湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考文科数学试卷

湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考数学试卷（文科）考试时间：2010年12月10日下午3：00－5：00 试卷满分：150分祝考试成功一、选择题（每小题５分，共50分） １、函数y ＝)-2(log 31x 的定义域为A 、(1，＋∞)B 、(－∞，2)C 、(1，2)D 、[1，2) ２、等差数列{a n }，｛b n ｝的前n 项和分别为S n ，T n ，若132+=n n T S nn ，则nn b a 等于A 、32 B 、1312--n n C 、1312++n n D 、4312+-n n３、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若m ＝(a －b,1)和n ＝(b －c,1)平行，且sinB ＝54，当△ABC 的面积为23时，则b 等于A 、231+ B 、２ C 、４ D 、2＋3４、对于非空集合A 、B ，定义运算A ○＋B ＝{x | x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B}，已知两个开区间M ＝(a ，b)，N ＝(c ，d)，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＜c ＋d ，ab ＝cd ＜0，则M ○＋N 等于 A 、(a ，b)∪(c ，d) B 、(a ，c)∪(b ，d)C 、(a ，d)∪(b ，c)D 、(c ，a)∪(d ，b)５、已知f (x)＝x 2－2x ，则满足条件⎩⎨⎧≥-≤+0)()(0)()(y f x f y f x f 的点（x ，y ）所形成区域的面积为A 、πB 、23π C 、2π D 、4π６、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足3])21()1(1[(OC OB OA OP λλλ++-+-=）（λ∈R ，）， 则P 的轨迹一定过△ABC的A 、内心B 、垂心C 、重心D 、AC 边的中点７、已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P(x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，O 为坐标原点，若圆C 上存在点Q ，使∠OPQ ＝30°，则x 0的取值范围是A 、[－1，1]B 、[0，1]C 、[－2，2]D 、[0，2]８、已知函数f (x)＝－x 2－x 4－x 6 ，x 1 ，x 2 ，x 3∈R 且x 1＋x 2 ＜ 0，x 2＋x 3 ＜ 0，x 3＋x 1＜0，则f ′(x 1)＋f ′(x 2)＋f ′(x 3)的值是(f ′(x)是f (x)的导数)A 、一定小于零B 、等于零C 、一定大于零D 、正负均有可能９、已知函数f (x)＝(31)x －log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足f (a)f (b)f (c)＜0，若实数d 是方程f (x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①d ＜a;②d ＞b;③d ＜c;④d ＞c 。

其中有可能成立的个数为A 、１B 、２C 、３D 、４10、若函数f (x)对于任意的x 都有f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x)且f (1)＝lg 3－lg 2，f (2)＝lg 3＋lg 5，则f (2010)＝ A 、1 B 、－2 C 、lg 3－lg2D 、－1二、填空题（每小题５分，共25分）11、已知sin(α＋6π)＝31，则cos(32π－2α)的值为12、已知函数f (x) 的导数f ′(x)＝a(x ＋1)(x －a)，若f (x)在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是13、如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则AM ²AN 的最大值为14、已知函数f (x)＝⎪⎩⎪⎨⎧-≥+020222x ＜x x x x x ，，，若f (2－a 2)＞f (a)，则实数a 的取值范围是 15、已知：A(－2，0)，Ｂ(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为AB C DNMX(-2,0)OBA Y C (0,2(2,0) E F三、解答题（共75分）16、（12分）在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2（１）求∠A ；（２）若a ＝3，求b 2＋c 2的取值范围。

17、（12分）如图，从边长为2a 的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x 的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x 与底面正方形的边长的比不超过常数t ，问：x 取何值时，长方体的容积V 有最大值？18、（12分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。

（１）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1； （２）在CC 1上是否存在一点E ，使得∠BA 1E ＝45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面A 1BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由。

19、（12分）已知三次曲线C ：f (x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象关于点A(1，0)中心对称。

（１）求常数b 的值及c 与d 的关系；（２）当x ＞1时，f (x) ＞0恒成立，求c 的取值范围。

x x xx xxxx AC1B1A1DCB20、（13分）已知，A 是抛物线y 2＝2x 上的一动点，过A 作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线分别切圆于EF 两点，交抛物线于M 、N 两点，交y 轴于B 、C 两点 （１）当A 点坐标为(8，4)时，求直线EF 的方程； （２）当A 点坐标为(2，2)时，求直线MN 的方程； （３）当A 点的横坐标大于2时，求△ABC 面积的最小值。

21、（14分）设｛a n ｝是由正数组成的等差数列，S n 是其前n 项和（１）若S n ＝20，S 2n ＝40，求S 3n 的值；（２）若互不相等正整数p ，q ，m ，使得p ＋q ＝2m ，证明：不等式S p S q ＜S 2m 成立； （３）是否存在常数k 和等差数列｛a n ｝，使ka 2n －1＝S 2n －S n+1恒成立（n ∈N *），若存在，试求出常数k 和数列｛a n ｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

OCNF E M B D (1,0XYA2010届高三第二次联考高三数学（文）参考答案一、选择题：１－５ DBBBA ６－10 CDCDD二、填空题：11、－9712、（－1，0） 13、614、（－2，1） 15、（4，＋∞）三、解答题16、①由余弦定理知：cosA ＝bcac b 2222-+＝21∴∠A ＝3π…………………………………………………5分②由正弦定理得：2sin sin sin ===Cc Bb Aa∴b ＝2sinB ，c ＝2sinC∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C)＝2(1－cos2B ＋1－cos2C)＝4－2cos2B －2cos2(32π－B)＝4－2cos2B －2cos(34π－2B)＝4－2cos2B －2（－21cos2B －23sin2B ）＝4－cos2B ＋3sin2B ＝4＋2sin(2B －6π)又∵6π＜∠B ＜2π ∴6π＜2B －6π＜65π∴1＜2sin(2B －6π)≤2∴5＜b 2＋c 2≤6…………………………………………………12分17、长方体的体积V ＝4x(x －a )2，(o ＜x ＜a )由xa x 22-≤ t 得 0＜x ≤tta 212+而V ′＝12(x －3a )(x －a )∴V 在（0，3a ）增，在（3a，a ）递减……………………………………………６分∴若t ta 212+≥3a 即 t ≥41，当x ＝3a 时，V 取最大值2716a 3若tta 212+＜3a 即 0＜t ＜41，当x ＝tta 212+时，V 取最大值33)21(8t ta+………12分18、（１）∵AB ＝B 1B∴四边形ABB 1A 1为正方形， ∴A 1B ⊥AB 1又∵AC 1⊥面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B ， ∴A 1B ⊥面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1又在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1…………………………………………６分（２）证明：设AB ＝BB 1＝a ，CE ＝x ，∵D 为AC 的中点，且AC 1⊥A １D ， ∴A 1B ＝A 1C 1＝2a又∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，B 1C 1⊥A 1B 1 ∴B 1C 1＝a ，BE ＝22x a +，A 1E ＝ax x a x a a 23)(22222-+=-+，在△A 1BE 中，由余弦定理得BE 2＝A 1B 2＋A 1E 2－2A 1B ²A 1E ²cos45°，即a 2＋x 2＝2a 2＋3a 2＋x 2－2a x －2ax x a 2322-+²2a ²22，∴ax x a 2322-+＝2a －x ，解得x ＝21a ，即E 是C 1C 的中点∵D 、E 分别为AC 、C 1C 的中点，∴DE ∥AC 1 ∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴DE ⊥平面A 1BD又∵PE ⊂平面BDE ，∴平面ABD ⊥平面BDE …………………………12分19、（１）由图象关于A(1，0)对称得f (x)＋f (2－x)＝0恒成立即：（2b ＋b ）x 2－4（b ＋3）x ＋2d ＋2c ＋4b ＋8＝0恒成立∴⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+0842203062b c d b b ∴⎩⎨⎧=+-=23c d b ………………………………………………………………………６分（２）f (x)＞0得x 3－3x 2＋cx ＋2－c ＞0恒成立 x 3－3x 2＋2＋（x －1）c ＞0 ∴x 2－2x －2＋c ＞0恒成立而x ＞1时 x 2－2x －2＋c ＞－3＋c ≥0∴c ≥3………………………………………………………………………………12分20、（１）∵DEFA 四点共圆EF 是圆（x －1）2＋y 2＝1及(x －1)(x －8)＋y(y －4)＝０的公共弦∴EF 的方程为7x ＋4y －8＝0………………………………………………4分（２）设AM 的方程为y －2＝k(x －2)即kx －y ＋2－2k ＝0与圆(x －1)2+y 2＝1相切得21|-2|kk +＝1∴k ＝43 把y －2＝43（x －2）代入y 2＝2x 得M(92，32)，而N(2，－2)∴MN 的方程为3x ＋2y －2＝0………………………………………………8分（３）设P(x 0，y 0)，B(0，b)，C(0，c)，不妨设b ＞c ， 直线PB 的方程为y －b ＝x x b y 00-，即(y 0－b)x －x 0y ＋x 0b ＝0又圆心（1，0）到PB 的距离为1，所以22000)(|-|xb y b x b y +-+＝1，故（y 0－b ）2＋x 20＝（y 0－b ）2＋2x 0b(y 0－b)+ x 20b 2又x 0＞2，上式化简得（x 0－2）b 2＋2y 0b －x 0＝0 同理有（x 0－2）c 2＋2y 0c －x 0＝0故b ，c 是方程（x 0－2）t 2＋2y 0t －x 0＝0的两个实数根 所以b ＋c ＝2-2-00x y ，bc ＝2-x -00x ，则(b －c)2＝2002020)2-(8x -4y 4x x +因为P(x 0，y 0)是抛物线上的点，所以有y 20＝2x 0，则(b －c)2＝202)2-(4x x ，b －c ＝2-200x x ，∴S △PBC ＝21(b －c)x 0＝2-x 02x ＝x 0－2＋2-40x ＋4≥24＋4＝8当（x 0－2）2＝4时，上式取等号，此时x 0＝4，y ＝±22因此S △PBC 的最小值为8…………………………………………………………13分21、（１）在等差数列｛a n ｝中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列，∴S n ＋（S 3n －S 2n ）＝2（S 2n －S n ）∴S 3n ＝3 S 2n －3 S n ＝60…………………………………………………………………4分（２）S p S q ＝41pq （a 1＋a p ）（a 1＋a q ）＝41pq ［a 21＋a 1(a p ＋a q )＋a p a q ］＝41pq （a 21＋2a 1a m ＋a p a q ）＜41（2q p +）2［a 21＋2a 1a m ＋（2qp a a +）2］＝41m 2（a 21＋2a 1a m ＋a 2m ）＝［21m （a 1+a m ）］2＝S 2m ………………………………………………………………………8分 （３）设a n ＝pn ＋q （p ，q 为常数），则k a 2n －1＝kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2－1 S n+1＝21p(n ＋1)2＋22q p +（n ＋1）S 2n ＝2pn 2＋（p ＋2q ）n∴S 2n －S n+1＝23pn 2＋2-2pq n －（p ＋q ），依题意有kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2－1＝23 pn 2＋2-2p q n －（p ＋q ）对一切正整数n 成立，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=--==③q p kq ②p q kpq ①p kp )(1,222,2322由①得，p ＝0或kp ＝23；若p ＝0代入②有q ＝0，而p ＝q ＝0不满足③， ∴p ≠0 由kp ＝23代入②，∴3q ＝2-2p q ，q ＝－4p 代入③得，162kp －1＝－（p －4p ），将kp ＝23代入得，∴ p ＝2732，解得q ＝－278，k ＝6481故存在常数k ＝6481及等差数列a n ＝2732n －278使其满足题意…………………14分。