高中数学学业水平考试知识点

高中数学学业水平测试知识点（整理人：李辉）【必修一】一、 集合与函数概念并集：由集合A 和集合B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。

记作：A ∪B 交集：由集合A 和集合B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A ∩B 补集：就是作差。

1、集合{}n a a a ,...,,21的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子有2n–2个.2、指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0,1a a >≠）它们的图象关于y=x 对称。

3、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数0≥；③指数的真数属于R 、对数的真数0>.4、函数的单调性：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<（>）f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

5、奇函数：是()()f x f x ，函数图象关于原点对称（若0x =在其定义域内，则(0)0f =）； 偶函数：是()()f x f x ，函数图象关于y 轴对称。

6、指数幂的含义及其运算性质：（1）函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数；①r s r sa a a +⋅=；②()r s rs a a =；③()(0,0,,)rr rab a b a b r s Q =>>∈。

（3）指数函数的图象和性质7、对数函数的含义及其运算性质：（1）函数log (0,1)a y x a a =>≠叫对数函数。

（2）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数；①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：01log =a ；③底真相同的对数等于1：1log =a a ， （3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：①N M MN a a a log log log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=。

指数与对数互化式：log xa a N x N =⇔=；对数恒等式：log a NaN =.(5)对数函数的图象和性质8、幂函数：函数αx y =叫做幂函数（只考虑21,1,3,2,1-=α的图象）。

9、方程的根与函数的零点：如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间 (a , b ) 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f 这个c 就是方程0)(=x f 的根。

【必修二】一、直线 平面 简单的几何体1、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=2、球的体积公式： 334　R v π=； 球的表面积公式：24　R S π= 3、⑴圆柱侧面积； l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 柱体、锥体、台体的体积公式：柱体V =S h (S 为底面积，h 为柱体高)； 锥体V =Sh 31 (S 为底面积，h 为柱体高)台体V =31(S ’+S S'+S )h (S ’, S 分别为上、下底面积，h 为台体高)4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. （2）空间线线，线面，面面的位置关系：空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线。

空间直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α=，//a α。

空间平面和平面的位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线。

5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。

符号表示：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭。

图形表示：6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

符号表示：//////a b a b P a b βββααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭。

图形表示：7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。

符号表示：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭。

图形表示：8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。

符号表示： 9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

符号表示： 10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号表示： 11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

符号表示：//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭。

12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

符号表示： 13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。

直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。

（如右图） 14、异面直线所成角的取值范围是(]︒︒90,0； 直线与平面所成角的取值范围是[]︒︒90,0； 二面角的取值范围是[)︒︒180,0；两个向量所成角的取值范围是[]︒︒180,0 二、直线和圆的方程1、斜率：αtan =k ，),(+∞-∞∈k ；直线上两点),(),,(222111y x P y x P ，则斜率为2、直线的五种方程 ：（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--( (111(,)P x y 、222(,)P x y ； (12x x ≠)、(12y y ≠)). (4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线的平行、重合和垂直： (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①1l ‖1212b k k l 且=⇔≠;2b ②22121b b k k l l ==⇔且重合时与； ③12121l l k k ⊥⇔=-.2121y y k x x -=-//,,//a b a bαβαγβγ==⇒,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥,,.l m l m l ααββ⊂=⊥⇒⊥θαP Hlax 2+bx+c=0(a ≠0)(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+= 4、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的距离公式 │P 1P 2│=212212)()(y y x x -+- 5、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的中点坐标公式 M （221x x +，221y y +） 6、点P （x 0，y 0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=2200BA CBy Ax +++7、平行直线Ax+By+C 1=0、Ax+By+C 2=0的距离公式d=2212BA C C +-8、圆的方程：标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；一般方程220x y Dx Ey F ++++=，（配方：44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++）0422>-+F E D 时，表示一个以)2,2(E D --为圆心，半径为F E D 42122-+的圆；9、点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种： 若2200()()d a x b y =-+-d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.10、直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.11、弦长公式：若直线y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2）两点，则由 二次曲线方程y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：AB =212212)()(y y x x -+-=21k +21x x - =[]21221241x x x x k -++）（）（ =[]2122122124)()11(11y y y yky y k -++=-+=aacb k4122-+ 13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式： ⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征A （x ，y ，0）：竖坐标z=0 xoz 平面上的点的坐标的特征B （x ，0，z ）：纵坐标y=0 yoz 平面上的点的坐标的特征C （0，y ，z ）：横坐标x=0 x 轴上的点的坐标的特征D （x ，0，0）：纵、竖坐标y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征E （0，y ，0）：横、竖坐标x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征E （0，0，z ）：横、纵坐标x=y=0 ⑵│P 1P 2│=212212212-z z -y y -x x ）（）（）（++zyx F E DC BAXYZO统计：三．三种常用抽样方法：1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。