幂的运算法则(讲义及答案)
专题13 幂的运算（含答案）
专题13 幂的运算知识解读1.幂的运算法则的正向运用同底数幂的乘法：m a ·n a m n a +=（m ，n 为正整数）；幂的乘方：()m n mn a a =（m ，n 为正整数）； 积的乘方：()m m m ab a b =（m ，n 为正整数）；同底数幂的除法：m a ÷n a m n a -=（a ≠0，m ，n 为正整数，m >n ）2.幂的运算法则的逆向运用在解决一些问题时，常常根据题目需要，逆向运用幂的相关法则，以退为进，求得突破。
3.幂的运算法则的综合运用一个算式中往往含有多个幂的运算，此时需要理清运算顺序，再准确地运用运算法则计算.培优学案典例示范1.幂的运算法则的正向运用例1 计算：（1）22()(b )a b c a c -+--=________________； （2）23(9)3n n +⨯-⨯＝________________；（3）2()()n na b b a ⎡⎤--⎣⎦＝________________；【提示】（1）b －a －c ＝－（a －b ＋c ）；（2）－9＝－23-；（3）22()()n n b a a b -=-. 【技巧点评】利用相反数或幂之间的关系，将非同底数的幂转化为同底数的幂，便于运用公式计算。
【跟踪训练1】计算：（1）3()x y -·2()y x -·5()y x -；（2）3()m a b ⎡⎤-⎣⎦·2()mb a ⎡⎤-⎣⎦.2.幂的运算法则的逆向运用例2（1）已知m a ＝4，n a ＝8，则3m n a ++＝________； （2）若x ＝－2，y ＝12，则2x ·212()n n x y +＝________；（3）若m 为正整数，且2m x ＝3，求32223()13()m m x x -的值； （4）比较大小：4442，3333，2225.【提示】（1）3m n a ++＝m a ·n a ·3a ；（2）2x ·212()n n x y +＝22n x +·22n y +＝22()n xy +；（3）32223()13()m m x x -＝643()13()m m x x -＝23223()13()m m x x -；（4）4442＝4111(2)，3333＝3111(3)，2225＝2111(5).【解答】【技巧点评】…幂的运算法则反过来： m n a +＝m a ·n a ； ()mn m n a a =；()m m m a b ab =（m ，n 为正整数）；m n a -=m a ÷n a （a ≠0，m ，n 为正整数，m >n ）.要根据题目特点，灵活地正向或反向运用法则，巧妙解题。
101幂的运算法则(基础强化)
幂的运算法则（讲义）一、知识点睛幂的运算法则：1. 同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．2. 同底数幂相除，_________，_________．即_____________．3. 幂的乘方，___________，___________．即_____________．4. 积的乘方等于___________．即_____________．规定：0a =_______（___________）； p a -=______（_________________________）．二、精讲精练1. ①122m m +⋅=________； ②31·m a a -=________； ③2·m n n p p --=________； ④2121()()n n a b a b +-+⋅+=______；⑤124m m m x x x x +⋅-⋅=____；⑥m n m n a a a -⋅⋅=___________；⑦23273n -⨯=_________； ⑧234(5)5(5)-⋅⋅-=_________．2. 若105102x y ==，，则10x y +=________；若212128x +=，则x =________．3. ①21m m a a -÷=__________； ② 233m m ÷=_____________；③63()()x x -÷-=_______； ④20132014333⨯÷=________；⑤3622-⨯=__________； ⑥82 ()()m n m n -+÷+=______；⑦221 222m m m -+-⋅÷ ⑧3212 m m m p p p p +-÷-⋅=______________ =_______________=______________ =_______________⑨224 2(2)2----⋅-÷ ⑩220211(π7)332--⎛⎫⎛⎫-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. ①23(3)=____________； ②32()a -=______________；③42()n b =_____________； ④2()m x x ⋅=____________；⑤43 ()()n n b b -⋅=________； ⑥2643 5()()a a -=__________；⑦()()m n n m p p -⋅=_______； ⑧322326()()()n n n b b b ⋅÷=______．5. ①3(2)x =____________； ②43()ab =______________；③22()n a -=__________； ④6 ()n xy -=_____________．⑤3322(3)(2)x x ⎡⎤--⎣⎦ ⑥1001001001236⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ =_______________ =_______________=_______________ =_______________6. ①2(3)a =_____________； ②24()a b -=_____________；③22 ()n xy --=__________； ④242(2)(2)x x ⎡⎤---=⎣⎦_______． ⑤20132013201313412⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_______________=_______________=_______________7. （1）若105x =，则210x =_______； 若105x =，102y =，则2310x y +=_______．（2）若2n a =，3n b =，则6n =__________．8. 下列运算正确的有_________（填序号）．①235(2)8a a =；②236(2)8a a -=-； ③22m m b b b ÷=； ④m m a a a ⋅=； ⑤31(2)8--=； ⑥4442b b b ⋅=．9. 8x 不可以写成（ ）A ．35x x ⋅B ．324x x ÷C ．24()xD ．25()()()x x x ---10. （1）若32110n n a a a -+⋅=，则n =________．（2）若22()n n x x x =⋅，则n =________．（3）若3039273m m m ⋅⋅=，则m =______．11. 若3322336x x x ++-⋅=，则x =________． 若253x y +=，则432x y ⋅=________．12. 混合运算：①2(21)(12)(21)m m x x x -⋅-⋅-（m 为正整数）； ②532435()(2)3()x x x x x -⋅+--⋅；③1032132(3)4--⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．13. 光在真空中的速度约是8310⨯m/s ，太阳系外一颗恒星发光需要6年才能到达地球，若1年以7310⨯s 计算，求这颗恒星与地球的距离．14. 一种液体每升含有1210个有害细菌．为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死910个此种细菌．要将1L 液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？【参考答案】一、知识点睛1.底数不变，指数相加a m·a n= a m+n2.底数不变，指数相减a m÷a n= a m n3.底数不变，指数相乘()m na=a mn4.乘方的积(ab)n=a n b n（a≠0，p是正整数）规定：1（a≠0）1pa二、精讲精练1.①22m+1 ②a3m ③ p2m④(a+b)4n⑤ 3x2m+1⑥a2m⑦32n ⑧592.10，33.①a m +1② m ③ x3 ④1 ⑤8⑥ (m+n)6 ⑦2 ⑧0 ⑨ 1 ⑩2744.① ② a6 ③b8n④x2m+1⑤b n⑥4a12 ⑦1 ⑧15.①8x3 ②a3b12 ③a n ④ x n y6n⑤ 55x6 ⑥16.①9a2 ②a8b4 ③ x2n y4n ④0 ⑤17.（1）25 200 （2）ab8.②9. B10.（1）4 （2）2 （3）511.（1）7 （2）812.①(2x 1)3m+1②18x8③75813.5.4×101614.103。
幂的运算所有法则和逆运算法则
幂的运算所有法则和逆运算法则幂的运算法则包括乘法法则、除法法则和幂的指数法则。
逆运算法则包括开平方运算和对数运算。
下面将详细介绍这些法则。
一、幂的乘法法则：对于任意实数a和正整数n，有：a^n*a^m=a^(n+m)这条乘法法则表明，当两个幂具有相同的底数时，可以将底数保持不变，指数相加得到新的指数。
二、幂的除法法则：对于任意实数a和正整数n，有：a^n/a^m=a^(n-m)这条除法法则表明，当两个幂具有相同的底数时，可以将底数保持不变，指数相减得到新的指数。
三、幂的指数法则：1.幂的幂法则：对于任意实数a和正整数n、m，有：(a^n)^m=a^(n*m)这条指数法则表明，当一个幂的指数再次被指数化时，可以将指数相乘得到新的指数。
2.幂的乘法法则的推广：对于任意实数a和正整数n_1，n_2，...，n_k，有：a^(n_1)*a^(n_2)*...*a^(n_k)=a^(n_1+n_2+...+n_k)这条指数法则表示，当一个底数出现多次相乘时，可以将所有指数相加得到新的指数。
3.幂的除法法则的推广：对于任意实数a和正整数n_1，n_2，...，n_k，有：a^(n_1)/a^(n_2)/.../a^(n_k)=a^(n_1-n_2-...-n_k)这条指数法则表示，当一个底数出现多次相除时，可以将所有指数相减得到新的指数。
四、逆运算法则：1.幂的开平方运算：对于任意非负实数a和正整数n(a^(1/n))^n=a这条逆运算法则表示，当一个数的n次幂再开n次方时，可以得到该数本身。
2.幂的对数运算：对于任意正实数a、b和正整数n，有：log(base a)(a^n) = n这条逆运算法则表示，当一个数的n次幂再以底数a进行对数运算时，可以得到n。
总结：幂的运算法则包括乘法法则、除法法则和幂的指数法则。
乘法法则指出当两个幂具有相同底数时，可以将指数相加；除法法则指出当两个幂具有相同底数时，可以将指数相减；指数法则包括幂的幂法则和幂的乘法法则的推广，指数可以相乘得到新的指数。
幂的运算知识要点归纳及答案解析
幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭重点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，算法时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题解析】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【标准答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】算法：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【标准答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【标准答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、算法：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【标准答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【标准答案与解析】 解：∵ 25mx=，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnm n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【标准答案】 解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【标准答案】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【标准答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ． 【标准答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()nnnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则 2、算法：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-g ； （3）22412()()m m xx -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【标准答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入算法.【标准答案与解析】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知322,3mm ab ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ．【标准答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、算法：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法. 【标准答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-． （2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【标准答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x yx y -=-；()326m maa -=-；()3618327aa =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算特点仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、算法：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则算法．(2)、(4)两小题要注意符号． 【标准答案与解析】解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行算法的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、算法下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再算法，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【标准答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行算法．3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【标准答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ． 当32m=，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和算法，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值． 【标准答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算4、算法：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【标准答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】算法：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【标准答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【标准答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三： 【变式】算法：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【标准答案】 解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【标准答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a 3．下列算法正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列算法正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319x a a a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦ ______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列算法的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【标准答案与解析】一.选择练习题1. 【标准答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【标准答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【标准答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【标准答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【标准答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=.6. 【标准答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5. 二.填空题7. 【标准答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【标准答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【标准答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【标准答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【标准答案】64；9n -；103-；12.【标准答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-； （2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+； （3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--； （5）()()236331293125325272aa a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x xx +⋅= ∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b ba b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4就这么多了，祝大家思修不挂科！！！页眉设计。
第02讲 幂的乘方与积的乘方(解析版)
ab
2n
54
2
，
ab
n
2
202 ，
所以 abn 20 ，故答案为： 20 ．
9．已知 a 是正整数，比较大小： 23a
【答案】
32a ．（填“ ”“ ”“ ”）
【解析】 23a 23 a 8a ， 32a 32 a 9a ，
8 9 ， a 为正整数， 23a 32a ．故答案为： ．
所以 x12 x4 3 23 8，y12 y3 4 34 81 ，
因为 8 81 ，所以 x y ．
过关检测
一、选择题
1．计算
2x2
3
的结果是（
）
A． 8x6
B． 6x6
【答案】A
【解析】 2x2 3 8x6 ，故选 A．
C． 2x6
D． 2x5
2．下列运算不正确的是（ ）
（3） a3x2 y a3x a2 y ax 3 a y 2 33 32 27 9 243 ．
【变式训练】 1．（1）若10x 3 ，10y 2 ，求代数式102x3y 的值． （2）已知 3m 2n 6 0 ，求 8m 4n 的值． 【解析】（1）因为10x 3 ，10y 2 ，
(3)已知 a 244 , b 333, c 522 ，比较 a，b，c 的大小关系．
【解析】（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．故选 C． （2） x30 (x5 )6 26 64 ， y30 ( y6 )5 35 243 ， 64 243 ， x y ； （3） a 244 (24 )11 1611 ， b 333 (33 )11 2711， c 522 (52 )11 2511，且16 25 27 ，
第 02 讲 幂的乘方与积的乘方
幂的运算法则(讲义及答案)
幂的运算法则（讲义）➢ 课前预习1. 背默乘方的相关概念：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做___．用字母表示为na ，其中______叫底数，______叫指数，读作“________________”． 2. 补全表格：3. 类比迁移：老师出了一道题，让学生计算45a a ⋅． m na a ⋅．➢ 知识点睛幂的运算法则：1. 同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．2. 同底数幂相除，_________，_________．即_____________．3. 幂的乘方，___________，___________．即_____________．4. 积的乘方等于___________．即_____________．规定：0a =_______（___________）；p a -=______=______（_________________________）．➢ 精讲精练1. ①122m m +⋅=________； ②31·m a a -=________；③2·m n n p p --=________；④2121()()n n a b a b +-+⋅+=______；⑤m n m n a a a -⋅⋅=________； ⑥124m m mx x x x +⋅-⋅=______；⑦23273n -⨯=_________； ⑧432()()a a a ⋅-⋅-=_________． 2. ①21m m a a -÷=________； ②233m m -÷=________；③63(2)(2)-÷-=______； ④82()()m n m n -+÷+=______；⑤3622-⨯=____________； ⑥20152016333⨯÷=_________； ⑦221 222m m m -+-⋅÷=___________ ⑧3212 m m m p p p p +-÷-⋅=_______________⑨224 2(2)2----⋅-÷；⑩22211(π7)332--⎛⎫⎛⎫-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. ①23(5)=__________； ②32()a -=______________；③42()nb =____________；④2()m x x ⋅=_____________；⑤43 ()()n n b b -⋅=_______； ⑥26435()()a a -=____________； ⑦()()m n n mp p -⋅=_________；（p ≠0）⑧322326()()()n n n b b b ⋅÷=___________．（b ≠0）4. ①3(2)x =_________； ②43()ab =_________；③22()na -=________； ④6 ()n xy -=________． ⑤3322(3)(2)x x ⎡⎤--⎣⎦⑥1001001001236⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________5. ①2(3)a =______________； ②24()a b -=_____________；③22 ()n xy --=__________．④242(2)(2)x x ⎡⎤---⎣⎦⑤20152016201513412⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________=_______________6. 下列运算正确的是_________．（填写序号）①336()a a =； ②236(2)8a a -=-；③22m m b b b ÷=；④m ma a a ⋅=；⑤31(2)8--=；⑥4442b b b ⋅=．7. （1）若32110n n a a a -+⋅=，则n =________；（2）若22()n n x x x =⋅，则n =_________；（3）若3039273m m m ⋅⋅=，则m =______；（4）若212128x +=，则x =________； （5）若105x =，则210x =________；（6）若105x =，102y =，则10x y+=________； （7）若2n a =，3n b =，则6n=________．8. 混合运算：①2(21)(12)(21)m m x x x -⋅-⋅-（m 为正整数）； ②5324102()(2)()x x x x x -⋅+--÷；③132132(3)4--⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； ④1021(3.14)(2)(1)3--⎛⎫--π+-⨯- ⎪⎝⎭．幂的运算法则（习题）➢ 例题示范例1：计算2322105()()()x x x x x x --+⋅--÷．➢ 巩固练习1. ①21m p p --=__________； ②2222m m nn --⋅⋅⋅=______； ③21()m m x x --⋅=__________________；④3222()()m m a b c a b c +--+-+=____________．2. ①6222÷=__________；②3mm aa ÷=___________；③63()()a b c a b c -+-÷+-=_____________； ④20151008222⨯÷=__________________；⑤4221()n n n a a a a -÷-+⋅=_______________．3. ①22(3)n -=_____________； ②24()a -=_____________； ③2223()()m c c ⋅-=_________； ④4638()()x x -=_________． 4. ①3(2)b -=___________； ②233()y z =___________；③2()np q -=___________； ④342442()(2)a a a a a ⋅⋅++-=_________；⑤20152016201512714⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_________．5. 下列运算：①3332a a a ⋅=； ②326(3)9a a =；③236(3)9a a -=-；④22m m b b b ÷=； ⑤01a a a -÷=；⑥21(2)4--=； ⑦235()a a =；⑧330 a a a -=；⑨236(2)8ab ab =．其中正确的序号有_____________． 6. 计算下列各式：①221()()()nnn a a a +-⋅-⋅-； ②333322()(5)2()a a a a ⎡⎤-⋅-----⎣⎦；③201222(3)(3)3--⨯π---⨯．7. （1）若32213nn aa a +-⋅=，则n =__________； （2）若21222228x x x +++⋅=，则x =_________．8. 一种液体每升含有1210个有害细菌．为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死910个此种细菌．要将1L 液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？➢ 思考小结1. 背默幂的四大运算法则并推导．2. 运用幂的运算法则证明下面的公式．（1）11ppp a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭（a ≠0，p 为正整数）；（2）()()m n n m a a =（m ，n 为正整数）．。
幂的运算讲义
方法二：∵〔 - 〕= = = = ，
∴ 与 也能被13整除，又∵ 能被13整除，∴ 也能被13整除。
题型训练：
计算：1. = 2. = 3. =
4. = 5. = 6.
7. 8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15.
16. 17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
（2）① 解方程： ； ② 解不等式： < ；
解：① 原方程可化为 ，即 ；∴*-1=2，解得*=3；
②∵ < ，∴ 2*-1> ，
∴ 2*-1>-3(1-*)， ∴ 2*-1>3+3*， ∴ -*>-2， ∴ *<2。
方法总结：在含有幂的运算的等式〔不等式〕中，确定指数中的字母取值〔*围〕的方法：通过符号〔等号〕两边各自计算，使左右两边底数一样，然后由指数相等〔不等〕构造方程〔不等式〕来求解字母的取值*围。
综合开展题：1. ；思路引导：先由"两非负数和为0，则每个非负数均为0,〞得到*，y的值，然后化简求值；
2. ；思路引导：先由"三个非负数和为0，则每个非负数均为0,〞得到*，y，z的值，然后代入求值；
3.1；思路引导：∵ ，∴ ，同理有 ，
∴ ，即 ，∴ *y=*+y，即 =1；
4.8或12或16；思路引导：由条件可以列出方程组 ，∴
① ； ② ；
③ ； ④ 。
解：① 不正确，应改为： ，法则中底数不变，指数相减，而不是指数相除；
② 不正确，应改为： ， 与 底数不同，要先化为同底数，即 ，再计算；
③ 不正确，应改为 ，*-y与y-*互为相反数，先化同底数再计算；
幂的运算(知识总结)
幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。
用式子表示为：nm nma a a -=÷。
(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。
) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。
三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。
用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。
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1. 2. 3. 4.
同底数幂相乘，_________，_________．即_____________． 同底数幂相除，_________，_________．即_____________． 幂的乘方，___________，___________．即_____________． 积的乘方等于___________．即_____________．
幂的运算法则（讲义）
课前预习
1. 背默乘方的相关概念： 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做___． ______叫指数， 用字母表示为 a n ， 其中______叫底数， 读作 “________________” ． 2. 补全表格： 底数
23 2 3 2 5
5
指数
读作
( a b) m
3.
类比迁移： 老师出了一道题，让学生计算 a 4 a5 ． 小明是这么做的：
a 4 a5 a a a aa aaaa
4个 5个
a
45
a9
请你类比小明的做法计算： a m a n ．
知识点睛
幂的运算法则：
⑤ a m a n a m n ________； ⑥ x m x m 1 4 x 2 m x ______； ① a 2 m a m 1 __________； ② 32 m 3m _____________； ③ (2) 6 (2) 3 _______； ④ (m n)8 (m n)2 ______； ⑤ 2 3 26 ____________； ⑥ 32 015 3 32 016 _________； ⑦ 22 m 2m 2 21 m =______________ =______________ ⑨ 2 (2) 2 ；
1 ⑤ (2)3 ； 8
7.
（1）若 a n 3 a 2 n 1 a10 ，则 n ________； （2）若 ( x 2 ) n x 2 x n ，则 n _________； （3）若 3m 9 m 27 m 330 ，则 m ______； （4）若 22 x 1 128 ，则 x ________； （5）若 10 x 5 ，则 10 2 x ________； （6）若 10 x 5 ， 10 y 2 ，则 10 x y ________； （7）若 2 n a ， 3n b ，则 6n ________．
③ (b 4 ) 2 n ____________； ④ ( x m ) 2 x _____________；
5(a 2 )6 (a 4 )3 ____________； ⑤ (b 4 ) n (b n ) 3 ___ n )m _________； （p≠0） ⑧ (b3 ) 2 n (b 2 n )3 (b 2 )6 n ___________． （b≠0） 4. ① (2 x) 3 ____________； ③ ( a 2 ) 2 n __________； ② (ab 4 )3 ______________； ④ ( xy 6 ) n _____________．
1 ⑥ 2100 3100 6 =_______________ =_______________ =_______________
100
① (3a) 2 ______________； ② ( a 2b) 4 _____________；
1 ⑤3 4 12 =_______________ =_______________ =_______________ =_______________
规定： ； a 0 _______（___________）
a p ______=______（_________________________） ．
精讲精练
1. ① 2 m 2 m 1 ________； ③ p 2 m n ·p n ________； ⑦ 27 32 n 3 _________； 2. ② a 3m 1 ·a ________； ④ (a b)2 n1 (a b)2 n 1 ______； ⑧ a 4 (a)3 (a)2 _________．
2 2 4
⑧ p 3m p 2 m 1 p p m 2 =_______________ =_______________
1 1 ⑩ (π 7) 32 ． 3 2
0 2 2
3.
① (52 )3 __________；
② (a3 )2 ______________；
2 016 2 015 2 015
=_______________ =_______________ =_______________ 6.
下列运算正确的是_________． （填写序号） ① (a 3 )3 a 6 ； ④ am a am ； ② ( 2 a 2 ) 3 8 a 6 ； ③ b2m bm b2 ； ⑥ b4 b4 2b4 ．
2 ⑤ ( 3 x 3 ) 2 (2 x)
3
=_______________ =_______________ =_______________ 5. ③ ( xy 2 ) 2 n __________． ④ ( 2 x ) (2 x)
4 2 2