan α的值；(2)求cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)(A)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是PD、BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：AD⊥PB.,[第32题(A)]),[第32题(B)])(B)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．33. (本题8分)在等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1na n，求数列{b n}的前n项和S n.34. (本题8分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点，并求出该定点．2019高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)1. B2. A3. D4. B5. D6. D7. C8. B 9. D 10. A 11. A 12. A 13. A 14. D15. D 16. D 17. D 18. C 19. D 20. C21. C 22. C 23. D 24. B25. B [提示：|OB |＝b ，|O F 1|＝c .∴k PQ ＝b c ，k MN ＝－b c .直线PQ 为：y ＝b c(x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x .由⎩⎨⎧y ＝b c （x ＋c ），y ＝b a x ，得Q (ac c －a ，bc c －a )．由⎩⎨⎧y ＝b c （x ＋c ），y ＝－b a x ，得P (－ac c ＋a ，bc c ＋a )．∴直线MN 为y －bc c ＋a ＝－b c (x －－ac c ＋a )，令y ＝0得x M ＝c 3c 2－a 2.又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝c 3c 2－a 2，解得e 2＝c 2a a＝32，即e ＝62.] 26. 2 27. 2 28. 32 29. 230. 直角三角形 [解析：|BC →|＝|BA →＋CA →|，根据平行四边形法则，对角线相等，所以∠A 为直角．]31. 解：(1)∵cos α＝35，∴tan α＝43. (2)cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝1－2sin 2α＋cos α＝825. 32. (A)证明：(1)取PA 的中点G ，连接BG ，EG ，则EG 綊BF ，∴四边形BFEG 为平行四边形，∴EF ∥BG ，∴EF ∥平面PAB . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB . (B)(1)连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴M 为AB ′的中点．又∵N 为B ′C ′的中点，∴MN ∥AC ′，又∵MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，∴MN ∥平面A ′ACC ′.(第32题)(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，如图所示，设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0，0，0)，B (λ，0，0)，C (0，λ，0)，A ′(0，0，1)，B ′(λ，0，1)，C ′(0，λ，1)，∴M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)，∵二面角A ′－MN －C 为直二面角，∴m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.33. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d .∵⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12. ∴{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. (2)b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋⎝⎛⎭⎫2n －2n ＋1＝2n n ＋1.34. 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l ：x ＝ty ＋1代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2，＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2，＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2，0)．。