2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷
慈溪中学提前招生自然试卷(含答案)
自 然说明：I. 本卷考试时间100分钟，满分100分。
II. 本卷分试题（共6页）和答卷（共4页），答案必须做在答题卷上。
III. 本卷可能用到的相对原子质量：（H —1、C —12、O —16、S —32、Cl —35.5、Mg —24、Fe —56、Na —23、Al —27、K —39、Zn —65、Cu —64、Ag —108 Ba —137）试 题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确选项．．．．．．．．） 1. 某人不慎撞伤，下肢某处鲜红色的血从伤口迅速流出，在送医院前须急救止血，其中正确的做法是A 、用冷湿毛巾放在伤口上，减慢血循环B 、速将伤口的下部扎紧C 、速将伤口的上部扎紧D 、把受伤下肢尽量抬高2. 同种生物个体之间有时会存在很大的差异，如橡树树叶的长度，有的长3厘米，有的则长达8厘米。
形态上存在差异的不同种生物在适应环境变化的能力上，也会存在差异，如仙人掌的叶刺能更好的适应沙漠气候。
下图为某地3种不同植物叶片面积与单位面积个体数量之间的关系图。
如果该地遭遇干旱，根据图判断下列叙述中正确的是A 、植物甲比植物乙更能适应B 、植物乙比植物丙更能适应C 、植物丙比植物甲更能适应D 、植物甲和植物丙具有同样的适应能力3. 在一定温度下，一定量的Ca(OH)2饱和溶液中，加入少量的CaO 并维持温度不变，则下列说法中正确的是A 、溶液中Ca(OH)2质量分数增大B 、溶液中Ca(OH)2质量分数减小C 、溶液中的Ca 2+总数减少D 、溶液中的Ca 2+总数增加叶片面积（cm 2）（第2题）单位面积个体数（株/m 2）4. 有三种有机物C 2H 6O 、C 2H 4和C 6H 12组成的混合物，已知碳元素的质量分数为a%，则混合物中氧元素的质量分数为A 、10%B 、1－67a %C 、100－67a % D 、98（100－67a ）%5. 在用氢气还原氧化铜实验中，根据氢气在本实验中的作用，生成的铜与消耗氢气的质量M 、m 关系图像正确的是6. 下述关系式中既表示物理量的概念的数学定义表达式，又体现该物理量与其它物理量之间的内在联系规律的是A 、P=W/tB 、ρ=m/νC 、p=F/SD 、I=U/R7. 下列有关凸透镜成像的说法中，正确的是A 、人们在电影院看到银幕上的画面，对人眼而言是物而不是像，对放映机镜头而言才是像B 、用黑纸遮住凸透镜的上半部分，则光屏上只能成一半的像C 、物体沿主轴从6倍焦距移到2倍焦距处的过程中，像移动的速度大于物体移动的速度，并且像逐渐变小D 、幻灯机的幻灯片总是倒插在焦点与镜头之间8. 如图所示，甲乙丙三个相同的小钢球从相同高度以相同的速度分别沿所示的方向抛出，若不计空气阻力，则关于小球落地时的速度与落地过程所需的时间的叙述正确的是（第8题）A 、落地速度甲最小，落地也最晚B 、乙的落地速度大小与落地时间都居中C 、落地的速度大小与所需的时间都一样D 、落地速度大小都一样，但丙最早落地9. 如图所示，甲、乙两只完全相同的金属球，甲用细线悬挂在天花板上，乙放在水平面上。
浙江省宁波市慈溪中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}2．“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充分条件 D．既不充分也不必要3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（1，2）D．（，2）5．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．点F是抛物线τ：x2=2py（p＞0）的焦点，F1是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线τ与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为（）A．B．C．D．7．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠IOA=60°，设=，=，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a﹣1，a+1]，关于x 的不等式f（x2+a）＞a2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，4]C．（0，+∞）D．[2，+∞）二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，f（x）的周期为______，φ的值为______．10．计算：（1）=______；（2）设f（x）=，则=______．11．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为______，三棱锥D﹣BCE的体积为______．12．已知实数x，y满足约束条件时，所表示的平面区域为D，则z=x+3y的最大值等于______，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是______．13．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则取到最小值为______．14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在平面内将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形A′BC′D′，则点D′到直线AB的距离是______．15．已知等差数列{a n}首项为a，公差为b，等比数列{b n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a m+3=b n 成立，则a n=______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sin（x﹣），cosx），=（cosx，cosx），若函数f（x）=•﹣．（1）求x∈[﹣，]时，函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=，且|﹣|=2，求BC边上中线长的最大值．17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=100﹣3n•a n，求数列{|b n|}的前n项和．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，点M，N分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）E在线段AC上的点，且AM∥平面PNE．①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正切值．19．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．20．设已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，（Ⅰ）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．2017-2018学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M，再计算M∩（C U N）．【解答】解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=x2+1}={y|y≥1}，∴∁U N={y|y＜1}，∴M∩（C U N）={x|﹣1≤x＜1}故选：A．2．“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充分条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若α是第二象限角，则sinα＞0，tanα＜0，则sinαtanα＜0成立，若α是第三象限角，则sinα＜0，tanα＞0，满足sinαtanα＜0成立，但α是第二象限角不成立，∴“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的充分不必要条件，故选：A．3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案．【解答】解：对于A，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或m与n异面，故A错；对于B，m⊥α，n⊂β，m⊥n，不能推出m⊂β，故B错误；对于C，∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥β或n⊂β．综上所述，正确的是C．故选C．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（1，2）D．（，2）【考点】正弦定理．【分析】由a与sinA的值，利用正弦定理列出关系式，表示出a=sinA，进而得到b=sinB，得到B+C的度数，由三角形有两解确定出B的范围，利用正弦函数的值域确定出b 的范围即可．【解答】解：∵△ABC中，a=1，A=60°，∴由正弦定理===，即a=sinA，B+C=120°，∴b=sinB，∵三角形有两解，∴若B≤60°，则与A互补的角大于120°，矛盾；∴60°＜B＜120°，即＜sinB≤1，∴b的范围为（1，），故选：B．5．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．6．点F是抛物线τ：x2=2py（p＞0）的焦点，F1是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线τ与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），利用P是线段FF1的中点，可得P（，），由此即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），∵F（0，），F1（c，0）∴线段FF1的中点P（，），∴=，=，∴a2=8b2，∴c2=9b2，∴e==．故选：D．7．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠IOA=60°，设=，=，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可以O为坐标原点，GC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可设菱形的边长为2，从而能求出D，H点的坐标，这样便可得到向量的坐标．可设P（X，Y），根据条件即可得出，这样设x+y=z，X，Y的活动域便是菱形的边上，这样根据线性规划的知识即可求出z的最大值，即求出x+y的最大值．【解答】解：如图，以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，则：D（），H（）；设P（X，Y），则（X，Y）=x（）+y（）；∴；∴；设；∴，表示在y轴上的截距；∴当截距最大时，z取到最大值；根据图形可看出，当直线经过点E（）时，截距最大；∴；z=4；∴x+y的最大值为4．故选B．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a﹣1，a+1]，关于x 的不等式f（x2+a）＞a2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，4]C．（0，+∞）D．[2，+∞）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f （x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）=f（ax），再根据不等式f（x2+a）＞a2f（x）=f（ax），在x∈[a﹣1，a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x2，∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2，∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）=f（ax），∵不等式f（x2+a）＞a2f（x）=f（ax）在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，∴x2+a＞ax在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，令g（x）=x2﹣ax+a，函数的对称轴为x=，当，即a＞2时，不等式恒成立，可得g（a﹣1）=（a﹣1）2﹣a（a﹣1）+a=1＞0，恒成立；当，即﹣2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g（）=（）2﹣a（）+a＞0恒成立，解得a∈（0，2]；当，即a＜﹣2时，不等式恒成立，可得g（a+1）=（a+1）2﹣a（a+1）+a=2a+1＞0不恒成立；综上：a＞0．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，f（x）的周期为π，φ的值为﹣．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先把函数的图象依题意向左平移，获得新的函数的解析式，然后利用图象可知函数的周期，进而利用周期公式求得ω；把x=π代入函数解析式，化简整理求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线解析式为：y=Asin[ω（x+）+φ]=Asin（ωx+ω+φ），其周期为：T=4（﹣）=π，由=π，可得：ω=2，∵点（，0）在函数图象上，可得：sin（2×+2×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=﹣．故答案为：π，﹣．10．计算：（1）=2；（2）设f（x）=，则．【考点】分段函数的应用；对数的运算性质．【分析】（1）利用对数的运算法则，可得结论；（2）当x＜0时，f（x）=f（x+1）+2，代入计算，即可得出结论．【解答】解：（1）原式=+=3﹣1=2；（2）当x＜0时，f（x）=f（x+1）+2，∴原式===f（﹣1006﹣）+2=f（﹣1005﹣）+2×2=…=f（）+2×1008=故答案为：2；．11．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．【解答】解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，∴AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，又三棱锥E﹣ACB的体积为=，∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．故答案为：4；．12．已知实数x，y满足约束条件时，所表示的平面区域为D，则z=x+3y的最大值等于12，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是a．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；再由直线y=a（x+1）过定点（﹣1，0），结合图象求得a的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A（3，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12；∵直线y=a（x+1）过定点（﹣1，0），要使直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a≤k MA=．故答案为：12；．13．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则取到最小值为．【考点】基本不等式．【分析】由于a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．利用构造思想，用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．∴（a+2）+2（b+1）=5，利用基本不等式性质可得：当且仅当a=2b=时取等号．∴=≥=∴取到最小值=故答案为．14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在平面内将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形A′BC′D′，则点D′到直线AB的距离是．【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数；点到直线的距离公式．【分析】画出图形，利用三角函数的关系，通过两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：连结BD，D′B，设∠DBA=α，由题意可知：BD=，D′B=．tan，∠D′BA=α+60°，sin2（α+60°）=（sinαcos60°+cosαsin60°）2=（sinα+cosα）2=====．点D′到直线AB的距离：∴sin（α+60°）==，故答案为：．15．已知等差数列{a n}首项为a，公差为b，等比数列{b n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a m+3=b n 成立，则a n=5n﹣3．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先利用a1＜b1，b2＜a3，以及a，b都是大于1的正整数求出a=2，再利用a m+3=b n 求出满足条件的b的值即可求出等差数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1＜b1，b2＜a3，∴a＜b以及ba＜a+2b∴b（a﹣2）＜a＜b，a﹣2＜1⇒a＜3，a=2．又因为a m+3=b n⇒a+（m﹣1）b+3=b•a n﹣1．又∵a=2，b（m﹣1）+5=b•2n﹣1，则b（2n﹣1﹣m+1）=5．又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数．故2n﹣1﹣m+1=1，b=5，∴an=a+b（n﹣1）=2+5（n﹣1）=5n﹣3．故答案为5n﹣3．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sin（x﹣），cosx），=（cosx，cosx），若函数f（x）=•﹣．（1）求x∈[﹣，]时，函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=，且|﹣|=2，求BC边上中线长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用化简可得f（x）=sin（2x+），由x∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的值域；（2）由f（A）=sin（2A+）=，解得：sin（2A+）=，结合范围0＜A＜π，解得：A=，由题意可得，求得||||≤4，从而可求||2=（）2=（）=（4+2||||）≤3，即可得解．【解答】解：（1）∵=（sin（x﹣），cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•﹣=sin（x﹣）cosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=sin（2x+），∵x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，∴f（x）=sin（2x+）∈[﹣，]．（2）∵f（A）=sin（2A+）=，解得：sin（2A+）=，∵0＜A＜π，＜2A+＜，∴2A+=，解得：A=，∵|﹣|=2，∴|﹣|2=4，即，∴，∴||||≤4，∴||2=（）2=（）=（4+2||||）≤3，∴||max=．17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=100﹣3n•a n，求数列{|b n|}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a1=S1，n＞1时a n=S n﹣S n，结合等差数列的通项公式即可得﹣1到所求通项；（Ⅱ）求得b n=100﹣3n•a n，设，的前n项和，运用错位相减法可得，再讨论当1≤n≤2，当n≥3，即可得到所求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）由，n=1时，a1=S1=，解得a1=2；=，当n＞1时，n用n﹣1代，可得S n﹣1两式相减得，因为a n正项数列，可得，则a n为等差数列，得a n=2n．（Ⅱ）|b n|=|100﹣3n•a n|=|100﹣2n•3n|=，设，的前n项和，S n'=2•3+4•32+…+2n•3n，3S n'=2•32+4•33+…+2n•3n+1，．当1≤n≤2，S n=；当n≥3，S n=+316=．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，点M，N分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）E在线段AC上的点，且AM∥平面PNE．①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知推导出AM⊥PB，AM⊥BC，由此能证明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=MC，由已知推导出AM∥EF，从而得到AE=．②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，则∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，由此能求出直线PE与平面PAB所成角的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB，点M为PB的中点，∴AM⊥PB，∵BC⊥平面PAB，AM⊂平面PAB，∴AM⊥BC，∵PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．解：（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=MC，∵AM∥平面PEN，平面AMC∩平面PEN=EF，AM⊂平面AMC，∴AM∥EF，∴AE=．②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，∴EH⊥平面PAB，∴∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，∵EH=，AH=，∴PH=2，∴tan=，∴直线PE与平面PAB所成角的正切值为．19．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出x M=﹣，x N=﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标，又==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=2||，=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0．20．设已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，（Ⅰ）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（I）根据题意，分a≤1，1＜a≤2，2＜a≤4，a＞4四种情况讨论，从而根据分段函数及对勾函数的单调性判断函数的单调性，从而求最大值即可；（II）化简函数，从而不妨设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，从而讨论以确定a的值．【解答】解：（I）①当a≤1时，在[1，4]单调递增，∴f（x）max=f（4）=3；②当1＜a≤2时，函数在[1，a]上单调递增，[a，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=3；③当2＜a≤4时，函数在[1，2]上单调递增，[2，a]上单调递减，[a，4]上单调递增，∴f（x）max=max{f（2），f（4）}=；④当a＞4时，f（x）=2a﹣x﹣在[1，2]上单调递增，[2，4]上单调递减，∴f（x）max=f（2）=2a﹣4；综上所述M（a）=；（II）函数，不妨设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3当x＞a时，f（x）=3，解得x=﹣1，x=4；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=4，∴x1=﹣6，由f（﹣6）=3，解得，满足f（x）=3在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤4，f（x）=3在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=4，所以有x1，x2是的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣3）x+4=0的两个解．得到，又由设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+4，解得：，（舍去）；③a＞4，f（x）=3最多只有两个解，不满足题意；综上所述，或．2018年9月28日。
(完整)自主招生数学试题及答案,推荐文档
2017年自主招生数学试题(分值: 100分 时间:90分钟)一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、若对于任意实数，关于的方程都有实数根，则实数的a x 0222=+--b a ax x b 取值范围是（ ）A ≤0B ≤C ≤D ≤-1b b 21-b 81-b 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE∥AC，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ）A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶9D ．1∶163、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。
已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ）A ．mB ．mC ．mD ．12m )344(+)434(-)326(+4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。
A ．53 B ．12 C ．43 D ．23(第2题图) (第3题图) (第4题图)5、如图，在反比例函数的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于xy 2-=点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数的图xky =象上运动，若tan∠CAB=2，则k 的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 86、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600得到；②∠AOB=1500；③6AOBO'S =+四边形6AOB AOCS S +=△△是（ ）A.②③④B.①②④C.①④D.①②③O'OCB A(第5题图) (第6题图)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7、已知方程组，且，则的取值范围是 。
浙江省宁波市2017年中考数学真题试题(含解析)(1)
A. 第一象限 【答案】 A
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
考点：二次函数的图象 . 11. 如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 在边 AB 上， BE = 4 ，过点 E 作 EF ∥ BC ，分别交 BD ， CD 于 G ， F 两点，若 M ， N 分别是 DG ， CE 的中点，则 MN 的长为 ( )
1
1
∴ OE= AB， OD= AC
2
2
∵ OE=OD ∴ AC=AB
∵ BC=2 2
由勾股定理得 AB=2 ∴ OE=1
90
1
DE 的弧长 =
=.
180
2
故选 B.
4
考点： 1. 三角形的中位线； 2. 弧长的计算 .
10. 抛物线 y = x2 - 2x + m2 + 2 ( m 是常数 ) 的顶点在 ( )
中位数为： 5．
故选 C．
考点：众数；中位数 .
3
9. 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ A = 90°， BC = 2 2 ，以 BC 的中点 O 为圆心分别与 AB ， AC 相切于 D ， E 两 点，则 DE 的长为 ( )
A. p 4
【答案】 B.
B. p 2
C. p
D. 2p
∵ O是 BC的中点 ∴点 E，点 D 分别是 AC， AB的中点
A.3
B. 2 3
C. 13
D.4
【答案】 C. 【解析】 试题解析：如图，过 N 作 PQ∥ BC，交 AB， CD于 P， Q，过 M作 MR∥ CD，交 EF 于 J，PQ于 H，交 BC于 R
在正方形 ABCD中， BC=CD=6
浙江省慈溪市慈中书院2017届高三数学(理)达标测试(04.05)含答案
2017届高三理科数学达标测试（0405）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本答题共12小题。
每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．集合},,3log1|{2Z x x x A ∈<<=},95|{<≤=x x B 则=B AA ．[)52e ， B ．]7,5[ C ．}7,6,5{ D ．}8,7,6,5{ 2．函数)42lncos(π+=x y 的一个单调递减区间是A ．)8,85(ππ-- B.)8,83(ππ-- C ．)8,8(ππ- D 。
)83,8(ππ- 3．若21cos sin cos sin =+-αααα，则α2tan 的值为 A ．43 B ．43- C. 3 D. -3 4．O 为ABC ∆内一点，且02=++OC OB OA ,,AC t AD =若D O B ,,三点共线，则t 的值为A ．41 B ．31 C ．21 D ．325．已知d 为常数，:.P 对于任意*,N n ∈;12d a an n =-++:.q 数列}{n a 是公差为d 的等差数列，则p ⌝是q ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知等差数列}{na 中,nS 为其前n 项和,若,31-=a105S S =则当n S 取到最小值时n 的值为A ．5B ．7C ．8D ．7或87．已知命题,sin 3)(x x x f π-=则,2,0:⎪⎭⎫⎝⎛∈∀πx p ,0)(<x fA ．P 是真命题：：.p ⌝,2,0⎪⎭⎫⎝⎛∈∀πx 0)(>x fB ．p 是真命题：0)(,2,0:00≥⎪⎭⎫⎝⎛∈∃⌝x f xp π C ．p 是假命题：：.p ⌝,2,0⎪⎭⎫⎝⎛∈∀πx0)(≥x fD ．p 是假命题：0)(,2,0:00≥⎪⎭⎫⎝⎛∈∃⌝x f xp π 8．在直角ABC ∆中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是A AB AC AC⋅=2B ．BC BA BC ⋅=2||C ．CD AC AB ⋅=2|| D ．22)()(||ABBC BA AB AC CD ⋅⨯⋅=9．设等差数列}{na 的公差,0=/d 前n 项和为n S ，则}{nS 是递减数列的充要条件是A ．0<d 且01<a B ．0>d 且01<aC ．0<d 且02<aD ．0>d 且02<a10．已知函数)(x f 是R 上的奇函数。
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)及答案
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（）A．0.612×107B．6.12×106C．61.2×105D．612×1042.下列运算中，计算正确的是（）A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2 3.如图所示的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．4.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．65.我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是（）A．1.4(1+x)=4.5 B．1.4(1＋2x)=4.5C.1.4(1＋x)2=4.5 D．1.4(1+x)＋1.4(1＋x)2=4.5x 中自变量x的取值范围为（）6.函数y＝1A．x≥0B．x≥-1 C．x＞-1 D．x≥17.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标：其中属于中心对称图形的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个8.在长方形ABCD 中AB =16，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥（AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为（ ）A ．4B ． 16C ． 4D ． 89.如图，直线l 1∥l 2，∠A =125°，∠B =85°，则∠1+∠2=（ ）A ．30°B ． 35°C ． 36°D ． 40°10.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是（ ） A ．甲先到达终点 B ．前30分钟，甲在乙的前面 C ．第48分钟时，两人第一次相遇; D ．这次比赛的全程是28千米11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）O 14 12 1096 86 66 30 x /分y /千米 A BC D乙甲A ．64B ．77C ．80D ．8512.已知一次函数y 1=ax +c 和反比例函数y 2=的图象如图所示，则二次函数y 3=ax 2+bx +c 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.如果互为,a b 相反数，,x y 互为倒数，则()20142015a b xy +-的值是__________。
2017年浙江宁波卷中考数学试卷及答案(解析版)
2017年浙江宁波卷中考数学试卷及答案（解析版）题号一二三得分注意事项：1.本试卷共XX页，三个大题，满分113分，考试时间为120分钟。
请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、单选题（共48分）评卷人得分1．在，，0，这四个数中，为无理数的是( )(4分)A.B.C.D.2．下列计算正确的是( )(4分)A.B.C.D.3．2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮——“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为( )(4分)A. 吨B. 吨C. 吨D. 吨4．要使二次根式有意义，则的取值范围是( )(4分)A.B.C.D.5．如图所示的几何体的俯视图为( )(4分)A.B.C.D.6．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为( ) (4分)A.B.C.D.7．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置()，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为( )(4分)A.B.C.D.8．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )(4分)A. 2B. 3C. 5D. 79．如图，在中，，，以的中点为圆心分别与，相切于，两点，则的长为( )(4分)A.B.C.D.10．抛物线(是常数)的顶点在( )(4分)A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11．如图，四边形是边长为6的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为( )(4分)A. 3B.C.D. 412．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是( )(4分)A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共25分）评卷人得分13．实数的立方根是.(5分)14．分式方程的解是.(5分)15．如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有个黑色棋子.(5分)16．已知的三个顶点为，，，将向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为(5分)17．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为.(5分)三、解答题（共40分）评卷人得分18．先化简，再求值：，其中.(8分)19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点.点在轴负半轴上，，的面积为12.(1)求的值；(2)根据图象，当时，写出的取值范围.(8分)20．2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？(8分)21．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接，，，.求证：四边形为平行四边形；若矩形是边长为1的正方形，且，，求的长.(8分)22．如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点在抛物线上，直线与轴交于点.(1)求的值及直线的函数表达式；(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点.①求证：；②设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示).(8分)******答案及解析******一、单选题（共48分）1．答案：A解析：在，，0，这四个数中，是无理数2．答案：C3．答案：B解析：45万吨=450000吨=4.5×105吨.4．答案：D5．答案：D6．答案：C7．答案：D8．答案：C9．答案：B10．答案：A11．答案：C12．答案：A二、填空题（共25分）13．答案：-214．答案：x=115．答案：1916．答案：m=4或m=0.517．答案：-1三、解答题（共40分）18．答案：519．答案：(1)-12；(2)x<-2或0 <x<2.< p=""></x<2.<>20．答案：(1)甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元；(2)221．答案：(1)略；(2)222．答案：(1)c=-3; 直线AC的表达式为：y=x+3；(2)①证明略；②。
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)及答案
浙浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.一粒芝麻约有0.000002千克，0.000002用科学记数学法表示为（）千克．A．2×10﹣4B．0.2×10﹣5C．2×10﹣7D．2×10﹣62.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C． D．3.下列计算正确的是（）A．（a4）3=a7B．3﹣2=﹣32C．（2ab）3=6a3b3D．﹣a5•a5=﹣a104.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（）A． B．C．D．5.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）6.下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等; ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行;③长度相等的弧是等弧; ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个7.在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样，方差分别为：S甲2=8.5，S乙2=21.7，S丙2=15，S丁2=17.2，则四个班体考成绩最稳定的是（）A．甲班B．乙班C．丙班D．丁班8.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．59.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长10.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：其中正确的个数是( )．A．1个B．2个C．3个D．4个11.在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，…，z依次对应1、2、3，…，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，将明码“bird”译成密码是（）A．bird B．nove C．sdri D．nevo12.已知函数y=，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.﹣1的相反数是__________，倒数是__________．14.若x＜2，化简+|3﹣x|的正确结果是．15.某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 人．16.已知在平面直角坐标系中，点A （﹣3，﹣1）、B （﹣2，﹣4）、C （﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC 缩小，位似比为1：2，则点B 的对应点的坐标为 ． 17.如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A ．D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积__________________18.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处．若△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17，则FC 的长为__________．三 、解答题（本大题共8小题，共78分） 19.计算：60sin 32)2(201593⨯+-++20.先化简22522()443x x x x x x +++⨯+++，然后选择一个你喜欢的数代入求值.21.某人的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．（1）求取出纸币的总额是30元的概率；（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．22.小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）23.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．24.观察下表：我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．25.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DA B．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A．N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析一、选择题1．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 002=2×10﹣6；故选：D．2．分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．3. 分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可得（a4）3=a12；根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）可得3﹣2=；根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得（2ab）3=8a3b3，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得﹣a5•a5=﹣a10．解答：解：A．（a4）3=a12，故原题计算错误；B、3﹣2=，故原题计算错误；C、（2ab）3=8a3b3，故原题计算错误；D、﹣a5•a5=﹣a10，故原题计算正确；故选：D．4. 分析:首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，即k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，故选B．5. 分析:设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据题意可得到x、y之间的关系式，可得出答案．解：设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2（x+y）=10，∴x+y=5，即y=﹣x+5，故选C．6. 分析:根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．故选A．7. 分析:直接根据方差的意义求解．解：∵S＞S＞S＞S，∴四个班体考成绩最稳定的是甲班．故选A．8. 分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．9. 分析：分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．10. 分析: ①由图可知，购买10千克种子需要50元，由此求出一次购买种子数量不超过10千克时的销售价格；②由图可知，超过10千克以后，超过的那部分种子的单价降低，而由购买50千克比购买10千克种子多付100元，求出超过10千克以后，超过的那部分种子的单价，再计算出一次购买30千克种子时的付款金额；③根据一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以可以求出打的折数；④先求出一次购买40千克种子的付款金额为125元，再求出分两次购买且每次购买20千克种子的付款金额为150元，然后用150减去125，即可求出一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花的钱数．解：①由图可知，一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为：50÷10=5元/千克，正确；②由图可知，超过10千克的那部分种子的价格为：（150-50）÷（50-10）=2.5元/千克，所以，一次购买30千克种子时，付款金额为：50+2.5×（30-10）=100元，正确；③由于一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以打五折，正确；④由于一次购买40千克种子需要：50+2.5×（40-10）=125元，分两次购买且每次购买20千克种子需要：2×[50+2.5×（20-10）]=150元，而150-125=25元，所以一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱，正确．故选D．11. 分析:根据明码与密码的对应关系，分别求出bird四个字母所对应的密码字母，即可得解．解：b对应2，y=+13=14，对应的密码是n，i对应9，y==5，对应的密码是e，r对应18，y=+13=22，对应的密码是v，d对应4，y=+13=15，对应的密码是o，所以，明码“bird”译成密码是nevo．故选D．12. 分析：y=x2+1在x≥﹣1时的性质和y=在x＜﹣1时的性质，选出正确选项即可．解：y=x2+1，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），当x≥﹣1时，B、C、D正确；y=，图象在第一、三象限，当x＜﹣1时，C正确．故选：C．二、填空题13. 分析：根据相反数与倒数的概念解答即可．解：∵﹣1的相反数是1，∵﹣1=﹣，∴﹣1倒数是﹣．故答案为：1，﹣．14. 分析:先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简．解：∵x＜2，∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；∴+|3﹣x|=﹣（x﹣2）+（3﹣x）=﹣x+2+3﹣x=5﹣2x．15.分析：先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案．解答：解：根据题意得：1200×=240（人），答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有240人；故答案为：240．16. 分析:根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．解：∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．17. 分析:过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）即可得出结论．解：如图所示，过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为1，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF=﹣×1×=﹣，∴S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）=2（﹣+）=2（﹣+）=﹣．故答案为：﹣．18. 分析:根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB +BC =11，此为解题的关键性结论；运用△FCB 的周长为17，求出FC 的长，即可解决问题． 解：如图，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD =BC ，AB =DC ； 由题意得：AE =FE ，AB =BF ；∵△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17， ∴DE +DF +EF =5，CF +BC +BF =17， ∴（DE +EA ）+（DF +CF ）+BC +AB =22， 即2（AB +BC ）=22，∴AB +BC =11，即BF +BC =11； ∴FC =17﹣11=6， 故答案为6．三 、解答题19. 分析：根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答 解：原式=3+1﹣8+2×=﹣1． 20.解：原式2522[]2(3)(2)x x x x x x ++=+⨯+++225222(3)(3)(2)x x x x x x x x x +++=⨯+⨯++++2(2)5(3)(2)(3)(2)x x x x x x x x ++=+++++ 3(3)(3)(2)x x x x +=++3(2)x x =+ 当1x =时，原式311(12)==⨯+(x 不能取0，，21.解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即（10，20）、（10、50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷
一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）
1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．
C．D．
2．（4分）如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）
A．2πB．4πC．2D．4
3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）
A．4B．5C．6D．8
4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）
A．15B．20C．25D．30
5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC＝6，且∠ADB＝45°，∠C＝30°，则AB＝（）A．B．2C．3D．6
二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）
6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|＝5的x的取值范围是．
7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，
则m的最小值为．
8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且＝m，＝n，则+＝．
9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个．
10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．
11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．
三、简答题（共4小题，满分50分）
12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．
请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：
班级内环中环外环
（1）班
（2）班
（3）班
13．（12分）设二次函数y＝ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．
（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y＝0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．
14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．
求证：
（1）AB＝AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N （如图1）．
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN＝m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．。