5.6 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2)
人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。
通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。
只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。
教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。
当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。
但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。
如果牵强的引出来，不一定是好事。
其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。
探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。
只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。
要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。
结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。
初中二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案
初中二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教案1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t ＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2解析：抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－b2a＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－b2a＜0，∴选项B，C错．故选择D.方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．【类型四】抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x ＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C.方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．【类型五】二次函数的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)、B (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
0,
解得 b
3 4
,
c 3,
∴抛物线的解析式为y=- 3 x2+
8
3 x+3.
4
解法二:设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),把C(0,3)代入得-8a=3,即a=
知识点三 待定系数法求二次函数解析式
6.(2018黑龙江大庆龙凤期中)已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8, 其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达 式是 ( ) A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6 答案 D ∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同, 故设该二次函数的解析式为y=-2(x-h)2+k,∵当x=1时,y有最大值8,∴该二 次函数的顶点为(1,8),∴h=1,k=8,∴该二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+8, 即y=-2x2+4x+6.
图22-1-4-1
解析 二次函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象的顶点坐标为(1,-4),对称轴为 直线x=1, ∵a=1>0,∴函数有最小值-4.其图象如图.
知识点二 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系 4.(2017北京昌平期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图22-1-4-2所 示,则下列关系式不正确的是 ( )
题型二 利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质比较函数值的大小
例2 (2017河南商丘柘城模拟)已知二次函数y=-x2+2x+c的图象上三个 点的坐标分别为A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 ( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 解析 ∵y=-x2+2x+c, ∴函数y=-x2+2x+c的对称轴为直线x=1,开口向下, 当x<1时,y随x的增大而增大. ∵C(2,y3)关于x=1的对称点为(0,y3), 又∵0>-1>-2, ∴y3>y2>y1.
华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》优课件
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下Βιβλιοθήκη 增减性 最值在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当 xb时 ,最小4 值 ac为 b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
ax2b ax2ba22ba2a c减数的去绝平一对方次值项一系半
aaxx2b2aba2244aa4c4acab2b2.2化简整式:去理,后掉:两前中项三括合项号并化同为类平项方形
顶点坐标公式 yaxb24acb2. 2a 4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
（B）
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a- 1的最小值是2,则a的值是
()
A
A. 4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
y
各式中不成立的是( B )
A.b2-4ac>0
B.abc>0
C.a+b+c=0
yaxb24acb2. 2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点式
w一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方
22.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(2)
预预设难点：1.正确理解二次函数y=a（x+h）2的性质，抛物线y=a（x+h）2的与y=ax2的关系。
2.对抛物线平移的规律的理解。
☆预习导航☆
一、链接：
1、二次函数y=-5x2+3的的图象的开口向_____，顶点坐标_______，当x＝______时，有最______值，其最______值是________。
九年级（上）数学导学案
课题：22.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(2)
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
学习目标：
1．会作二次函数y=a（x+h）2的图象；
2．通过函数y＝a（x+h）2的图象理解其性质，掌握平移规律；
3.在探索中获得研究数学问题的方法。
学习重点：1.作函数y=a（x+h）2的图象，探索性质；
☆合作探究☆
理一理
（1）填表
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a (x+h)2
开口方向顶点Fra bibliotek对称轴最值
增减性
（对称轴左侧）
（2）二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_____，只是____不同．
☆归纳反思☆
二次函数y＝ax2与y＝a (x+h)2的图象有哪些异同点：开口方向______开口大小______对称轴______顶点坐标______，把二次函数y＝ax2图象向右平移h个单位的解析式______.
2、把抛物线y=-8x2-2向上平移4个单位的解析式为______，当x______时,y随x的增大而________，
衔接教材07 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(解析版)
2021-2022新高一初高中衔接辅导课程（解析版）衔接教材07 二次函数y＝2ax＋bx＋c的图象和性质知识点讲解1. 二次函数的三种表示方式一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x 2 … 18 8 2 0 2 8 18 …从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a)＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba -时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac ba a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；图2.2-2 x yO－1 y ＝2x 2 y ＝2(x ＋1)2 y ＝2(x ＋1)2＋1 y ＝x 2y ＝2x 2图2.2-1x O y当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．3. 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为y ＝2(x －1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)． （1）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y ＝2(x －3)2－2． （2）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是 (－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就y ＝2(x ＋1)2＋2． 2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．x y O x ＝－A 图2.2-3 x yO x ＝－ A 图2.2-4 x O y x ＝－1 A (－1,4) D (0,1) B C 图2.2－5 xyOx ＝－1 A (1,－1) A 1(－3,－1)图2.2－7经典例题解析例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)， ∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．例4 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)； 当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例5 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200． 设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600， ∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例6 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b)224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14． 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例7已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．例8求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为y ＝2(x －1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)． （1）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y ＝2(x －3)2－2． （2）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是 (－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y ＝2(x ＋1)2＋2．例9 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1． 解：（1）如图2．2－7，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状． 由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A 1(－3，1)，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝2(x ＋3)2－1，即y ＝2x 2＋12x ＋17． （2）如图2．2－8，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状． 由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B (1，3)，且开口向下，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝－2(x －1)2＋3，即y ＝－2x 2＋4x ＋1．实时训练① xyO－2aa 24图2.2－6xy O a－224a2②－2x yOaa 24③ xyOy ＝1A (1,－1)B (1，3)图2.2－8一、单选题1．由于卷面污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2y x bx c =++的图象经过(1,0)…，求证：这个二次函数的图象关于2x =对称．根据已知信息，题中二次函数图像不具有的性质是 A ．过点(3,0) B ．在x 轴上截线段长是2 C ．顶点(2,2)- D ．与y 轴交点是(0,3)【答案】C 【详解】已知二次函数2y x bx c =++的图象经过(1,0)，…， 这个二次函数的图象关于直线x =2对称则：函数图象过(3,0)或在x 轴上截线段长为2与y 轴交点可能是(0,3) 顶点的纵标不确定，C 不一定对. 故选C.2．已知二次函数2y x bx c =++的图象经过()1,0，()2,5两点，则二次函数的解析式为（ ） A ．223y x x =+- B ．223y x x =-- C ．223y x x =++ D ．226y x x =-+ 【答案】A 【分析】将点()1,0，()2,5代入二次函数的解析式中，可求出函数的表达式． 【详解】解：（1）把点()1,0，()2,5代入2y x bx c =++，得10425b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩，所以这个二次函数的解析式为：223y x x =+-， 故选：A.本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，是基础题．3．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数2y x bx c =++的图像经过(1,0)，，求证：这个二次函数的图像关于直线2x =对称”，根据已知消息，题中二次函数图像不具有的性质是（ ）． A ．在x 轴上的截线段长是2 B ．与y 轴交于点(0,3) C ．顶点(2,2)- D ．过点(3,0)【答案】C 【解析】 【分析】因为要证二次函数关于x=2对称，所以由过（1，0）和对称轴x=2,可求得函数的解析式为243y x x =-+，可逐个分析各个选项。