复合函数单调性、奇偶性6

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复合函数奇偶性口诀

复合函数奇偶性口诀
复合函数奇偶性口诀：外奇内奇为奇，外奇内偶为偶，外偶内奇为偶，外偶内偶为偶。

怎么判断复合函数奇偶性
记Fx=f[gx]为复合函数，则F-x=f[g-x]，
如果gx是奇函数，即g-x=-gx ==> F-x=f[-gx]，
则当fx是奇函数时，F-x=-f[gx]=-Fx，Fx是奇函数；
当fx是偶函数时，F-x=f[gx]=Fx，Fx是偶函数。

如果gx是偶函数，即g-x=gx ==> F-x=f[gx]=Fx，Fx是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数的偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是
奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。

复合函数的单调性判断
⑴求复合函数的定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

复合函数

复合函数复合函数是中学数学里，深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历年高考常考不衰的热点。

但高中数学教材未作介绍，而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中，介绍有关内容很有必要。

一、复合函数的概念我们常见的复合函数的描述性定义是：如果y 是u 的函数，而u 又是x 的函数，即)(u f y =，)(x g u =，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量。

例如x y 2sin =它与x y sin =不同，不是基本初等函数，而是由三角函数u y sin =和一次函数x u 2=经过“复合”而成的一个函数。

由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。

1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。

它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来，得到的形如)()(x g b x f a ⋅±⋅或)()(x g b x f a ⋅⋅⋅的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构作的一个复合映射确定的函数。

这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。

自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。

例如，复合函数x y 2sin =是自变量x 先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y 关于x 的一个函数x y 2sin =，因此有人说复合函数是函数的函数。

为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。

复合函数单调性、函数奇偶性

有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

复合函数的单调性与奇偶性

复合函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单调性与奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:
1.若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是:
函数
奇偶性
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数.
2.若函数在区间上是单调函数,函数在或上也是单调函数,那么复合函数在区间上是单调函数,其单调性规律是:
函数
单调性
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.

指数型复合函数的奇偶性与单调性

当 ∈ ｆ — １，＋一）时，ｇ（）为增函数。
，１、
所以，（ｚ）一（＋专） ‘ ｚ。为偶
函数。
而指数函数ｆ（ｕ）一（寺）是减函数，
根据复合函数的单调性知：ｆ（ｚ）一
（３）证明：当ｚ＞ｏ时，２＞ｌ，２ —ｌ＞ｏ。
（２）讨论ｆ（ｚ）的奇偶性；
（３）证明：ｆ（ｘ）＞Ｏ。分析：对于ｆ（ｚ）一ｇ（）・（ｚ）的奇偶性，可以先判断ｇ（ｚ）与（ｚ）的奇偶性，然后根据：奇 ×奇一偶，偶 ×偶一偶，奇Ｘ偶一奇，得出ｆ（ｚ）的奇偶性。解：（１）由题意得２一１ｒｅ０，即ｚ≠ ０。
例１求函数厂（）一ｆ
、
的单调增
所以，ｚ的定义域为一。。，ｏ）ｕ‘ ｏ，
＋ ∞ ）。
区间。
（２）由（１）知ｆ（）的定义域为（一一
，
Ｏ）
分析：原函数可看成由指数函数－厂（ “）一
Ｕ（Ｏ＋ｏ。），关于原点对称。
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一一一一一一一
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学习研究版２０１６年第１２期
指数型复合函数的奇偶性与单调性
■ 赵万里
函数的单调性与奇偶性是两个常考的性
（１）求ｆ（－ｚ）的定义域；

复合函数奇偶性单调性

复合函数的奇偶性、单调性函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.1.设a>0,f(x)=x x eaa e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.●案例探究例1：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xy yx ++1), 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx ++1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21x xx --)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1) 上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f(x 2)－f(x 1)=f(x 2)－f(－x 1)=f(21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f(21121x x xx --)<0，即f(x 2)<f(x 1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.例2：设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a 2+a+1)<f(3a 2－2a+1).求：a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a的单调递减区间.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x 2)<f(－x 1), ∵f(x)为偶函数，∴f(－x 2)=f(x 2),f(－x 1)=f(x 1), ∴f(x 2)<f(x 1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a 2+a+1)<f(3a 2－2a+1)得：2a 2+a+1>3a 2－2a+1.解之，得0<a<3. 又a 2－3a+1=(a －23)2－45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a<3,得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用. 难点训练一、选择题：1.下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x －1)x x -+11B.f(x)=2|2|)1lg(22---x xC.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D.f(x)=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.函数f(x)=111122+++-++x x x x 的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题:3.函数f(x)在R 上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.若函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 满足f(0)=f(x 1)=f(x 2)=0 (0<x 1<x 2),且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________. 三、解答题: 5.已知函数f(x)=a x +12+-x x (a>1). (1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.求证函数f(x)=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足： (i)f(x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.已知函数f(x)的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－21)=0,当x>－21 时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案(1)解：依题意，对一切x ∈R,有f(x)=f(－x),即x x x ae e a a e 1=++ae x .整理，得(a －a1)(e x －x e 1)=0.因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a>0,∴a=1(2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f(x 1)－f(x 2)= )11)((1121122121--=-+-+x x x x x x x x e e e e e ee 21211211)1(x x x x x x x e e e e ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f(x 1)－f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二：由f(x)=e x +e－x，得f ′(x)=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0此时f ′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数. 难点训练一、选择题：1.解析：f(－x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0( )()0()()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C 2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C 二、填空题:3.解析：令t=|x+1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R 上单调递增， ∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f(0)=f(x 1)=f(x 2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a(x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b=－a(x 1+x 2),又f(x)在［x 2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x 1＜x,得x 1+x 2>0, ∴b=－a(x 1+x 2)＜0.答案：(－∞,0）三、解答题:5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0,∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0, 又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f(x 2)－f(x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f(x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f(x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f(x 0)＜－1与f(x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f(x 0)>0与f(x 0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x ≠0,∴f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-,设1＜x 1＜x 2＜+∞, 则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f(x 1)>f(x 2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x 1－x 2,则f(－x)=f(x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f(x 1－x 2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f ［x －(－a)］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f(x+4a)=f ［(x+2a)+2a ］=)2(1a x f +-=f(x),故f(x)是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f(x 2－x 1－21)>0,∵f(x 2)－f(x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f(x 1)=f(x 2－x 1)+f(x 1)－1－f(x 1)=f(x 2－x 1)－1=f(x 2－x 1)+f(－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.。

复合函数的性质

复合函数的性质文／董裕华复合函数是函数知识的综合和拓展，在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识，在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现，但现行中学数学教材中没有作出系统研究．本文拟讨论形如ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的复合函数的性质及其应用．一、基础知识1．定义．设函数ｙ＝ｆ（ｕ），当ｕ∈Ｐ时，ｆ（ｕ）∈Ｑ；ｕ又是ｘ的函数，ｕ＝ｇ（ｘ），当ｘ∈Ｍ时，ｕ∈Ｐ．从集合Ｍ中每一个给定的ｘ，通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素ｙ相对应，则ｙ也是ｘ的函数，称为这两个函数的复函数，记为ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］．其中ｙ＝ｆ（ｕ）叫做复合函数的外函数，ｕ＝ｇ（ｘ）叫做复合函数的内函数，集合M叫做这个复合函数的定义域．形如ｆｎ（ｆｎ－1（ｆｎ－2（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…）））的函数叫做多重复合函数，它可以看成是函数ｕ＝ｆｎ－i（ｆｎ－i－1（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…））与ｙ＝ｆｎ（ｆｎ－1…ｆｎ－i＋1（ｕ）…）的复合函数．2．单调性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）在集合Ｍ上有定义，ｕ∈Ｐ；ｙ＝ｆ（ｕ）在Ｐ上有定义．如果ｇ（ｘ）在M上递增，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上也递增（减）；如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上递减（增）．3．奇偶性．如果ｕ＝ｇ（ｘ）为奇函数，ｙ＝ｆ（ｕ）为奇（偶）函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为奇（偶）函数；如果ｕ＝ｇ（ｘ）为偶函数，ｙ＝ｆ（ｕ）有意义，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］必为偶函数．4．反函数．如果内函数ｕ＝ｇ（ｘ）和外函数ｙ＝ｆ（ｕ）都分别是其定义域到值域上一一对应的函数，那么复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的反函数为ｙ＝ｇ－1［ｆ－1（ｘ）］．证明见文［1］．5．周期性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）是集合Ｒ上的周期函数，ｕ∈Ｍ；ｆ（ｕ）在Ｍ上有定义，则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也是Ｒ上的周期函数．内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；若外函数为周期函数，复合函数却未必是周期函数．例如1975年加拿大第七届中学生数学竞赛第7题，问ｓｉｎ（ｘ2）是周期函数吗?回答显然是否定的．综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性，不难发现复合函数还有以下性质：6．若内函数ｕ＝ｇ（ｘ）的最小正周期为Ｔ0，ｕ∈Ｄ，外函数ｙ＝ｆ（ｕ）是Ｄ上的单调函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］也是最小正周期为Ｔ0的周期函数．7．若函数ｆ（ｕ）的最小正周期为Ｔ0，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ≠0），则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也为周期函数，最小正周期为Ｔ0／｜ａ｜．8．若ｇ（ｘ）为奇函数，当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）均为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）奇偶性相异时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．9．若ｇ（ｘ）为偶函数，ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，当φ（ｘ）为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当φ（ｘ）为奇函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．现证明一种情形．ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）、φ（ｘ）均为偶函数时，由φ（－ｘ）＝ｆ［ｇ（－ｘ＋ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］，又φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，得ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，即φ（ｘ－2ａ）＝φ（ｘ）．φ（ｘ）为周期函数，2ａ是它的一个周期．其余情形类似可证．例1 Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）为二实系数多项式，它们对一切实数ｘ满足恒等式Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，若方程Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解，证明：方程Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］亦无实数解．导析：学生观察题目后，容易闪现出一个念头，即设出多项式Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ），但Ｐ［Ｐ（ｘ）］、Ｑ［Ｑ（ｘ）］等难以表示．思维受阻后，学生转而考虑反证法．假设Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］有解，设其解为ａ，则由Ｐ［Ｐ（ａ）］＝Ｑ［Ｑ（ａ）］很难确定下一步证题方向，同样无功而返．这时教师可提醒学生：Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解的实质是什么?学生很快想到Ｐ（ｘ）－Ｑ（ｘ）或者恒为正，或者恒为负．不妨设Ｐ（ｘ）＞Ｑ（ｘ），由此Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｐ（ｘ）］，Ｐ［Ｑ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．又Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，得Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．这已是学生熟悉的问题，可由学生整理完成．例2 已知ｆ（ｘ＋1）＝｜ｘ－1｜－｜ｘ＋1｜，如果ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1993）＋1，求ａ．导析：从条件看，多数同学会想到ｆ（1993）＝ｆ（1992＋1）＝－2，由此ｆ（ａ）＝｜ａ－2｜－｜ａ｜，ｆ［ｆ（ａ）］＝｜｜ａ－2｜－｜ａ｜－2｜－｜｜ａ－2｜－｜ａ｜｜．现在要去掉绝对值符号，就非常困难了．教师适时引导学生：如果先去绝对值符号呢?ｆ（ｘ）＝｜ｘ－2｜－｜ｘ｜=由于ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1 993）＋1＝－2＋1＝－1，学生便会想到此时0≤ｆ（ａ）≤2，从而2－2ｆ（ａ）＝－1，ａ＝1／4．例3函数ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，且满足：①ｆ（ｘ）是偶函数，ｆ（0）＝993；②ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－1）是奇函数．试求ｆ（1992）的值．导析：学生很容易想到ｆ（1992）＝ｇ（1993）＝－ｇ（－1993）＝－ｆ（1994）．本来求ｆ（1992）就很烦，化成ｆ（1994）更显繁，不少学生畏难而退．能否找出函数变化规律呢?也就是说把数据一般化，能否证得ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋2）呢?学生会恍然大悟，ｆ（ｘ）是周期为4的函数!至此思路已经畅通．由特殊到一般，再由一般到特殊，这是人类认识世界、改造世界的规律，也是解竞赛题的常用策略．本题也可直接用基础知识8，只要令φ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（ｘ）＝ｇ［φ（ｘ＋1）］即可求解．二、综合应用复合函数是单一函数的整合与拓展，它以代数式、数列、几何等知识为支撑，以方程、不等式等形式为载体，以函数的性质为纽带，加之应用广泛，在竞赛命题中自然就颇受青睐．复合函数问题常通过换元法、待定系数法、特殊值法变形求解，与自然数有关的命题也可通过数学归纳法获证．例4是否存在函数ｆ∶Ｒ→Ｒ；ｇ∶Ｒ→Ｒ，使得对所有的ｘ∈Ｒ，都有ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ2，ｇ［ｆ（ｘ）］＝ｘ3？导析：既然对所有ｘ∈Ｒ，都有这两个函数关系，学生首先想到用特殊值去验证．根据本题特点选择0和1，得ｆ［ｇ（0）］＝0，ｇ［ｆ（0）］＝0；ｆ［ｇ（1）］＝1，ｇ［ｆ（1）］＝1．现在问题转化为要求ｆ（0）、ｆ（1）、ｇ（0）、ｇ（1）．经过一番“折腾”，学生摸索出ｆ（0）＝ｆ｛ｇ［ｆ（0）］｝＝［ｆ（0）］2，ｆ（1）＝ｆ｛ｇ［ｆ（1）］｝＝［ｆ（1）］2．那么ｆ（0）究竟等于0还是1?ｆ（1）又等于几?ｆ（ｘ）表达式又是什么?这时学生能够推得ｆ（ｘ3）＝ｆ｛ｇ［ｆ（ｘ）］｝＝［ｆ（ｘ）］2，这是一个一般性结论，学生还能观察出ｆ（－1）＝［ｆ（－1）］2．这样ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）的值都只能在0和1中选择，因此ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）至少有两个相等，究竟又是哪两个相等呢?正当“山穷水尽”之时，再揣摩一下题目中的“是否存在”，这是不是意味着上述结论不一定成立?至此问题的解决进入最后阶段，由于ｇ［ｆ（0）］、ｇ［ｆ（1）］、ｇ［ｆ（－1）］不等，故ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）也互不相等．更一般地，对于任意ｘ1≠ｘ2，ｆ（ｘ1）≠ｆ（ｘ2），因此满足条件的函数关系不存在．例5确定所有的函数ｆ：Ｒ→Ｒ，其中Ｒ是实数集，使得对任意ｘ，ｙ∈Ｒ，恒有ｆ［ｘ－ｆ（ｙ）］＝ｆ［ｆ（ｙ）］＋ｘｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）－1成立．（1999年第四十届IMO试题）导析：和上题一样，先用特殊值代入验算．学生自然先考虑ｘ＝ｙ＝0的情形．得出ｆ［－ｆ（0）］＝ｆ［ｆ（0）］＋ｆ（0）－1．ｆ（0）的值又如何求呢?学生仍然会考虑特殊情况，再令ｘ＝ｆ（ｙ），得ｆ（0）＝2ｆ（ｘ）＋ｘ2－1，从而ｆ（0）＝1．容易验证ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2符合题意．这是从特殊情形推出的结果，现在还需要解决的问题是有没有满足条件的其他函数?不妨设函数ｆ像的集合为Ａ．我们的目标是求ｆ（ｘ）表达式．令ｙ＝0，则ｆ（0）∈Ａ且为常数，记为ｍ，则ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）可以表示为ｘ的一次函数：ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1．也就是说对任意ｘ∈Ｒ，ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1∈Ｒ，ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）∈Ｒ．换句话讲对任意ｘ∈Ｒ，都存在ｙ1，ｙ2∈Ａ，使得ｘ＝ｙ1－ｙ2．因此ｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ－ｙ2）＝ｆ（ｙ1）＋ｆ（ｙ2）＋ｙ1ｙ2－1．①那么ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ2）又如何表示?由上述1分析知只要令ｘ＝ｆ（ｙ），便得ｆ（ｘ）＝（－ｘ2＋ｍ＋1）／2．② 把ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ）表达式代入①，即可求得ｆ（ｘ）＝ｍ－ｘ2／2．再令ｘ＝0，则ｍ＝1．从而对任意ｘ∈Ｒ，2都有ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2．例6设ｎ为自然数集合，ｋ∈Ｎ，如果有一个函数ｆ：Ｎ→Ｎ是严格递增的，且对于每一个ｎ∈Ｎ，都有ｆ［ｆ（ｎ）］＝ｋｎ．求证：对每一个ｎ∈Ｎ，都有2ｋｎ／（ｋ＋1）≤ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．导析：条件是关于复合函数的等式，结论却是关于ｆ（ｘ）的不等式，学生首先能考虑寻找ｆ（ｎ）与ｆ［ｆ（ｎ）］之间的关系．由已知，ｆ（ｎ）≥ｎ，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）≥ｎ，故ｋ≥1，而2ｋｎ／（ｋ＋1）＝ｎ／（1／2＋1／2ｋ）≥ｎ，这对证题没有帮助．再回到已知“ｆ严格递增且取自然数值”，就是说ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，进而对任意ｍ∈Ｎ，都有ｆ（ｎ＋ｍ）≥ｆ（ｎ）＋ｍ．既然ｆ（ｎ）≥ｎ，不妨设ｆ（ｎ）＝ｎ＋ｍ（ｍ是非负整数），则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）＋ｍ＝ｆ（ｎ）＋ｆ（ｎ）－ｎ，从而ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．对于左式，实质是要证明ｆ［ｆ（ｎ）］≤（ｋ＋1）ｆ（ｎ）／2，这已是水到渠成的事情．本题多次运用换元思想，进行“换位思考”，这也是解复合函数竞赛试题的常用手段．例7设ｆ（ｎ）为一个在所有正整数集合Ｎ上有定义且在Ｎ上取值的函数．证明：如果对每一个ｎ，ｆ（ｎ＋1）＞ｆ［ｆ（ｎ）］，则对每一个ｎ，ｆ（ｎ）＝ｎ．导析：本题和上题恰好相反，是由不等关系推相等关系．根据所求，学生较易想到的是反证法．假设ｆ（ｎ）≠ｎ，不妨先考虑ｆ（ｎ）＞ｎ的情形，得ｆ［ｆ（ｎ）］＞ｆ（ｎ），而ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，至此已别无它法．调整思路，比较本题和上题，上题已知ｆ是Ｎ→Ｎ上严格增函数，本题结论函数ｆ也是单调增函数．所以可以尝试先证明ｍ≥ｎ时，ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）．由于是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．当ｎ＝1时，ｆ（2）＞ｆ［ｆ（1）］，而ｆ［ｆ（1）］≥ｆ（1）又怎么证?这又回到上面老路上．退一步讲，对任意ｍ≥ｎ，欲证ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）比较困难，能否证得ｆ（ｍ）≥ｎ？事实上如果证得ｆ（ｍ）≥ｎ，则ｆ（ｎ）≥ｎ也必定成立，这离ｆ（ｎ）＝ｎ反而更接近．当ｎ＝1时结论显然成立．设ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ）时结论成立，即ｍ≥ｋ时，ｆ（ｍ）≥ｋ．则当ｎ＝ｋ＋1，即ｍ≥ｋ＋1时，ｍ－1≥ｋ，ｆ（ｍ－1）≥ｋ，从而ｆ（ｍ）＞ｆ［ｆ（ｍ－1）］≥ｋ．由于ｆ（ｍ）取值为正整数，因此ｆ（ｍ）≥ｋ＋1，命题成立．这样ｆ（ｎ）≥ｎ．现在证明ｆ（ｎ）＞ｎ不可能．若ｆ（ｎ）＞ｎ，即ｆ（ｎ）≥ｎ＋1，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ＋1），这与已知矛盾．接下来，就由学生对上述思路进行梳理、整合．三、强化训练1．若＝ｘ，求Ｆ（ｘ）．2．已知ｆ（ｘ）＝｜1－2ｘ｜，ｘ∈［0，1］，求方程ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝＝（1／2）ｘ的解的个数．3．若ａ＞0，ａ≠1，Ｆ（ｘ）为Ｒ上的奇函数，判定函数Ｇ（ｘ）＝的奇偶性．4．设ｆ（ｘ）＝（1＋ｘ）／（1－3ｘ），ｆ1（ｘ）＝ｆ［ｆ（ｘ）］，ｆ2（ｘ）＝ｆ［ｆ1（ｘ）］，…，ｆn（ｘ）＝ｆ［ｆn－1（ｘ）］，…，求ｆ1991（4．7）．5．设ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都有ｆ［ａｆ（ｂ）］＝ａｂ，求ｆ（2000）．6．设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝ｘ｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ｝．（1）求证ＭＮ；（2）若ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数，判断Ｍ＝Ｎ是否成立，并证明你的结论．7．全体正整数集是两个不相交子集｛ｆ（1），ｆ（2），…，ｆ（ｎ），…｝与｛ｇ（1），ｇ（2），…，ｇ（ｎ），…｝的并集，其中ｆ（1）＜ｆ（2）＜…＜ｆ（ｎ）＜…，ｇ（1）＜ｇ（2）＜…＜ｇ（ｎ）＜…，且对于所有ｎ＞1，有ｇ（ｎ）＝ｆ［ｆ（ｎ）］＋1，求ｆ（240）．参考答案与提示1．（1－ｘ）／（1＋ｘ）．提示：用换元法．2．8个．提示：分类讨论．先分两类：ｆ（ｘ）＝对于ｆ［ｆ（ｘ）］，也可类似分成四个区间讨论，因为ｆ（ｘ）在上述两区间值域仍为［0，1］．至于ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝要分八个区间分别求解．3．奇函数．提示：可先证明是奇函数．4．4．7．提示：由ｆ1（ｘ）＝（ｘ－1）／（3ｘ＋1），ｆ2（ｘ）＝ｘ，ｆ3（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ4（ｘ）＝ｆ1（ｘ），由此可以类推，归纳出规律，ｆ3ｍ＋k（ｘ）＝ｆk（ｘ）（ｍ，），从而ｆ1991（4．7）＝ｆ3×663＋2（4．7）＝ｆ2（4．7）＝4．7．5．±2000．提示：用特殊值法．先令ａ＝1，得ｆ［ｆ（ｂ）］＝ｂ；再令ａ＝ｆ（ｂ），得ｆ［ｆ2（ｂ）］＝ｂｆ（ｂ）．而ｆ［ｂｆ（ｂ）］＝ｂ2＝ｆ｛ｆ［ｆ2（ｂ）］｝＝ｆ2（ｂ），故｜ｆ（ｂ）｜＝｜ｂ｜．6．（1）对任一ｘ∈Ｍ，ｆ（ｘ）＝ｘ，于是ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｆ（ｘ）＝ｘ，即ｘ∈Ｎ，故ＭＮ．（2）成立．设ｆ（ｘ）为增函数，若ｘＭ，则ｆ（ｘ）＞ｘ或ｆ（ｘ）＜ｘ；前者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＞ｆ（ｘ）＞ｘ，后者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＜ｆ（ｘ）＜ｘ，故总有ｘＮ，因此ＮＭ．结合（1），Ｍ＝Ｎ．7．388．解答见文［2］．参考文献1．甘大旺．复合函数的反函数．中学数学，2000，22．单土尊．数学奥林匹克题典．南京：南京大学出版社，1995（本期“高中竞赛初级讲座”特邀编辑刘康宁）。

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复合函数的定义域和解析式以及单调性和奇偶性
1、复合函数的定义
函数为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的函数称为复合函数。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

① 已知)(x f 的定义域为(a,b)，求))((x g f 的定义域的方法：
已知)(x f 的定义域为)(b a ，，求))((x g f 的定义域。

实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ，∈，)()(b a x g ，∈。

通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为(a,b)，求)(x f 的定义域的方法：
若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。

实际上是已知直接变量
x 的取值范围，即)(b a x ，∈。

先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则
)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。

2．求有关复合函数的解析式
已知
)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，
再直接把
)(x g 换成x 而得)(x f 。

换元法：就是先设
t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f 。

3.求复合函数的单调性
“同增异减”法则
4.复合函数的奇偶性
一偶则偶，同奇则奇
5．典型例题讲解
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．
例2．⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；
⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；
⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．
例3．已知
x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f 例4．①已知
,1)(2+=x x f 求)1(-x f ； ②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．
例5．①已知x x x f 1
)1(+=- ，求)(x f ；
②已知
221)1(x x x x f +=-，求)1(+x f ．例6．①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ； ②已知x x f x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ．
例7、已知函数1()(1)1
x x a f x a a -=>+, (1)判断函数的奇偶性；
(2)证明()f x 是R 上的增函数。

例8、已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求其单调区间及值域。

．
例9、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)<f(x2-1),求x 的取值范围。

()()()212f x =x -a-1x+5,12f 2⎛⎫ ⎪⎝⎭例、如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围。

()()()()()()()+3f x R 1f xy =f x +f y f =1.1)f 1;2)3f x +f 2-x <2,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
例、已知函数是定义在上的减函数，并且满足
且求的值如果求的取值范围。

课后练习：
⑴已知20()20
00x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则(4)___[(3)]___f f f =-=，．
⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出，
那么((1))___((2))___,((3))___,((4))___f f f g g f g g ====，．
⑶已知函数
2()1f x x =+， ① 求()(1)(1)f a f a f x ++，，； ②若函数()1g x x =+，求(())f g x ．
（4）设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．
（5）已知
x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f （6）已知
221)1(x x x x f +=-，求)1(+x f ．（7）讨论函数y=log a (a x －1)的单调性其中a ＞0，且a ≠1．
解由对数函数性质，知a x －1＞0，即a x ＞1，于是，当0＜a ＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a ＞1时，定义域为(0，＋∞)．
当0＜a ＜1时，u ＝a x －1在(－∞，0)上是减函数，而y=log a u 也是减函数，∴y=log a (a x －1)在(－∞，0)上是增函数．
当a ＞1时，u ＝a x －1在(0，＋∞)上是增函数，而y=log a u 也是增函数，∴y ＝log a (a x －1)在(0，＋∞)上是增函数．综上所述，函数y=log a (a x －1)在其定义域上是增函数。