高中数学解题基本方法--参数法 大全

高中数学解题基本方法--参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

Ⅰ、再现性题组：

1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

2. （理）直线

x t

y t

=--

=+

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

22

32

上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。

（文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。

3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为

____________________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。

5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)

6. 椭圆x2

16

＋

y2

4

＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。

A. 3

B. 11

C. 10

D. 22

【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已

知曲线为椭圆，a＝1，c＝1

1

+

k

，所以e＝－

1

k

k k

2+；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则1

2

xy＝6、

1

2

yz＝4、

1

2

xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。

5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝|sin cos|

442

5

αα

+-

的最大值，选C。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a2＋b2＋c2的最小值。

【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝1

3

＋t

1

，

b＝1

3

＋t

2

，c＝

1

3

＋t

3

，代入a2＋b2＋c2可求。

【解】由a＋b＋c＝1，设a＝

1

3

＋t

1

，b＝

1

3

＋t

2

，c＝

1

3

＋t

3

，其中t

1

＋t

2

＋t

3

＝0，∴ a2＋b2＋c2＝（

1

3

＋t

1

）2＋（

1

3

＋t

2

）2＋(

1

3

＋t

3

)2＝

1

3

＋

2

3

(t

1

＋t

2

＋t

3

)

＋t

12＋t

2

2＋t

3

2＝

1

3

＋t

1

2＋t

2

2＋t

3

2≥

1

3

所以a2＋b2＋c2的最小值是1

3

。

【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。

本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a2＋b2＋c2＝

(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥1

3

。

两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。

例2. 椭圆x2

16

＋

y2

4

＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k

OP

·k

OQ

＝－

1

4

，

①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

【分析】由“换元法”引入新的参数，即设

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

4

2

cos

sin

θ

θ

（椭圆参数方程），参数θ

1

、

θ

2为P、Q两点，先计算k

OP

·k

OQ

得出一个结论，再计算|OP|2＋|OQ|2，并运用“参数

法”求中点M的坐标，消参而得。

【解】由x2

16

＋

y2

4

＝1，设

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

4

2

c o s

s i n

θ

θ

，P(4cosθ

1

,2sinθ

1

)，Q(4cosθ

2

,2sinθ

2

),

则k

OP ·k

OQ

＝

2

4

1

1

sin

cos

θ

θ

∙

2

4

2

2

sin

cos

θ

θ＝－

1

4

，整理得到：

cosθ

1 cosθ

2

＋sinθ

1

sinθ

2

＝0,即cos（θ

1

－θ

2

）＝0。