任意角的三角函数定义说课课件
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人教版高中高一数学必修四 12 任意角的三角函数 说课课件(共28张PPT)
引入已有知识和经验，利于学生对新知识 的理解 和记忆。同时，培养学生的逻辑思维 能力和扩展思维能力。
初中锐角的三角函数是如何定义的？
y
r
o
P ( x, y )
M
x
对边 y sin 斜边 r 邻边 x cos 斜边 r 对边 y t an 邻边 x
（ 让 学 生 回 答 ）
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y x 0 tan ③ x 叫做 的正切，即 x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
练习巩固
练习一 （口答）
sin 45
y
5 3
AOB 3000 , 如图所示它的的终边与单位圆的
5 解：在直角坐标系中，作AOB 易知 3
1 3 M﹒ 交点坐标为( , ) 2 2 o A x 5 5 3 5 1 ﹒B tan 3 cos 所以 sin 3 2 3 2 3
意图：加强学生对定义的理 解，让学生学会计算任意角 的三角函数
问题 1.在直角坐标系中如何用坐标表示
锐角三角函数？
y
P
y
O
x
M
x
前面我们学了角的概念推广后，下面我们要把 “定义媒介”从直角三角形改为平面直角坐标系。
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中: OM x, MP y OP r x 2 y 2
y
﹒Px, y
MP y sin OP r
y
﹒ Px, y
O
A1,0 x
学生讨论填表
高中数学任意角的三角函数说课课件
学情分析
教法与学法分析
教学过程设计
板书设计
师 例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求 生 角 的正弦、余弦和正切值. 共 y 同 三角形相似 解 化归到单位圆上 决
.
P( x, y) P0(3,4)
o
x
由浅入深，深化对定义的认识， 知道角的终边上的任意一点，就可 以得出相应的三角函数值.
教材分析
学情分析
教法与学法分析
教学过程设计
板书设计
教学重点、难点
教材分析
学情分析
教法与学法分析
教学过程设计
板书设计
知识 准备
已经掌 握了锐角三 角函数的相 关知识，初 步了解数形 结合的思想.
认知 能力
具有较 强的抽象思 维能力，初 步形成合作 探究能力， 但其问题意 识有所欠缺.
生理和心 理特征
教材分析
学情分析
教法与学法分析
教学过程设计
板书设计
一般的，设角 终边上任意一点的坐标 为 ( x, y ) ，它与原点的距离为 r
O
建立直角坐标系，构建中间桥梁， 引导学生用坐标表示锐角三角函数.
教材分析
学情分析
教法与学法分析
教学过程设计
板书设计
2.改变终边上的点的位置，这三个比值会改 OP r OP ' r ' 变吗？为什么？ y y y' ( x， y) sin POM P r r' x x' ( x '， y ') P cos 'POM r r' y y' tan POM O M' M xx x '
回顾旧知，为后面探索任意角三 角函数的定义做铺垫.
3.2.1任意角三角函数的定义_课件-湘教版必修2
要点三 三角函数的定义域
例3 求下列函数的定义域：
(1)y＝sin
x＋cos tanx
x；
(2)y＝ －cos x＋ sin x.
解 (1)要使函数有意义，须tan x≠0，
所以x≠kπ＋2π，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，
所以x≠k2π，k∈Z.
于是函数的定义域是xx∈R，且x≠k2π，k∈Z
.
(2)要使函数有意义，须－sincxo≥s x0≥，0，
一点，则x＝0，y＝r，∴sin(－270°)＝yr＝1.
2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等
于
()
1 A.2
B．－12
C．－
3 2
3 D. 2
答案 A
解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－ 3，
∴r＝2，∴cos α＝12.
3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝35，则
，cos
A＝
bc，tan A＝ab.
[预习导引]
1．三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图，在α的终边上任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)．定
y
x
y
义：sin α＝ r ，cos α＝ r ，tan α＝ x ，分别称为角
的正弦、余弦、正切．
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的正
解 (1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π，
∴3,4,5分别在第二、三、四象限，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
(2)∵θ是第二象限角，
高中数学《任意角三角函数的定义》课件
二 用有向线段表示三角函数
例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
图5.2-6
(3)
请用三角函数的定 义说明正弦、余弦、正 切在各个象限内的符号.
二 用有向线段表示三角函数
例 4 设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角. 解 因为sin θ<0，
过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
由锐角三角函数的定义有：
sin y ，cos x ，tan y .
r
r
x
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形， 由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的 终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数 （正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取
正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零
值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
由于直角坐标系内点的 坐标与坐标轴的方向有关， 以坐标轴的方向来规定有向 线段的方向，使得它们的取 值与点P的坐标一致.
解 x＝4，y＝－3，则r＝ 42 32 ＝5，
所以 sin y 3 3 ，
r5 5
cos x 4 ，
r5
tan y 3 3 .
x4 4
图5.2-3
一
用比值定义三角函数
任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .
高中数学1.2.1任意角的三角函数(公开课)优秀课件
MP OM
b a
2.单位圆：
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以 单位长度为半径的圆为单位圆
y
r=1
o 1x
3.单位圆中任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
那么:（1）y叫做 的正弦，记作 sin，即 sin y ；
x （2） 叫做 的余弦，记作 cos，即 c o s x ；
函数吗？
P
a
Ob M y
x
思考2：你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来
表示锐角三角函数吗？
其中: OM a
sin MP b
OP r
MP b
OP r a2 b2
y
﹒Pa,b
cos OM a
OP r
tan MP b
OM a
o
﹒ M
x
思考探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
（3）x 叫做
的正切，记作tan，即
tan
y
(x
0)
x
y
所以，正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
思考：三角函数的定义域是什么？如何去求呢？
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
siny cosx
tany
x
三角函数
sinα cosα tanα
定义域
R
{|Rk,kZ}
2
实例剖析
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
3 解：在直角坐标系中，作AOB
5
人教版数学《任意角的三角函数》讲授(共23张PPT)教育课件
sin 120 0 ? cos 150 0 ? tan 315 0 ?
一、任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中， 在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα， tanα的值分别P 如何表示？
O
y
a
b
M
OP r
x
a2 b2
sin MP b
之 前 有 个 网友 说自己 现在紧 张得不 得了， 获得了 一个大 公司的 面试机 会，很 不想失 去这个 机会， 一天只 吃一顿 饭在恶 补基础 知识。 不禁要 问，之 前做什 么去了 ？机会 当真就 那么少 ？在我 看来到 处都是 机会， 关键看 你是否 能抓住 。运气 并非偶 然，运 气都是 留给那 些时刻 准备着 的人的 。只有 不断的 积累知 识，不 断的进 步。当 机会真 的到来 的时候 ，一把 抓住。 相信学 习真的 可以改 变一个 人的运 气。 在 当 今 社 会， 大家都 生活得 匆匆忙 忙，比 房子、 比车子 、比票 子、比 小孩的 教育、 比工作 ，往往 被压得 喘不过 气来。 而另外 总有一 些人会 运用自 己的心 智去分 辨哪些 快乐或 者幸福 是必须 建立在 比较的 基础上 的，而 哪些快 乐和幸 福是无 需比较 同样可 以获得 的，然 后把时 间花在 寻找甚 至制造 那些无 需比较 就可以 获得的 幸福和 快乐， 然后无 怨无悔 地生活 ，尽情 欢乐。 一位清 洁阿姨 感觉到 快乐和 幸福， 因为她 刚刚通 过自己 的双手 还给路 人一条 清洁的 街道； 一位幼 儿园老 师感觉 到快乐 和幸福 ，因为 他刚给 一群孩 子讲清 楚了吃 饭前要 洗手的 道理； 一位外 科医生 感觉到 幸福和 快乐， 因为他 刚刚从 死神手 里抢回 了一条 人命； 一位母 亲感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他正坐 在孩子 的床边 ，孩子 睡梦中 的脸庞 是那么 的安静 美丽， 那么令 人爱怜 。。。 。。。
一、任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中， 在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα， tanα的值分别P 如何表示？
O
y
a
b
M
OP r
x
a2 b2
sin MP b
之 前 有 个 网友 说自己 现在紧 张得不 得了， 获得了 一个大 公司的 面试机 会，很 不想失 去这个 机会， 一天只 吃一顿 饭在恶 补基础 知识。 不禁要 问，之 前做什 么去了 ？机会 当真就 那么少 ？在我 看来到 处都是 机会， 关键看 你是否 能抓住 。运气 并非偶 然，运 气都是 留给那 些时刻 准备着 的人的 。只有 不断的 积累知 识，不 断的进 步。当 机会真 的到来 的时候 ，一把 抓住。 相信学 习真的 可以改 变一个 人的运 气。 在 当 今 社 会， 大家都 生活得 匆匆忙 忙，比 房子、 比车子 、比票 子、比 小孩的 教育、 比工作 ，往往 被压得 喘不过 气来。 而另外 总有一 些人会 运用自 己的心 智去分 辨哪些 快乐或 者幸福 是必须 建立在 比较的 基础上 的，而 哪些快 乐和幸 福是无 需比较 同样可 以获得 的，然 后把时 间花在 寻找甚 至制造 那些无 需比较 就可以 获得的 幸福和 快乐， 然后无 怨无悔 地生活 ，尽情 欢乐。 一位清 洁阿姨 感觉到 快乐和 幸福， 因为她 刚刚通 过自己 的双手 还给路 人一条 清洁的 街道； 一位幼 儿园老 师感觉 到快乐 和幸福 ，因为 他刚给 一群孩 子讲清 楚了吃 饭前要 洗手的 道理； 一位外 科医生 感觉到 幸福和 快乐， 因为他 刚刚从 死神手 里抢回 了一条 人命； 一位母 亲感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他正坐 在孩子 的床边 ，孩子 睡梦中 的脸庞 是那么 的安静 美丽， 那么令 人爱怜 。。。 。。。
任意角的三角函数 课件
定
y
__x_____叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝
义 正切
y
____x___(x≠0)
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位 三角
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函 函数
数，将它们统称为三角函数
● 2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 sin α cos α
tan α
题型二 三角函数在各象限的符号问题
● 【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
●
A．第一象限 B．第二象限
●
C．第三象限 D．第四象限
●
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的正半轴重
合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．故选
解 由题意，设点 A 的坐标为(x，35)，所以 x2＋(35)2＝1，
解得 x＝45或－45．
3 当 x＝45时，角 α 在第一象限，tan α＝54＝34；
5
3 当 x＝－45时，角 α 在第二象限，tan α＝－545＝－34．
● 方向2 含参数的三角函数定义问题 ● 【例1-2】 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
同一
sinα＋k·2π＝__s_in__α__， 2．式子表示：cosα＋k·2π＝_c_o_s__α__，其中k∈Z.
tanα＋k·2π＝__ta_n__α__，
方向 1 三角函数定义的直接应用 【例 1-1】 在平面直角坐标系中，角 α 的终边与单位 α．
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能够应用三角函数定义求特殊的角的三角函数
值以及给定点P坐标求某三角函数值．
目 标 分 析
2．教学目标
知识技能
通过经历从锐角三角函数定义过度到任意角三
角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产
数 学 思 考
生、发展过程，体会函数模型思想，数形结合思
想。培养探索、归纳、类比能力； 通过运用几何画板，培养观察、分析、探索和 动手能力； 解决实际问题能力．
最终自然的得出新的定义，经历从具体到抽象的思
维方法。让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，
提高数学思维能力．
过 程 设 计
得出拓展后的新 定义并合作探究 其定义域 （8分钟） 深入挖掘，从定义中 的关键入手探索发现 更好的方法 （7分钟） 应用定义解决例 题和练习中的问 题（12分钟）
创设情景激发思 维、调动原有知 识进行模型探究 （10分钟）
动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．
教 学 方 法
根据新课程改革突出学生注重过程体验和自主 探究的理念，结合本节教学内容和学生的学习状况、 认知特点，本课采用任务情景教学模式．从学生熟 知的实际生活背景出发，通过问题探究、任务驱动 引导学生调动以往三角函数知识。然后利用几何画 板辅助帮助学生认识到定义拓展的必要性和可行性，
1
3 2
3
不 存 在
过 程 设 计
环节1回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。 问题1.4三角函数知识有什么应用 呢？能解决什么样的问题呢？如 P 右图：已知OP和角，同学们能 否求出PM?
PM 解：因为 sin OP 所以 PM OP sin
O M
环节2 三角函数定义的推广探究
教 材 分 析
1．教学内容
《任意角的三角函数》是北京市各类中等 职业学校试用教材高等教育出版社第二册第5 章第三节的第一小节，主要内容是任意角三角 函数的定义及其定义域．
教 材 分 析
２．地位与作用
本节对“任意角三角函数”的认识，是从初中直 角三角形中三条边的比值，过渡到了推广后的任意角 在坐标系中的定义，其学习平台是学生已了解了三角 函数的初中原始定义，学习了本章的“任意角和弧度 制” 等相关知识．对本节的研究，为后续讨论三角 函数的诱导公式以及图象与性质奠定坚实的基础 ， 具有承上启下的重要作用．
'
'
''''源自CB B B
= BC AB
' '' BC B 'A C = A' B ' = '' '' AB
'
'
0
0
过 程 设 计
C
环节1回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。
0 0
问题1.3你还记得么？请尝试完成 下列表格：
A
90
B
0
30
45
2 2
60
sin
cos tan
0
1 0
1 2
问题驱动、 唤醒记忆、做热 身活动（3分钟）
课堂小结 （5分钟）
过 程 设 计
问题1.1回忆一下，三角函数是如何定义的？ （在直角三角形中） C BC sin = AC 斜边 对
环节1回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。
cos = AB tan
边
AC BC = AB
A
邻边
B
过 程 设 计
目 标 分 析
2．教学目标
情 感 态 度 知识技能 数学思考 解决问题
结合现实模型将教材知识和实际生活联系起 来，使学生感悟数学概念的合理性、严谨性、科 学性 ，有效激发学生的学习兴趣．渗透事物相互 联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.
目 标 分 析
3．教学重、难点
教学重点
◆任意角的正弦、余弦、正切的定义；
环节1 回顾初中学过的锐角三角函数的相关知识。
问题1.2定义中三角函数值的大小与什么 有关？是否与三角形的大小有关？
' "
C
C
sin
根据相似三角形原理
cos tan
BC BC B C = = ' ' = A''C '' AC AC ' ' '' '' A B A B AB = = ' ' = '' '' AC AC AC
◆任意角的正弦、余弦、正切的定义域
；
教学难点
由锐角三角函数向任意角的三角函数概念拓展的建 构过程。
目 标 分 析
3．教学重、难点
难点突破
教学重点
教学难点
本课在设计上采用了设置问题情景来引发学生探究， 然后从具体到抽象进行知识迁移的教学策略，利用数学模 型引导学生运用已有知识，体验任意角三角函数定义拓展 的必要性和合理性，通过类比和探究，使任意角三角函数 的定义水到渠成的呈现出来．同时，借助于多媒体的直观 演示帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互
目 标 分 析
1.学情分析 2.教学目标 3. 教学重、难点
知 识 技 能
数 学 思 考
解 决 问 题
情 感 态 度
教 学 重 点
教 学 难 点
难 点 突 破
目 标 分 析
１．学情分析
我校职高一年级学生已学习过直角三角形
中三角函数的定义和推广后的任意角以及建立
坐标系等相关知识，具备了一定的利用代数方
过 程 设 计
思考：角的概念已经推广，由旋转生成角可以得到任意 大小的角，有正角、零角和负角。那么三角函数是否也 应该推广呢？又该如何推广呢？
看下面这个生活实例： 世界第一轮——南昌超大型摩天轮于2006年1月3日下午屹 立南昌赣江之滨，从而刷新了英国“伦敦之眼”保持的摩 天轮135米高的世界记录。该摩天轮设备中心距离地面为 83.5米，转盘直径为153米，运转一周约30分钟，（可以 调控）轿厢数量为60只，每只载客量为8～10人。轿厢配 置了全球目前最豪华、先进的设备。
法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比
较扎实、思维较活跃，但基础不够夯实，自我
控制能力不够强，需要老师引导和激发，处理
抽象问题的能力还有待进一步提高．
目 标 分 析
2．教学目标
经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函
知 识 正切函数的定义 ； 技 能 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；
数定义的推广过程，掌握任意角的正弦、余弦、
通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、
目 标 分 析
2．教学目标
知识技能 数学思考
解 决 问 题
根据情景问题中摩天轮圆周上的某点（某 座舱处）随着匀速逆时针转动而距离地面高 度产生变化的现象，探究圆周上的该点距离 地面高度与该点转动角度的关系，使学生调 动以往的三角函数知识，并认识到锐角三角 函数的局限性和拓展到任意角的必要性，感 悟到数学源于生活、数学就在身边。并引导 学生大胆猜想，结合函数概念等知识，最终 揭晓答案，从中体会由具体到抽象，由特殊 到一般的知识迁移过程和科学思考方式。