122二次根式的乘除法
二次根式乘除法则
二次根式乘除法则1. 二次根式的定义与性质二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式可以表示为分数形式，即a的平方根除以b的平方根，其中a和b是正实数。
下面是一些二次根式的性质： - 乘法性质：√a * √b = √(a * b) - 除法性质：√a / √b = √(a / b)，其中b不等于0 - 同底数相加减：√a ± √b = √(a± b)2. 二次根式的乘法法则a) 同底数相乘当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相乘，并将底数保持不变。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √6b) 不同底数相乘当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相乘，并合并为一个二次根式。
例如：√2 * √6 = √(2 * 6) = √12 = 2√33. 二次根式的除法法则a) 同底数相除当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相除，并将底数保持不变。
例如：√6 / √2 = √(6 / 2) = √3b) 不同底数相除当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相除，并合并为一个二次根式。
例如：√12 / √2 = √(12 /2) = √64. 二次根式乘除法的综合运用a) 乘法与除法的结合运算在一个表达式中同时使用乘法和除法时，我们可以先进行乘法运算，再进行除法运算。
例如：(√3 * √5) / (√2 * √4) = (√15) / (√8)b) 化简复杂的二次根式当一个二次根式较为复杂时，我们可以通过化简来简化计算。
例如：√(18/9) = (√18) / (√9) = (√2 * √9) / (√3 * √3) = (3√2) / 3 = √25. 实际问题中的应用二次根式乘除法经常在解决实际问题中被使用。
下面是一些实际问题的例子：a) 计算面积和体积当计算图形的面积或体积时，我们经常会遇到涉及二次根式乘除法的问题。
例如，计算一个圆的面积可以使用公式A = πr²，其中r是圆的半径。
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
二次根式的乘除
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目录
• 引言 • 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 练习和巩固
01
引言
目的和背景
理解二次根式的乘除运算规则
本节旨在介绍二次根式的乘除运算规则，帮助学生掌握其原 理和应用。
为后续学习打下基础
掌握二次根式的乘除运算对于后续学习代数、三角函数等领 域具有重要意义。
$frac{sqrt{20}}{5} div frac{sqrt{15}}{10} = frac{sqrt{20}}{5} times frac{10}{sqrt{15}} = frac{4sqrt{5}}{3}$
$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} div frac{sqrt{5}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{4}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{6}}{2}$
THANKS
谢谢您的观看
除法的运算规则
01
02
03
除法运算的顺序
先进行括号内的运算，再 进行除法运算。
除法运算的简化
在运算过程中，尽可能将 复杂的二次根式化简为简 单的二次根式。
除法运算的化简
在运算过程中，将除法转 换为乘法，并利用根式的 乘法运算法则进行化简。
除法的运算实例
$frac{2}{sqrt{3}} div frac{1}{sqrt{6}} = frac{2}{sqrt{3}} times sqrt{6} = 2sqrt{2}$
练习和巩固
基础练习题
计算 $sqrt{2} times sqrt{3}$
计算 $(sqrt{5} + 1)(sqrt{5} - 1)$
人教版初中数学讲义第12章二次根式122二次根式的乘除.doc
教学目标
1.能运用除法法则埠=箱（gMO,方＞0）,进行二次根式的除法运算；
2.能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简；
3.在解问题的过程屮培养学生探究意识、合作意识.
教学重点
二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的应用.
教学难点
商的算术平方根的性质的理解与运用.
二次根式的除法运算法则的意义.
总结）:
等式
名成立的条件是•
等式、
-J龙立的年晃r>
（a20,h>0）的理解，特别对
2'Vx-2
1 x-2
/月乂4乂口 力、1 1疋兀”
厶一2
2・
括号中成立的条件加以解释，使学生
练习等式空=成立的条件是・
V 2—xV2—x
7生练习.
独立思考，回答问题：
等式、迂=芈旦成立的条件是一1V2—xJ2—x
V255V 77
同吋，提高学生的观察分析能
活动二 商的算术平方根的性质进行化简.
力，増强运算能力，培养学生的逆向
化简：
(3)
9
4
思维能力.
⑴娱
⑵Y
V 25
、2b
(4)
(QO,b>Q)—•
rr
\9a2
3q
(3)J—；
(4)J
企(心0,b>0).
V16
V
9a2
学生练习.
学生练习：
独立思考，解决问题（学生板演）：
0V2.
认识到这里qNO过程 中养成严谨的习惯，激发学生探究问 题的兴趣.
拓展提高:
1•计算2足三足;
2.已知一个长方形的面积为2V6cm2,其屮一边长为
二次根式的乘除法
VS
方法
利用平方差公式、完全平方公式等化简二 次根式；利用通分、约分等方法简化二次 根式的分母；将二次根式化为最简二次根 式。
简化二次根式的实例
• $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（利用平方差公式） • $\frac{\sqrt{64}}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$（利用约分方法简化
05
习题与解答
二次根式乘除法的习题及解答
• 习题1：$\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ • 解答：$\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$ • 习题2：$\sqrt{25} \div \sqrt{4}$ • 解答：$\sqrt{25} \div \sqrt{4} = \sqrt{25/4} = \sqrt{6.25} = \frac{5}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$
除法运算实例
例子1
$\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
例子2
$\frac{\sqrt{10}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{5}$。
分母） • $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times
二次根式的乘除课件
乘法运算规则
01
两个二次根式相乘，其结果是被 开方数相乘，根号不变。
02
例如：$\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{3 \times 4} = \sqrt{12}$
实例解析
计算实例
$\sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50}$
在进行乘法运算时，需要将二次根式 进行相乘，并化简为最简二次根式。 具体来说，如果两个二次根式的被开 方数相同，则它们可以进行相乘；如 果两个二次根式的被开方数不同，则 需要先进行换元，将它们都转换为被 开方数相同的二次根式，再进行相乘 。
除法运算规则
在进行除法运算时，需要将被除式进 行分母有理化，并化简为最简二次根 式。具体来说，如果被除式的分母是 一个完全平方数，则可以将被除式转 换为有理分式；如果被除式的分母不 是一个完全平方数，则需要先进行换 元，将被除式转换为分母为完全平方 数的有理分式，再进行分母有理化。
在几何图形中的应用
计算面积和周长
在几何图形中，二次根式可以用 来计算图形的面积和周长。例如 ，在矩形、三角形等图形中，可 以通过二次根式计算其面积和周
长。
求解最值问题
在几何图形中，可以利用二次根 式来求解一些最值问题，如最大
值、最小值等。
判断形状
通过比较不同图形的面积或周长 ，可以利用二次根式来判断图形
将除法转化为乘法
将除法问题转化为乘法问题，利用乘法的性质进行计算。
分子分母同时平方
将除数和被除数分别平方，然后进行约分，得到最终结果。
实例解析
实例1
实例3
$\frac{4}{\sqrt{3}}$ 的计算过程及结 果解析。
二次根式的乘除
二次根式的乘除•二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•复杂表达式中二次根式乘除处理策略目录•误差传递与数值稳定性问题探讨•总结回顾与拓展延伸二次根式基本概念与性质二次根式定义及表示方法二次根式定义二次根式的表示方法二次根式性质介绍$sqrt{a^2} =a|$（$a in R$）：此性质可将根号外的因式平方后移到根号内，但需注意结果需加绝对值。
$(sqrt{a})^2 = a$（$…此性质可将根号内的式子平方后移到根号外。
$sqrt{ab} = sqrt{a…此性质可将两个二次根式相乘，结果仍为二次根式。
$frac{sqrt{a}}{sq…此性质可将两个二次根式相除，结果仍为二次根式。
解根据二次根式的性质，有= sqrt{16} times sqrt{x^2} times sqrt{y^4} = 4xy^2$解解根据二次根式的除法性质，有$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$例1$x > 0, y > 0$）。
例2例3$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
010203040506典型例题分析二次根式乘法运算规则同类二次根式乘法法则0102不同类二次根式乘法转化方法利用乘法公式进行运算，如平方差公式、完全平方公式等。
乘法运算中注意事项在进行二次根式乘法运算时，要确保被开方数是非负数。
对于含有字母的二次根式，在乘法运算中要注意字母的取值范围，确保二次根式有意义。
在化简二次根式时，要遵循最简二次根式的两个条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式除法运算规则同类二次根式除法法则同类二次根式可以直接进行除法运算，即被除式的系数除以除式的系数，根指数不变，被开方数相除。
若被开方数可以开得尽方，则结果化为最简二次根式；若被开方数不能开得尽方，则结果保留根号形式。
二次根式的乘除
例1
(1) 6 7
解:
1 ( 2) 32 2
(1) 6 7 6 7 42
1 1 ( 2) 32 32 16 4 2 2
一般的：
a b ab
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0） ab a b
也就是说，积的算术平方根，等于各因式 算术平方根的积。
2
(a 0) 化简
化 简
(1). 8 ; (2). 18; (3). a
3
观察可能导致发现,观察将揭示某 种规则、模式或定律。 ——波利亚
利用这个性质可以进行二次根式的化简。
例2 化简 12 ，使被开方数不含完全平方的因数。
解： 12 = 22 3来自= =222 3
3
做一做
计算下列各式，并将所得的结果化简是：
1
3 6
2
5 15
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个完全平方数.
2.应用
ab a b
6 4 9 _____
2、 16 25 20 ___, 16 25 _____ 20
用你发现的规律填空,并用计算器验算
＝ 6; 1 、 2 3 ___ ＝ 10 2、 2 5 ___
归
纳
a b a b (a 0, b 0)
二次根式乘法法则:
两个算术平方根的积，等于它们被开方数 的积的算术平方根。
3.将平方项应用 化简.
a a ( a 0)
2
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方 根。
a b ab
a≥0,b≥0
(a 0, b 0)
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复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a ? 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
? ?a 2=a (a≥ 0) a (a≥ 0) a 2 =∣a∣ = -a (a＜0)
复习提问
3.二次根式的乘法：
a ? b ? ab(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab? a ? b (a? 0,b? 0)
(3) 50
?5 2
(6) a2b3 ? ab b
计算：
(1) 3 ? 12
(2) x ? x 3
(3)2 ab ? 3 b ( 4) ? 27 ? 1
a
3
解：(1) 3 ? 12 ? 3? 12 ? 36 ? 6
(2) x ? x 3 ? x ? x 3 ? x 4 ? x 2
练习
计算：
(1)5 12 ? 4 27 (2) 6 ? 15 ? 10
形如 a (a ? 0)的式子叫做二次根式.
2、二次根式有哪些性质？
a ? 0 , a ? 0（. 双重非负性）
? ?2 a ? a(a ? 0) a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a＜0)
试一试
4 ? 9 ? 2? 3 ? 6 4? 9 ? 36 ? 62 ? 66
16 ? 25 ? 4? 5 ? 2200 16? 25? 400 ? 202 ? 200
问题1： ? 4 ? × ? 9 ? (? 4) ? (?9) ？ 问题2： 9 ? 16 ×? 9 ? 19 ？
× 5 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 3 2
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例1、计算
(1 ) 3 ? 27
(3) 2a ? 8a ?a ? 0?
( 2 ) 1 ? 32 2
a ? b ? a ? b （a≥0,b≥0)
例题：化简： (1)、27 (2)、a3 (a ? 0)
(3) 4a2b3 (a ? 0,b ? 0)
解:(1)原式= 9 ? 3 ? 9 ? 3 ? 3? 3 ? 3 3
(2)原式= a2 ?a ? a2 ? a ? a a
(3)原式= 22 a2b2b ? (2ab)2 ?b ? 2ab b
(4)原式＝ 2 1 1 ? 1 ＝ 2
5 26 5
3? 6 ＝6
2
5
仍旧作为二 次根号前的 系数。
? ?5xy 2 ? x
计算下列各式 ,观察计算结果 ,你发现什么规律 ?
?1?. 4 ? ?? 2 ??,
9 ?3 ?
?2?.
16 49
?
???
4 7
???,
(3) 2 ＝ 2 33
4 ? ?? 2 ?? 9 ?3 ?
44 ?
99
16 49
?
???
4 7
???
16 ?
49
16 49
2＝ 2
55
a
12.2二次根式的乘除
课前检测:
1、 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 5x ? 1 (2) 3x ? 1
(3) 1 ? 3x 2、计算：
(1)、( 3)2
(4)、? (? 3) 2
(4) 1? x2
(2)、（? 7）2
(3)、（1 ? x4 ? 9 ? 4? 9 16 ? 25 ? 16 ? 25
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
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二次根式乘法公式
a ? b ? a ? b（a≥0,b≥0)
两个二次根式的 积，等于被开方数 积的算术平 方根。
× 注意： a ? b ? a ? b
求 x ? y ? z 的值：
x ? 2，y ? 6，z ? 3即：x ? y ? z ? 36 ? 6
化简 ? 25x 3 y4
解：由二次根式的意义可知：
? 25x 3 y4 ? 0,? y4 ? 0,? x ? 0.
? ? ? ? 25x 3 y4 ? 25y4 ? ? x 3
? 5y2 ?x ? ? x
2 18 2 18 2
?3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
?3? 4 1 ? 7
5 10
(4)2 11 ? 5 1 26
解：?1? 32? 32? 16? 4
22
?2? 50? 50? 5
10 10
(3)原式＝
41 ? 7＝ 5 10
21 ? 10＝
57
6
如果根号前 有系数，就
把系数相除，
a
规律:
?
b
b
?a ? 0,b ? 0?
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
a ?
a
?a ? 0,b ? 0?
b
b
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
例４：计算 解：
?1? 24
3
?2? 3 ? 1
2 18
?1? 24 ?
3
24 ? 3
8?
4? 2 ? 2 2
?2? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 18 ? 3 ? 9
解：(1) 3 ? 27 ? 3? 27 ? 81 ? 9
(2) 1 ? 32 ? 1 ? 32 ? 16 ? 4
2
2
(3) 2a ? 8a ? 2a ? 8a ? 16a 2 ? 4a
练习1计算
(1) 2 ? 8
(2) 1 ? 27 3
(3)2 3 ? 3 27
(2) 5a ? 10a3 2
二次根式性质 4:
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
探究
(?4)? (?9) ? ? 4 ? ? 9成立吗？
不成立！
? 4、 ? 9没有意义。
练习 1、化简
(1) 24,
?2 6
(2) 72,
?6 2
(4) 9a , ?3 a
(5) 2a2 , ?a 2
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如何化简二次根式
关键：将被开方数因式分解或 因数分解，使出现“完全平方数” 或“偶次方因式”,最后结果的被 开方数中不含能开得尽方的因数 或因式
练习3 化简
(1)、18 (2)、8a3 (a ? 0) (3) 12a3b2 (a ? 0,b ? 0) (4) 45 (5) 24 (6) 32
练习2
一个直角三角形的两条直角边分别长 2 2cm与 10cm ，
求这个直角三角形的面积。
S ? 1 ? 2 2 ? 10 ? 2 （5 cm2） 练习32 （综合练习）
1、 x ? 1 ? x ? 1 ? x2 ? 1的成立的条件是（
）
x ? 1＞0且x ? 1＞0，即：x＞1
2、如果： x ? 2 ? 6 ? y ? z 2 ? 6z ? 9 ? 0