2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷

数学

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分100分。

、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.图1是某圆柱的直观图，则其正视图是

A •三角形

B •梯形

C .矩形

D •圆

2.函数y cosx, x R的最小正周期是

A . 2

B .

图I

C.— D .-

24

3.函数f (x) 2x 1的零点为

11

A . 2 B.- C .

22

4.执行如图2所示的程序框图，若输入a, b分别为4, 3,

则输出的S

A . 7

B . 8

C . 10

D . 12

5.已知集合M {x |1 x 3}, N{x|2 x 5},

则M帥

A. {x|1 x 2} B . {x |3 x 5}

C . {x|2 x 3}

D .

x y 4,

6.已知不等式组x 0, 表示的平面区域为，则下列坐标对应的点落在区域

y 0

12.已知直线h:3x

y 2 0 , I 2 :mx y 1 0 .若 h //I 2，则 m

的是

A .

3

B .

1

C . 1

则以点M 为圆心，半径长为 1的圆的方程是 2 2 2 2

A . (x 1) (y 2) 1

B . (x 1) (y 2) 1

C . (x

2)2 (y 1)2

1

D . (x

2)2 (y 1)2

1

10.某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年

每月的用水量（单位：t ）进行分析，得到这 些住户月均用水量的频率分布直方图

（如

图4）,由此可以估计该社区居民月均用水 量在

［4, 6）的住户数为

A . 50

B . 80

C . 120

D . 150

填空题：本大题共 5小题，每小题 11.若 sin 5cos ，贝U tan A • (1,1) B • ( 3, 1) C . (0,5) D • (5,1)

7.已知向量

Ta

(1,m) , b (3,1),

8.已知函数y

x(x a ）的图象如图3所示，则不等式 x(x a) A . {x|0 x 2}

B . {x|0 x 2}

C . {x|x 0或x 2}

D .

{x|x

0或x 2}

9.已知两直线x 2y

0和x y 3

0的交点为M ，

4分，满分2, 0分.

0的解集为

13.已知幕函数y x ( 为常数)的图象经过点A(4,2)，则

1 14. 在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c .若a 2, b 3 , cosC -，则

4

c _______ .

15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并

对数据进行分析，得到加工时间y (min) 与零件数x (个)的回归方程为y 0.67x 51 .由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为____________

三、解答题：本大题共5小题，满分40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. (本小题满分6分)

从一个装有3个红球A,,A2,A3和2个白球B1,B2的盒子中，随机取出2个球.

(1)用球的标号列出所有可能的取出结果；

(2)求取出的2个球都是红球的概率.

17. (本小题满分8分)

2

已知函数f (x) (sinx cosx) , x R

(1 )求f (—)的值；

4

(2)求f (x)的最小值，并写出f (x)取最小值时自变量x的集合.

⑶ 若不等式f(t 4x )

f (2x t)对任意x [1,2]恒成立，求实数的取值范围

18. (本小题满分8分)

已知等差数列｛a n ｝的公差d 2，且a , a 2 6 .

(1) 求 a ,及 a n ; (2)

若等比数列｛b n ｝满足bi a , , b 2 a 2,求数列｛a n b n ｝的前n 项的和S n

19. (本小题满分8分)

如图5,四棱锥P ABCD 的底面是边长为 2的菱形，PD 底面ABCD . (1) 求证：AC 平面PBD ； (2)

若PD 2，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45；，求四棱锥P ABCD 的 体积.

20. (本小题满分10分)

已知函数 f(x) log a x (a 0,且 a 1 )，且 f(3) 1

(1)求a 的值，并写出函数 f(x)的定义域；

⑵设g(x) f (1 x) f (1 x)，判断g(x)的奇偶性，并说明理由

;

2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

参考答案及评分标准

、选择题（每小题4分，满分40分）

3 所以，取出的2个球都是红球的概率为 .

10

17.【解析】f （x ） 1 2sin xcosx 1 sin2x .

⑴ W 1 sin 2 2

⑵ 当sin2x 1时，f （x ）的最小值为0,此时2x

4

所以f (x)取最小值时x 的集合为{x| x - k ,k Z}.

…… 8分

4

18. 【解析】(1)由印a 2 6，得2a 1 d 6.又d 2，所以a 1 2,…2分

故 a n

2 2(

n 1

) 2

n .

……4 分

(2)依题意，得 b 2,b 2 2q 4，即 q 2，所以 b n 2n .于是 a n b n 2n 2n

故 S n (2 4

2n) (2 22

2n ) n 2 n 2n 1 2. ........................ 8 分

19. 【解析】(1)因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD . 又因为PD 底面ABCD , AC 平面

ABCD ，所以PD AC . 故AC 平面PBD . ……4分 (2)因为PD 底面ABCD ，所以 a

PBD 是直线PB 与平面 A BCD 所成的角.

于是 PBD

45,，因此BD PD 2，又 AB AD

2，所以菱形ABCD 的面

积为 S AB AD sin 60： 2 ;'3.

故四棱锥P

ABCD 的体积V

1 4丁3

S PD . ……8分

3 3

20.【解析】（1） 由 f (3) 1，得 lOg a 3 1

,所以a 3 .

..... 2分

1. C

2. A

3. B

4. D

5. C

6. A

7. A 8. B

9. D

10. C

二、填空题（每小题4分, 满分20分） 11. 5

12. 3

1 13.

14.

2

15. 118

三、解答题（满分40分）

16.【解析】（1）所有可能的取出结果共有

A

2

Bl ， A 2 B 2， A 3

B

1

， A 3

B

2

， B 1B 2 .

（2）取出的2个球都是红球的基本事件共有 10个: A 1A 2， A A 3

，A3 ，A B

2， A 2 A 3 ，

3分

3 个: A 1A 2， A 1A 3， A 2A 3 .

2k ，即

2

x - k (k Z)