研究生矩阵论试题及答案

09级-研-矩阵论试题及参考答案

一(15分)设实数域上的多项式

321()223p x x x x =+++,322()23p x x x x =+++ 323()45p x x x x =-+--,324()367p x x x x =-++

(1)求线性空间()1234span ,,,W p p p p =的一组基和维数; (2)求多项式32()41p x x x =++在你所求基下的坐标。

解:(1)11111

0021130

1012246001233570

00r A -⎛⎫⎛⎫

⎪-- ⎪ ⎪

=−−→

⎪ ⎪

-- ⎪

⎪-⎝⎭⎝⎭

123,,p p p 是W 的一组基,dim 3W =;

(2)123()()()()p x p x p x p x =++,p 的坐标为(1,1,1)T x =。 或:x^3+1 , x^2 , x+1.这三个基形式是最简单的。

坐标为(1,4,0)。

二(15分)(1)设2

T ()tr()F

f X X

X X ==,其中()m n ij m n X x R ⨯⨯=∈是矩阵变量,求

df

dX ; (2)设()m n

ij m n A a R ⨯⨯=∈,12(,,,)T n n x x x x R =∈ 是向量变量,()F x Ax =,求T dF dx

.

解 (1)211

()m n

ij i j f X x ===

∑∑,

2ij ij

f

x x ∂=∂, ()22ij m n ij

m n

df f x X dX x ⨯⨯⎛⎫

∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭;

(2) 11

1()n k k k n mk k k a x F x Ax a x ==⎛⎫

⎪ ⎪==

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

∑∑ ,1,1,2,,i i mi a F i n x a ⎛⎫∂ ⎪

== ⎪∂ ⎪

⎝⎭ , 11111(,,)n T n

m mn a a dF F F A dx x x a a ⎛⎫

∂∂ ⎪

=== ⎪∂∂ ⎪⎝⎭

三(15分)已知微分方程组

0d d (0)x

Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩

,200031011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, (1)求矩阵A 的Jordan 标准形J 和可逆矩阵P 使1

P AP J -= (2)求矩阵A 的的最小多项式)(λA m (3)计算矩阵函数At

e ; (4)求该微分方程组的解。 解:(1)

3(2)I A λλ-=-,rank(2)1I A -=,2λ=对应两个线性无关的特征向量

A 的Jordan 标准形J 2212⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

12212P AP J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中101111110P -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

(不唯一)

(2)由A 的Jordan 标准形知

2()(2)A m λλ=-

(3)210

00101At t e e t t t t ⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

(方法不限)

如用代定系数法:(),()t f e r a b λλλλ==+

由(2)(2),(2)(2)r f r f ''==可求得22(12),t t a t e b te =-=

210

00101At t e aI bA e t t t t ⎡⎤⎢⎥=+=+-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

(4)2202()t At

t t e x t e x e e ⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

四(15分)已知矛盾方程组b Ax =

12121

2121231

x x x x x x +=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩ (1)求A 的满秩分解FG A = (2)求A 的广义逆+

A ;

(3)求该方程组的最小二乘解LS x 。 解 (1)A 是列秩的,故

111223F ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

1001G ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(不唯一) (2)69914T

A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()11491963T

A A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

15411()3303T T A A A A +--⎛⎫

== ⎪-⎝⎭

(3)2103LS x A b +

⎛⎫

== ⎪⎝⎭

五(10分)设91210

81110401

00

1A -⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪- ⎪⎝⎭

, (1)写出A 的4个盖尔圆;

(2)应用盖尔圆定理证明矩阵A 至少有两个实特征值。

解(1)1234:94;:82;:41;:11;G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤ (2)它们构成两个连通部分112324,

S G G G S G == ,且12,S S 均关于实轴对称,故2S 中

只有一个特征值且必为实数,1S 中有三个特征值,故至少有一个实特征值。

六(10分)设122102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,用Schmidt 正交方法求A 的QR 分解。 解:见教材P118例题

七(10分)设矩阵m n

r

A R

⨯∈的奇异值分解为000r

T A U V ∑⎛⎫=

⎪⎝⎭

, 证明:(1)写出A +

的表达式;

(2)证明{}

12()|0span(,,,)n

r r n N A x R Ax v v v ++=∈==

解 (1) 1000T

r A V U ∑-+

⎛⎫= ⎪⎝⎭

(2)设V ()n r r v v v v v ,,|,,,121 +=()21|V V ≡,由000r

T U AV ∑⎛⎫=

⎪⎝⎭

()12220|000

0r

T

T T

U AV U AV U AV AV ∑⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎝

即),,1(0n r i Av i +==,这说明n r r v v v ,,,21 ++为0=Ax 的基础解系,得证。

八(10分)设n 阶矩阵,A B 满足AB BA =,证明:

(1)列空间()()()R A B R A R B +⊂+,()()()R AB R A R B ⊂ ; (2)矩阵秩不等式()()()()r A B r A r B r AB +≤+-。(提示:用维数定理) 证:(1)设12(,,,)n A ααα= ,12(,,,)n B βββ= ,则有

11222(,,,)n A B αβαβαβ+=+++

(),x R A B ∀∈+ 111222()()()n n n x k k k αβαβαβ=++++++

11221122()()n n n n k k k k k k αααβββ=++++++ ()()R A R B ∈+ 所以,()()()R A B R A R B +⊂+;因AB 的列都是由A 的列的线性组合,又AB BA =, 所以AB 的列也都是由B 的列的线性组合。因此,()()()R AB R A R B ⊂ 。 (2)由()()()R A B R A R B +⊂+知

[]()dim ()dim ()()r A B R A B R A R B +=+≤+

由()()()R AB R A R B ⊂ 知

[]dim ()dim ()()R AB R A R B ≤

由维数定理

[][]()dim ()()dim ()dim ()dim ()()r A B R A R B R A R B R A R B +≤+=+-

dim ()dim ()dim ()()()()R A R B R AB r A r B r AB ≤+-=+-。证毕。

※11 ※

研究生矩阵论试题及答案

09级-研-矩阵论试题及参考答案 一(15分)设实数域上的多项式 321()223p x x x x =+++,322()23p x x x x =+++ 323()45p x x x x =-+--,324()367p x x x x =-++ (1)求线性空间()1234span ,,,W p p p p =的一组基和维数; (2)求多项式32()41p x x x =++在你所求基下的坐标。 解:(1)11111 0021130 1012246001233570 00r A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ =−−→ ⎪ ⎪ -- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 123,,p p p 是W 的一组基,dim 3W =; (2)123()()()()p x p x p x p x =++,p 的坐标为(1,1,1)T x =。 或:x^3+1 , x^2 , x+1.这三个基形式是最简单的。 坐标为(1,4,0)。 二(15分)(1)设2 T ()tr()F f X X X X ==,其中()m n ij m n X x R ⨯⨯=∈是矩阵变量,求 df dX ; (2)设()m n ij m n A a R ⨯⨯=∈,12(,,,)T n n x x x x R =∈ 是向量变量,()F x Ax =,求T dF dx . 解 (1)211 ()m n ij i j f X x === ∑∑, 2ij ij f x x ∂=∂, ()22ij m n ij m n df f x X dX x ⨯⨯⎛⎫ ∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭;

(2) 11 1()n k k k n mk k k a x F x Ax a x ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ∑∑ ,1,1,2,,i i mi a F i n x a ⎛⎫∂ ⎪ == ⎪∂ ⎪ ⎝⎭ , 11111(,,)n T n m mn a a dF F F A dx x x a a ⎛⎫ ∂∂ ⎪ === ⎪∂∂ ⎪⎝⎭ 。 三(15分)已知微分方程组 0d d (0)x Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ ,200031011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, (1)求矩阵A 的Jordan 标准形J 和可逆矩阵P 使1 P AP J -= (2)求矩阵A 的的最小多项式)(λA m (3)计算矩阵函数At e ; (4)求该微分方程组的解。 解:(1) 3(2)I A λλ-=-,rank(2)1I A -=,2λ=对应两个线性无关的特征向量 A 的Jordan 标准形J 2212⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 12212P AP J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中101111110P -⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ (不唯一) (2)由A 的Jordan 标准形知 2()(2)A m λλ=-

硕士研究生课程考试试题矩阵论答案

华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得

研究生矩阵论试题与答案

中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师

一(15分)计算 (1) 已知A 可逆,求 10 d At e t ? (用矩阵A 或其逆矩阵表示) ; (2)设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量,42)(?=ij x X 是矩阵变量,求T d()d X αX ; (3)设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-,且A 可对角化,求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。

二(15分)设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?,508316203A ?? ?= ? ?--??,0111x ?? ? = ? ??? (1)求A 的最小多项式)(λA m ; (3)求At e ; (3)求该方程组的解。

三(15分)对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? (1)求A 的满秩分解FG A =; (2)由满秩分解计算+A ; (3)求该方程组的最小2-范数最小二乘解LS x 。

四(10分)设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解(要求R 的对角元全为正数,方法不限)。 五(10分) 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ (1)证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-; (2)求A 的Jordan 形(需要讨论)。

六(10分)设m n r A R ?∈, (1)证明rank()n I A A n r + -=-; (2)0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七(10分)证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A (1)能与对角矩阵相似;(2)特征值全为实数。

矩阵论考试试题(含答案)

矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin 求:()?t dt t A 0和(()?2 0t dt t A )'。 解:()?t dt t A 0=()???? ? ??-????t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =??? ? ??---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()?2 t dt t A )'=()??? ? ? ?-=?22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ????? ??-=1111α,????? ??-=1202α,??? ?? ??-=1013α 变为基 ????? ??-=0111β,????? ??-=1102β,??? ? ? ??-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ; (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标; (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解:(1)不难求得: ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==

因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ??? ? ? ??---=110211111A (2)设()??? ?? ??=321321,,k k k αααξ,即 ??? ? ? ??????? ??---=????? ??321111021101 321k k k 解之得:9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ???? ? ??--=????? ??--????? ??---=????? ??1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ??? ? ? ??-=????? ??--????? ??--=????? ??---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ????? ??--=????? ??--????? ??--=????? ??---94101332230111111011332231A 三、(20分)设??? ? ? ??-=301010200A ,求At e 。 解:容易算得 ()()()()212--=-=λλλλ?A I

矩阵论期末试题及答案

矩阵论期末试题及答案 1. 选择题 题目1:矩阵的秩是指矩阵中非零行(列)线性无关的最大个数,下面关于矩阵秩的说法中,错误的是: A. 若矩阵A的秩为r,则只能确定 A 中有r个行(列)线性无关。 B. 若矩阵A的秩为r,则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。 C. 设A,B为n×m矩阵,若A的秩为r,B的秩为s,则AB的秩至少为max{r,s}。 D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。 题目2:对于阶梯形矩阵,以下说法正确的是: A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。 B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。 C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。 D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。 题目3:设A为n阶矩阵,下列说法正确的是: A. 若A为可逆矩阵,则A的行秩和列秩都为n。 B. 若A的行秩和列秩都为n,则A为可逆矩阵。 C. 若对于非零向量 x,都有Ax=0,则称矩阵A为零矩阵。

D. 若A为可逆矩阵,则方程Ax=b存在唯一解。 题目4:对于实对称矩阵A,以下说法正确的是: A. A一定有n个线性无关的特征向量。 B. A的所有特征值都是实数。 C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n,则称A为满秩矩阵。 D. A一定可以对角化。 2. 计算题 题目1:已知矩阵A = [1, 2; 3, 4],求矩阵A的转置矩阵。 解答:转置矩阵的行与列互换,故矩阵A的转置矩阵为: A^T = [1, 3; 2, 4] 题目2:已知矩阵B = [2, 1; -1, 3],求矩阵B的逆矩阵。 解答:逆矩阵满足BB^(-1) = I,其中I为单位矩阵。对于矩阵B,可以使用伴随矩阵法求解: B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a] 其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素: B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7] 题目3:已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6],求矩阵C的行列式的值。

矩阵论考试试题含答案

矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 求:()⎰t dt t A 0与(()⎰2 0t dt t A )'。 解:()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰t t t t tdt tdt dt t dt t 00 0sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β,⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ; (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标; (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解:(1)不难求得: 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 (2)设()⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ,即 解之得:9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 三、(20分)设⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=301010200A ,求At e 。

解:容易算得 由于()λm 是2次多项式,且2,121==λλ,故()λg 是1次多项式,设 由于()t e f λλ=,且()()11λλg f =,()()22λλg f =,故 于是解得:⎩⎨⎧-=-=t t t t e e a e e a 21202 从而: 四、(15分)求矩阵⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=000110101A 的奇异值分解。 解: ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛==211110101A A B T 的特征值是0,1,3321===λλλ对应的特征向量依次为 于是可得 2=rankA ,⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=∑1003 计算: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ -=∑=-00 212121211 11AV U 构造 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=1002U ,则 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-==100 02 1210212121U U V 则A 的奇异值分解为: 五、(15分)求矩阵

西安邮电大学矩阵论期末真题试题4

西安邮电大学研究生课程考试试题 ( — 学年第一学期) 一、计算题 1 设4维线性空间V 的两组基4321,,,:)(e e e e I 和 )3,1,6,6(),1,2,3,5(),0,1,3,0(),1,1,1,2(:)(4321===-=∏ββββ求 (1)由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵C (2)元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标 (10分) 2 已知3R 的线性变换),,0(),,(21321x x x x x T =,求2T 的值域与核的基与维数 (10分) 3 已知⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛--=01101i i i i A ,求 ∞∞A A A A A A F m m ,,,,,211 (12分) 4 已知031042212A ⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪⎝⎭ ,求A 的QR 分解.(12分) 5 应用n Gerschgori 定理隔离⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=1011131110A 的特征值,并根据实矩阵特征值的性质改 进所得出的结果. (12分) 6 设⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=211211111221A ,求+A (12分) 二、证明题 1 已知m •是n n C ⨯上的矩阵范数,S 是n 阶可逆矩阵,对于任意n n C A ⨯∈,规定 m AS S A 1-=,证明•是n n C ⨯上的一种矩阵范数。(12分)

2 设B A,都是正定矩阵,证明AB的特征值都大于零.(12分)3设n m A H= =.(8分) O ⇔ ∈,证明O C A⨯ A A

西安邮电大学研究生课程考试试题标准答案及评分标准 ( — 学年第一学期) 一、计算题 1(1)432144321332243211366,235,3,2e e e e e e e e e e e e e e +++=+++=+=+-+=ββββ (3分) 于是由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=31 0112116331 6502 C (2分)(2) 元素),,,(4321x x x x =α在基)(I 下的坐标为 T x x x x y ),,,(4321= (2分) 元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标为 y P 1- (3分) 2解:由 ),0,0(),,0()),,((),,(1213213212x x x T x x x T T x x x T === (2分) 可得 {}R x x T R ∈=),0,0()(2 {}R x x x x T N ∈=32322,),,0()( (4分) 因此,1)(dim 2=T R , )(2T R 的一个基为 )1,0,0( (2分) 2)(dim 2=T N ,)(2T N 的一个基为 )1,0,0(),0,1,0( (2分) 3解:⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=212122223i i i i AA H )16)(1(2+--=-λλλλH AA E (4分) 71=m A 3=∞m A 7=F A (4分) 31=A 3=∞A 2232+=A (4分) 4解: 取 110,1c s == , (2分) 则 130********T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 132********T A ⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪--⎝⎭ (3分) 取 2243 ,55 c s -==, (2分)

矩阵论试题及答案

一.(10分)已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅,对于n n C A ⨯∈,证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解: ⑴非负性:由于b a ⋅⋅,是两种范数, 故当A=0时,0,0==b a A A ,所以000=+=+=b a A A A ; 当A ≠0时,0,0>>b a A A ,所以0>+=b a A A A ⑵齐性:() A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式: B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+ 二.(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e 2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d 1,0,10的解. 解:1. ()1 1 12 11 3 det ----= -λλλλA I ()()3 21 1132-=----=λλλλ 显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A 的最小多项式为()()()2 322 2-=--= λλλλm ,即()()022 =-=I A A m , 设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有

()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==t t e t b te a 2212 所以 ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At 1010 12 2. ()()()⎪⎭⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s s s s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012 三.(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡=21 00 42113240 3100 A 的QR 分解. 解:()T 01001=β,构造()s c T ,13=, 11 01sin ,0100cos 2 2 23 21 32 2 23 21 1=+= +===+= +==x x x s x x x c θθ ⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡-=2100 31002340421121 42113240310010 00 00010010010013A T ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()2 1 sin ,2 1 111 cos 22 212 2 22 2 211 = +==-= +--= +==x x x s x x x c θθ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T

自-中国矿业大学2011级研究生课程-矩阵论试题与答案

中国矿业大学 2011级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间2011年11月 研究生姓名________ ______ 所在院系________ ______ 学号___________ ___ 任课教师___________ ___

中国矿业大学研究生培养管理科印制 参考答案 一(20分) V 表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。对 2()f x ax bx c V ∀=++∈,在V 上定义变换: 2[()]3(223)(4)T f x ax a b c x a b c =++++++ (1)验证T 是V 上的线性变换; (2)求V 的基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵P ; (3)求T 在基2,,1x x 下的表示矩阵A ; (4)在V 中定义内积1 (,)()()f g f t g t dt = ⎰ ,求基2,,1x x 的度量矩阵G 。 解:(1)设22111222(),()f x a x b x c g x a x b x c =++=++ 2121212()()()f g a a x b b x c c +=+++++ []212121212()3()2()2()3()T f g a a x a a b b c c x +=+++++++ []121212()()4()a a b b c c ++++++ ()()2111111132234a x a b c x a b c =++++++ ()()2222222232234a x a b c x a b c +++++++ ()()T f T g =+ 类似可验证: ()()T kf kT f = 或把T 写成: 2300[()][,,1]223114a T f x x x b c ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (1) 再来验证就更方便了。

矩阵论试题与答案

一(20分) 设矩阵101120403A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ , (1)求A 的初等因子组; (2)求A 的Jordan 标准形J ; (3)求可逆矩阵P 使得J AP P =-1 ; (4)求k A 。 答案: (1)21 0111120(2)(2)(1)43 403I A λλλλλλλλλ+-⎡⎤+-⎢⎥-=--=-=--⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 观察得,21231,1,(2)(1)D D D λλ===-- 因此,初等因子组为2(1),(2)λλ-- 5分 (2)1112J ⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 10分 (3)设123[,,]P ααα=,由1 P AP J -=,得 11 2123 3(1)(2)2(3)A A A ααααααα=⎧⎪ =+⎨⎪=⎩ 由(1),1()0I A α-=,解得1112α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中20110.05110010.5402000I A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 由(2),21()I A αα-=-,解得2011α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

其中12011100.50.5[,]1101010.50.540220000I A α----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--→-⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 由(3)3(2)0I A α-=,解得3010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中3011002100001401000I A -⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 1100100111,201210111P P -⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 15分 (4)10010002k k k J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,121 021221240 21k k k k k k k A PJ P k k k k --+⎡⎤ ⎢⎥==+---+⎢ ⎥⎢⎥-+⎣⎦ 20分 二(20分) 设微分方程组 0d d (0)x Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ ,其中311202113A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (1)求A 的最小多项式)(λA m ; (2)求At e ; (3)求该方程组的解。 答案(1) 3(2)I A λλ-=-,2()(2)A m λλ=- 7分 (2)设()()()zt A f z e m z g z a bz ==++, 10分 由22(2)2,(2)t t f a b e f b te '=+===,解得 22(12),t t a e t b te =-= 13分 因此 22()(12)At t t f A e aI bA e t I te A ==+=-+

矩阵论考试试题(含答案)汇编

矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求:()⎰t dt t A 0和(()⎰2 0t dt t A )'。 解:()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2 t dt t A )'=()⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=⋅22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α,⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛-=1013α 变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β,⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ; (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标; (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解:(1)不难求得: ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==

因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛---=110211111A (2)设()⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ,即 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101 321k k k 解之得:9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A 三、(20分)设⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=301010200A ,求At e 。 解:容易算得 ()()()()212--=-=λλλλϕA I

研究生矩阵论课程试题解答

南华大学 2008 级硕士研究生课程考试试题 考试科目: 矩阵论 所属学院 数理学院 考试时间 2009年1月 8日 考生姓名: 考生学号 任课教师 考试成绩 一.(10分)已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅,对于n n C A ⨯∈,证明b a A A A +=是n n C ⨯中的 范数. 解: ⑴非负性:由于b a ⋅⋅,是两种范数, 故当A=0时,0,0==b a A A ,所以000=+=+=b a A A A ; 当A ≠0时,0,0>>b a A A ,所以0>+=b a A A A ⑵齐性:() A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式: B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+ 二.(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b ,p157 1. 求At e (P154待定系数法) 2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d 1,0,10的解. 解:1. ()1 1 12 11 3 det ----= -λλλλA I ()()3 21 1132-=----=λλλλ 显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ

的二阶子式的公因子为2-λ,所以A 的最小多项式为()()()3 2 222 m λλλλ-= =--,即 ()()022 =-=I A A m , 设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有 ()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==t t e t b te a 2212 所以 ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At 1010 12 2. ()()()⎪⎭⎪ ⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s s s s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020(t 用-s 代替) ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012 三.(15分)用Givens 变换求⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡=2100 42113240 3100 A 的QR 分解. 解:()T 01001=β,构造()s c T ,13=, 11 01sin ,0100cos 2 2 23 21 32 2 23 21 1=+= +===+= +==x x x s x x x c θθ ⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡-=2100 31002340421121 42113240310010 00 00010010010013A T ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡--=21 312A , 构造),(12s c T ,

矩阵论--武汉理工大学研究生考试试题2014(科学硕士)答案

武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为22,,(1),,1λλλ λλ--,则其最小多项式为 22(1)λλ- 2、设 1 0011 010 A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,则 12 1 076 () 2 2g A A A A A A =-+-+- 1022031012A E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3、已知210()021002A λλλλ+-⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪+⎝⎭,则其Smith 标准形为311(2)λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭ 4、已知100111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则A 的奇异值分解为 001000 A ⎫⎪ ⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ 5、已知103540231i A i +-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ,21i =-, 则其矩阵范数1A =7;A ∞= 9 ;F A =

二,(15)设{}32321031()|20V f t a t a t a t a a a ==++++=为3[]F t 的子集合. 1、证明:V 是3[]F t 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的 323210()f t a t a t a t a =+++,323210 ()g t b t b t bt b =+++V ∈,定义内积 00112233((),())234f t g t a b a b a b a b =+++ 求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 解:(每小题5分)1、证明略; 2、根据3120a a +=,得0123(,,,)(1,0,0,2)a a a a =-或(0,1,0,0)或(0,0,1,0). 则3 212,,t t t -是V 的一组基;且维数为3; 3、根据2的结论:3 212,,t t t -是V 的一组基,且它们的范数为 32123,t t t -==== 3 21(123t - 三、(15分)设1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2101B -⎛⎫ = ⎪ ⎝⎭, 11122122|x x V X AX XA x x ⎧⎫⎛⎫ ===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩ ⎭ 为线性空间,对于任意的A V ∈,定义:()T X XB = 1、证明:T 是V 上的线性变换; 2、求V 的一组基,并求T 在所求基下的矩阵. 1、(5分)证明略; 2、(10分)解:设1234x x X x x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ,根据AX XA =得1240x x x +-=,从而 121001,0101X X ⎛⎫⎛⎫ == ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 为V 的一组基;…….(5分) 计算 111222221()2,010 1()0 1T X X B X X T X X B X -⎛⎫ ===- ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 则121220(,)(,)11T X X X X ⎛⎫ = ⎪ -⎝⎭.

西北工业大学矩阵论试题M2009A-解答

西北工业大学研究生课程考试答题纸 矩阵论(M2009A) 2010-01-05 一、(18分) 填空: 1.设A 为3阶实方阵,321,,x x x 为数域R 上的线性空间9V 中的元素,线性变换T 满足A x x x x x x ),,())(),(),((321321=T T T ,在什么条件下,元素组)(),(),(321x x x T T T 线性无关. (321,,x x x 线性无关,且A 可逆. ) 2.已知P 是正交投影矩阵,且O P ≠(零矩阵),则=2 P ( 1 ) . 3. 已知⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡-=1063181A ,问矩阵幂级数∑∞ =1 k k A k 收敛还是发散?( 收敛 ) 其原因是( ). 4.设T 为Givens 矩阵,H 为Householder 矩阵,O 为零矩阵,问⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡H O O T 是否有可能是Householder 矩阵. ( 有可能 ) 5.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣⎡-------=1101 102000 00 46000350113 23A 的Jordan 6.设n m ⨯A 的M-P 逆为+A ,O 二、(10分) 设a ∙是n C 上的已知向量范数,向量n n z z C ∈=T 1),,( z ,对任意 向量n n x x C ∈=T 1),,( x ,定义实值函数}max{ H n a b C ∈≠=z z z x x 0, 其中z x H 表示复数z x H 的模,证明: 1.b x 是n C 上的向量范数; 2.若取1x x =a (向量的1-范数) ,则∞=x x b (向量的∞-范数). 证 1.任意n n z z C ∈=T 1),,( z . ① 0=x :00 max max H ===a a b z z z x 0 0≠x :0max H H >≥ =a a b x x x z z x x ② 略. ③ 设n C ∈y ,则有

矩阵论典型试题解析

习题1 1.计算下列方阵的幂 (1)n cos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦; (2)1111n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (3)1111n a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解:(1)由 cos sin sin cos n n n n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ θθθθcos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n n n n ++⎡⎤⎢⎥-++⎣⎦θθθθ,故由归纳法知 cos sin sin cos n n n A n n ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦θθθθ。 法2:由矩阵cos sin sin cos A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ θθθθθ为正交矩阵,且二维平面中任一向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭.则向量cos sin x A sin cos y θθθ⎡⎤⎛⎫α= ⎪⎢⎥-θθ⎣⎦⎝⎭相当于将向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭ 顺时针针旋转θ角度,故由此几何意义,有:() cos sin sin cos n n n n A A n n ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ θθθθθθ (2) 由1144114 4cos sin A sin cos ππ⎡⎤⎥⎡⎤==⎥⎢⎥-π π⎣⎦⎥-⎢⎥⎣⎦ ,得11441144n n n n cos sin (n n sin cos ππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-π π⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ (3)记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,则由于B J J J E ⋅==⋅,

2010010100101001010000J ,J ,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0K J =其中5K ≥ 112244113311 () n n n n n n n n n n n n n n k k n k n n n n n a C a C a C a a C a C a A aE J C a J a C a a -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎢⎢⎣⎦ 40k =⎥⎥⎥∑(规定:0k n C (n k )=<) 2. 求平方等于单位阵的所有二阶方阵 。 解:设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ,由2A E =知有: 22101a bc ab bd ac cd bc d ⎧+=⎪+=+=⇒⎨⎪+=⎩ 22a d =。所以可分情况讨论如下: (1) 当a d =时,0b c ==;即A E =± (2) 当a d =-时,b,c 任意但要求21bc a =-.即a b A c a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ,其中a, b, c 为满足21a bc +=的任意值. 3.证明:与任意n 阶方阵可交换的矩阵必是数量矩阵I λ. 证明:因为n 阶基本矩阵1i j E (i,j n )≤≤的全体是全矩阵环n M 的一组基(且是标准正交基).故只需求可与所有1i j E (i,j n )≤≤相乘可交换的方阵A. 设()ij A a =,则由i j i j E A AE =得: 第1212i i j j jn ni j a a i a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦第列 行.于是可得: 00ki jk a (k i ),a (k j ),=≠=≠以及ii jj a a ,=故() ij A a I ==λ

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