2018中考数学一轮复习各知识点练习题分层设计十八(等腰三角形与直角三角形部分)
山东省济南市2018年中考数学一轮复习 第四章 几何初步与三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形练习
第三节等腰三角形与直角三角形1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．(2016·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．103．(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE 的长为( )A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( )A．7 B．8 C．9 D．105．(2016·雅安)如图，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，则△ACE的周长为( )A．2＋2 3 B．2＋ 3C．4 D．3 36．(2016·泉州)如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．7．(2017·乐山)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________．8．(2017·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AD＝BC.9．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)10．(2017·海南)已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．3条B．4条C．5条D．6条11．(2016·海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长为( )A．6 B．6 2 C．2 3 D．3 212．(2016·贺州)如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为____________．13．(2017·常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________________．14．(2017·绥化)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝12BC，则△ABC的顶角的度数为____________________________．15．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．16．(2017·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．17．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．参考答案【夯基过关】1．D 2.C 3.A 4.B 5.A 6．5 7.3558．证明：∵AB＝AC ，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°， ∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∴AD＝BD ＝BC. 【高分夺冠】 9．D 10.B 11.D12．120° 13.0＜CD≤5 14.30°或150°或90° 15．(1)证明：∵AD 平分∠BAC，且BD ＝CD ， ∴AD 是BC 边上的中线，∴△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形， ∴AB＝AC.(2)解：∵AD 平分∠BAC，∠DAC＝30°， ∴∠BAC＝60°.又由(1)知△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形， ∴△ABC 是等边三角形． 设AC ＝x ，则CD ＝12x.在Rt△ADC 中，AD 2＋CD 2＝AC 2， 即12＋14x 2＝x 2，解得x ＝4.即AC ＝4.16．(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BDG 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG＝∠ADC，DG ＝DC ，∴△BDG≌△ADC，∴BG＝AC ，∠BGD＝∠C. ∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 边的中点， ∴DE＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF ，∴DE＝DF ，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD.又∵∠FAD＋∠C＝90°，∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF. (2)解：∵AC＝10，∴DE＝DF ＝5， 由勾股定理得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2.17．(1)证明：∵点M 是AC 的中点，∴BM＝12AC.∵M，N 分别为AC ，CD 的中点，∴MN＝12AD.又∵AC＝AD ，∴BM＝MN.(2)解：∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，∴∠DAC＝30°，∠BAC＝30°，∴∠BCA＝60°.∵BM＝12AC ＝MC ＝1，∴△BMC 是等边三角形，∴∠BMC＝60°. ∵M，N 分别为AC ，CD 的中点，AD ＝AC ＝2， ∴MN∥AD，MN ＝1，∴∠CMN＝∠CAD＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠CMN＝90°， ∴BN ＝BM 2＋MN 2＝ 2.。
初三中考一轮复习(14)等腰三角形与直角三角形 题型分类 含答案(全面 非常好)
【重点考点例析】考点一：角的平分线例1 如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．故答案为：15．对应训练1．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．1．35考点二：线段垂直平分线例2 如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．故答案为：70°．对应训练2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm2．C考点三：等腰三角形性质的运用例3 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°故选A．对应训练3．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．3．44°考点四：等边三角形的判定与性质例4 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．故答案为：15．对应训练4．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．4．3考点五：三角形中位线定理例5 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°故选C．对应训练5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．5．3考点六：直角三角形例6 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm故选：D．对应训练6．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）+1 D．3 +1A．2 B．23C．336．D考点七：勾股定理例7 矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为．思路分析：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x-2，然后根据勾股定理列出方程式求出x的值，继而可求出矩形的面积．解：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x-2，由勾股定理得，x2+（x-2）2=42，整理得，x2-2x-6=0，解得：x=1+7或x=1-7（不合题意，舍去），另一边为：7-1，则矩形的面积为：（1+7）（7-1）=6．故答案为：6．点评：本题考查了勾股定理及矩形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据勾股定理列出等式求处矩形的边长，要求同学们掌握矩形面积的求法．对应训练7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是．7．10【聚焦山东中考】2．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．132．C3．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．32B．52C．3 D．43．C4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠AB．BD平分∠ABCC．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点4．C5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，3），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．85．C6．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= ．6．65°7．（2013•滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．7．268．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．8．159．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．9．210．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC 为度．10．10811．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是（写出1个即可）．11．2，3（或介于2和3之间的任意两个实数）12．操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD 交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．12．解；（1）由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD，∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°，∵∠ACB=45°，∴∠DOC=30°+45°=75°，∴∠DOC=∠BDC，∴△CDO是等腰三角形；（2）如图，作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=43，HF=4，在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=83，BF=16，。
2018年济南市中考数学一轮复习第四章 第3节 等腰三角形与直角三角形(含答案)
第三节等腰三角形与直角三角形1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．(2016·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．103．(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为( )A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF 的长为( )A．7 B．8 C．9 D．105．(2016·雅安)如图，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，则△ACE的周长为( )A．2＋2 3 B．2＋ 3C．4 D．3 36．(2016·泉州)如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE ＝________．7．(2017·乐山)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________．8．(2017·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.9．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)10．(2017·海南)已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．3条B．4条C．5条D．6条11．(2016·海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长为( )A．6 B．6 2 C．2 3 D．3 212．(2016·贺州)如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为____________．13．(2017·常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________________．14．(2017·绥化)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝12BC，则△ABC的顶角的度数为____________________________．15．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．16．(2017·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．17．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN . (1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．参考答案【夯基过关】1．D 2.C 3.A 4.B 5.A 6．5 7.3558．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°. ∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠BDC ＝72°， ∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ，∴AD ＝BD ＝BC .【高分夺冠】 9．D 10.B 11.D12．120° 13.0＜CD ≤5 14.30°或150°或90° 15．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ， ∴AD 是BC 边上的中线，∴△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形， ∴AB ＝AC .(2)解：∵AD 平分∠BAC ，∠DAC ＝30°， ∴∠BAC ＝60°.又由(1)知△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形， ∴△ABC 是等边三角形． 设AC ＝x ，则CD ＝12x .在Rt △ADC 中，AD 2＋CD 2＝AC 2， 即12＋14x 2＝x 2，解得x ＝4. 即AC ＝4.16．(1)证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 在△BDG 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC ，DG ＝DC ， ∴△BDG ≌△ADC ， ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C . ∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 边的中点， ∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF ，∴DE ＝DF ，∠EDG ＝∠EGD ，∠FDA ＝∠FAD . 又∵∠FAD ＋∠C ＝90°，∴∠EDG ＋∠FDA ＝90°，∴DE ⊥DF . (2)解：∵AC ＝10，∴DE ＝DF ＝5， 由勾股定理得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2.17．(1)证明：∵点M 是AC 的中点，∴BM ＝12AC . ∵M ，N 分别为AC ，CD 的中点，∴MN ＝12AD . 又∵AC ＝AD ，∴BM ＝MN .(2)解：∵∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ， ∴∠DAC ＝30°，∠BAC ＝30°，∴∠BCA ＝60°. ∵BM ＝12AC ＝MC ＝1，∴△BMC 是等边三角形，∴∠BMC ＝60°. ∵M ，N 分别为AC ，CD 的中点，AD ＝AC ＝2， ∴MN ∥AD ，MN ＝1， ∴∠CMN ＝∠CAD ＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠CMN ＝90°， ∴BN ＝BM 2＋MN 2＝ 2.。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
2018年中考数学复习专题18 等腰三角形与直角三角形
专题18 等腰三角形与直角三角形☞解读考点☞2年中考【2018年题组】 1．（2018来宾）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，3 B ．2，3，4 C ．4，5，6 D ．1 【答案】D ． 【解析】试题分析：A ．222123+≠，不能组成直角三角形，故错误；B ．222234+≠，不能组成直角三角形，故错误；C ．222456+≠，不能组成直角三角形，故错误； D ．2221+=，能够组成直角三角形，故正确．故选D ．考点：勾股定理的逆定理． 2．（2018南宁）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】A ．考点：等腰三角形的性质． 3．（2018来宾）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、BC 于点D 、E ，则∠BAE=（ ）A ．80°B ．60°C ．50°D ．40° 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵AB=AC ，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE ，∴∠BAE=∠B=40°，故选D ． 考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质． 4．（2018内江）如图，在△ABC 中， AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠E=35°，则∠BAC 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．60°D ．70° 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵AE ∥BD ，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBA=70°，∵AB=AC ，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A ． 考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质． 5．（2018荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A ．8或10 B ．8 C ．10 D ．6或12 【答案】C ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（2018广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A ．10 B ．14 C ．10或14 D ．8或10 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，∴22430m m -+=，4m =，∴28120x x -+=，解得x=2或x=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14． 故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论． 7．（2018丹东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5° 【答案】A ．考点：等腰三角形的性质．8．（2018龙岩）如图，ABC 中，过点C 垂直于BC 的直线交∠ABC 的平分线于点P ，则点P 到边AB 所在直线的距离为（ ）ABCD．1【答案】D．【解析】试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=12∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠=1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．9．（2018乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）ABCD【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．10．（2018资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．cm C D．【答案】A．考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．11．（2018德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．75° 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，点A 关于CD 所在直线的对称点E 恰好为AB 的中点，∴∠CED=∠A ，CE=BE=AE ，∴∠ECA=∠A ，∠B=∠BCE ，∴△ACE 是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=12∠CED=30°．故选C ．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质． 12．（2018眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B=900，∠A=300，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ．若BD=l ，则AC 的长是（） A．32 B ．2 C ．34 D ．4【答案】A ．考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理． 13．（2018荆门）如图，在△ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为（ ）A．13B1C．2D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，AC，又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=12AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴AC，∴tan∠DBC=DEBE=13．故选A．考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．14．（2018襄阳）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）AB．1 CD．2【答案】B．考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．15．（2018北京市）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 【答案】D．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12AB=AM=1.2km．故选D．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．应用题．16．（2018天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A．考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．17．（2018龙岩）如图，的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）ABCD．1【答案】D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．18．（2018龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【答案】A．【解析】试题分析：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，=3，∴12×8×3=12×5×PD+12×5×PE，12=12×5×（PD+PE），PD+PE=4.8．故选A．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．19．（2018安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B 恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A ．32B ．323 C ．3 D ．6【答案】A ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理． 20．（2018滨州）如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆AB ，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是（ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【答案】B ． 【解析】试题分析：连接OC 、OC′，如图，∵∠AOB=90°，C 为AB 中点，∴OC=12AB=12A′B′=OC′，∴当端点A 沿直线AO 向下滑动时，AB 的中点C 到O 的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C 所经过的路径是一段圆弧． 故选B ．考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线． 21．（2018烟台）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2018的值为（ ）A ．2012B ．2013C ．20121()2D ．20131()2【答案】C ．考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 22．（2018烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况：①当a=2，或b=2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，∴x=2，把x=2代入2610x x n -+-=得，4﹣6×2+n ﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；②当a=b 时，方程2610x x n -+-=有两个相等的实数根，∴△=2(6)-﹣4（n ﹣1）=0，解得：n=10，故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论． 23．（2018崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）A．160 B．161 C．162 D．163【答案】B．考点：1．规律型；2．综合题．24．（2018宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC 的中点．若CD=5，则EF的长为．【答案】5．考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线．25．（2018常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用．26．（2018南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．【答案】52．考点：等腰三角形的性质．27．（2018苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F 对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．【答案】27．【解析】试题分析：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=12AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=12BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质．28．（2018西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．【答案】110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．29．（2018南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．30．（2018攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．31．（2018昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=BE 上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．32．（2018淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．【答案】120，150．【解析】试题分析：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，故答案为：120，150．考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题．33．（2018黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的cm．面积为__________2【答案】126或66．考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题．34．（2018庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）【答案】【解析】试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC===cm．故答案为：考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．35．（2018朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1=1.41=1.73）．【答案】2.9．考点：勾股定理的应用．36．（2018辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．【答案】8．【解析】试题分析：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，=8．故答案为：8．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理．37．（2018柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．【答案】（1）3；（2）6．考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理．38．（2018柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q 从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？【答案】（1）4；（2）t=6或110 13．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．【2018年题组】1．（2018²江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A． 40°B． 50°C． 60°D． 70°【答案】D．【解析】试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180402︒-︒=70°．故选D ．考点：等腰三角形的性质．2.（2018²桂林）下列命题中，是真命题的是（ ） A ．等腰三角形都相似 B ．等边三角形都相似 C ．锐角三角形都相似 D ．直角三角形都相似 【答案】B ． 【解析】 试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60°，从而都相似．故选B ．考点：1．命题和定理；2.相似三角形的判定；3．等边三角形的性质. 3.（2018湖南省湘西州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AB=2，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长为（ ）A ．14B ．12C ． 1D ． 2【答案】C ．考点：等腰直角三角形．4.（2018贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a 、b ，且a 、b+（2a+3b ﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）A ． 7或8B ．6或1OC ．6或7D ．7或10 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵|2a ﹣3b+5|+（2a+3b ﹣13）2=0，∴235023130a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得23a b =⎧⎨=⎩， 当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8． 故选A ．考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根；4.解二元一次方程组；5.三角形三边关系．5.（2018张家界）如图，在Rt ABC ∆中，ACB 60∠=︒，DE 是斜边AC 的中垂线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，若BD=2，则AC 的长是（ ）A ．4BC .8 D. 【答案】B ．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理． 6.（2018吉林）如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（ ）A ．B ． 2C ．D ．【答案】D考点：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定与性质．7.（2018吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．【答案】（﹣1，2）【解析】试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴y=0时，2x+4=0，解得x=﹣2，∴B（0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1．故C′的坐标为（﹣1，2）．考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、等边三角形的性质.8.（2018毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．【答案】32．考点：1．折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用☞考点归纳归纳 1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
浙江省中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形(含近9年中考真题)试题(20
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第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形浙江近9年中考真题精选(2009～2017）命题点1等腰三角形的相关计算（杭州2考,台州3考，绍兴3考)1. （2016杭州9题3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m〈n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( ）A。
m2＋2mn＋n2＝0 B. m2－2mn＋n2＝0C. m2＋2mn－n2＝0 D。
m2－2mn－n2＝02。
(2017台州8题4分）如图,已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A. AE＝EC B。
AE＝BEC。
∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE第2题图3。
(2017绍兴8题4分)在探索“尺规三等分角"这个数学名题的过程中，曾利用了上图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA。
若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( ）A. 7°B。
2018年中考数学专题复习第十八讲：等腰三角形与直角三角形(学生版) 精品
2018年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2018•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练A．45°B．75°C．45°或75°D．60°考点二：线段垂直平分线例2 （2018•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB 于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．B．2 C．D．4思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出对应训练2．（2018•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．D．1考点三：等边三角形的判定与性质例3 （2018•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A 向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．对应训练3．（2018•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考点四：角的平分线例4 （2018•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．对应训练4．（2018•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D 到AB边的距离是．考点五：勾股定理【备考真题过关】一、选择题1．（2018•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对3．（2018•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°4．（2018•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2018•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A．16 B．15 C．14 D．136．（2018•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB 于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．C．D．37．（2018•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2，0） B1，0）C1，0）D0）1．（2018•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）2．（2018•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）二、填空题8．（2018•随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．9．（2018•泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．10．（2018•钦州）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为．11．（2018•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．12．（2018•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数．13．（2018•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．14．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为．15．（2018•黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．4．（2018•鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为4或或．5．（2018•无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD 沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于3cm．6．（2018•朝阳）下列说法中正确的序号有①②③④．①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数约为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一条对角线长为2．三、解答题18．（2018•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．19．（2018•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）20．（2018•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O 作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．7．（2018•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．1．（2018•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：tanA=，AC=2（结果保留根号）；（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．2．（2018•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．3．（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．。
2018年云南中考数学一轮复习课件-第4章第3节 等腰三角形与直角三角形
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1．(人教八下 P34 习题 17.2 第 1 题改编)下列各组线段中，不能 构成直角三角形的是( B ) A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝10，b＝24， c＝ 25 C．a＝4，b＝5，c＝ 41 D．a＝5，b＝12，c＝13
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4 ．( 北师八下 P31 例 3 改编)如图，AB ∥CD，∠CAB 与 ∠ACD 的平分线相交于 H 点，点 E 为 AC 的中点，若 EH ＝2 ，则 AC＝4.
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5．(人教八上 P83 第 14 题改编) 如图，点 M，N 是△ABC 的边 BC 上的两点，且 BM ＝MN＝NC＝AM＝AN，则∠BAN＝90.
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【名师提醒】在等腰三角形中， 要注意分情况讨论： 1． 当已知等腰三角形的一个内角时 ，通常需要按这个角是顶角或 底角两种情况进行讨论， 此时要注意等腰三角形的底角一定是锐角， 即在等腰三角形中 ，钝角只能是顶角． 2． 当已知等腰三角形的两边时， 要按照其中一条边是腰或者底边 两种情况进行讨论 ，此时要注意使用三角形的三边关系进行验证，底 边长一定小于腰长的 2 倍 ，否则不能构成三角形．
(4)当∠A 为顶角时，如错解，则∠BAC＝90°综上，∠BAC 的度数为 90°或 75°或 15°.
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2．(2017·淄博 )在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边 上的任意一点 ， 过点 D 分别作 DE⊥ AB， DF⊥ AC， 垂足分别 为 E ，F， 则 DE＋ DF＝ __2 3__.,易错点：未进行分类讨论 而出现错解或漏解 ⇨ 【错因分析】 题目中并没有指明 BC 是等腰△ABC 的底或 腰．当 BC 为底时， 可求得∠BAC＝ 90° ；当 BC 为腰时， 还 应对 ∠B 的大小进行讨论．
中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第18讲 等腰三角形与直角三角形真题
第一部分 第四章 第18讲命题点1 等腰三角形(xx 年2考，xx 年2考)1．(xx·百色5题3分)顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的( A ) A ．重心 B ．外心 C ．内心D ．中心2．(xx·贺州7题3分)一个等腰三角形的两边长分别为4,8，则它的周长为( C ) A ．12 B ．16 C ．20D ．16或203．(xx·玉林、防城港6题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，则下列结论中不正确的是( D )A ．AD ＝AEB ．DB ＝EC C ．∠ADE ＝∠CD ．DE ＝12BC4．(xx·南宁7题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝70°，则∠C 的度数为( A )A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°5．(xx·桂林16题3分)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__3__.6．(xx·柳州23题8分)求证：等腰三角形的两个底角相等．(请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程)已知： 求证： 证明：证明：已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠C ；证明：如答图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠B ＝∠C .命题点2 等边三角形(xx 年玉林考，xx 年2考，xx 年贺州考)7．(xx·玉林9题3分)如图，∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．平行、相交或垂直8．(xx·南宁16题3分)如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠BED 的度数是__45°__.命题点3 直角三角形与勾股定理(xx 年4考，xx 年3考)9．(xx·百色3题3分)在△OAB 中，∠O ＝90°，∠A ＝35°，则∠B ＝( B ) A ．35°B ．55°C．65°D．145°10．(xx·柳州6题3分)如图，图中直角三角形共有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个11．(xx·河池12题3分)如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是( B )A．1 B． 2C． 3 D．212．(xx·柳州14题3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝__4__.13．(xx·玉林17题3分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB ＝4，则AD的取值范围是__2＜AD＜8__.14．(xx·柳州21题6分)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线CB于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB.∵D为AC边的中点，∴BD＝12 AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.。
中考数学一轮复习《等腰三角形与直角三角形》知识梳理及典型例题讲解课件
A
3.如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为 2 .
2
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交AB于点D，∠B＝45°，BC＝4，则AB的长为 4 ，CD的长为 2 .
4
2
5.如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了 2 cm.
（2）用四个同样的含60°角的直角三角形拼成如图2所示的正方形ABCD，若正方形EFGH的边长是－1，则正方形ABCD的边长是 2 ；
2
（3）如图3，△ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°，F是BD上一点，延长AD至点E，使DE＝DF，连接BE，AF，延长AF交BE于点C.若BE＝5，则AF的长为 5 ；
2
6.如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB，AC于点E，F.当EF＝6，CF＝4时，BE的长为 2 .
2
命题点1 等腰三角形的性质与判定
1.已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ C ）
A.2
B.3
C.4
D.4
2.5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是（ B ）
如图1，则有DE＋DF＝CG；
如图2，则有DF－DE＝CG.
图1
图2
4.涉及等腰三角形且图形不定时，应分类讨论，即有边时，考虑谁为腰，谁为底；有角时，考虑谁为顶角，谁为底角；有高时，考虑高在三角形内，还是高在三角形外.
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（等腰三角形与直角三角形部分）
A 级 基础题
1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个
等腰三角形的顶角为( )
A ．40° B．100°
C ．40°或100° D．70°或50°
2．已知实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A ．20或16 B ．20 C ．16 D ．以上答案均不对
3．如图所示，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC ＝80°，则∠B 的度数是( )
A ．40° B．35° C．25° D．20°
4．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2,3)，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )
A ．－4和－3之间
B ．3和4之间
C ．－5和－4之间
D ．4和5之间
5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，EF ∥AB ，∠1＝50°，则∠B 的度数为( ) A ．50° B．60° C．30° D．40°
6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( )
A.12
B ．2
C ．3
D ．4 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD ＝________.
8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝_________cm.
9．(四川凉山州)把命题“如果直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，斜边边长为c ，那么a 2＋b
2＝c 2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：___________________________________________________
10．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，AB ＝20.求∠A 的度数．
11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B ＝30°，
∠DAB＝45°.
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC＝AB.
12．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)求线段BD的长．
B级中等题
13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M的坐标为()A．(2,0) B．(5－1,0) C．(10－1,0) D．(5，0)
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为______．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；
(2)线段AC的长为________，CD的长为________，AD的长为________；
(3)△ACD为________三角形，四边形ABCD的面积为________；
(4)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是______．
C级拔尖题
16．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是______cm2.。