讲义8 田楷琛弧长

解：设 OC=r，则 OA=r+12，∠O=n° nπ(r + 12) ∴l ∩ = = 10π AB 180 nπr l∩ = = 6π CD 180 n = 60 ∴ r = 18 ∴OC=18，OA=OC+AC=30 1 1 1 1 ∴ S阴 = S扇AOB − S扇COD = l ∩ ⋅ OA − l ∩ ⋅ OC = × 10π × 30 − × 6π × 18 = 96π 2 AB 2 CD 2 2 例 5：如图，已知正方形的边长为 a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。
三.“代数法”求阴影部分的面积 例题：如图，正方形的边长为 2，分别以两顶点为圆心，以边长为半径画弧， 求图中阴影部分的面积.
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四.练习与检测 1.某种商品的商标图案如图所示（阴影部分） ，已知菱形 ABCD 的边长为 4， ∠A = 60° ， BD 是以 A 为圆心，AB 长为半径的弧， CD 是以 B 为圆心，BC 长为半径的弧，求商标图案的面积.
π） ．
综合、运用、诊断 综合、运用、
1 10．已知：如图，在边长为 a 的正△ABC 中，分别以 A，B，C 点为圆心， a 长为半径作 2
，
，
，求阴影部分的面积．
11．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°， BC = 4 3 , 以 A 点为圆心，AC 长为半径作
，求∠B 与
∩ ∩ ∩ ∩ 6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的 AB = 6πcm ， CD = 10πcm ，⊙O'与 AB ， CD 都相切，则图中阴影部
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中小学个性化辅导专家 分的面积为____________。 综合测试］ ［综合测试］ 7. 如图，OA 是⊙O 的半径，AB 是以 OA 为直径的⊙O’的弦，O’B 的延长线交⊙O 于点 C，且 OA=4，∠ ∩ ∩ OAB=45°，则由 AB ， AC 和线段 BC 所围成的图形面积是______。
8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 的夹角为 120°，AB 长为 30cm，贴纸部分 BD 长为 20B. πcm 2 3 3 2 C. 800πcm D. 500πcm 2 9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为 2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（
（弧长公式）。
（1）圆面积 S= πR2； （2）圆心角为 1°的扇形的面积=
；
1 2 πr （3）圆心角为 1°的扇形的面积= 4 （4）圆心角为 n°的扇形的面积是圆心角为 1°的扇形的面积 n 倍；
（5）圆心角为 n°的扇形的面积=
。
归纳结论：若设⊙O 半径为 R，圆心角为 n°的扇形的面积 S 扇形，则 S 扇形=
例：已知圆锥的底面半径为 40cm，母线长为 90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。
例：若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则侧面展开图的圆心角是__________。 ° 例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是 80cm，母线长 50cm。 （1）画出它的展开图；
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中小学个性化辅导专家 （2）计算这个展开图的圆心角及面积。
3 a 3
C. 3 a
D.
3 a 2
7.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是 4 m，母线长为 3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这 块油毡的面积至少为（） A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2
8．在 Rt△ABC 中，已知 AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面 ． 积为 S1；把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋 转一周得到另一个圆锥，其全面积为 S2.那么 S1∶S2 等于（） A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12
A. 点．试比较 与 的长．
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求阴影部分面积方法训练 学习目标：掌握求阴影部分面积的三种常见方法，能求简单图形和复合图形的阴影部分面积. 学习重点：掌握求阴影部分面积的三种常见方法. 学习难点：利用图形变换或等积变换将阴影部分面积进行转化和知识的综合运用. 一.“和差法”求阴影部分面积 1.例题：如图，AB 切⊙O 于点 B，AO 交⊙O 于点 C， 若 AC=2，AB= 2 3 ，求图中阴影部分的面积.
A.
）
4 π D. π 3 10. 一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平翻滚（如图） ，那么，B 点从开始至结束所走过的路径 长度为（ ）
A. 4π B. 2π C.
3π 4π 3π B. C. 4 D. 2 + 2 3 2 11. （已知：如图，以线段 AB 为直径作半圆 O1，以线段 AO1 为直径作半圆 O2，半径 O1C 交半圆 O2 于 D
4. 如图，AB 是⊙O1 的直径，AO1 是⊙O2 的直径，弦 MN//AB，且 MN 与⊙O2 相切于 C 点，若⊙O1 的半径为 2，则 ∩ ∩ O1B、 BN 、CN、 O1 C 所围成的阴影部分的面积是_____________。
5. 如图，△ABC 为某一住宅区的平面示意图，其周长为 800m，为了美化环境，计划在住宅区周围 5m 内， （虚 线以内，△ABC 之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。
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中小学个性化辅导专家 围成的阴影部分的面积．
圆锥的侧面积和全面积 达标训练
一、基础·巩固·达标
1．圆锥的底面积为 25π，母线长为 13 cm，这 个圆锥的底面圆的半径为__________cm，高为_________cm，侧面 ． 积为__________cm2. 2.圆锥的轴截面是一个边长 10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为_______ ___cm2，锥角为_________，高为 __________cm. 3.已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=5 cm，BC=12 cm，则以 BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为___________cm2， 这个圆锥的侧面展开图的弧长为________cm，面积为_______cm2. 4.如图 24-4-16，已知圆锥的底面直径为 4，母线长为 6，则它的全面积为__________. 5.若圆锥的底面直径为 6 cm，母线长为 5 cm，则它的侧面积为___________.（结果保留 π） 6.若圆锥的侧面展开图是一个半径为 a 的半圆，则圆锥的高为（） A.a B.
基本概念 1. 推导弧长公式的方法步骤： 学生独立思考，给出答案。
（1）圆周长 C=
2πR；（2）1°圆心角所对弧长= ；
；
2π r ⋅ 90 1 = πr 2 ；（4）n°圆心角所对的弧长是 1°圆心角所对的弧长的 n 倍； （3）90°圆心角所对弧长= 360
n°圆心角所对弧长=
。
归纳结论：若设⊙O 半径为 R， n°圆心角所对弧长 l，则 2．一起探究扇形面积
2.练习：如图，半径为 2 的三个圆两两外切，求图中阴影部分的面积.
二.“移动法”求阴影部分面积 例题 1.如图，C、D 为半圆的三等分点，若 AB=4，求阴影部分的面积.
2.如图，ABCD 为正方形，EF∥AD，以 B 为圆心，正方形的边长为半径画弧， 若 DF=a，FC=b，求图中阴影部分的面积.
应用·创新 二、综合·应用 创新 综合 应用 9．一个圆锥的高为 33 cm，侧面展开图是半圆。 ． 求： （1）圆锥母线与底面半径的比； （2）锥角的大小； （3）圆锥的全面积.
10．已知圆锥底面直径 AB=20，母线 SA=30.C 为母线 SB 的中点.今有一小虫沿圆锥侧面从 A 点爬到 C 点觅食.问 ． 它爬过的最短距离应是多少？
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热身·展望 三、回顾·热身 展望 回顾 热身 11．如图 24-2-17①，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图 24-2-17②所示的一个圆锥模型.设 ． 圆的半径为 r，扇形半径为 R，则圆的半径与扇形半径之间的关系是（ A.R=2r B.R=94r C.R=3r D.R=4r ）
图 24-2-17
图 24-4-18
图 24-4-19
12．如图 24-4-18，已知圆锥的母线长 OA=8，地面圆的半径 r=2.若一只小虫从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周 ． 后又回到 A 点，则小虫爬行的最短路线的长是__________.（结果保留根式） 13.已知圆锥的母线与高的夹角为 30°，母线长为 4 cm，则它的侧面积为__________cm2（结果保留 π）. 14.如图 24-1-19，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6ｍ的正三角形 ABC，母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在 偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是____________ｍ.（结果不取近似 数）
（扇形面积公式） 扇形面积公式）
1 提出问题： 提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？S 扇形= 2 lR
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例 1：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为 80πcm ，那么⊙O 的半径为___________cm。 nπR 180l 180 × 80π 得： R = = = 120cm 解：由弧长公式： l = 180 nπ 120π 例 ： 若 扇 形 的 圆 心 角 为 120 ° ， 弧 长 为 10πcm ， 则 扇 形 半 径 为 _____________ ， 扇 形 面 积 为 ____________________。 答案： 答案：15；25π 例 2 ： 如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的 2 倍，这个扇形的中心角为 ____________。 答案： 答案：90° 2 例 3：已知扇形的周长为 28cm，面积为 49cm ，则它的半径为____________cm。 答案： 答案：7 ∩ ∩ 例 4：两个同心圆被两条半径截得的 AB = 10π ， CD = 6π ，又 AC=12，求阴影部分面积。