高中数学联赛内容简介
全国高中数学联赛 (3)
全国高中数学联赛介绍全国高中数学联赛是中国举办的一项面向高中学生的数学竞赛活动。
该比赛旨在提高学生的数学能力和创造力，激发对数学的兴趣，培养数学人才。
全国高中数学联赛每年举行一次，吸引了全国范围内众多学校和学生的参与。
赛制全国高中数学联赛分为初赛和决赛两个阶段。
初赛通常采取笔试形式，由学生在规定时间内完成试卷答题。
试卷的题目包括选择题、填空题和解答题，涵盖了高中数学的各个知识点。
决赛则是通过选拔初赛中表现出色的学生进入，采用更加综合性和创新性的题目。
决赛阶段通常会有更多的解答题和应用题，需要学生结合数学知识进行推理和分析，展现他们的数学思维能力。
比赛内容全国高中数学联赛的题目难度较高，涉及范围广泛。
题目内容包括但不限于代数、几何、概率与统计等数学领域的知识。
这些题目旨在考查学生的数学推理能力、问题解决能力以及逻辑思维能力。
比赛内容的设计注重培养学生的数学思维，培养他们的创新能力和团队合作精神。
题目中常常设置了一些拓展性的挑战，鼓励学生进行推理和探索，提高他们的创造力和发散性思维。
比赛意义全国高中数学联赛对学生的数学素养和学术能力培养起到了积极的推动作用。
通过参与比赛，学生能够接触到更高层次的数学知识，锻炼自己的数学思维和解决问题的能力。
同时，比赛还促进了学生之间的交流与合作，增强了他们的团队意识和合作精神。
此外，全国高中数学联赛也为学校和教师提供了一个展示和交流教学成果的平台，能够吸引更多的师生参与到数学教育中来。
学生在比赛中的优秀表现也将成为他们未来学术发展和升学申请的重要参考。
总结全国高中数学联赛是一项重要的数学竞赛活动，对学生的数学发展和学术能力提升具有重要意义。
通过参与比赛，学生能够不断挑战自我，提高自己的数学能力和解决问题的能力。
同时，比赛也能够促进学生之间的交流与合作，培养他们的团队意识和合作精神。
全国高中数学联赛不仅是学生展示自我才能的舞台，也是学校和教师展示教学成果的平台。
相信通过这样的竞赛活动，能够培养更多对数学感兴趣并在这个领域有所成就的学生。
全国高中数学联赛一试范围
全国高中数学联赛一试范围全国高中数学联赛一试范围全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
全国高中数学联赛二试范围1．平面几何基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法*。
平面凸集、凸包及应用。
2．代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合。
简单的组合恒等式。
一元n次方程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，孙子定理*，格点及其质。
3．立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4．平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2022年全国高中数学联赛
2022年全国高中数学联赛
2022年全国高中数学联赛，是一次展示中国高中学生数学能力的重要活动。
此次活动将以参赛者们在基础知识和应用能力上的勤奋努力展开，以自身实力包括数学思维能力、解决问题的能力与学习方法等等为比赛的重点。
活动的重点是为了鼓励年轻学生在数学学习上不断努力，提高自己的数学水平，从而获得更好的成绩。
因此，在活动举行之前，就要有一段较长的复习过程，要求参赛者们在相应的数学复习与测试中取得最好的记录，从而在集体竞赛中收获最佳成绩。
本次活动的分组，将依据参赛者的所属校区和考取的成绩进行分类。
在不同的水平竞赛分组中，参赛者将由学校校长、部门主管组成的评定团，按照客观的规则公正评出，从中产生排名结果。
本次活动旨在让学生们锻炼自己的数学思维能力和学习能力，以提高他们的学习水平。
在活动过程中，不仅会有经验丰富的老师们给参赛者们答疑解惑，也会邀请来自知名大学教授，为参赛者提供专业技术指导。
此外，在活动期间，参赛者们还会组团外出，参观当地著名数学博物馆、科学实验馆，观看数学主题的活动节目，以提高自身的数学素养，让参赛者们在活动的过程中受到全面的数学知识提升。
2022年全国高中数学联赛是一次有意义的比赛，也是让世界看到中国数学水平的重要窗口。
相信，在这场比赛中，我们会见证中国高中学生水平的再次飞跃。
高中数学竞赛 (2)
高中数学竞赛概述高中数学竞赛是一项旨在促进学生对数学兴趣和能力培养的竞赛活动。
通过参与数学竞赛，学生不仅可以巩固和拓展自己的数学知识，还可以培养解决问题的能力、团队合作精神和应试能力。
数学竞赛分为个人赛和团体赛，参赛者需要在规定的时间内完成一系列数学题目的解答。
个人赛个人赛是高中数学竞赛中的一部分，参赛者独立完成一定数量的数学题目。
个人赛一般分为初赛和决赛两个阶段，初赛是选拔赛，决赛则是最终决出名次的比赛。
个人赛的题目涵盖了高中数学各个知识点，包括代数、几何、概率与统计等。
参赛者需要熟练掌握各类数学方法和技巧，合理运用解题思路，高效解决问题。
个人赛的题目形式多样，有选择题、填空题和解答题等。
选择题主要考查考生的计算能力和判断能力，填空题则要求考生掌握数学公式和运算过程。
解答题是个人赛的重要环节，考察考生的解题思路、证明能力和创新思维。
解答题一般采用开放性问题，要求考生运用数学知识对问题进行推理、分析和解决。
团体赛团体赛是高中数学竞赛中另一部分重要内容，参赛者以团队形式完成一系列数学题目的解答。
团体赛旨在培养学生的团队协作意识和解决问题的能力。
团体赛的题目相对个人赛更加复杂，题目的难度和数量都要求参赛团队具备更高水平的数学素质。
团体赛以小组为单位，小组成员之间要密切配合，共同解决问题。
团体赛题目要求考生综合运用数学知识和技巧，进行逻辑推理和演绎，运用数学方法分析和解决实际问题。
在团队合作中，参赛者需要充分发挥各自的才华和优势，共同为小组的成绩贡献自己的力量。
参加高中数学竞赛的好处参加高中数学竞赛对学生的好处是多方面的。
首先，数学竞赛可以提高学生的数学素养和计算能力。
通过解答各类竞赛题目，学生可以巩固和拓展自己的数学知识，提高解题思维能力和驾驭复杂问题的能力。
其次，高中数学竞赛能培养学生的团队合作意识和沟通能力。
在团队赛中，学生需要与队友共同解决问题，相互配合和交流。
这不仅提高了学生的团队精神，还培养了学生的沟通和协作能力。
全国高中数学竞赛的内容与方法
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考.
二．竞赛数学的内容与方法
数学竞赛的开展导致了竞赛数学的产生，竞赛开始的那些年头，其内容主要是中学 数学教材中的代数方程、平面几何、三角函数等，经过 40 余年的发展，已形成一个源 于中学又高于中学数学的新层面，其思想方法日渐与现代数学潮流合拍.通过对《竞赛 大纲》研究和对 1-46 届高中数学的 IMO 试题与 CMO 试题统计研究可以看出，竞赛数学 正相对稳定在几个重点内容上，总体来说，可以归纳为四大支柱、三大热点. 四大支柱：代数、几何、初等数论、组合初步（俗称代数题、几何题、算术题和智 力题） ；三大热点：组合几何、组合数论、集合分拆.我国的冬令营、CMO 等试题与国际 发展是完全一致的，高中竞赛试题的内容也以中学数学教材为依托逐渐与国际潮流接 轨. 1. 代数 代数是中学数学的主体内容，其在竞赛中占据重要地位是理所当然的，已广泛涉及恒等 变形、方程、函数、多项式、不等式、数列、复数、函数与方程、矩阵等方方面面，近些年 来，试题的主要特点是： （1）出现集中的趋势 从最近几年的高中联赛（二试） ，特别是对 IMO 及 CMO 的研究可以看出，近十几年以来， 难度较小的问题（如恒等变形、单一的解方程等）消失了，明显超出中学范围的问题（如矩 阵等）也消失了，代数问题正在向不等式、数列、函数与方程上集中.这表明，高中数学竞 赛（二试）的命题趋向是，既在努力避开有求解程工的内容、提高试题难度，又在尽力地避 免超出中学生知识范围，而在思维的灵活性、创造性上做文章. （2）运算与论证的综合 中学代数偏重于运算，并且常常有程序化、机械化的优势（运算是机械化的推理） .作 为高层次的竞赛，停留在运算熟练和准确上是不够的，因而 IMO、CMO 及高中数学联赛的代 数题常以抽象论证题的面目出现，并且时间也允许进行大数字、多字母、多环节的硬运算. 一方面精确的运算为推理提供论据，另一方面，论证推理又提出演算需要，两者相辅相成. 从理解题意开始，到运算结构的分析、运算阶段的连接，乃至整个解题程序的调控，都有运 算与论证的交互推进.这构成了 IMO、CMO 及高中联赛（二试）代数题的一个发展趋势，也体 现着代数思维的一般性和从过程到对象（凝聚）等特征.
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学联赛
高中数学联赛
高中数学联赛，是全国规模最大、级别最高、影响最广
的数学竞赛之一。
随着中国经济的快速发展和国民素质的提高，数学竞赛也得到了越来越多的关注和支持。
作为一场高水平的数学比赛，高中数学联赛的考题难度高，内容丰富，旨在考察参赛者在数学方面的创新能力和解决问题的能力。
高中数学联赛分为初赛和决赛两个阶段。
初赛通常在各
个省市的高中校园内举行，由当地教育主管部门统一组织。
初赛考点遍布全国，算是一场考察全国中学生数学水平和创新能力的大会。
而决赛则是在全国范围内进行的，参赛者需经过初赛的选拔后方可晋级。
在高中数学联赛中，参赛者需解答一系列数学难题，以
运用所学知识，将掌握的理论转化为实际的应用。
其中，数学竞赛最具特色的一项就是数学建模。
数学建模是一项将现实生活中的问题转换为数学语言，再使用数学方法进行研究和求解的活动。
数学建模作为一项实践性极强的数学活动，在高中数学联赛中占据着重要的地位。
高中数学联赛不仅考察参赛者的数学水平和创新能力，
也是检验中学生思维能力、逻辑推理能力、团队合作精神和实践能力的一项重要活动。
而且，高中数学联赛为参赛者创造了一个交流平台，使得来自各个省市的中学生可以互相学习、交流，增进彼此之间的了解和友谊。
总的来说，参加高中数学联赛，可以帮助中学生增强数
学应用能力和创新能力，培养实践性思维和团队协作精神，同时也能为将来的数学学习和职业发展打下坚实的基础。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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一、考试范围一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质。
塞瓦定理及其逆定理。
角元塞瓦定理和逆定理二、高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。
全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：1．平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、费马点、欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴：面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2．代数周期函数，带绝对值的函数；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。
3．初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。
4．组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；组合计数，组合几何；抽屉原理；容斥原理；极端原理；图论问题；集合的划分；覆盖；平面凸集、凸包及应用*。
(有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
)常用定理1、费马点（I）基本概念定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（II）证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B 为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA= AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
费马点（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
（III）费马点性质：费马点（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合二、梅涅劳斯定理和塞瓦定理 1、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1=⋅⋅OADO CD BC FB AF 证明：做平行线即可，过程略2、角元形式：（1）第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E ，F ，D 三点共线，则(sin ∠ACF/sin ∠FCB)(sin ∠BAD/sin ∠DAC)(sin ∠CBA/sin ∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实用（2）第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O ，且EDF 共线，则（sin ∠AOF/sin ∠FOB)(sin ∠BOD/sin ∠D OC)(sin ∠COA/sin ∠AOE)=1。
(O 不与点A 、B 、C 重合)三、塞瓦定理塞瓦定理在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC 被直线BOE 所截，∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理推论1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(C E/AE)*(GA/DG)=1因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/F B)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面积公式易证3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
四、西姆松定理西姆松定理图示西姆松定理是一个几何定理。
表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
西姆松定理说明相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。
西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠FDP+∠PDE=180°④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四点共圆。