高中数学专题之分类讨论问题总结
高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识讲解及考点梳理
a
1 1
x 1
∵ a 0 ，∴ a ，∴不等式解为 a 或 x 1，
(x 1)(x 1) 0
②若 a 0 ，则原不等式化为
a，
1 1 （ⅰ）当 a 1时， a ，不等式解为 x ，
1 1
1 x 1
（ⅱ）当 a 1时， a ，不等式解为 a
；
1 1
1 x 1
（ⅲ）当 0 a 1时， a ，不等式解为
高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识 讲解及考点梳理
【高考展望】 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有 着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所 给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的 结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整” 的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的 高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
a，
综上所述，原不等式的解集为：
{x | x 1 或 x 1}
当 a 0 时，解集为
a
；
当 a 0 时，解集为{x|x＞1}；
{x |1 x 1}
当 0 a 1时，解集为
a；
当 a 1时，解集为 ；
2
{x | 1 x 1}
当 a 1时，解集为 a
.
总结升华： 这是一个含参数 a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类：（1）a≠0（2） a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0 或 a<0，因为这两种情形下，不等式解集形
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文主要从分类讨论思想在高中数学解题中的应用展开讨论。
首先介绍了分类讨论思想的基本概念，然后详细阐述了其在高中数学解题中的具体应用方法，并通过案例分析进行了说明。
接着探讨了分类讨论思想的优势和局限性。
最后总结了分类讨论思想在高中数学解题中的重要性，并展望了未来研究方向。
通过本文的分析，可以更好地理解分类讨论思想在高中数学解题中的应用，为提高解题效率提供参考。
【关键词】高中数学、分类讨论思想、解题、应用、案例分析、优势、局限性、重要性、未来研究方向。
1. 引言1.1 研究背景在数学解题中，分类讨论思想可以帮助学生将问题分解成更小的子问题，从而更容易解决复杂问题。
通过对问题进行分类讨论，学生可以更清晰地理清问题的关键点，找到解题的思路和方法。
分类讨论思想在高中数学解题中具有重要的意义和作用。
在这样的背景下，对分类讨论思想在高中数学解题中的应用进行深入研究，对于提高学生的数学学习兴趣和能力具有积极的促进作用。
1.2 研究意义分类讨论思想在高中数学解题中的应用具有重要的研究意义。
这种思想能够帮助学生建立起科学的解题思维方式，培养其逻辑思维和分类能力，提高解题效率和准确性。
在数学教学中，分类讨论思想可以帮助学生更深入地理解数学知识，将抽象概念具体化，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习动力。
分类讨论思想还可以帮助学生培养解决问题的能力和分析问题的能力，对于学生的综合素质提升具有积极的促进作用。
通过应用分类讨论思想解决数学问题，学生可以在实践中不断提高自己的思维能力和解决问题的能力，为将来的学习和工作打下良好的基础。
2. 正文2.1 分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是一种解决数学问题的方法，通过将问题中各种可能的情况进行分类，然后分别讨论每种情况的解决方法，最终将各种情况的解决方法综合起来得到问题的最终解决方案。
分类讨论思想的基本概念包括以下几个方面：1. 分类：首先要将问题中的各种可能情况进行分类，将问题拆分成若干个子问题，每个子问题都是某一种情况下的特殊情况。
小问题大用处：高中数学小问题集中营之一：集合：专题四 集合中的分类讨论 含解析
专题四集合中的分类讨论一、问题的提出数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形"两个方面。
利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是中学数学中重要的思想方法，那么集合中有哪些问题可以用到数形结合思想呢？二、问题的探源在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．1。
对于某些抽象集合问题,文字描述较为抽象，可借助韦恩图直观求解，求两个集合的并集与交集时,先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．2. 连续型数集的运算常借助数轴求解，利用几何的直观性，以“形”助“数”,形象、直观、方便快捷;与不等式有关的集合的运算,利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．此时需注意端点值是否取到.其步骤是：①化简集合；②将集合在数轴上表示出来；③进行集合运算求范围，重叠区域为集合的交集，合并区域代表集合的并集.3.点集之间的运算通常借助于坐标系,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.三、问题的佐证（一)利用数轴解决不等式解集的表示问题或判断一元不等式所含参数取值范围问题．例1已知集合A={x｜—3≤x≤4｝,B={x｜1<x<m}(m>1)，且B⊆A,则实数m的取值范围是。
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4，又m〉1，所以1〈m≤4。
故答案为:1〈m≤4例2已知集合A ＝｛x ∈R |｜x ＋2|〈3｝，集合B ＝{x ∈R |（x －m )(x －2)<0},且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________,n ＝________．【解析】A ＝{x ∈R ｜|x ＋2｜〈3｝＝{x ∈R |－5〈x <1}， 由A ∩B ＝(－1,n ),可知m <1，由B ＝｛x ｜m 〈x <2｝，画出数轴,可得m ＝－1，n ＝1.(二)利用平面直角坐标系作出方程的曲线解决公共点问题或二元不等式所含参数取值范围问题．例3．已知(),1y A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,(){}2,B x y y x ==则A B = ________．（三)利用韦恩（ｖｅｎｎ）图判断抽象集合间包含或相等的关系或求有穷集合所含元素或其个数问题． 例4.已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2,3，4}的子集，。
数学分类讨论总结的四个字
数学分类讨论总结的四个字
摘要：
一、引言
二、数学分类讨论的重要性
三、数学分类讨论的方法和技巧
四、数学分类讨论在实际问题中的应用
五、总结与展望
正文：
数学分类讨论是数学中一个重要的思维方法，它能够帮助我们更好地理解和解决数学问题。
通过数学分类讨论，我们可以将复杂的问题分解为简单的子问题，从而更容易地找到解决问题的方法。
数学分类讨论的方法和技巧有很多，其中最重要的技巧是分解。
通过将问题分解为更小的子问题，我们可以更好地理解问题的本质，从而更容易地找到解决问题的方法。
此外，分类讨论还需要灵活运用各种数学知识和技巧，例如代数、几何、概率等。
数学分类讨论在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，分类讨论可以帮助我们更好地理解各种物理现象；在计算机科学中，分类讨论可以帮助我们更好地设计算法和数据结构。
总结起来，数学分类讨论是数学中一个非常重要的思维方法。
高中数学x思想方法-分类讨论与整合
分类讨论与整合思想方法例题解析高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。
下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等. 例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意. 综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log nn b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为. 分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2 B ．2π C ．π2或2π D ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同.变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论 例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解: 由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和 为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a 为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ， 则m 的值为 A ．3B ．253或3C ．5D ．3155或156. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案. 点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种．变式练习答案及专题总结:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭ 故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a 时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1． 综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ． （2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m .⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m a c -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．【命题预测】分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。
高中数学教学中分类讨论思想运用问题的阐述
Ｒ ＝ （ 空集 ） 则 实数 ｍ 的取 值 范 围为 （ ，
Ａ． ≤ 一２ ｍ Ｃ． ＞ 一４ ｍ Ｂ． ≥ 一 ２ ｍ Ｄ． ≥ ０ ｍ
） ．
分 析 由 Ａ∈Ｒ ＝ ， 知 方 程 ＋（ ＋２ ＋１＝ 可 ｍ ） ０
定 义 或 分类 讨论 所 给 出 的 ， 实 数 的 绝 对 值 、 线 与 平 面 所 如 直 成 的 角 、 全 平 方 式 的 算 术 根 等 ， 些 数 学 的概 念 都 是 分 类 完 这 定义的 ， 运用它们时需进行分类讨论． 在
有 效 地 提 高 学 生 的数 学能 力 ．
３ 在 推 理 过 程 中 ， 果 遇 到 数 量 大 小 的不 确 定 ， 形 位 ． 如 图
置 或 形 状 不 确 定 时 ， 须 要 用 分 类 讨 论 来 保 持 解 题 结 果 的 必 完 整性 ， 几 何 图 形 中 由 于 图形 的 变 化 或 形 状 不 确 定 ， 问 如 使
∞
一 ２
常 与实 际 问题 和 高 等 思 想 相 结 合 ． 师 一 定 要 重 视 数 学 教 教
学 中 的分 类 讨 论 思 想 ， 教 学 中促 进 学 生 数 学 知 识 和 思 维 在 能 力 的提 高 ．
一
答 案 为 Ａ．
４ 在某 些 问题 中 ， 算 的 实 施 需 要 一 定 条 件 ， 除 法 中 ． 运 如
１
没 有 正 根 ， 能 情 况 有 两 种 ： 方 程 没 有 实 根 ； 有 实 根 但 可 ① ②
没 有 正 根 ． 别从 （ 分 ｍ＋２ 一 ） ４＜０和 （ ｍ＋２ 一 ） ４≥０来 解 ， 得 出答 案 为 ｃ ．
三 、 类 讨 论 的 方 法 和 步骤 分
高中数学分类讨论专题
高中数学分类讨论专题
高中数学的分类讨论专题可以包括以下几个方面：
1. 几何图形的性质：例如平面图形的性质研究，如线段、角、三角形、四边形的性质等。
2. 几何变换：研究平移、旋转、对称、相似变换等，以及其应用于几何图形的理论和实际问题。
3. 解析几何：研究平面和空间的坐标系，以及直线、圆、曲线的性质和方程，通过代数方法解决几何问题。
4. 数列和数列极限：研究等差数列、等比数列、等差数列等各类数列的性质和求和公式，以及数列极限的概念、性质和计算方法。
5. 函数及其性质：研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像、图像的变换和应用。
6. 三角函数：研究正弦、余弦、正切等三角函数的性质，以及三角恒等式、三角方程的求解等问题。
7. 解方程与方程组：研究一元二次方程、一元高次方程、一元不等式、二元一次方程组、二元二次方程组等的解法和应用。
8. 概率与统计：研究随机事件的概率、频数分布和统计指标的计算方法，以及概率和统计在实际问题中的应用。
以上是一些高中数学的分类讨论专题，不同学校和不同课程设置可能会有所不同，具体的内容可以根据学校的教材和教学大纲进行细化。
高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论
高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论一、参数取值引起的分类讨论1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0，若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}．因为A ⊆∁R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3.若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以∁R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}，此时A ⊆∁R B 成立．2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________.解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32二、空集引起的分类讨论1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ≤4D ．m ≤4思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D .2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．①当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 针对性练习：1． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时，a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析 D 当a ＝1时，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}＝∅，A ∩B ＝B ；当a ＝2时，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，A ∩B ＝B ；当a ＝3时，A ∩B ＝B 不成立．2．关于x 的不等式[x －(3－a )](x －2a )＜0的解集为A ，函数y ＝m (－x 2＋3x －2)的定义域 为B .若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解析：由－x 2＋3x －2＞0，得x 2－3x ＋2＜0，故1＜x ＜2，即B ＝(1,2)．由A ∪B ＝A ，知B ⊆A .(1)若3－a ＜2a ，即a ＞1时，A ＝(3－a,2a )．∵(1,2)⊆(3－a,2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3－a ≤1，2a ≥2.解得a ≥2.(2)若3－a ＝2a ，即a ＝1时，A ＝∅，不合题意；(3)若3－a ＞2a ，即a ＜1时，A ＝(2a,3－a )．∵(1,2)⊆(2a,3－a )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，2a ≤1，3－a ≥2.解得a ≤12. 综上，实数a 的取值范围是a ≤12，或a ≥2. 3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(2)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析： (1)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A . A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12； ②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1. (3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2， ∴－32≤m ＜－1； ②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4， ∴32＜m ≤2. 综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.。