研究生矩阵论第1讲线性空间

研究生矩阵论第1讲线性空间矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆) 以及第一类初等变换(非正交的)、对角标准形(含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换与坐标变换；3.子空间与维数定理；4.线性空间的同构线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“?”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ与它们对应，称δ为k 与α的数乘，记为αδ?=k ．如果加法与数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈?∈?0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈?∈?βα,，有0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）；⑸ P V ∈∈?1,α，有αα=?1；⑹ αα?=??)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα?+?=?+l k l k )(；⑻ βαβα?+?=+?k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ?矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ?．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ?）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。

证明：R +是实数域R 上的线性空间．证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。

唯一性和封闭性．唯一性显然，若,0 x ,0 y k R ∈，则有：xy y x =+R +∈，k k x x =o R +∈，封闭性得证．其次，八条性质。

（1）)()()()(z y x z xy yz x z y x ++===++（2） x y yx xy y x +===+（3） 1是零元素．x x =+1（4） 1x 是x 的负元素 111=+=+xx x x （5） )()()()(y k x k y x xy y x k k k k +===+ [数因子分配律]（6） )()()(x l x k x x l k l k +==++ [分配律]（7） x kl x x x l k kl k l )()()(=== [结合律]（8） x x x ==11 [恒等律]由此可证，+R 是实数域R 上的线性空间．证毕3.线性空间的基本性质：（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的．（2）如下恒等式成立：θ=x 0，)()1(x x -=-．4.线性组合与线性表示，线性相关与线性无关性，维数定义1.5 线性组合：,,,,21V x x x m ∈? P c c c m ∈,,,21 ,x x c x c x c x c mi i i m m ==+++∑=12211 ，x 称为元素组m x x x ,,,21 的一个线性组合．定义1.6 线性表示：V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x 可由该元素组线性表示．定义1.7 设V 是数域P 上的线性空间，n x x x ,,,21 是V 的一组向量，如果P 中有一组不全为零的数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n x k x k x k (1.1)则称向量n x x x ,,,21 线性相关；若等式(1.1)仅当021====n k k k 时才能成立，则称这组向量是线性无关的．线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数，记为V dim ．§2 基变换与坐标变换1．线性空间的基与坐标定义2.1 设V 是数域P 上的线性空间, )1(,,,21≥r x x x r ，是属于V 的r 个任意元素，如果它满足（1）r x x x ,,,21 线性无关；（2）V 中任一向量x 均可由r x x x ,,,21 线性表示．则称r x x x ,,,21 为V 的一个基或基底，并称r x x x ,,,21 为该基的基元素．基正是V 中最大线性无关元素组, V 的维数正是基中所含元素的个数．基通常是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等．线性空间的维数是确定的，不会因选取不同的基而改变．例1:考虑全体复数所形成的集合C ．如果C P =（复数域），则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取R P =（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为},1{i ，空间维数为2．定义2.2 称线性空间n V 的一个基n x x x ,,,21 为n V 的一个坐标系，n V x ∈?，它在该基下的线性表示为：∑==ni i i x x 1ξ，（n i V x P i i ,,2,1,, =∈∈ξ ）则称n ξξξ,,,21 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为T n ),,,(21ξξξ .一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质．但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来．更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘．1 ),,,(),,,(),,,(22112121n n T n Tn y x y x ηξηξηξηηηξξξ+++=+→== 2 T n T n k k k kx x ),,,(),,,(2121ξξξξξξ =→=2.基变换与坐标变换定义2.3 设n x x x ,,,21 是n V 的旧基，n y y y ,,,21 是n V 的新基，它们可以相互线性表示即 [][][]C x x x c c c c c c c c c x x x y y y n nn n n n n n n ,,,,,,,,,212122221112112121 == （1.2）其中C 称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式（1.2）为基变换公式．可以证明，过渡矩阵C 是非奇异矩阵．设n V x ∈，它在旧基下的线性表示为[]==∑=n n n i i i x x x x x ξξξξ 21211,,,，它在新基下的线性表示为[]==∑=n n n i i i y y y y x ηηηη 21211,,,，由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系[][]=n n n n x x x y y y ξξξηηη 21212121,,,,,, , 则=→=-n n n n C C ξξξηηηξξξηηη 211212121 上式给出了在基变换式下向量坐标的变换公式．例1已知矩阵空间22?R 的两个基：（1）??=10011A ，-=10012A ，=01103A ，-=01104A （2）=11111B ，??=01112B ，=00113B ，=00014B 求由基（1）改变为基（2）的过渡矩阵．解为了计算简单，采用中介基的方法．引入简单基：(3) =000111E ，=001012E ，=010021E ，??=100022E 由基（3）到基（1）的过渡矩阵为1C ,即1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A =，可得--=00111100110000111C ，--=-01100110100110012111C 再写出由基（3）到基（2）的过渡矩阵为2C ，即2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B ==00010011011111112C 于是写出由基（1）到基（2）的过渡矩阵为C ，即C A A A A B B B B ),,,(),,,(43214321==--==-0100012211101112210001001101111111011001101001100121211C C C §3 子空间与维数定理1.线性子空间的定义及其性质定义 3.1 设1V 是数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件（1）如果1,V y x ∈，则1V y x ∈+；（2）如果1V x ∈，P k ∈，则1V kx ∈，则称1V 是V 的一个线性子空间或子空间．由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念亦可应用到线性子空间中去．性质：（1）线性子空间1V 与线性空间V 享有共同的零元素；（2）1V 中元素的负元素仍在V 1中．子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间．{O }和V 本身称为平凡子空间；除以上两类子空间外的称为非平凡子空间，由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零．定义3.2 设m x x x ,,,21 为V 中的元素，它们的所有线性组合所成的集合=∈∑=m i i i i m i P k x k 1,,2,1, 也是V 的线性子空间，称为由m x x x ,,,21 生成（张成）的子空间，记为),,,(21m x x x L 或者),,,(21m x x x Span．若m x x x ,,,21 线性无关，则m x x x L m =),,,(dim 21 ．定理 3.1(基扩定理)：设1V 是数域P 上的线性空间n V 的一个m 维子空间，m x x x ,,,21 是1V 的一个基，则这m 个基向量必可扩充为n V 的一个基；换言之，在n V 中必可找到m n -个元素n m m x x x ,,,21 ++使得n x x x ,,,21 成为n V 的一个基,这m n -个元素必不在1V 中．2．子空间的交与和定义3.3 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则 {}2121,V x V x x V V ∈∈={}2121,V y V x y x V V ∈∈+=+分别称为1V 和2V 的交与和．定理3.2：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则21V V ，21V V +均为V 的子空间．定理3.3(维数公式)：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则有)dim()dim(dim dim 212121V V V V V V ++=+3．子空间的直和定义3.4 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，若其和空间21V V +中的任一元素都只能唯一的表示为1V 的一个元素与2V 的一个元素之和，即21V V x +∈?，存在唯一的1V y ∈、2V z ∈，使z y x +=，则称21V V +为1V 与2V 的直和，记为21V V ⊕．定理3.4：如下四种表述等价（1）21V V +成为直和21V V ⊕（2）}0{21=V V（3）2121dim dim )dim(V V V V +=+（4）若s x x x ,,,21 为1V 的基，t y y y ,,,21 为2V 的基，则s x x x ,,,21 ，t y y y ,,,21 为21V V +的基注：子空间的和与交的概念以及有关的定理，可以推广到多个的子空间情形．§4 线性空间的同构定义4.1 设U ，V 是数域P 上的线性空间，T 是从U 到V 的映射，即对于U中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为V 的一个映射或算子，记为y Tx =，称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。