高中数学解题思想之分类讨论思想

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高中数学分类讨论思想方法

高中数学分类讨论思想方法高中数学分类讨论思想方法是高中数学教学中一种重要的解题思路和方法。

它通过从不同的角度和不同的方法分析问题，使得解决问题更加全面和灵活。

分类讨论思想方法在高中数学中应用广泛，涉及到许多数学概念和技巧。

下面我将结合具体的例子，对高中数学分类讨论思想方法进行详细的介绍。

首先，分类讨论思想方法的基本思路是将问题分成若干个子问题，每个子问题用不同的方法进行求解或分析。

这样做可以把原本比较复杂的问题转化为几个较简单的子问题，从而更好地理解和解决。

例如，考虑一个常见的二次方程问题：求解方程$x^2-5x+6=0$。

首先，我们可以分类讨论这个方程的根的情况。

根据二次方程的求根公式，方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=x_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5}{2}$。

2. 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=2$ 和$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3$。

3. 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta<0$，所以方程没有实根。

浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用

浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文主要从分类讨论思想在高中数学解题中的应用展开讨论。

首先介绍了分类讨论思想的基本概念，然后详细阐述了其在高中数学解题中的具体应用方法，并通过案例分析进行了说明。

接着探讨了分类讨论思想的优势和局限性。

最后总结了分类讨论思想在高中数学解题中的重要性，并展望了未来研究方向。

通过本文的分析，可以更好地理解分类讨论思想在高中数学解题中的应用，为提高解题效率提供参考。

【关键词】高中数学、分类讨论思想、解题、应用、案例分析、优势、局限性、重要性、未来研究方向。

1. 引言1.1 研究背景在数学解题中，分类讨论思想可以帮助学生将问题分解成更小的子问题，从而更容易解决复杂问题。

通过对问题进行分类讨论，学生可以更清晰地理清问题的关键点，找到解题的思路和方法。

分类讨论思想在高中数学解题中具有重要的意义和作用。

在这样的背景下，对分类讨论思想在高中数学解题中的应用进行深入研究，对于提高学生的数学学习兴趣和能力具有积极的促进作用。

1.2 研究意义分类讨论思想在高中数学解题中的应用具有重要的研究意义。

这种思想能够帮助学生建立起科学的解题思维方式，培养其逻辑思维和分类能力，提高解题效率和准确性。

在数学教学中，分类讨论思想可以帮助学生更深入地理解数学知识，将抽象概念具体化，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习动力。

分类讨论思想还可以帮助学生培养解决问题的能力和分析问题的能力，对于学生的综合素质提升具有积极的促进作用。

通过应用分类讨论思想解决数学问题，学生可以在实践中不断提高自己的思维能力和解决问题的能力，为将来的学习和工作打下良好的基础。

2. 正文2.1 分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是一种解决数学问题的方法，通过将问题中各种可能的情况进行分类，然后分别讨论每种情况的解决方法，最终将各种情况的解决方法综合起来得到问题的最终解决方案。

分类讨论思想的基本概念包括以下几个方面：1. 分类：首先要将问题中的各种可能情况进行分类，将问题拆分成若干个子问题，每个子问题都是某一种情况下的特殊情况。

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养1. 引言1.1 引言在高中数学解题教学中，分类讨论思想的培养是非常重要的。

通过分类讨论思想，学生可以更加系统和全面地分析问题，找到解题的关键点，从而提高解题的效率和准确性。

分类讨论思想不仅在数学学科中有着重要的意义，而且也是一种重要的思维方式，可以帮助学生在面对复杂问题时更好地进行分析和解决。

本文将从分类讨论思想的重要性、分类讨论思想的培养方法、实例分析、提高高中数学解题能力的建议以及培养学生分类讨论思想的意义等方面进行探讨。

通过对这些内容的深入研究和分析，希望能够为高中数学教学提供一些新的思路和方法，帮助学生更好地掌握分类讨论思想，提高数学解题能力，培养扎实的数学思维能力。

接下来，我们将详细讨论分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性，以及如何有效地培养学生的分类讨论思想。

让我们一起探究这一重要而有趣的话题！2. 正文2.1 分类讨论思想的重要性分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性不言而喻。

分类讨论思想能够帮助学生在解决数学问题时有条不紊地进行思考和分析，避免盲目性的试错，提高解题效率。

分类讨论思想可以帮助学生培养逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学素养，对于学生日后的学业和职业发展都具有积极的意义。

分类讨论思想还可以激发学生对数学的兴趣，让他们更加深入地理解数学知识，从而提高学习的主动性和参与度。

在教学实践中，老师可以通过设计各种不同类型的数学问题，引导学生运用分类讨论思想进行解题，不断提升他们的分析和推理能力。

老师还可以组织学生参加数学竞赛和数学建模等活动，让他们有机会运用分类讨论思想解决实际问题，从而加深对这一思维方法的理解和应用。

分类讨论思想在高中数学解题教学中不仅具有重要的作用，而且对学生的综合素质提升和未来发展都有着积极的影响。

教师应当重视和加强对分类讨论思想的培养，帮助学生掌握这一重要的解题方法，为他们的学习和未来打下坚实的基础。

2.2 分类讨论思想的培养方法1. 引导学生理清问题关键点：在解题过程中，学生需要理清问题的关键点，将问题分解为更小的部分，从而有助于更好地理解问题和寻找解决方法。

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述
高中数学解题教学中的分类讨论思想培养是指通过培养学生分类讨论问题的能力，引
导学生将问题分解成若干子问题，并对不同情况进行分析和讨论，以寻找问题的解决方法。

这种思维方式不仅能够培养学生的逻辑思维能力，还能够提升学生的问题解决能力和创新
意识。

在进行分类讨论思想培养时，我们可以采取以下几个步骤：
明确问题的要求和解题思路。

在解题前，我们需要明确问题的要求，并通过对问题的
分析和思考来确定解题思路。

这样可以帮助学生在进行分类讨论时能够有一个明确的目标
和方向。

将问题进行分类。

将问题进行分类是培养分类讨论思想的关键步骤。

我们可以通过对
问题进行分解和归纳，找出问题中可能存在的不同情况和条件。

将问题分解成若干子问题，并对每个子问题进行分类讨论，可以帮助学生更好地理解问题的本质和难点。

总结归纳，找出解题的一般方法。

在完成每个子问题的分析和讨论后，我们可以对每
个子问题的解题方法进行总结和归纳，找出解题的一般方法。

通过总结和归纳，可以帮助
学生掌握问题解决的思路和方法，提升解题的效率和准确性。

需要注意的是，培养分类讨论思想需要在实际解题过程中进行，而不是简单地进行理
论讲解或例题演练。

在解题教学中，我们可以选择一些典型的问题进行分类讨论，让学生
亲自参与通过实践和探索来培养分类讨论思想。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。

本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。

分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。

它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。

本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。

二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。

使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。

三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。

2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。

3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。

四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。

1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。

例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。

解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究

分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究分类讨论思想是一种在高中数学解题中十分常见的思维方式，它能够帮助学生更加系统、全面、深入地分析问题，从而得出更加准确、严谨的解答。

一、分类讨论思想的概念及特点分类讨论指的是将问题分成若干个独立的情况，并对每种情况进行分析，最终得出全面、深入的结论的思维方式。

分类讨论思想的特点是：有目的性、有系统性、有针对性、有全面性、有严谨性。

此外，分类讨论还要注意分类的互斥性和完备性。

1. 函数解析式的确定。

对于一些比较复杂的函数，可以采用分类讨论的思想来确定它的解析式。

例如，已知函数f(x)如下：$$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geqslant 0\\2x+1,&x<0\\\end{cases}$$我们可以发现，这个函数在x=0处存在“分界点”，如果使用同一种方法求解，就会产生问题。

因此，我们可以采用分类讨论的思想，将问题分为x≥0和x<0两种情况，对每种情况分别求解。

2. 组合数学问题。

组合数学中很多问题也可以使用分类讨论的思想进行求解。

例如，假设有n个格子要涂黑，但是其中的一些格子不能被涂黑。

我们可以考虑将格子分成两类：可以涂黑和不能涂黑的。

然后，对于可以涂黑的格子，我们可以使用组合数学的知识求解涂黑的方法数；对于不能涂黑的格子，我们可以先对它们进行计数，再将它们从总数中减去，得出最终的结果。

3. 几何问题。

几何问题中也常常需要使用分类讨论的思想。

例如，对于一个梯形，如果我们要计算它的面积，需要先确定底边长和高，这就需要对梯形进行分类讨论。

具体来说，我们可以将梯形分成上底和下底相等和上底和下底不相等两种情况，分别求解它们的面积，最终将两者相加即可得到梯形的面积。

三、分类讨论思想的教学策略针对分类讨论思想的教学，我们可以采用以下几种策略：1. 举例法。

在讲解分类讨论思想时，可以通过举一些对应的数学问题进行解析，让学生通过对具体问题的分析，加深对分类讨论思想的理解。

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述【摘要】高中数学解题教学中，培养分类讨论思想是非常重要的。

本文通过探讨分类讨论思想在高中数学解题中的重要性，介绍了培养分类讨论思想的方法，并通过案例分析展示了其实际运用。

文章还对比了分类讨论思想与其他解题方法的优势，指出了其独特的解题技巧。

通过本文的阐述，读者可以更好地理解分类讨论思想在高中数学解题中的作用，并掌握运用分类讨论思想解题的技巧。

在高中数学学习中，培养和运用分类讨论思想将有助于提高解题效率和解题质量，为学生的数学学习和应试能力提供有力支持。

【关键词】高中数学，解题教学，分类讨论思想，培养思路，重要性，方法，案例分析，对比，技巧，结论。

1. 引言1.1 引言在高中数学解题教学中，培养学生的分类讨论思想是非常重要的。

分类讨论思想是指将问题按照不同特征或条件进行分类，然后分别讨论每个类别，最终综合得出结论的思维方式。

这种思考方式不仅可以帮助学生更好地理清问题的逻辑结构，还可以培养他们的逻辑思维能力和解题能力。

在数学解题中，分类讨论思想常常被用于解决复杂问题或找到一般规律，是一种非常有效的解题方法。

通过培养学生的分类讨论思想，可以提高他们的问题解决能力和创新思维。

学生可以通过将问题进行分类、分析和讨论，找到问题的关键点，并采取相应的解题策略。

在实际教学中，教师可以通过引导学生分析问题的结构和特点，提出问题的不同分类方法，引导学生进行讨论和总结，逐步培养学生的分类讨论思维能力。

在高中数学解题教学中，重视培养学生的分类讨论思想是非常必要的。

通过合理的教学设计和引导，可以帮助学生养成分类讨论思想的习惯，从而提高他们的数学解题能力和思维水平。

2. 正文2.1 分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性在高中数学解题教学中，分类讨论思想是一种重要的解题方法，它可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力。

分类讨论思想可以帮助学生将复杂的问题分解成若干个简单的子问题，从而更容易解决整个问题。

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述一、培养学生的分类思维分类讨论思想是解决数学问题的一种常用方法。

要培养学生的分类讨论思想，首先要培养学生的分类思维能力。

分类思维是指将问题中的各种情况进行分类，然后分别讨论，最后综合各种情况的讨论结果，得出最终的结论。

培养分类思维的方法主要有以下几点：1. 引导学生重视问题中的条件和结论，明确分类的标准。

在课堂教学中，老师可以通过具体的案例，引导学生重视问题中的条件和结论，从而明确分类的标准。

在讲解坐标系中的对称性问题时，可以引导学生明确对称轴的位置和对称点的性质，进而分类讨论对称点的情况。

2. 引导学生掌握分类的方法和技巧。

在解决数学问题时，分类的方法和技巧至关重要。

老师可以通过举例和练习，引导学生掌握分类的方法和技巧。

老师可以利用案例，演示如何将问题中的情况进行分类，以及如何根据不同的分类讨论情况进行解决。

3. 提高学生对于分类的敏感度和灵活性。

在数学解题中，往往需要根据问题的情况，划分合理的分类，学生对于分类的敏感度和灵活性至关重要。

老师可以通过精心设计的问题，训练学生对于分类的敏感度和灵活性。

老师可以设计一些综合性的问题，要求学生根据问题的特点，合理地进行分类，提高学生对于分类的敏感度和灵活性。

分类讨论思想可以说包含了讨论思维。

讨论思维是指多角度、多层次地分析问题，找出其内在联系和规律的能力。

培养学生的讨论思维，有助于提高他们的数学解题能力。

培养学生的讨论思维，主要有以下几点：1. 引导学生独立思考问题，提高分析问题的能力。

在课堂教学中，老师可以通过布置一些启发式问题，引导学生独立思考问题，提高他们对于问题的分析能力。

在讲解函数的奇偶性问题时，可以引导学生独立思考奇偶函数的性质和特点，从而提高学生对于函数奇偶性的分析能力。

2. 引导学生善于从多种角度进行思考和分析问题。

在解决数学问题时，往往需要从多种角度进行思考和分析问题。

要培养学生的讨论思维，老师可以引导学生从多种角度进行思考和分析。

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分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝qB. p<qC. p>qD.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q3.函数y＝sin|sin|xx＋cos|cos|xx＋tgxtgx||＋||ctgxctgx的值域是_________。

4.若θ∈(0, π2)，则limn→∞cos sincos sinn nn nθθθ＋θ-的值为_____。

A. 1或－1B. 0或－1C. 0或1D. 0或1或－15.函数y＝x＋1x的值域是_____。

A. [2,+∞)B. (-∞,-2]∪[2,+∞)C. (-∞,+∞)D. [-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A. 893 B.493 C.293 D.493或8937.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x－2y＝0B. x＋y－5＝0C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0D.不能确定【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；2小题：对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C；3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；4小题：分θ＝π4、0<θ<π4、π4<θ<π2三种情况，选D；5小题：分x>0、x<0两种情况，选B；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C 。

Ⅱ、示范性题组：例1. 设0<x<1，a>0且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小。

【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a 有关，所以对底数a 分两类情况进行讨论。

【注】本题要求对对数函数y ＝log a x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。

去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。

例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C ∩A ≠φ 。

【分析】由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。

并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

【解】 C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C 中元素如何取法。

另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C 203－C 83＝1084。

例 3. 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n 项和。

①. 证明：lg lg S S n n ++22<lgS n +1； ②.是否存在常数c>0，使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg（S n +1－c ）成立？并证明结论。

(95年全国理)【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况。

【解】设{a n }的公比q ，则a 1>0，q>0①．当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n S n +2－S n +12＝na 1(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 12＝－a 12<0；当q ≠1时，S n ＝a q qn 111()--，从而S n S n +2－S n +12＝a q q q n n 1222111()()()---+－a q q n 1212211()()--+＝－a 12q n <0；由上可得S n S n +2<S n +12，所以lg(S n S n +2)<lg(S n +12)，即lg lg S S n n ++22<lgS n +1。

②. 要使lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立，则必有(S n －c)(S n +2－c)＝(S n +1－c)2,分两种情况讨论如下：当q ＝1时，S n ＝na 1，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝(na 1－c)[(n ＋2)a 1－c]－[(n ＋1)a 1－c]2＝－a 12<0当q ≠1时，S n ＝a q q n 111()--，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝[a q q n 111()--－c][ a q q n 1211()--+－c]－[a q qn 1111()--+－c]2＝－a 1q n [a 1－c(1－q)]∵ a 1q n≠0 ∴ a 1－c(1－q)＝0即c ＝a q11-而S n －c ＝S n －a q 11-＝－a q qn11-<0 ∴对数式无意义由上综述，不存在常数c>0, 使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立。

【注】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。

该题文科考生改问题为：证明log log ..050522S S n n ++>log 05.S n +1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。

例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。

例4. 设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，求实数a 的取值范围。

【分析】含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。

【解】当a>0时，f(x)＝a （x －1a ）2＋2－1a∴ 111220a f a ≤＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪或1141210<<->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a f aa ()＝或14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪ ∴ a ≥1或12<a<1或φ 即 a>12；当a<0时，f a f a ()()1220416820＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩，解得φ；当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意x1 4 x由上而得，实数a的取值范围是a>12。

【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。

本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。

例5. 解不等式()()x a x aa+-+4621>0 (a为常数，a≠－12)【分析】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－12<a<0、a<－12分别加以讨论。

【解】2a＋1>0时，a>－12；－4a<6a时，a>0 。

所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；当a＝0时，x2>0，解得：x≠0；当－12<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；当a>－12时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a 。