高中数学解题基本方法 换元法
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中一种重要的解题方法，在解决各类函数的求导、定积分以及一些简单的微分方程中都有广泛的应用。
它是一种通过合理的变量替换来简化问题、降低难度的数学技巧，能够极大地提高解题的效率，因此在高中数学的学习中至关重要。
一、换元法的概念与基本思想换元法是一种将复杂的算术计算问题转化为简单的计算问题的数学方法，它通过构造适当的变量替换来简化原问题。
换元的基本思想是通过替换自变量，使问题的解能够进行简化或者直接得到。
对于一个给定的函数，我们可以对其进行合适的变换，从而使函数的形式更加简单。
这种变换可以通过引入一个新的变量来实现，这个新的变量通常被称为“中间变量”或者“代换变量”。
通过代入变量替换原函数，我们可以得到一个形式更加简单的函数。
换元法的核心是将问题转化为新的问题求解，通过合适的代换使问题变得更简单。
二、换元法的主要应用换元法在高中数学中的应用很广泛，主要包括以下几个方面：1.函数的求导换元法在函数求导的计算中有重要的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过引入合适的变量替换来简化计算过程。
对于含有根号的函数，可以通过引入一个新的变量来简化计算。
具体而言，如果要计算函数y=f(x)的导数，我们可以令y=g(u)，其中u是一个函数，然后通过计算导数du/dx和函数关系g(u)得到dy/dx。
这样，我们可以通过导数的链式法则将原函数的导数表示为新变量的导数和链式法则的乘积。
2.定积分3.微分方程在求解一些简单的微分方程中，换元法也有重要的应用。
通过引入恰当的变量替换，我们可以将微分方程转化为更简单的形式，从而使求解过程更加容易。
具体而言，我们可以将微分方程中的变量替换为新变量，并根据新变量的定义和微分方程的关系来求解新变量。
通过求解新变量，我们可以得到原微分方程的解。
三、换元法的常用方法在使用换元法求解问题时，我们需要根据具体问题选择合适的代换方法。
常见的代换方法主要有以下几种：1.代换叠加法对于一些含有多项的复杂函数，我们可以通过分别代换每一项来简化计算。
高中数学解题方法及步骤_答题技巧
高中数学解题方法及步骤_答题技巧高中数学解题方法及步骤一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成完全平方)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为凑配法。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用【摘要】换元法是高中数学中常用的解题方法之一，本文通过分析换元法在代数、微积分和几何问题中的应用，探讨了其灵活运用对于解决复杂问题的重要性。
首先介绍了换元法的基本概念，然后讨论了其在不同领域中的具体应用，包括代数方程求解、微积分函数积分和几何图形变换等方面。
文章强调了掌握换元法对于提高数学解题能力的重要意义，指出通过灵活运用换元法可以更好地解决各种数学问题。
通过本文的学习，高中数学学生可以更好地掌握换元法这一重要的解题方法，提高数学解题能力，为今后的学习打下坚实的基础。
【关键词】换元法、高中数学、应用、基本概念、代数、微积分、几何、注意事项、灵活运用、提高数学解题能力、重要意义1. 引言1.1 换元法在高中数学解题中的应用在高中数学学习中，换元法是一个非常重要的解题方法，它可以帮助学生解决复杂的问题，提高数学解题能力。
换元法实际上是一种代数运算技巧，通过引入新的变量或者函数，将原问题转化为更易解决的形式。
在代数问题中，换元法常常用于简化方程、求解方程组，解决多项式的因式分解等问题。
在微积分问题中，换元法可以用来简化积分运算，求出复杂函数的原函数。
在几何问题中，换元法常常用于证明几何定理，求解几何问题。
在应用换元法时，需要注意选择合适的换元变量，使得问题更容易解决，避免引入不必要的复杂性。
掌握换元法对于高中数学学生来说是非常重要的，它可以帮助他们更好地理解数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力，解决问题的能力。
换元法的灵活运用可以让数学变得更加有趣和具有挑战性，对学生的数学学习和考试都有着积极的促进作用。
2. 正文2.1 一、换元法的基本概念换元法是高中数学中常见的解题方法之一，它主要是通过引入新的变量或函数来简化原问题的解答过程。
换元法的基本概念包括以下几点：换元法的核心思想是将原问题中复杂的部分用一个新的变量或函数替代，从而转化为一个更简单的形式。
这个新的变量或函数通常会与原问题中的变量之间存在某种特定的函数关系，通过这种关系可以将原问题转化为一个更容易求解的形式。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常见的一种解题方法，也是一种常用的积分方法。
它的原理是通过适当地变换自变量，将原方程或原式子简化成一个更易求解的形式。
换元法在高中数学中的应用非常广泛，下面就具体介绍一些常见的应用。
1. 函数的图像与变换：在研究函数的图像与变换时，我们常常需要用到换元法。
通过适当地变换自变量，可以将原函数的图像进行平移、伸缩等操作，进而得到新函数的图像。
对于函数y=sin(x)，我们可以通过变换自变量x来得到y=sin(2x)、y=sin(x-pi)等函数的图像。
这些变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
2. 三角函数的积分：在高中数学的积分中，三角函数的积分是一个常见的难点。
通过换元法，可以将复杂的三角函数积分化简成简单的积分。
对于积分∫sin^2(x)dx，我们可以通过换元u=sin(x)来将其化简成∫u^2du，进而求解。
还有一些特殊的换元方法，如倍角、半角等，可以帮助我们解决一些特殊的三角函数积分。
3. 微分方程的求解：微分方程是高中数学中的重要内容，而换元法是求解微分方程的重要方法之一。
通过合适的换元，我们可以将微分方程化为变量可分离的形式，从而更容易求解。
对于微分方程y'=(1+y)/(1-x)，我们可以通过换元u=1+y来将其化简成u'/(u-1)=dx/(1-x)，然后再进行变量分离，最后求得u和y的解。
5. 曲线的弧长与曲线积分：在研究曲线的弧长和曲线积分时，我们常常需要使用换元法。
通过适当地变换自变量，可以将曲线的参数表示转化为更简单的形式，从而更容易进行计算。
对于曲线y=x^2在x=0到x=1上的弧长，我们可以通过变换t=x^2来将其化简成∫√(1+2t) dt，进而求解。
同样，在曲线积分中，也可以利用换元法将积分变量转化为更简单的形式。
换元法是高中数学中常用的一种方法，它可以帮助我们将复杂的数学问题化简成简单的问题，从而更容易求解。
换元法(高中数学思想方法)
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
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最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。
例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。
解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。
又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。
由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。
二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。
特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。
解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。
当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。
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换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是高中数学中非常重要的一种解题方法。
它通常用于解决函数积分、微分等问题。
以下是换元法在高中数学解题中的应用：
1. 函数积分
换元法通常用于解决函数的积分问题。
对于某些函数，通过将自变量通过合适的变换转化为其他形式，可使函数变得更容易积分。
例如，对于函数$f(x)=\frac{1}{(1+x^2)^2}$，它是一个复合函数的形式。
我们可以通过将$x=\tan t$来换元，于是$f(x)$可写成$\frac{1}{2}\int\frac{\cos
t}{(\cos^2t+\sin^2t)^2}dt$的形式。
这个积分可以通过代换$\sin t=z$的方法求解。
2. 微分方程
换元法对于微分方程的解题也非常有用。
通过对自变量或因变量的变换，可以使微分方程的形式更加简单明了，方便求解。
例如，对于一个一阶常微分方程$y'+xy=x$，我们可以通过将
$x=ue^{-\frac{1}{2}x^2}$、$y=v(u)e^{\frac{1}{2}x^2}$的方法进行换元。
这样可以将方程转化为$v'+v=1$的形式，从而更容易求解。
三角函数的积分在高中数学中也经常出现，我们可以通过换元法使三角函数的形式更简单。
反三角函数积分中经常需要使用换元法来进行求解。
通过对自变量进行换元，可以将反三角函数积分转化为简单的有理函数积分。
总之，换元法是高中数学中非常重要的一种解题方法，它可以使原问题变得更加简单明了，方便求解。
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换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t 0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。
3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程＝3的解是_______________。
6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以值域为－∞,log4]；3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋ n－1 -1 ＝－n，所以a＝－；4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k ≥1或k≤－1；5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小题：设log 2－1 ＝y，则y y＋1 2，解得－2 y 1，所以x ∈ log,log3 。
Ⅱ、示范性题组：例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （①式），设S＝x ＋y，求＋的值。
（93年全国高中数学联赛题）【分析】由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得： 4S－5S??sinαcosα＝5解得 S＝；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴≤≤∴＋＝＋＝＝此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，则xy＝±代入①式得：4S±5 5，移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤∴＋＝＋＝＝【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,]，所以S＝ a－b ＋ a＋b ＝2 a ＋b ＝＋a∈[,]，再求＋的值。
例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。
（96年全国理）【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m ，所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。
【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：2coscos＝－[cos A+C ＋cos A-C ，即cos＝－cos A-C ＝－2cos－1 ，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝y, ,－ x例3. 设a 0，求f x ＝2a sinx＋cosx －sinx??cosx－2a的最大值和最小值。
【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由 sinx＋cosx ＝1＋2sinx??cosx得：sinx??cosx＝∴ f x ＝g t ＝－ t－2a ＋（a 0），t∈[-,]t＝-时，取最小值：－2a－2a－当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－；当0 2a≤时，t＝2a，取最大值：。
∴ f x 的最小值为－2a－2a－，最大值为。
【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx ＋cosx与sinx??cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为 f sinx±cosx，sinxcsox ，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式xlog＋2x log＋log 0恒成立，求a的取值范围。
（87年全国理）【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log ＝2log＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t 0，它对一切实数x 恒成立，所以：，解得∴ t 0即log 00 1，解得0 a 1。
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。
为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log、 log、log三项之间的联系。
在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。
另外，本题还要求对数运算十分熟练。
一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5. 已知＝，且＋＝②式，求的值。
【解】设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k x+y ＝1,代入②式得：＋＝＝即：＋＝设＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或∴＝±或±【另解】由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tg θ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t―10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±。
【注】第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。
第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。
两种解法要求代数变形比较熟练。
在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k 0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，即：代入不等式x＋y－k 0得：3cosθ＋4sinθ－k 0，即k 3cosθ＋4sinθ＝5sin θ+ψ所以k -5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。
一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
yxx＋y－k 0k 平面区域本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c 0 a 0 所表示的区域为直线ax＋by＋c ＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。
此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k 0的区域。
即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。
当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k -3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：已知f x ＝lgx x 0 ，则f 4 的值为_____。