基于偏微分方程的图像处理方法共40页
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基于偏微分的图像放大算法研究
（ｃ ｏ ｌｆ ｏ ｕｅ（ ０ｔａｅ， ｉ ｕ ｎＵ ｉ ｒｉ ， ｈ ｎ ｄ ６ ０ ５Ｃ ｉ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｃ ｍｐ ｔｒ ｆ ｒ）Ｓｃ ａ ｎ ｅｓ ｙ Ｃ ｅ ｇ ｕ １ ６ ，ｈ ａ Ｓ ｗ ｈ ｖ ｔ ０ ｎ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：ｎ ｔ ｏ ｓ ｈｅ ｒ ｓ ａ ｃ ｏ ｉ ａ ｅ ｚ ｏｍ ｉ ，ｗｅ ａ ｌ ｚ ｈ ｄ ａ ｂ ｃ ｘｉｔｎ ｍｅ ｈ ｓ ｏｎ ｉ ａ ｅ ｔ ａ ｔＩ ｈｅ ｃ ｕｒ ｅ ｏｆｔ ｅ ｅ ｒｈ ｎ ｍ ｇ ｏ ｎｇ ｎａｙ ｅ ｔ ｅ ｒ ｗ ａ ｋ ｏｆｅ ｓｉ ｇ ｔ ｏｄ ｍ ｇ ｚ ｏｍ ｉ ｏ ｎｇ． ｋ ｎ ｄｖ ｎｔｇｅｏｆｔ ｅ ｉ ｔｂｌ ｄｇ ｎｆ ｒ ａ ｉｎ ｎ ｔ ｅｐｒ ｅ ｓｏｆｉ ａｇ ｏｏ ｉ Ｔａ ｉ ｇ ａ ａ ａ ｐｒ ｄ ｃ ａ ｅｏｆｔ ｅ ｅ ｉ ｏ ｍ ｔｏ ｉ ｈ ｏｃ ｓ ｈｅ ｈｅ ｍ ｅｚ ｍ ｎｇ， ｈｉ ｒｉｌ ｒ ｐ ｅ ｔ ｓａ ｔｃ ｅｐ ｏ ｏｓ ｄ ａ ｉ ａ ｏ ｉ ｇ ｌ ｒｔ ｎ ｍ ｇｅ ｚｏ ｍ ｎ ａｇｏ ｉｈｍ ｓ ｄ ｎ ａ ｉｌ ｆｅ ｅ ｔａ ｑｕ ｔｏｎ ．Ｔｈｅ ｌ ｒｔ ｂａ ｅ ｏ ｐ ｒ ａ ｄｉ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｓ ｔ ａｇｏ ｉｈｍ ｆｒ ｔ ｏｎ ｃ ｅ ｇｅ ｅ ｅ ｔｎ ｉ ｓ ｃ ｄｕ ｔ ｄ ｄ ｔ ｃｉ ｇ，ｉ ａ ｅ ｍ ｇ ｓ ｏ ｈｉ ｔ ｅ ｐ ｏ ｒｙ ｏｏ ｅ ｈｅ ｅ ｅ ＵＳ ｈ ｅ ｉ ｅ ｐｌｎｅ ｉ ｔ ｒ ｏｌｔｏｎ ａ ｇ ｉ ｍ ｏｔ ｎｇ ｈ ｎ ｒ ｐｅ ｌ ｚ ｍ ｄ ｔ ｄｇ ｅ ｔ ｒ ｅ ｔｍ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｐ ａｉ ｌ ｏｒｔ ．Ｂｙ ｄ ｌ ｉ ｔ ｓ ｉ ｅ ｈｍ ｅａｉ ｗ ｔ ｈｅ ｐｏ ｓｂｌ ｎｇ ｈ
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
③
林石算子改善了Catte模型中尖峰被削平的情况，同时还保留了P_M模型以及Catte模型的优点。比较改进的林石算子和Catte模型对图像的处理效果，如图（1）所示从帽沿、头发等细节信息可发现，林石算子对于保持边缘和细节等高频量有明显的改善。
(a)噪声图像(b) Catte模型(c)林石算子
图（1）Catte模型和林石算子的图像处理效果
3.3林石算子
P_M模型以及Catte模型都能够在去噪的同时，较好地保持边缘，但是仍然不能保留边缘的细节信息，尤其是不能保持尖峰状边缘和窄边缘[13]的信息。这两个模型对图像来说是基于大尺度范围的处理，对小目标的处理效果欠佳，处理后的图像真实感很差。所以1999年，林宙辰，石青提出了对Catte[2]模型的改进形式，改进的模型如下：
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
一.引言
医学图像增强技术是临床上应用最多的医学图像处理技术之一。通常情况下，临床医生需要对比度好的图像，以便于医生对图像的判读。在这种情况下，一般是利用图像增强（mage Enhancement）技术改善图像的视觉效果，使医学图像能显示出更多的细节信息。另外，医学图像增强技术也是对医学图像进行进一步分析和处理的先行步骤。许多文献中采用的所谓图像预处理技术指的就是图像增强技术，其目的是为了提高图像的信噪比，突出图像的某些特征，为后续对图像的进一步分析和识别奠定基础。为了改善视觉效果或便于人或机器对图像的分析理解，根据图像的特点、存在的问题或应用目的等，所采取的改善图像质量的方法，或加强图像某些特征的措施称为图像增强。
3.4 J.Weickert模型
针对线形纹理信息较多并且该信息对于图像分析很重要的图像，J.Weickert等人提出了一致性增强扩散，引入了结构张量来分析图像结构；该方法在指纹、纤维编织物图像的去噪方面，已经取得了很好的效果[14]。J.Weickert模型较P-M模型增加了扩散滤波的方向可控性，在梯度方向上进行较弱的平滑滤波，在与梯度垂直方向上进行较大的平滑滤波，但它自身也有缺点，该模型在求解时对方程的离散格式有很高的要求，再迭代收敛时容易产生问题[15]。
林石算子改善了Catte模型中尖峰被削平的情况，同时还保留了P_M模型以及Catte模型的优点。比较改进的林石算子和Catte模型对图像的处理效果，如图（1）所示从帽沿、头发等细节信息可发现，林石算子对于保持边缘和细节等高频量有明显的改善。
(a)噪声图像(b) Catte模型(c)林石算子
图（1）Catte模型和林石算子的图像处理效果
3.3林石算子
P_M模型以及Catte模型都能够在去噪的同时，较好地保持边缘，但是仍然不能保留边缘的细节信息，尤其是不能保持尖峰状边缘和窄边缘[13]的信息。这两个模型对图像来说是基于大尺度范围的处理，对小目标的处理效果欠佳，处理后的图像真实感很差。所以1999年，林宙辰，石青提出了对Catte[2]模型的改进形式，改进的模型如下：
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
一.引言
医学图像增强技术是临床上应用最多的医学图像处理技术之一。通常情况下，临床医生需要对比度好的图像，以便于医生对图像的判读。在这种情况下，一般是利用图像增强（mage Enhancement）技术改善图像的视觉效果，使医学图像能显示出更多的细节信息。另外，医学图像增强技术也是对医学图像进行进一步分析和处理的先行步骤。许多文献中采用的所谓图像预处理技术指的就是图像增强技术，其目的是为了提高图像的信噪比，突出图像的某些特征，为后续对图像的进一步分析和识别奠定基础。为了改善视觉效果或便于人或机器对图像的分析理解，根据图像的特点、存在的问题或应用目的等，所采取的改善图像质量的方法，或加强图像某些特征的措施称为图像增强。
3.4 J.Weickert模型
针对线形纹理信息较多并且该信息对于图像分析很重要的图像，J.Weickert等人提出了一致性增强扩散，引入了结构张量来分析图像结构；该方法在指纹、纤维编织物图像的去噪方面，已经取得了很好的效果[14]。J.Weickert模型较P-M模型增加了扩散滤波的方向可控性，在梯度方向上进行较弱的平滑滤波，在与梯度垂直方向上进行较大的平滑滤波，但它自身也有缺点，该模型在求解时对方程的离散格式有很高的要求，再迭代收敛时容易产生问题[15]。
基于偏微分方程和机器学习的图像去噪算法
２０２０ 年
表１有６ 个 基 本 微 分 不 变 量，它 们 的 最 高 阶 数 是２阶．这些微分不变量都有其几何意义，狌 是随着 偏微分方程进行演变的图像，ｔｒ表示迹算子，狌 表 示狌 的 梯 度 算 子，犎狌 表 示 关 于 函 数狌 的 海 森 矩 阵， 简 记 犻狀狏 （狌）＝ ［犻狀狏０（狌），犻狀狏１（狌），…，犻狀狏５（狌）］犜 ， （·）犜 表示矩阵或者向量的转置．
差来达到控制的目的．我们设置初始函数作为输 入 图 像，在 Ｚｈａｏ的 模 型 的 基 础 上，提 出 以 下 新 的 由 微 分
不变量系数函数构成的 ＰＤＥ 方程模型，新的模型具体如下
∑∫ ∑∫ 犕
５
ｍｉｎ犈（犪（狋））＝ 犪
１ ２ ｍ＝１
Ω
（犗犿 －狌犿 （狓，狔，犜））２ｄΩ＋λ
犻＝０
犜
犪犻２（狋）ｄ狋，
０
（１）
烄狌犿 狋
－犻狀狏犜（狌犿 ）·犪（狋）＝０，（狓，狔，狋）∈
犙，
ｓ．狋．烅狌犿 （狓，狔，狋）＝０， （狓，狔，狋）∈ Γ，
（２）
烆狌犿 （狓，狔，０）＝犐犿 ， （狓，狔）∈ Ω，
其中，｛（犐犿 ，犗犿 ），犿＝１，…，犕｝为输入图像对，表示 犕 个输入与输出的图像对的个 数，狌犿 （狓，狔，狋）是 输
传统的 ＰＤＥ 图像去噪算法需要一定的数学 基 础，为 了 降 低 设 计 ＰＤＥ 方 程 进 行 图 像 去 噪 的 难 度，Ｌｉｕ 等人 提 ［５］ 出 了 偏 微 分 方 程 学 习 模 型 ＬＰＤＥ，将 机 器 学 习 与 ＰＤＥ 结 合 起 来，但 是 这 个 模 型 收 敛 的 速 度 非 常 慢，并且伴 随 着 大 量 的 计 算 和 复 杂 的 推 导，为 了 解 决 Ｌｉｕ 模 型 的 缺 点，Ｚｈａｏ等 人 提 ［６］ 出 了 一 种 新 的 方 法， 快速交替的时间分裂方法（ｆａｔｓａ），新的方法减少了大量的训练时间和训练误差，并且去噪效果也比 Ｌｉｕ的 方法好．本文在 Ｚｈａｏ模型的基础上，通过减少微分不 变量的 个 数，使 训 练 的 时 间 比 Ｚｈａｏ的 模 型 更 快，并 且去噪效果与 Ｚｈａｏ的模型相差不多．
基于偏微分方程的图像处理方法
• 偏微分方程的图像处理方法的优点
方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于
1
对实际问题的理解和数值处理。
对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线
2
和曲率等）具有较好的控制。
可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进
3
行滤波和修复。
4
能够模拟动态视觉处理过程。
基于偏微分方程的图像处理方法
二、基于偏微分方程的图像滤波方法
un1 i, j
un i, j
t
un i1, j
un i1,
j
uin, j1
uin, j1
4uin, j
，计算
u n1 i, j
；
end
基于偏微分方程的图像处理方法
二、基于偏微分方程的图像滤波方法
原始图像
各向同性（线性）扩散滤波（热传导方程）
非线性扩散滤波（PM 方程） 各向异性扩散滤波（平均曲率流）
基于偏微分方程的骨架线提取原理 • 偏微分方程骨架提取方法借助GVF(Gradient Vector Flow)思
想，引入梯度场的概念，将图像边界看做封闭的，图像内部 为一能量场，场的梯度在内外力的作用下在场内变化运动， 当场的梯度达到最小时，其最小值处即为图像骨架。
M k 1
N l 1
A e
k 2 2t M2
l
2 2t N2
k ,l
sin
kx sin ly MN
高频成分保留少 低频成分保留多
基于偏微分方程的图像处理方法
二、基于偏微分方程的图像滤波方法
改进
控制平滑量
在图像特征多的区域 应该尽可能地少平滑
数字图像处理中的偏微分方程方法
它是法国人尼埃普斯於 1827 年拍摄出来的 ，1839 生， 年法国科学与艺术学院宣佈达盖尔获得摄影术专利 。 图像处理在医学领域中起步较早 ， 利用图像进行直观 诊断始于 1895 年 X 射线的发现 。 德国维尔茨堡大学 校长兼物理研究所所长伦琴教授 （ 1845 ～ 1923 年 ） ， 在
Partial Differential Equation （ PDE） Method on Digital Image Processing
RUAN Qiuqi WU Jiying
（ Institute of Information Science and Technology） Abstract ： Image is an important media to obtaining and conveying information． It is widely used in human life and so-
数字图像的成像过程具有随机性 ， 因此二维图像 域可以看作一个随机场 。随机建模方法根据随机场理 论对图像域建模 ， 描述图像像素与其邻域像素的条件 分布 ， 从而描述图像统计特征 。 常用的随机建模模型 有马尔可夫 （ Markov） 随机场模型 、 高斯混合 （ GaussianMixture） 模型 ， 隐 Markov 随机场模型等 。 随机建模的 但模 方法可以很好的描述图像中的周期性纹理特征 ， 型中参数的确定过程复杂 ， 稳健性较差 ； （ 3 ） 变分原理和偏微分方程方法 。 偏微分方程方法主要是数学方法在空间域内图像 处理中的应用 。使用空间域内像素点灰度值的一阶或 二阶微分方程表征图像中的区域边界等边缘特征 。 偏 在不同图像特征区 微分方程具有各向异性扩散性能 ， 域内扩散性能不同 ， 因此通过方程迭代处理图像可以 在保持边缘特征的同时较好的重建平滑特征区域 。 2． 2 偏微分方程 近几年来 ，最初来自于物理学和力学的变分和偏 微分 方 程 （ Variation and Partial Differential Equations （ PDE） ） 方法在图像处理和计算机视觉中开辟了一个 新的领域 ，基于偏微分方程的图像处理得了广泛的重 视并取得了很大的成功 。 它的基本思想是在一个偏微分方程模型中进化一 、 幅图像 ， 一条曲线或一个曲面 ，通过求解这个偏微分 方程来得到期望的结果 。 变分和偏微分方程方法进入图像处理领域也经历 了一个从无到有 ，从简单到复杂的过程 。 （ 1 ） 基本概念
基于偏微分方程的图像复原和增强算法研究
降低计算成本：算法优化可以降低计算资源和存储空间的占用，从而降低计算成本。
PART SIX
基于偏微分方程的图 像复原和增强算法在 处理细节和边缘方面 优于其他算法。
该算法在保持图像 原始质量的同时， 能够更好地去除噪 声和进行图像增强。
与传统的图像处理算法 相比，基于偏微分方程 的算法具有更高的计算 效率和更好的实时性能。
该算法在处理复杂图 像和应对不同应用场 景时，具有更强的适 应性和鲁棒性。
自然场景：适用于图像复原和增强算法，能够提高图像质量 人造场景：适用于图像增强算法，能够改善图像的视觉效果 医学影像：适用于图像复原算法，能够恢复图像的原始面貌 遥感图像：适用于图像增强算法，能够提高图像的分辨率和清晰度
算法比较：基于偏微分方程的图像复原和增强算法与其他算法的优缺点比较
偏微分方程模型建立：根据图像退化的 原因，建立相应的偏微分方程模型
输出图像：将处理后的图像输出，供用 户查看和使用
优点：基于偏微分方程的图像复原和增强算法能够有效地处理图像模糊、噪声等问题，提高图 像质量。
缺点：算法计算量大，需要较高的计算资源和时间成本，且对初始图像的质量要求较高，否则 可能无法得到理想的复原效果。
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
定义：描述物理现象变化规律的数学模型 类型：椭圆型、抛物型、双曲型 求解方法：有限差分法、有限元法、谱方法等 在图像处理中的应用：图像去噪、图像增强、图像修复等
偏微分方程在 图像处理中的
适用范围：适用于处理受到模糊、噪声等影响的图像，但不适用于所有类型的图像处理问题。
改进方向：可以通过优化算法、降低计算复杂度、提高算法的自适应性和鲁棒性等方式对算法 进行改进。
PART SIX
基于偏微分方程的图 像复原和增强算法在 处理细节和边缘方面 优于其他算法。
该算法在保持图像 原始质量的同时， 能够更好地去除噪 声和进行图像增强。
与传统的图像处理算法 相比，基于偏微分方程 的算法具有更高的计算 效率和更好的实时性能。
该算法在处理复杂图 像和应对不同应用场 景时，具有更强的适 应性和鲁棒性。
自然场景：适用于图像复原和增强算法，能够提高图像质量 人造场景：适用于图像增强算法，能够改善图像的视觉效果 医学影像：适用于图像复原算法，能够恢复图像的原始面貌 遥感图像：适用于图像增强算法，能够提高图像的分辨率和清晰度
算法比较：基于偏微分方程的图像复原和增强算法与其他算法的优缺点比较
偏微分方程模型建立：根据图像退化的 原因，建立相应的偏微分方程模型
输出图像：将处理后的图像输出，供用 户查看和使用
优点：基于偏微分方程的图像复原和增强算法能够有效地处理图像模糊、噪声等问题，提高图 像质量。
缺点：算法计算量大，需要较高的计算资源和时间成本，且对初始图像的质量要求较高，否则 可能无法得到理想的复原效果。
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
定义：描述物理现象变化规律的数学模型 类型：椭圆型、抛物型、双曲型 求解方法：有限差分法、有限元法、谱方法等 在图像处理中的应用：图像去噪、图像增强、图像修复等
偏微分方程在 图像处理中的
适用范围：适用于处理受到模糊、噪声等影响的图像，但不适用于所有类型的图像处理问题。
改进方向：可以通过优化算法、降低计算复杂度、提高算法的自适应性和鲁棒性等方式对算法 进行改进。
基于偏微分方程的图像处理
《基于偏微分方程的图像处理》1．图像的基本操作(1)把一幅彩色图像分解为R、G、B三副单色图像；clear;image_I=imread('rgbtest2.bmp');subplot(2,2,1);imshow(image_I);matrix_R(:,:,1)=image_I(:,:,1);matrix_R(:,:,2)=0;matrix_R(:,:,3)=0;subplot(2,2,2);imshow(matrix_R);title('R分量');matrix_G(:,:,2)=image_I(:,:,2);matrix_G(:,:,1)=0;matrix_G(:,:,3)=0;subplot(2,2,3);imshow(matrix_G);title('G分量');matrix_B(:,:,3)=image_I(:,:,3);matrix_B(:,:,1)=0;matrix_B(:,:,2)=0;subplot(2,2,4);imshow(matrix_B);title('B分量');R分量G分量B分量(2)把一幅灰度图像分别沿x轴和y轴做反射，扩展为四倍大小；clear;Image=imread('graytest2.bmp');imshow(Image);[m,n]=size(Image);image11=Image;for i=1:mfor j=1:nimage12(i,j)=image11(i,n-j+1);endendfor j=1:nfor i=1:mimage21(i,j)=image11(m-i+1,j);image22(i,j)=image12(m-i+1,j);endendimage1=[image11,image12];image2=[image21,image22];image=[image1;image2];figureimshow(image)原图像：扩展图像：2．把一幅灰度图像的像素值都变换为原来的1/2使图像质量变差，然后利用Matlab图像处理工具箱中的直方图均衡化函数histeq 对图像进行增强，输出原图像、质量变差图像和增强后的图像以及它们的直方图。
基于偏微分方程的图像处理方法42页PPT
谢谢！Βιβλιοθήκη 基于偏微分方程的图像 处理方法
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿