高考数学一轮复习：第8章 解析几何 第5讲

第八章 第五讲A 组 基础巩固一、选择题1．“2＜m ＜6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆．则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4.故“2＜m ＜6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为 ( ) A.14 B ．12C ．2D ．4[答案] A[解析] 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为 ( )A.x 225＋y 25＝1 B ．x 236＋y 216＝1C.x 230＋y 210＝1 D ．x 245＋y 225＝1[答案] B[解析] 设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示．由F (－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP |＝|OF |＝|OF 1|，知PF 1⊥PF . 在Rt △PF 1F 中，由勾股定理，得 |PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝ 45 2－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.4．如图，已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M 、N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为 ( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22D ．32[答案] A[解析] 因为过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，所以可得∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c .因为|F 1F 2|＝2c ，所以可得|MF 1|＝3c .由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，可得离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 5．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的 ( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[答案] A[解析] 设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝12|PF 1|，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，∴PF 1⊥x 轴．∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43，∴|PF 2|＝43－32＝732. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．6．设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为 ( )A.33B ．36C.13 D ．16[答案] A[解析] 如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线． 所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°. 因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|.由勾股定理得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|， 由椭圆定义得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2， 则e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.故选A.二、填空题7．已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝_________.[答案] 54[解析] 由题意知，A ，C 为椭圆的两焦点，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝2a2c ＝a c ＝54. 8．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________.[答案] x 264＋y 248＝1[解析] 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.9．已知AB 是圆心C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆x 2＋4y 2＝4b 2(b ∈R )经过A 、B 两点，则该椭圆的方程是___________.[答案] x 212＋y 23＝1[解析] 解法一：由已知，椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.(1)依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入(1)得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k ＋1 1＋4k 2，x 1·x 2＝4 2k ＋1 2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k 2k ＋1 1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋ 12 2|x 1－x 2|＝52x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10 b 2－2 .由|AB |＝10，得10 b 2－2 ＝10，解得b 2＝3. 故椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.解法二：由已知，椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.(2) 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知，AB 不与x 轴垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此AB 直线方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入(2)得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋ 12 2|x 1－x 2|＝52x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10 b 2－2 .由|AB |＝10，得10 b 2－2 ＝10，解得b 2＝3. 故椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________________.[答案]22[解析] 设左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF ，不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c ，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.三、解答题11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[答案] (1)x 28＋y 24＝1 (2)略[解析] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．12．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点(1，32)在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．[答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)(x －1)2＋y 2＝2[解析] (1)由题意知c ＝1,2a ＝ 322＋ 32 2＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A (－1，－32)，B (－1，32)，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝12 k 2＋1 3＋4k 2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2， ∴△AF 2B 的面积为12|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，代简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.B 组 能力提升1．(改编题)点P 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是 ( )A.57 B ．56C.45 D ．35[答案] A[解析] 设|PF 1|＝m ＜|PF 2|，则由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －m ，而|F 1F 2|＝2c .因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，所以2|PF 2|＝|PF 1|＋|F 1F 2|，即m ＋2c ＝2(2a －m )，解得m ＝13(4a －2c )，即|PF 1|＝13(4a －2c )，所以|PF 2|＝2a －13(4a －2c )＝13(2a ＋2c )．又∠F 1PF 2＝90°，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即[13(4a －2c )]2＋[13(2a ＋2c )]2＝(2c )2，整理得5a 2－2ac －7c 2＝0，解得a ＝75c 或a ＝－c (舍去)．故e ＝c a ＝57.2．F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] D[解析] 因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，所以S △F 1PF 2＝12mn ＝1，故选D.3．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________________.[答案] (x －32)2＋y 2＝254[解析] 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a ＞0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.4．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点.(1)如图(1)，点M 为椭圆C 上的一点，N 是MF 1的中点，且NF 2⊥MF 1，求点M 到y 轴的距离；(2)如图(2)，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使得四边形OPRQ 为平行四边形，求实数m 的取值范围．[答案] (1)22－2 (2)(－∞，－12]∪[12，＋∞)[解析] (1)由题意知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M (x 0，y 0)，因为N 为MF 1的中点，所以N (x 0－12，y 02)，所以MF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，NF 2→＝(3－x 02，－y 02)．因为MF 1⊥NF 2，所以MF 1→·NF 2→＝0， 即(－1－x 0，－y 0)·(3－x 02，－y 02)＝0，所以x 20－2x 0－3＋y 20＝0.① 又x 22＋y 20＝1，② 所以由①②解得x 0＝2－22(x 0＝2＋22舍去)．所以点M 到y 轴的距离为22－2.(2)依题意设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x R ，y R )．因为四边形OPRQ 为平行四边形，所以x 1＋x 2＝x R ，y 1＋y 2＝y R . 因为点R 在椭圆上，所以 x 1＋x 2 22＋(y 1＋y 2)2＝1，即 x 1＋x 2 22＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝1，化简得(1＋2k 2)(x 1＋x 2)2＋8km (x 1＋x 2)＋8m 2＝2.③ 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 由Δ＞0，得2k 2＋1＞m 2，④而x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，代入③，得16 1＋2k 2 k 2m 2 1＋2k 2 2－32k 2m 21＋2k 2＋8m 2＝2，化简得4m 2＝1＋2k 2，代入④，得m ≠0.又4m 2＝1＋2k 2≥1，所以m ≤－12或m ≥12.故实数m 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．5．(原创题)如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为45，上顶点为(0,3)，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，左顶点为D ，直线AD 、BD 分别与直线m ：x ＝－7相交于M 、N 两点.(1)求椭圆C 的方程； (2)求S △ABDS △MND的最大值． [答案] (1)x 225＋y 29＝1 (2)14[解析] (1)由题知，椭圆C 的上顶点为(0,3)，故b ＝3，c a ＝45，即c ＝45a ，所以a 2＝32＋(45a )2，解得a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)由(1)知椭圆方程为x 225＋y 29＝1，故D (－5,0)，F (－4,0)，当直线l 垂直于x 轴时，△ABD与△MND 相似，所以S △ABD S △MND ＝(|DF |2)2＝14.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x＋4)，设M (－7，y M )，N (－7，y N )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x ＋4)代入x 225＋y 29＝1整理得(9＋25k 2)x 2＋200k 2x ＋400k 2－225＝0，故x 1＋x 2＝－200k 29＋25k 2，x 1·x 2＝400k 2－2259＋25k 2，所以S △ABDS △MND＝12·|AD |·|BD |·sin ∠ADB 12·|MD |·|ND |·sin ∠MDN ＝|AD ||MD |·|BD ||ND |＝5＋x 12×5＋x 22＝x 1x 2＋5 x 1＋x 2 ＋254＝400k 2－2259＋25k 2＋5×－200k 29＋25k 2＋254＝25k 24 9＋25k 2＝254 9k2＋25 ＜14.综上所述，S △ABD S △MND 的最大值是14.。