第5章 维纳滤波在信号处理中的应用_精简版

UESTC 何子述，夏威2010/4/191第5章维纳滤波在信号处理中的应用•1、介绍线性预测器，讨论与AR 模型的互逆关系；•2、介绍前（后）向线性预测及其格型滤波器结构，导出Burg 算法；•3、介绍维纳滤波在信道均衡中的应用，讨论基于线性预测的语音编码。

本章内容概况5.1 维纳滤波在线性预测中的应用MUESTC 何子述，夏威2010/4/1935.1.1 线性预测器原理()()d n u n =期望响应信号为()1u n −()2u n −()u n M −()u n M ()LP M ，，…，来预测称为阶（一步）线性预测（L inear P rediction ））。

，（简记为输入数据为()()()1,2,,u n u n u n M −−−"，即用UESTC 何子述，夏威2010/4/1945.1.1 线性预测器原理输入向量()()()()T12n u n u n u n M ⎡⎤=−−−⎣⎦u "权向量[]T11M w w w −=w "的自相关矩阵()n u ()(){}HE n n =R u u 则()()()()()()()()()()()()()()()()()()1112121222E 12u n u n u n u n u n u n M u n u n u n u n u n u n M u n M u n u n M u n u n M u n M ∗∗∗∗∗∗∗∗∗⎧⎫⎡⎤⎪⎪−−−−−−⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥−−−−−−⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−−−−−−⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭R """"%#"（5.1.1）UESTC 何子述，夏威2010/4/1955.1.1 线性预测器原理()()()()()()()()()011102120r r r M r r r M r M r M r ⎡⎤−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−+⎣⎦R """"%#"即而互相关向量为()(){}()()()()12E E u n u n n d n u n u n M ∗∗⎧⎫⎡⎤⎪⎪−⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭p u #()()()T12r r r M ⎡⎤=−−−⎣⎦p "即(5.1.2)UESTC 何子述，夏威2010/4/1965.1.1 线性预测器原理得M 阶线性预测器的维纳-霍夫方程为o =Rw p满足维纳-霍夫方程的线性预测称为最佳线性预测，简称线性预测。

对于()LP M ，估计的最小均方误差为()()()2Hmin o 0101dM J r w r w r M σ−=−=−−−p w "UESTC 何子述，夏威2010/4/1975.1 维纳滤波在线性预测中的应用5.1.2 线性预测与AR 模型互为逆系统关系将两边取共轭，有o =Rw p o∗∗∗=R w p将（5.1.1）和（5.1.2）代入上式，有()()()()()()()()()()()()01101111022120M r r r M r w r r r M r w r M r M r r M w ∗∗∗−⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦""""%###"（5.1.5）()()r m r m ∗−=其中，UESTC 何子述，夏威2010/4/1985.1.2 线性预测与AR 模型互为逆系统关系模型的Yule-Walker 方程()AR M ()()()()()()()()()()()()1201111022120M r r r M r a r r r M r a r M r M r r M a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦""""%###"（5.1.6）()()()()()()()()()()()()01101111022120M r r r M r w r r r M r w r M r M r r M w ∗∗∗−⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦""""%###"（5.1.5）比较5.1.2 线性预测与AR模型互为逆系统关系UESTC 何子述，夏威2010/4/1910()LP M 在图5.1.1所示的中，()()()()()H ˆo e n u n d n u n n =−=−w u o w ()n u 将和展开，代入上式，并注意式（5.1.7），有()()()()()1212M e n u n a u n a u n a u n M =+−+−++−"（5.1.10）比较式（5.1.8）和式（5.1.10）可得()()e n v n =（5.1.8）()()()1Mk k u n a u n k v n ==−−+∑5.1.2 线性预测与AR 模型互为逆系统关系5.1.2 线性预测与AR模型互为逆系统关系UESTC 何子述，夏威2010/4/19135.1.2 线性预测与AR 模型互为逆系统关系由于min J 是实数，有()()()()()()min min 01010101M M J J r w r w r M r w r wr M ∗∗∗∗∗∗−∗∗−==−−−=−−−−−""由式()r m 的共轭对称性，有和（5.1.7）2min vJ σ=()LP M ()AR M 实际上是将声过程。

线性预测器也被称为白化滤波器（whitening filter ）。

过程通过滤波变成了白噪线性预测器与白化滤波器中的两个子系统交换级联顺序，得到UESTC 何子述，夏威2010/4/19165.1.2 线性预测与AR 模型互为逆系统关系()u n ()LP M 2min v J σ=()e n ()LP M M i w 将某随机过程作为的输入信号，其输出为白噪声），并得到个最优权值。

（均值为零，方差为1i i a w ∗−=−()AR M 将作为的模型参数，并以()v n ()AR M 白噪声的输入，则()AR M ()u n 的输出便是。

的2min v J σ=），作为（均值为零，方差为UESTC 何子述，夏威2010/4/19175.1.2 线性预测与AR 模型互为逆系统关系语音线性预测编码（LPC ，Linear Predictive Coding ）()u n ()LP M i w min J 声音信号通过，得到和，将i w min J 和传送到接收端，1i i a w∗−=−()AR M 接收端以作为的参数，并以()v n 白噪声），作为AR 模型的输入，便可恢复出原讲话者的声音信号()u n 。

2min vJ σ=（均值为零，方差为5.1.35.2 前后向线性预测及其格型滤波器结构UESTC 何子述，夏威2010/4/19201 前向线性预测（FLP ）输入信号向量为()()()()T12n u n u n u n M ⎡⎤=−−−⎣⎦u "滤波器权向量[]Tf 011M w w w −=w "n ()u n 此时期望响应信号就是希望预测的第输入数据，所以时刻的()()f d n u n =5.2.1 前后向线性预测器(FBLP)原理UESTC 何子述，夏威2010/4/1921得FLP 的维纳-霍夫方程为fo =Rw p fo w 是滤波器最优权向量，()(){}()()()()()()()()()()(){}()()()H T f 011102E 120E 12r r r M r r r M n n r M r M r n d n r r r M ∗⎡⎤−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−+⎣⎦⎡⎤==−−−⎣⎦R u u p u """"%#""(5.2.4)5.2.1 前后向线性预测器(FBLP)原理UESTC 何子述，夏威2010/4/19225.2.1 前后向线性预测器(FBLP)原理2 后向线性预测（BLP ）输入信号向量为滤波器权向量此时期望响应信号就是第，所以时刻的输入数据()()()()Tb 12n u n M u n M u n ⎡⎤=−+−+⎣⎦u "[]Tb 011M w w w −=w "n M −()u n M −()()b d n u n M =−UESTC 何子述，夏威2010/4/19235.2.1 前后向线性预测器(FBLP)原理得BLP 的维纳-霍夫方程为是滤波器最优权向量b bo b=R w p bo w ()()()()()()()()()b 011102120r r r M r r r M r M r M r ⎡⎤−−+⎢⎥⎢⎥−+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦R """"%#"()(){}()()()Tb b b E 12n d n r r r M ∗⎡⎤==⎣⎦p u "(5.2.7)UESTC 何子述，夏威2010/4/19245.2.1 前后向线性预测器(FBLP)原理比较FLP 和BLP 的自相关矩阵和互相关向量，有b b ,∗∗==R R p p利用上面的关系，比较(5.2.4)(5.2.7)和fo bo∗=w w ，得在最小均方误差意义下，用FLP 和BLP 估计权向量时，效果是相同的。

UESTC 何子述，夏威2010/4/19265.2.2 FBLP 的格型滤波器结构据图5.2.1，对任意m 1,2,,m M ="()1m i iwa ∗−=−()m i a m 阶的FLP ，令，是对应的阶AR 模型参数()()()()()()()()f111ˆmmm mi i i i e n u n u n u n w u n i u n a u n i ∗−===−=−−=+−∑∑对1m −阶的FLP ，有()()()()11f11m m m ii en u n a u n i −−−==+−∑()()()()()()()11f f 11m m m m mm m i i i e n en a u n m a a u n i −−−=⎡⎤−=−+−−⎢⎥⎣⎦∑故有UESTC 何子述，夏威2010/4/1927m 1,2,,m M="对任意阶的BLP ，()1m i i w a ∗−=−()()()()()()()()()b11ˆ m m m i i mm i i e n u n m un m u n m a u n m i u n m a u n m i ∗=∗=⎡⎤=−−−=−−−−+⎢⎥⎣⎦=−+−+∑∑有∗=ww 和同理，对1m −阶的BLP ，有()()()()11b1111m m m ii en u n m a u n m i −−∗−==−++−++∑()()()()11b 111m m m ii en u n m a u n m i −−∗−=−=−+−+∑且UESTC 何子述，夏威2010/4/19285.2.2 FBLP 的格型滤波器结构由相关矩阵的Toeplitz 性质，第3.2.2节已经证明()()()()11m m m m iim m ia a a a −−∗−=+()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11f f 11111111111b11m m m m mm m i i i m m m m m m m i i m m m m m i i m m m m k k m m m e n en a u n m a a u n i a u n m a a u n i a u n m a u n i a u n m a u n m k k m i a e n −−−=−−∗−=−−∗−=−−∗=−⎡⎤−=−+−−⎢⎥⎣⎦⎡⎤=−+−⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=−+−⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=−+−+=−⎢⎥⎣⎦=−∑∑∑∑令则，UESTC 何子述，夏威2010/4/19295.2.2 FBLP 的格型滤波器结构()()()f f b 111mm m m e n en e n κ−−=+−()m m m a κ ()AR m m 反射系数是模型的第个参数。