9运用函数地单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版

教学容概要
教学容
【知识精讲】
一、常见的抽象函数模型：
① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。

② 幂函数模型：()2
x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ⋅=；()
()y f x f y x f =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛。

③ 指数函数模型：()x
a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ⋅=+；()()()
y f x f y x f =
-。

④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛。

⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()()
y f x f y f x f y x f ⋅-+=
+1。

如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。

二、奇偶函数的性质：
奇函数：（1）()()f x f x -=-；
（2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =； （3）图像关于原点对称；
（4）y 轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）()()f x f x -=； （3）图像关于y 轴对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相反；
三、函数单调性的逆用：
若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；
若()f x 在区间D 上递减，则1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈).
四、不等式恒成立问题的解法
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。

【经典例题】
例1、求函数
y =
例2、已知奇函数()f x 是定义在[]
1,1-上的减函数，解不等式()210f x ->。

例3、
()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减，若()()
2240f a f a -+-<，则a
的取值围是 （
） A .)2
B.(()2,-∞+∞
C.)
D.(()3,-∞+∞
例4、（引例）已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-单调递减，求满足
2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值围．
（拓展）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2
f x x =，若对任意的
[],2x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值围是 ( )
A ．)
+∞ B ．[
)2,+∞
C ．(]
0,2 D ．12,3⎡⎤⎡⎤-⎣⎦
⎣⎦
例5、已知偶函数()f x 在区间[
)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的取值围是（ ）
A 12,
33⎛⎫
⎪⎝⎭ B 12,33⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C 12,23⎛⎫
⎪⎝⎭ D 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
例6、（引例）函数()f x 是R 上的单调函数，满足()()21f f >，且()
()2f m f m >-，
数m 的取值围；
（拓展）定义在R 上的单调函数()f x 满足()23log 3f =且对任意,x y R ∈都有
()()()f x y f x f y +=+ 。

(1)求证()f x 为奇函数；
(2)若()()
33920x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，数k 的取值围．
【拓展提高】
例：已知奇函数()f x 的定义域为实数集，且()f x 在[
)0,+∞上是增函数，当02
π
θ≤≤
时，
是否存在这样的实数m ，使2
(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的
0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由。

【巩固练习】
1、已知)(x f 是定义在()0,∞-上的减函数，且)3()1(-<-m f m f ，则m 的取值围是( ) A ．2<m B ．10<<m C ．20<<m D ．21<<m
2、已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ ）
A 12()()f x f x ->-
B 12()()f x f x -<-
C 12()()f x f x ->-
D 12()()f x f x -<-
3、已知定义域为R 的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则 （ ）
A.()()67f f >
B.()()69f f >
C.()()79f f >
D.()()710f f >
4、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=,
0,4,0,4)(2
2x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值围是 （ ） A. (,1)
(2,)-∞-+∞ B. (1,2)- C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-+∞
5、若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点)4,0(A 和点)2,3(-B ，则当不等式
4)(2<+<-t x f 的解集为()2,1-时，t 的值为__ ___．
()f x ()8,+∞()8y f x =+
6、已知奇函数()f x 是定义在()3,3-上的减函数，且满足不等式()()
2330f x f x -+-<,求x 的取值围。

7、设函数()y f x =是定义在R +上的减函数，并且满足()()()f xy f x f y =+，
113f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. (I)求(1)f 的值；
（II ）如果()(2)2f x f x +-<，求x 的取值围.
8、设)(x f 是定义在（),0+∞上的增函数，且满足)()()(y f x f xy f +=．
若1)3(=f ，且2)1()(+->a f a f ，数a 的取值围．
9、已知函数()2
2
21log 2m x f x x -=-（0m >且1m ≠）， （1）求()f x 的解析式，并判断()f x 的奇偶性；
（2）解关于x 的方程()1log m f x x
=； （3）解关于x 的不等式()()log 31m f x x ≥+
10、函数()f x 对任意的a ，b ∈R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，
()1f x >，若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<。