研究生矩阵论试题及答案

09级-研-矩阵论试题及参考答案

一（15分）设实数域上的多项式

321()223p x x x x =+++，322()23p x x x x =+++ 323()45p x x x x =-+--，324()367p x x x x =-++

（1）求线性空间()1234span ,,,W p p p p =的一组基和维数； （2）求多项式32()41p x x x =++在你所求基下的坐标。

解：（1）11111

0021130

1012246001233570

00r A -⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪-- ⎪ ⎪

=−−→

⎪ ⎪

-- ⎪

⎪-⎝⎭⎝⎭

123,,p p p 是W 的一组基，dim 3W =；

（2）123()()()()p x p x p x p x =++，p 的坐标为(1,1,1)T x =。 或：x^3+1 , x^2 , x+1.这三个基形式是最简单的。

坐标为（1，4，0）。

二（15分）(1)设2

T ()tr()F

f X X

X X ==,其中()m n ij m n X x R ⨯⨯=∈是矩阵变量，求

df

dX ； （2）设()m n

ij m n A a R ⨯⨯=∈，12(,,,)T n n x x x x R =∈ 是向量变量，()F x Ax =，求T dF dx

.

解 （1）211

()m n

ij i j f X x ===

∑∑，

2ij ij

f

x x ∂=∂， ()22ij m n ij

m n

df f x X dX x ⨯⨯⎛⎫

∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭；

(2) 11

1()n k k k n mk k k a x F x Ax a x ==⎛⎫

⎪ ⎪==

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

∑∑ ，1,1,2,,i i mi a F i n x a ⎛⎫∂ ⎪

== ⎪∂ ⎪

⎝⎭ ， 11111(,,)n T n

m mn a a dF F F A dx x x a a ⎛⎫

∂∂ ⎪

=== ⎪∂∂ ⎪⎝⎭

。

三（15分）已知微分方程组

0d d (0)x

Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩

，200031011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1）求矩阵A 的Jordan 标准形J 和可逆矩阵P 使1

P AP J -= （2）求矩阵A 的的最小多项式)(λA m （3）计算矩阵函数At

e ； （4）求该微分方程组的解。 解：（1）

3(2)I A λλ-=-，rank(2)1I A -=，2λ=对应两个线性无关的特征向量

A 的Jordan 标准形J 2212⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

12212P AP J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中101111110P -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（不唯一）

（2）由A 的Jordan 标准形知

2()(2)A m λλ=-

（3）210

00101At t e e t t t t ⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

（方法不限）

如用代定系数法：(),()t f e r a b λλλλ==+

由(2)(2),(2)(2)r f r f ''==可求得22(12),t t a t e b te =-=

210

00101At t e aI bA e t t t t ⎡⎤⎢⎥=+=+-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

（4）2202()t At

t t e x t e x e e ⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

四（15分）已知矛盾方程组b Ax =

12121

2121231

x x x x x x +=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A = （2）求A 的广义逆+

A ；

（3）求该方程组的最小二乘解LS x 。 解 （1）A 是列秩的，故

111223F ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，

1001G ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（不唯一） （2）69914T

A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11491963T

A A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

15411()3303T T A A A A +--⎛⎫

== ⎪-⎝⎭

；

（3）2103LS x A b +

⎛⎫

== ⎪⎝⎭

五（10分）设91210

81110401

00

1A -⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪- ⎪⎝⎭

， （1）写出A 的4个盖尔圆；

（2）应用盖尔圆定理证明矩阵A 至少有两个实特征值。

解（1）1234:94;:82;:41;:11;G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤ （2）它们构成两个连通部分112324,

S G G G S G == ，且12,S S 均关于实轴对称，故2S 中

只有一个特征值且必为实数，1S 中有三个特征值，故至少有一个实特征值。

六（10分）设122102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，用Schmidt 正交方法求A 的QR 分解。 解：见教材P118例题

七（10分）设矩阵m n

r

A R

⨯∈的奇异值分解为000r

T A U V ∑⎛⎫=

⎪⎝⎭

, 证明:（1）写出A +

的表达式；

（2）证明{}

12()|0span(,,,)n

r r n N A x R Ax v v v ++=∈==

解 (1) 1000T

r A V U ∑-+

⎛⎫= ⎪⎝⎭

（2）设V ()n r r v v v v v ,,|,,,121 +=()21|V V ≡，由000r

T U AV ∑⎛⎫=

⎪⎝⎭

()12220|000

0r

T

T T

U AV U AV U AV AV ∑⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎝

⎭

即),,1(0n r i Av i +==，这说明n r r v v v ,,,21 ++为0=Ax 的基础解系，得证。

八（10分）设n 阶矩阵,A B 满足AB BA =，证明：

（1）列空间()()()R A B R A R B +⊂+，()()()R AB R A R B ⊂ ； （2）矩阵秩不等式()()()()r A B r A r B r AB +≤+-。(提示：用维数定理) 证：（1）设12(,,,)n A ααα= ，12(,,,)n B βββ= ，则有

11222(,,,)n A B αβαβαβ+=+++

(),x R A B ∀∈+ 111222()()()n n n x k k k αβαβαβ=++++++

11221122()()n n n n k k k k k k αααβββ=++++++ ()()R A R B ∈+ 所以，()()()R A B R A R B +⊂+；因AB 的列都是由A 的列的线性组合，又AB BA =， 所以AB 的列也都是由B 的列的线性组合。因此，()()()R AB R A R B ⊂ 。 （2）由()()()R A B R A R B +⊂+知

[]()dim ()dim ()()r A B R A B R A R B +=+≤+

由()()()R AB R A R B ⊂ 知

[]dim ()dim ()()R AB R A R B ≤

由维数定理

[][]()dim ()()dim ()dim ()dim ()()r A B R A R B R A R B R A R B +≤+=+-

dim ()dim ()dim ()()()()R A R B R AB r A r B r AB ≤+-=+-。证毕。

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