蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨
参数方程证明蝴蝶定理
参数方程证明蝴蝶定理参数方程是许多数学问题的解决方法之一。
在几何学中，参数方程可以用来表达一个曲线或曲面上的点，其参数可以是时间、角度或其它变量。
蝴蝶定理是一个有趣的几何问题，它指出如果在一个翼型对称的机翼上，使左翼下降时右翼上升，左翼上升时右翼下降，那么这个机翼就会产生一个蝴蝶的翅膀般的运动轨迹。
为了证明蝴蝶定理，我们可以使用参数方程。
首先，我们可以将机翼上的点表示为(x,y)，其中x表示机翼前进的距离，y表示机翼的高度。
然后，我们可以定义一些参数来描述机翼的运动。
例如，我们可以定义角度θ表示机翼的倾斜角度，时间t表示机翼的运动时间。
根据这些参数，我们可以得出机翼上某一点的坐标：x = f(θ, t)y = g(θ, t)其中f和g是关于角度θ和时间t的函数。
这些函数可以根据机翼的形状和运动规律确定。
接下来，我们可以根据蝴蝶定理的要求，将左翼下降和右翼上升、左翼上升和右翼下降分别表示为以下参数方程：左翼下降：x = f(θ + δ, t), y = g(θ + δ, t) - h右翼上升：x = f(θ - δ, t), y = g(θ - δ, t) + h左翼上升：x = f(θ + δ, t), y = g(θ + δ, t) + h右翼下降：x = f(θ - δ, t), y = g(θ - δ, t) - h其中δ是一个小角度，h是机翼上下运动的幅度。
这些参数方程表示了机翼上每个点在不同时间和角度下的坐标。
通过计算这些参数方程，我们可以得出机翼上的每个点的轨迹。
我们会发现，这些轨迹形成了一个类似蝴蝶翅膀的图案，证明了蝴蝶定理的正确性。
因此，通过使用参数方程，我们可以很容易地证明蝴蝶定理，并且更好地理解机翼的运动规律和几何形状。
专题7.26：蝴蝶定理、相交弦定理的研究与拓展
专题7.26：蝴蝶定理、相交弦定理的研究与拓展【探究拓展】探究1：蝴蝶定理已知圆O 内，M 是弦AB 的中点，CD 、GH 是过M 点的两条弦，连结CH 、DG 分别交AB 于P 、Q 两点，则MQ MP =.类比联想：椭圆内，蝴蝶定理还能成立吗？可从特例实验一下： （1）已知过椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的中心的两条弦CD 和GH ，连结HC 、GD 与长轴AB 分别交于点P 、Q. 思考：OQ OP =成立吗？（2）过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴上一点),0(m M 任作两条弦CD 、GH （D 在C 的上方，H 在G 的上方），CH 、GD 分别交直线0y y =于P 、Q.直线CD 、GH 的斜率分别为21k k 、.设),(11y x C ，),(22y x D ，),(33y x G ，),(44y x H .（1）思考：4343221211x x x x k x x x x k +=+ 成立吗？（2）思考：PM=MQ 还能成立吗？(过程中可以不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形).探究2：点圆位置关系已知圆O ：222r y x =+，则（1）点),(00y x M 在圆上⇔直线200r y y x x =+与圆O 相切于M ；（2）点),(00y x M 在圆外⇔直线200r y y x x =+与圆相交，且该直线为圆O 的切点弦所在直线；（3）点),(00y x M 在圆内⇔直线200r y y x x =+与圆相离，且该直线为圆在过),(00y x M 的弦AB 的两端点处切线的交点的轨迹.类比联想：点与椭圆的位置关系已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，完成下列命题，并作出判断和证明： （1）“点),(00y x M 在椭圆上⇔直线12020=+by y a x x 与椭圆________”还成立吗？ （2）“点),(00y x M 在椭圆外⇔直线12020=+b y y a x x 与椭圆________，且该直线为____________________________________________”还成立吗？；（3）“点),(00y x M 在椭圆内⇔直线12020=+by y a x x 与椭圆________，且该直线为椭圆内在过点),(00y x M 的弦的两端点处切线的交点轨迹”还成立吗？进一步思考1．类比联想：点与椭圆的位置关系的结论在双曲线中还能成立吗？抛物线呢？拓展1：设椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P 与圆222=+y x 的位置关 )系____________. 答案：点在圆内拓展2．过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 长轴上一点)0,(m M 任作两条弦CD 、GH （D 在C 的上方，H 在G 的上方），CG 、HD 分别交直线m x =于P 、Q. 直线CD 、GH 的斜率分别为21k k 、. 求证：MQ MP =.更进一步，M 为椭圆焦点时，结论又如何？若直线CG 与HD 相交，交点在哪里？ 探究3：相交弦定理 设点),(00y x M 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 内一点，过M 作两条斜率分别为21k k 、（21k k ≠）的弦CD 、GH.则MH MG MD MC ⋅=⋅⇔021=+k k .【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
蝴蝶模型经典必会题赏析
蝴蝶模型经典必会题赏析这是一道非常经典的几何题，有代数和几何两种精彩解法。
题目请看下图：求阴影面积有大小两个正方形，小正方形的边长是4，求阴影面积。
题目构思巧妙，没有冗余条件，只有一个数据。
下图是库库数学提供的代数解法。
代数解法这个代数解法很漂亮，但是有的同学看懂了，有的同学则是一脸茫然。
上面的解答图暗藏蝴蝶模型，把它画出来，可以帮助大家理解代数解法的道理。
请看下图：蝴蝶模型在梯形ABCD中，AB=AD=b=大正方形的边长，CD=a=4=小正方形的边长。
梯形的两条对角线相交于点E。
设DE=x，则AE=B－x。
两条对角线把梯形分为四个三角形，按顺时针方向，依次把三角形面积标记为S₁至S₄请看下图的解析解析上图解释了代数解法的第一步是怎么来的，第二步大家看懂了吗？比例的基本性质大家都知道比例式的内项乘积等于外项乘积，把第一步的比例式交叉相乘，再整理就得到了第二步。
即：ab－ax=bxab=ax+bxab=(a+b)x把上式的两边都乘以a+b的倒数，x的系数就变成了1，就得到了第二步。
第三步也很好理解，把a－x看作分数的减法就行了。
a的分母是1，把第二步带入x，x就是个分数。
然后分母通分，分子做减法，就得到第三步的结果。
最终结论就是用众所周知的三角形面积公式得出的，答案是8。
库库数学解完题后说：如图，随手解完一道题后，好奇有没有纯几何的挪移之法？评论区回复：@tangmingbing: 你这个做复杂了，先把右边的三角形右下顶点平移到右上，然后增加右边的对角线(45 度)，和左边45度平行，所以右上顶点可以平移到右边正方形的左下点。
这样就是左边正方形的一半。
优雅的几何解法请看下图：解法1如图添加辅助线后，构造出了蝴蝶模型。
第一步：因为ΔBHE和ΔBHF同底等高，所以面积相等。
下图的三个三角形面积相等，为什么呢？关键在于图中的两条直线是平行线。
它们的底边都是CE，第三个顶点只要在平行线上，无论如何平移，因为高不变，得到的三角形面积都是相等的。
高考数学定比点差法齐次化极点极线问题蝴蝶问题(解析版)
定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题【题型归纳目录】题型一：定比点差法题型二：齐次化题型三：极点极线问题题型四：蝴蝶问题【典例例题】题型一：定比点差法例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF =3FB ，求k【解析】由e =32，可设椭圆为x 24+y 2=m 2(m >0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，F (3m ,0)，由AF =3FB ，所以3m =x 1+3x 21+30=y 1+3y 21+3，⇒x 1+3x 2=43m y 1+3y 2=0 ．又x 124+y 12=m 2(1)x 224+y 22=m 2(2) 按λ配型(2)×9 x 124+y 12=m 2(1)9x 224+9y 22=9m 2(3) 由(1)-(3)得(x 1+3x 2)(x 1-3x 2)4+(y 1+3y 2)(y 1-3y 2)=-8m 2⇒x 1-3x 2=-833m ，又x 1+3x 2=43m ⇒x 1=233m ⇒A 23m 3,±6m 3．又F (3m ,0)⇒k =±2．例2.已知x 29+y 24=1，过点P (0,3)的直线交椭圆于A ，B (可以重合)，求PA PB 取值范围．【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (0,3)，由AP =λPB ，所以0=x 1+λx 21+λ3=y 1+λy 21+λ⇒x 1+λx 2=0y 1+λy 2=3(1+λ) ．由4x 12+9y 12=36(1)4x 22+9y 22=36(2) 配比(2)×λ2 4x 12+9y 12=36(1)4λ2x 22+9λ2y 22=36(3) 由(1)-(3)得：⇒4x 1+λx 2 x 1-λx 2 +9y 1+λy 2 y 1-λy 2 =361-λ2⇒y 1-λy 2 =41-λ 3，又y 1+λy 2=31+λ ⇒y 1=13+5λ6，又y 1∈-2,2 ⇒λ∈-5,-15 ，从而PA PB=λ ∈15,5 ．例3.已知椭圆x 26+y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 若λ=2，求μ的值．【解析】设P x 0,y 0 ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，，由PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 得①F 1-c ,0 满足-c =x 0+λx 11+λ0=y 0+λy 11+λ⇒x 0+λx 1=-c 1+λ y 0+λy 1=0 F 2c ,0 满足c =x 0+μx 21+μ0=y 0+μy 21+μ⇒x 0+μx 2=-c 1+μ y 0+μy 2=0 ②由x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2) ⇒x 02a 2+y 02b 2=1(1)λ2x 12a 2+λ2y 12b2=λ2(3) ③由(1)-(3)得：x 0-λx 1 x 0+λx 1 a 2+y 0-λy 1 y 0+yx 1 b2=1-λ2⇒x 0-λx 1 x 0+λx 1 1-λ 1+λ =a 2⇒x 0-λx 1 =-a 2c 1-λ ，又x 0+λx 1 =-c 1+λ ⇒2x 0=a 2-c 2c λ-a 2+c 2c ，同理可得2x 0=-a 2-c 2c μ+a 2+c 2c⇒a 2-c 2c λ+μ =2⋅a 2+c 2c ⇒λ+μ =2⋅a 2+c 2a 2-c 2=10⇒μ=8．题型二：齐次化例4.已知抛物线C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．【解析】直线PQ :x =my +4,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2由x =my +4，得1=x -my 4则由x =my +4y 2=4x ，得：y 2=4x ⋅x -my 4，整理得：y x 2+m y x -1=0，即：y 1x 1⋅y 2x 2=-1．所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1，则OP ⊥OQ ，即：∠POQ =90°．例5.椭圆E :x 22+y 2=1，经过点M (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A (0,-1)，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线PQ :mx +n (y +1)=1,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则m +2n =1．由mx +n (y +1)=1x 22+y 2=1，得：x 22+[(y +1)-1]2=1．则x 22+(y +1)2-2(y +1)[mx +n (y +1)]=0，故(1-2n )y +1x2-2m y +1x +12=0．所以y 1+1x 1+y 2+1x 2=2m 2n -1=2.即k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=2.例6.已知椭圆C :x 24+y 2=1，设直线l 不经过点P 2(0,1)且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：直线l 过定点．【解析】设直线l :mx +n (y -1)=1．．．．．．(1)由C :x 24+y 2=1，得x 24+[(y -1)+1]2=1即：x 24+(y -1)2+2(y -1)=0．．．．．．(2)由(1)(2)得：x 24+(y -1)2+2(y -1)[mx +n (y -1)]=0整理得：(1+2n )y -1x 2+2m ⋅y -1x +14=0则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=-2m 1+2n=-1，则2m =2n +1，代入直线l :mx +n (y -1)=1，得：l :(2n +1)x +2n (y -1)=2显然，直线过定点(2,-1)．题型三：极点极线问题例7.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过A (-2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆M 的离心率；(2)设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上(P 不与椭圆M 的顶点重合)，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【解析】(1)因为点A (-2,0)，B (0,1)都在椭圆M 上，所以a =2，b =1．所以c =a 2-b 2=3．所以椭圆M 的离心率e =c a =32．(2)由(1)知椭圆M 的方程为x 24+y 2=1，C (2,0)．由题意知：直线AB 的方程为x =2y -2．设P (x 0,y 0)(y 0≠0，y 0≠±1)，Q (2y Q -2,y Q )，S (x S ,0)．因为C ,P ,Q 三点共线，所以有CP ⎳CQ ，CP =(x 0-2,y 0),CQ =(2y Q -2-2,y Q )，所以(x 0-2)y Q =y 0(2y Q -4)．所以y Q =4y 02y 0-x 0+2．所以Q 4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2,4y 02y 0-x 0+2．因为B ,S ,P 三点共线，所以1-x s =y 0-1x 0，即x s =x 01-y 0．所以S x 01-y 0,0．所以直线QS 的方程为x =4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2-x 01-y 04y 02y 0-x 0+2y +x 01-y 0，即x =x 02-4y 02-4x 0y 0+8y 0-44y 0(1-y 0)y +x 01-y 0．又因为点P 在椭圆M 上，所以x 02=4-4y 02．所以直线QS 的方程为x =2-2y 0-x 01-y 0(y -1)+2．所以直线QS 过定点(2,1)．例8.若双曲线x 2-y 2=9与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)共顶点，且它们的离心率之积为43．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线A 1P 与A 2Q 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1-15k 2=0．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为223；由题意知a =3，所以c =22，b =1．所以椭圆的标准万程为x 29+y 2=1．(2)当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：k 1=-k 2≠0，不满足k 1-15k 2=0，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x =ty +n ，由x =ty +n x 29+y 2=1，得：t 2+9 y 2+2tny +n 2-9=0，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以Δ=4t 2n 2-4t 2+9 n 2-9 >0，整理得：t 2-n 2+9>0，设P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9，k 1=y 1x 1+3，k 2=y 2x 2-3．因为k 1-15k 2=0，所以15=k 1k 2=y 1x 1+3y 2x 2-3=y 1x 2-3 y 2x 1+3 =y 1ty 2+n -3 y 2ty 1+n +3 ，整理得：4ty 1y 2+5(n -3)y 1-(n +3)y 2=0，4ty 1y 2+5(n -3)y 1+y 2 =(6n -12)y 2，将y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9代入整理得：t (n -2)(n -3)=(2-n )t 2+9 y 2要使上式恒成立，只需n =2，此时满足t 2-n 2+9>0，因此，直线l 恒过定点2,0 ．例9.如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA QB =PA PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知，点(2,1)在椭圆E 上.因此，2a 2+1b 2=1,a 2-b 2=c 2,c a =22,解得a =2,b =2.所以椭圆的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则|QC ||QD |=|PC ||PD |=1，即|QC |=|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则M (0,2),N (0,-2)，由|QM ||QN |=|PM ||PN |，有|y 0-2||y 0+2|=2-12+1，解得y 0=1或y 0=2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q (0,2).下面证明：对任意的直线l ，均有|QA ||QB |=|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +1，A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立x 24+y 22=1y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=16k 2+8(2k 2+1)>0，所以，x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.因此1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k .易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B (-x 2,y 2).又k QA =y 1-2x 1=k -1x 1,k QB =y 2-2-x 2=-k +1x 2=k -1x 1，所以k QA =k QB，即Q ,A ,B 三点共线.所以|QA ||QB |=|QA ||QB |=|x 1||x 2|=|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立.变式1.已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3 x +3 ，即：y =y09x +3联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 .同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1 =6y 0y 02+9--2y 0y 02+1 -3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1 ，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04 x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02 x -32所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．变式2.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ，A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)椭圆的一个焦点F 1-3,0 ，则另一个焦点为F 23,0 ,由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2．又b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设Q 1,t ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则直线A 1Q :y =t 3x +2 ，与x 24+y 2=1联立，解得M -8t 2+184t 2+9,12t 4t 2+9同理N 8t 2-24t 2+1,4t 4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t 4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9 =-2t 4t 2+3x -4 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为4,0变式3.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】(1)因为椭圆的左焦点为F 1-2,0 ，所以c =2，设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-2=1，又因为椭圆过点M (2,1)，所以2a 2+1a 2-2=1，解得a 2=4,b 2=2所以椭圆方程为：x 24+y 22=1；(2)设直线AB 的参数方程是x =4+t cos αy =1+t sin α ，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24+y 22=1，得：cos 2α+2sin 2α t 2+(8cos α+4sin α)t +14=0．由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，得|AP |(|QP |-|PB |)=(|AP |-|QP |)|PB |，即|QP |(|AP |+|PB |)=2|AP |⋅|PB |，则t Q =2t A t B t A +t B =-288cos α+4sin α，点Q 轨迹的参数方程是x =4-28cos α8cos α+4sin αy =1-28sin α8cos α+4sin α，则8(x -4)+4(y -1)=-28，所以点Q 在定直线2x +y -2=0上题型四：蝴蝶问题例10.在平面直角坐标系中，已知圆M :x +2 2+y 2=36，点N 2,0 ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考
关于椭圆中的蝴蝶模型问题的探究与思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第06期［摘要］蝴蝶模型在解析几何中十分常见，开展模型解读、挖掘模型本质、总结模型问题十分必要. 文章以椭圆中的蝴蝶模型为例，开展模型深度探究，并结合教学实践，提出教学建议.［关键词］解析几何；蝴蝶模型；特征；考点；解法蝴蝶模型解读蝴蝶模型是解析几何的重点模型，从外形来看，模型形如两个三角形对顶角相接，因形似蝴蝶的翅膀，故称为蝴蝶模型. 蝴蝶模型在解析几何中十分常见，是几何与函数相结合的典型代表. 探究解析需要把握模型特征，总结模型结论. 下面探究椭圆中的蝴蝶模型.1. 蝴蝶模型在图1所示的☉O中，△CFM和△DEM有共顶点M，两三角形的其他顶点F，C，D，E 位于☉O上. 蝴蝶模型中隐含着相应定理，即蝴蝶定理：点M是弦AB的中点，两条弦CD和EF过点M，连接DE，CF，与AB分别相交于点P，Q，则点M为线段PQ的中点.2. 本质探究高考中直接考查蝴蝶定理的情形并不多见，常将蝴蝶模型与解析几何相结合，对其赋予“数”与“形”的特征.蝴蝶模型背景下的椭圆综合题中，注重考查直线与椭圆的位置关系. 该类问题本质上是研究椭圆的内接四边形，即两对接三角形的四个顶点构成的四边形. 其中形如蝴蝶的四边形通常由椭圆的两条相交弦来构建. 在实际问題中，并不会直接给定弦，而是设定两条弦过定点，或由某固定线的斜率来确定.椭圆问题常围绕蝴蝶模型来构建，基于相交弦设定问题，如定点问题、定值问题、斜率问题等. 在具体求解时，注意分析模型特征，充分利用蝴蝶定理来推导条件，通过数形结合分析转化.典例探究椭圆中的蝴蝶模型问题多样，常见的有定点定值问题、斜率问题、弦长关系问题等. 下面结合实例具体探究，总结方法策略.1. 蝴蝶模型中的定点问题例1 在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2=9，Q是圆O上任意一点，Q在x轴上的投影是点Q′，点P满足=，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若A（-3，0），B（3，0），过直线x=9上任意一点T（不在x轴上）作两条直线TA，TB与曲线E分别相交于点C（x，y），D（x，y）（异于点A和B），求证：直线CD 过定点.解析本题为椭圆综合题，问（2）中的弦AB与CD相交于点K，构成了蝴蝶模型，可将其归为椭圆中的蝴蝶模型问题.（1）该问求曲线E的方程，设点P（x，y），Q（x，y），由=推知x=x，y=y，将其代入方程x+y=9，可得+=1. 所以，曲线E的方程为+=1.（2）该问求证直线CD过定点，可根据韦达定理，采用“整体代换”的方法解析，具体如下：设直线CD的方程为x=my+t（t≠0），与椭圆+=1联立，并整理得（5m2+9）y2+10mty+5t2-45=0，由韦达定理得y+y=，yy=，Δ=180（5m2+9-t2）>0.利用点坐标表示蝴蝶模型中两条弦所在直线的解析式，则AC：y=（x+3），当x=9时，y=；BD：y=（x-3），当x=9时，y=. 所以，=，化简得2xy-xy=3y+6y1①. 又xy+xy=2myy+t （y+y）=②. 综合①和②可得xy=+2y++1y2，xy=-2y+-1y2.在直线CD的方程y-y=（x-x）中，令y=0，则x==. 分析可知，当-4+-2=0，即t=1时，直线CD过定点（1，0）.评析上述为蝴蝶模型中的定点问题，解析时把握模型特征，采用传统的待定系数法来代换简化. 问题解析有两大关键点：一是把握蝴蝶模型中的两条特殊弦，结合相关点分设直线方程；二是灵活构造对称式方程，形成对应的方程组，巧妙化简求解.2. 蝴蝶模型中的斜率比值问题例2 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，M在椭圆C上，△MFF的周长为2+4，其面积的最大值为2，试解决下列问题.（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C相交于A和B，连接AF，BF，并延长交椭圆C于D和E，连接DE，则AB与DE的斜率之比是否为定值？说明理由.解析本题为椭圆中的蝴蝶模型问题，其中△ABF和△DEF共顶点F，由椭圆的两条相交弦构建.题设两问，第（1）问求椭圆C的方程，转化△MFF的周长和面积最值条件即可求出椭圆方程的特征参数. 第（2）问是关于蝴蝶模型中两条关键弦的斜率之比的问题，探索其值是否为定值，可采用“设而不求”“整体代换”的方法构建斜率之比.（1）已知△MFF的周长为2+4，则FF+MF+MF=2a+2c=2+4，其最大面积S=·2c·b=bc=2，解得a=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.（2）第一步，设定点坐标：设点A的坐标为（x，y），则点B的坐标为（-x，-y）.第二步，构建方程：推得直线AD的方程为x=y+2，将其代入椭圆C的方程，整理得［（x-2）2+5y］y2+4（x-2）yy-y=0①. 又+y=1，代入方程①，化简得（9-4x）y2+4（x-2）yy-y=0.第三步，斜率推导：设点D的坐标为（x，y），点E的坐标为（x，y），则yy=，所以y=，x=y+2.直线BE的方程可以表示为x=y+2，同理可得y=，x=y+2. 所以，直线DE的斜率为k===9·=9k，即k∶k=9∶1.评析上述蝴蝶模型中的斜率比值问题，属于解析几何中的斜率问题，探究解析时关注模型特点，采用“设而不求”“整体代入”的方法简化斜率比值. 问题突破有两大关键点：一是把握蝴蝶模型的相交弦的位置关系，推导所在直线的方程；二是充分利用类比推导简化的方法，整体代入化简直线斜率比值.实际上，可推广上述椭圆蝴蝶模型中的直线斜率比值结论，在求解相应问题时直接使用. 具体如下：如图4所示，在椭圆C：+=1（a>b>0）中，其左、右顶点为A，B，椭圆C的弦PQ过定点M（t，0），则k·k=3. 蝴蝶模型中的弦长关系问题例3 如图5所示，已知椭圆E：+=1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P，在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同的两点A和B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E相交于不同的两点C和D，求证：MA·MB=MC·MD.解析本题同样为椭圆中的蝴蝶模型问题，椭圆的两条弦CD和AB构成蝴蝶模型. 本题第（2）问为核心之问，求证弦长之间的关系，涉及四条弦，探究解析可采用“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，推导线段的长，再整理化简.（1）把握几何特征，可得a=2b，再结合P，在椭圆E上，可得椭圆E的方程为+y2=1.（2）设直线l的方程为y=x+m （m≠0），点A（x，y），B（x，y），联立直线与椭圆的方程，有y=x+m，+y2=1，整理得x2+2mx+2m2-2=0. 结合韦达定理得x+x=-2m，xx=2m2-2，且Δ=4（2-m2）>0，可知参数m的取值范围为（-，）. 由点M的坐标-m，推得直线OM的方程为y=-x，与椭圆的方程联立，有y=-x，x2+4y2-4=0，可得點C-，，D，-. 结合点的距离公式得MC·MD=（-m+）·（m+）=（2-m2），MA·MB=AB2=（x+x）2-xx=（2-m2），所以MA·MB=MC·MD，得证.评析上述蝴蝶模型中的弦长关系问题，证明弦长乘积相等. 解析采用的是“联立方程”“整体代换”的策略，即设点的坐标，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理推导参数条件，将弦长乘积问题转化为与坐标参数相关的代数问题. 问题解析有两个关键点：一是挖掘其中的隐含模型，即蝴蝶模型，把握模型中的两条弦的特点；二是联立方程，设而不求，简化运算过程.教学思考上述深入探究了椭圆中的蝴蝶模型，剖析模型特征，结合实例探究常见问题，并探索解题过程，总结破题关键点. 下面对教学探究提出几点建议.1. 解析模型特征，挖掘模型本质蝴蝶模型是高中几何中常见的模型，教学探究要注意模型特征的解析，挖掘模型本质，让学生认识、理解、掌握模型. 上述模型探究按照“特征解析-本质挖掘-考点探究”来开展，探究过程具有连贯性、系统性，循序渐进、逐步深入. 教学时需要注意两点：一是模型解析中的数形结合，即探究时结合直观的模型图象，引导学生关注其几何特征；二是挖掘本质立足知识考点，即引导学生挖掘、理解模型的本质，掌握对应的知识考点.2. 关注模型考点，总结解题方法教学时教师要深入剖析模型的知识重点，围绕模型开展考点探究，精选问题，总结解题方法. 上述蝴蝶模型的探究，围绕三大典例问题开展，分析了定点问题、斜率比值问题、弦长关系问题的破解思路，总结了相应的解题方法. 教学引导时要注意两点：一是解题过程中的思维引导，即引导学生思考，锻炼学生思维能力；二是解法的归纳总结，即开展解后反思，让学生充分认识问题，掌握解题策略.3. 渗透数学思想方法，提升学生综合素养模型问题的探究教学要注意渗透数学思想方法，以提升学生的综合素养. 以上述蝴蝶模型的探究为例，其涉及了数形结合、模型构建、方程思想等，教学可分三个阶段进行：第一，讲解数学思想方法的内涵，引导学生初步理解数学思想方法；第二，结合模型解析渗透数学思想方法，引导学生感悟数学思想方法，体会数学思想方法的作用；第三，升华数学思想方法，促使学生独立使用数学思想方法构建解题思路，提升学生的思维能力.。
中学几何之蝴蝶定理大全
中学几何之蝴蝶定理大全在中学几何学中，蝴蝶定理是一项重要的定理，在解题过程中经常会用到。
本文就蝴蝶定理的各个方面进行全面介绍和总结。
定理的描述蝴蝶定理是指在平面几何中，如果一个三角形的两边分别与另外两个三角形的两边平行，并且这三个三角形的顶点都在同一直线上，那么这三个三角形的面积之比相等。
定理的证明蝴蝶定理的证明可以通过几何法或代数法进行。
几何法主要是利用平行线的性质和面积的性质进行推导，而代数法则是基于坐标系来进行计算。
定理的应用蝴蝶定理在求解平面几何问题时具有广泛的应用。
它可以简化问题的分析和计算过程，节省解题时间。
在解决平行线、相似三角形等问题时，可以通过蝴蝶定理的运用来得到解答。
注意事项在使用蝴蝶定理时需要注意以下几点：1. 确保题目中给出了足够的条件，以满足使用蝴蝶定理的要求。
2. 使用几何工具绘制图形，进行直观的观察和推导。
3. 确认计算中使用的单位和坐标系，保证计算的准确性。
例题分析以下是一个关于蝴蝶定理的例题分析：已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF并延长交BA于G，线段CG与线段EF交于H。
如果CG= 12 cm，EG = 9 cm，那么求CH。
根据蝴蝶定理，我们可以利用平行线的性质解答这个问题。
首先，由于EF为平行四边形的对角线，所以EF平分了CG。
根据平分线性质，可知EG = GF = 9/2 cm。
由此，我们可以通过相似三角形CGH和EGF的比例关系来计算出CH的长度。
通过以上的例题分析，我们可以看到蝴蝶定理在解决几何问题中的实际应用。
结论蝴蝶定理是中学几何中一个重要而实用的定理，它在求解平面几何问题时具有广泛的应用。
通过研究和掌握蝴蝶定理，我们可以更轻松地解答相关的几何题目，并在解题过程中提高思维能力和逻辑推理能力。
以上是关于中学几何之蝴蝶定理的全面介绍和总结，希望对读者有所帮助。
读者可以在实际的几何问题中尝试运用蝴蝶定理，提高解题的效率和准确性。
蝴蝶定理高中
蝴蝶定理高中
（实用版）
目录
1.蝴蝶定理的概述
2.蝴蝶定理的证明方法
3.蝴蝶定理在数学领域的应用
4.蝴蝶定理对高中数学教学的重要性
正文
【蝴蝶定理的概述】
蝴蝶定理，又称为蝶形定理，是一种数学公式，主要描述了三角函数的性质。
它的名字来源于它的形状像一只蝴蝶。
在数学中，蝴蝶定理是一种基本的公式，它在解决许多数学问题时都起到了关键的作用。
【蝴蝶定理的证明方法】
蝴蝶定理的证明方法比较简单，主要是通过将三角函数进行拆分和组合，然后通过化简，最后得到蝴蝶定理的公式。
具体的证明过程需要一定的数学技巧，但对于高中生来说，理解这个过程可以帮助他们更好地理解三角函数的性质。
【蝴蝶定理在数学领域的应用】
蝴蝶定理在数学领域中有广泛的应用，它不仅可以用来解决三角函数的问题，还可以用来解决复数和指数函数的问题。
在解决一些复杂的数学问题时，蝴蝶定理往往能够提供一种简单而优美的解决方案。
【蝴蝶定理对高中数学教学的重要性】
蝴蝶定理对高中数学教学具有重要的意义。
通过学习蝴蝶定理，学生可以更好地理解三角函数的性质，提高他们的数学技能和解决问题的能力。
同时，蝴蝶定理也是一种很好的教学工具，可以帮助教师更好地解释和教授三角函数。
探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题
探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题
圆锥曲线蝴蝶定理是几何学中古典的重要定理。
它指出：若将任意的圆锥曲线的外接圆截取两点，然后连接这两点到曲线上任意一点，两条直线朝向这点的“蝴蝶”背后必然形成一个平行四边形，该四边形内部及其外部分别由来自外接圆的直径和曲线的切线平分。
由于圆锥曲线蝴蝶定理在几何学中有重要的地位，高考中也考查相关的题目。
比如：曲线C的参数方程为x^2+y^2-2py-2q=0，P＞0，Q＞0。
若AB垂直x轴弦AB于C
的外接圆上，过点C作垂直于AB的交C的切线，连接ABC的三角形的面积为A，
则A的最大值是（A）.
符合圆锥曲线蝴蝶定理，AB到曲线C上任意一点C时，两条直线AB和C形成的蝴
蝶朝向C的平行四边形，其中之前AB为来自外接圆的直径，从而三角形ABC的面
积可表示为：A＝BC＊DC＊sinac。
其中BC和DC为两条切线的垂直距离，ac为AB
到曲线C的切点的角度。
可以推出：A最大值时，sinac最大，即ac最小，即AB
到曲线C的切点C最近，即AB到曲线C的最短距离最小，而AB距离最小时，P＞0，Q＞0，A最大值是4pq。
由此，最终结果是A的最大值是4pq，其中P＞0，Q＞0。
圆锥曲线蝴蝶定理作为几何学上古典的重要定理，能够指导高考考生完成高考数学题目。
本文运用圆锥曲线蝴蝶定理来解释高考中的一类几何问题，为学生提供了解答的思路和方法，是相关几何问题的重要参考。
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蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨以《蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨》为标题，写一篇3000字的中文文章
数学解析几何作为高考数学的重要考点，考生们在准备应考时，解题思路和技巧也是非常重要的。
其中，蝴蝶定理是数学解析几何中的重要定理，它能够有效地帮助考生提高数学解析几何的成绩，具有重要的意义。
蝴蝶定理是由18世纪的德国数学家黑格尔提出的。
它的定义是：“两个相交圆之间的两条射线被称为蝴蝶定理，它们的角的和等于180度”。
由于蝴蝶定理的定义非常简单，大多数学生都停留在一张图形上，在这张图形上大家可能都比较容易理解，因此当考生发现有蝴蝶定理出现时，他们能够反应迅速，准确地把握住它，并将它正确地附加在题目上，从而有效地求出结果。
尽管蝴蝶定理有着重要的理论地位，但是正确应用蝴蝶定理是关键，许多考生在运用蝴蝶定理解题时会遇到许多困难，错误地使用蝴蝶定理就会导致解题的失败，可能会给学生带来不可逆的损失。
因此，在高考数学解析几何中，如何利用蝴蝶定理准确而有效地求解题目是非常值得探讨的。
首先，应该重视蝴蝶定理对数学解析几何的重要性，比较系统地学习它，全面掌握它的解题方法和方法。
其次，应该学会灵活运用蝴蝶定理，根据题目的不同需求，从蝴蝶定理中提取有用的思想和知识。
最后，应该学会通过分析，把握蝴蝶定理的特点，灵活变通，把蝴蝶定理的普遍性与题目的特殊性结合起来，
从而求出高考数学解析几何题的正确答案。
总之，虽蝴蝶定理在高考数学解析几何中具有重要的意义，但正确应用蝴蝶定理仍然有一定的难度，并不是每个学生都能做到，希望考生能够在复习过程中重视蝴蝶定理，积极掌握它的解题方法，从而取得优异的数学解析几何成绩。