利用函数的单调性解不等式PPT演示文稿
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函数的单调性ppt
05
函数的单调性的实际案例
利用函数的单调性解决实际问题
1 2
判断经济增长趋势
通过分析经济增长率函数，利用函数的单调性 可以判断经济是处于增长趋势还是下降趋势。
确定最优化解决方案
在生产、销售或投资领域，利用函数的单调性 可以帮助我们确定最优的策略或方案。
3
预测天气变化趋势
通过分析气象数据函数，利用函数的单调性可 以预测未来的天气变化趋势，为灾害预防和应 对提供参考。
函数的单调性的判断方法
定义法
根据函数的单调性定义来判断 。
导数法
对于可导函数，可以根据导数 的正负来判断函数的单调性。 当导数大于0时，函数单调递增 ；当导数小于0时，函数单调递
减。
图像法
观察函数的图像，上升曲线表 示函数单调递增，下降曲线表
示函数单调递减。
02
函数的单调性的应用
单调函数在生活中的应用
感谢您的观看
THANKS
单调函数与导数的关系总结
单调函数的导数
01
单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等
于0。
导数的正负与单调性
02
导数的正负与函数的单调性是一致的，即导数大于0时，函数
递增；导数小于0时，函数递减。
导数与变化趋势
03
导数可以反映函数的变化趋势，即函数在某点处的变化率，因
此可以用来预测函数的未来变化趋势。
一次函数和二次函数
一次函数在其定义域内具有单调性，而二次函数在其定义域内也 可能具有单调性。
极限和导数
在数学分析中，单调函数的极限和导数具有特定的性质和计算方 法。
不等式和排序
单调函数在求解不等式和进行排序等方面具有重要应用。
函数的单调性ppt课件
在[0, ) 上，任取 x1， x2 ，只要 x1 x2 ，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) ．
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
函数的单调性的应用课件
详细描述
在许多优化算法中，如梯度下降法、牛顿法等，可以 利用函数的单调性来指导搜索方向，加速算法的收敛 速度。此外，在求解最优化问题时，可以利用单调性 来证明解的存在性和唯一性。
THANKS
感谢观看
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性密切相关。导数大于零的区间内，函数单调递增；导数小于零的区间内，函数单 调递减。
通过求函数的导数，可以判断函数的单调性，进而研究函数的极值、拐点等性质。此外，导数还可以 用于求解函数的零点、近似计算等问题。
微积分中的单调性应用
单调性在微积分中有着广泛的应用。例如，在积分学中，可以利用单调性判断积分的符号和大小；在级数理论中，可以利用 单调性判断级数的收敛性和发散性。
02
在单调增函数中，随着自变量$x$的增大，函数值 $f(x)$也相应增大。
03
单调增函数在图像上表现为从左到右逐渐上升的曲 线。
单调减函数
01
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意$x_1 <
x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$。
02
在单调减函数中，随着自变量$x$的增大，函数值
$f(x)$相应减小。
单调性在图像分析中的应用
判断极值点
通过单调性分析，可以确定函数的极值 点，即函数由递增转为递减或由递减转 为递增的点。
VS
确定函数值范围
根据单调性，可以确定函数在某个区间内 的最大值和最小值。
图像变换与单调性的关系
平移变换
函数图像的平移不影响函数的单调性，平移 后的图像仍保持相同的单调性。
伸缩变换
利用单调性进行投资决策分析
总Hale Waihona Puke 词投资决策分析中，函数的单调性可以用于评 估投资组合的风险和回报。
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
函数的单调性ppt课件
在(-∞, 0)
上单调递减
当 ∈ (0, +∞)时， ′ > 0
在(0, +∞)
上单调递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(3)
= 3
o
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 3 2 ≥ 0
在R上单调
递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(1)
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 1 > 0
在R上单调
递增
=
o
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(2)
= 2
o
定义域
导数正负
∈
′ = 2
函数增减
当 ∈(-∞, 0)时， ′ < 0
例2：已知导函数′ 的下列信息,试
画出函数 图像的大致形状：
当 < < 时，′ > ；
当 < ，或 > 时， ′ < ；
当 = ，或 = 时， ′ = .
课后作业
问题1：回顾函数单调性的定义，并思考能否从平均变化
率，瞬时变化率的代数表达式中找到函数单调性与导数正
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(4)
定义域
1
=
o
导数正负
∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
′ = − −2 < 0
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
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切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
经济数学4.利用函数的单调性求证不等式
经济数学
经济数学在线开放课程
利用函数的单调性 求证不等式
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
2
例题 思路
经济数学
1
例题
经ห้องสมุดไป่ตู้数学
例题
x 当 x 0 时，证明不等式 e 1 x 。
分析：
要证明 e 1 x ( x 0) ，只要证明 e 1 x 0 ( x 0) 。
思路
经济数学
利用函数单调性证明不等式的一般步骤
要证明原不等式 ，一般先将不等式右边的项移至左边 然后关键看左边函数 f ( x) 在规定的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x ) 的符号判断单调性，从而得到证明结论。
经济数学
证明：当 x 0 时，sin x x 。
经济数学
经济数学在线开放课程
谢谢!
x x
关键看左边函数 f ( x) e x 1 x 在 x 0 的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x) e x 1 的符号可以判断了。
例题
证明不等式： e x 1 x ( x 0)
证明： 设
经济数学
f ( x) e x 1 x ， 且 f (0) 0 。 显然 f ( x ) 在 x 0 时连续，
x
又 f ( x) e 1 ，当
x0
时，f ( x) e 1 0
x
所以函数 f ( x) 在 (0,) 上单调增加， 那么当
x 0 时， f ( x) f (0) ，即 e x 1 x 0 ，
x
因此，当 x 0 时，e 1 x 。
经济数学
2
经济数学在线开放课程
利用函数的单调性 求证不等式
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
2
例题 思路
经济数学
1
例题
经ห้องสมุดไป่ตู้数学
例题
x 当 x 0 时，证明不等式 e 1 x 。
分析：
要证明 e 1 x ( x 0) ，只要证明 e 1 x 0 ( x 0) 。
思路
经济数学
利用函数单调性证明不等式的一般步骤
要证明原不等式 ，一般先将不等式右边的项移至左边 然后关键看左边函数 f ( x) 在规定的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x ) 的符号判断单调性，从而得到证明结论。
经济数学
证明：当 x 0 时，sin x x 。
经济数学
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谢谢!
x x
关键看左边函数 f ( x) e x 1 x 在 x 0 的范围内的单调性。 利用一阶导数 f ( x) e x 1 的符号可以判断了。
例题
证明不等式： e x 1 x ( x 0)
证明： 设
经济数学
f ( x) e x 1 x ， 且 f (0) 0 。 显然 f ( x ) 在 x 0 时连续，
x
又 f ( x) e 1 ，当
x0
时，f ( x) e 1 0
x
所以函数 f ( x) 在 (0,) 上单调增加， 那么当
x 0 时， f ( x) f (0) ，即 e x 1 x 0 ，
x
因此，当 x 0 时，e 1 x 。
经济数学
2
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2
∴所求函数的定义 域为 { x| 1 < x < 2}
x log ( 3 1) 3 3. 解不等式 ： 1 2
解：原不等式等价于 log 1 (3x 1) log 1 8
3 1 0 3x 1 8
x
2
即
3x 1
2
3x 9
∴所求不等式的解集 为{x| 0 < x < 2}
思考题
解：∵ 0∈[-1,1] 已知奇函数f(x)在定义域 [-1，1]上是减函数，解不 ∴ f(0) = 0
等式f ( 2x- 1 ) > 0
∴有
1 2 x 1 1 2 x 1 0
1 ∴0 ≤ x < 2
（1）在 （0,） 上是增函数 （2）f ( 1 ) = 0
则不等式f ( x ) > 0的解为
X > 1 或 -1< x <0
x 0 ∴有 x) f (1 x 1) -1 f (0 x 0 或 f ( x) f (1)
∴f(x)>0的解为x>1
或-1<x<0
岳阳市第十四中学
岳阳市第十四中学
利用函数的单调性解不等式
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
指数函数 y = a x 0<a<1 y a>1 定义域：R 定义域：R 值
值域: ( 0 , + ∞ ) 域：(0 , + ∞ )
1
0 x
过点(0 ，1),即x=0 时 y=1 a>1时，在R上是增函数 0<a<1时，在R上是减函数
归纳方法
1 2
观察不等式两端 的特点， 化为同类函数
借助函数的单调 性，去掉“ f “
归纳方法
3
注意定义域及单调 区间（特别是对数 函数中真数大于0）
课后作业
3 x , x 1 1. 已知f(x) = ，若f(x) = 2，则x= x, x 1
性 质
0<a<1
图
像
基础型练习
1. 解下列不等式
（1）2 x > 4
（2） ( 1 ) x < 8ห้องสมุดไป่ตู้
2
解： x > 2 解： x > -3 解： x > 100 解：0 x
1 4
（3）lgx > 2 （4） log1 x 2
2
小结：
指数函数、对数函数不等式的解法 1. 将不等式两边变成底数相同； 2. 利用函数的单调性，注意函数的定义域； 3. 若y=f(x)在区间D上是增(减)函数，则对于x1,x2 ∈D, 2 有： (1) f(x1)<f(x2 ) x1 < x2 (x1 > x 2)
3x 2 0 2x 0 3x 2 2 x
2 x2 3
2 x 3 x0
x2
5. 已知奇函数 f ( x ) 的定义 （0,） 域为（ ,0） 且满足条件:
解: 由已知得f ( （ , 0） yx )在 上也是增函数（可证）， 且 f ( -1 ) = 0
（1）当 a > 1时有： 解：
3x 2 0 2x 0
( a > 0,且a 1 ) 的取值范围
4. 已知函数 f(x)=loga (3x 2)
2 x 3 x0
x2
3x 2 2 x
∴x > 2
若 f ( x ) > loga ( 2x ), 求x
（2）当 0<a < 1时有：
(2) f(x1)=f(x2)
(3) f(x1)>f(x2)
x1
x1 = x2
> x2
(x1 = x2 )
(x 1 < x2 )
提高型练习
2. 求函数
y 1 log1 ( 2 x)
2
的定义域
解:依题意有
2–x <1 即 2–x>0
log1 (2 x) 0
1 1 2. 函数f(x) = |lgx|，则f ( )， f ( ) ，f(2)的大小关系是 4 3
3. 已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，
1 2
且 f(
) = 0，求不等式f ( log 4 x ) > 0的解集；
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谢谢大家!
性 质
图
像
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
对数函 数 y = logax
y
a>1
定义域：( 0 , + ∞ ) 值 域：R
过点(1 ，0)即x = 1时y = 0 0 1 x a > 1 时: 在( 0 , + ∞ )上是增函数 0 < a < 1时: 在( 0 , + ∞ )上是减函数
∴所求函数的定义 域为 { x| 1 < x < 2}
x log ( 3 1) 3 3. 解不等式 ： 1 2
解：原不等式等价于 log 1 (3x 1) log 1 8
3 1 0 3x 1 8
x
2
即
3x 1
2
3x 9
∴所求不等式的解集 为{x| 0 < x < 2}
思考题
解：∵ 0∈[-1,1] 已知奇函数f(x)在定义域 [-1，1]上是减函数，解不 ∴ f(0) = 0
等式f ( 2x- 1 ) > 0
∴有
1 2 x 1 1 2 x 1 0
1 ∴0 ≤ x < 2
（1）在 （0,） 上是增函数 （2）f ( 1 ) = 0
则不等式f ( x ) > 0的解为
X > 1 或 -1< x <0
x 0 ∴有 x) f (1 x 1) -1 f (0 x 0 或 f ( x) f (1)
∴f(x)>0的解为x>1
或-1<x<0
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利用函数的单调性解不等式
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
指数函数 y = a x 0<a<1 y a>1 定义域：R 定义域：R 值
值域: ( 0 , + ∞ ) 域：(0 , + ∞ )
1
0 x
过点(0 ，1),即x=0 时 y=1 a>1时，在R上是增函数 0<a<1时，在R上是减函数
归纳方法
1 2
观察不等式两端 的特点， 化为同类函数
借助函数的单调 性，去掉“ f “
归纳方法
3
注意定义域及单调 区间（特别是对数 函数中真数大于0）
课后作业
3 x , x 1 1. 已知f(x) = ，若f(x) = 2，则x= x, x 1
性 质
0<a<1
图
像
基础型练习
1. 解下列不等式
（1）2 x > 4
（2） ( 1 ) x < 8ห้องสมุดไป่ตู้
2
解： x > 2 解： x > -3 解： x > 100 解：0 x
1 4
（3）lgx > 2 （4） log1 x 2
2
小结：
指数函数、对数函数不等式的解法 1. 将不等式两边变成底数相同； 2. 利用函数的单调性，注意函数的定义域； 3. 若y=f(x)在区间D上是增(减)函数，则对于x1,x2 ∈D, 2 有： (1) f(x1)<f(x2 ) x1 < x2 (x1 > x 2)
3x 2 0 2x 0 3x 2 2 x
2 x2 3
2 x 3 x0
x2
5. 已知奇函数 f ( x ) 的定义 （0,） 域为（ ,0） 且满足条件:
解: 由已知得f ( （ , 0） yx )在 上也是增函数（可证）， 且 f ( -1 ) = 0
（1）当 a > 1时有： 解：
3x 2 0 2x 0
( a > 0,且a 1 ) 的取值范围
4. 已知函数 f(x)=loga (3x 2)
2 x 3 x0
x2
3x 2 2 x
∴x > 2
若 f ( x ) > loga ( 2x ), 求x
（2）当 0<a < 1时有：
(2) f(x1)=f(x2)
(3) f(x1)>f(x2)
x1
x1 = x2
> x2
(x1 = x2 )
(x 1 < x2 )
提高型练习
2. 求函数
y 1 log1 ( 2 x)
2
的定义域
解:依题意有
2–x <1 即 2–x>0
log1 (2 x) 0
1 1 2. 函数f(x) = |lgx|，则f ( )， f ( ) ，f(2)的大小关系是 4 3
3. 已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，
1 2
且 f(
) = 0，求不等式f ( log 4 x ) > 0的解集；
岳阳市第十四中学
谢谢大家!
性 质
图
像
回顾指数函数、对数函数的图像与性质
对数函 数 y = logax
y
a>1
定义域：( 0 , + ∞ ) 值 域：R
过点(1 ，0)即x = 1时y = 0 0 1 x a > 1 时: 在( 0 , + ∞ )上是增函数 0 < a < 1时: 在( 0 , + ∞ )上是减函数