离散数学 第十讲

（3）若<x, y>∈CovA，则在x与y之间用直线连接。 上例中：CovA={<2,6>,<2,8>,<3,6>}
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哈斯图是简化的关系图
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例4.28 考虑设A＝{{a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d}, {a, b, c, e}}，则：(A, ⊆) 是一个偏序集。
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例4.24 考虑A={a,b,c,d}的下列子集类：
（1）{{a}, {b, c}, {d}}
（2）{{a, b, c, d}}
（3）{{a, b}, {c}, {a, d}}
（4）{∅,{a, b}, {c, d}}
（5）{{a}, {b, c}}
显然，有：
（1）和（2）均为A的划分；
（3）不是A的划分，因为其中的元素{a, b}与{a, d}相交；
如：A表示一个单位所有员工的集合， ≤表示领 导关系， <A, ≤>为一偏序集，其中部分具有领导关 系的员工组成一个链，部分没有领导关系的员工组成 反链。
我们约定：若A的子集只有单个元素，那么它既 是链又是反链。
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⇒ a − c = a − b + b − c = k (t + s) ⇒ a ≡ c (mod k ) ⇒ a, c ∈ R
综上所述：R是等价关系。
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设R是非空集合A上的等价关系，则A上相互等价 的元素构成了A的若干个子集，叫做等价类。下面给 出等价类的定义。
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例 A={1,2,3,4}，R是A上的互通关系，求R在A上的 等价类。
1 3
2 4
解：显然，1、3、4 互通，2与其余各点 不互通。
则： R在A上的等价 类为{1,3,4}和{2}。
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定理4.10 设R为非空集合A上的关系，对∀x,y∈A，则：
（1）[x]R≠ ∅ ，且[x]R ⊆A；
（2）若<x, y>∈R ⇔[x]R = [y]R
（3）若<x, y>∉R ，则：[x]R∩[y]R = ∅
（4） ∪
[x ] R
=
A
证明：x（∈ A2）充分性：因z ∈[x]R=[y]R，则：<x, z>∈R
且<z, y>∈R，则<x, y>∈R
必要性：< x, y>∈R，设z∈[x]R⇒zRx ⇒zRy⇒z∈[y]R 即： [x]R⊆ [y]R 同理可证：[y]R⊆ [x]R ，则：[x]R = [y]R
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偏序关系的关系图特征：每一结点都有自回 路；任意两个结点之间最多只能有单向边；依 次检查每个结点x，把从x出发的长度不超过n的 所有路径的终点找到，x到这样的终点一定有 边。
关系矩阵的特征：主对角线上元素全为1，若 rij=1，i≠j，则必有rji=0。传递性的矩阵表现太 复杂，略。
{a,b,c,d} {a,b,c,e}
{a} ⊆{a}，{b}⊆ {b}，… {a} ⊆{a, b} ⊆{a, b, c} ⊆{a, b, c, d} {b} ⊆{a, b} ⊆{a, b, c} ⊆{a, b, c, e}
{a,b,c} {a,b}
{a}
{b}
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极大元和极小元一定存在，且一般情况下不唯一。
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若上图为某一偏序集合的哈斯图，则根据以上定义 显然有：2和3都是B={2,3,6}的极小元，但它们不是 B的最小元；6是最大元。
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例4.30 设A={2,3,5,7,14,15,21}，其偏序关R={<2,14>,<3,15>, <3,21>, <5,15>, <7,14>, <7,21>, <2,2>, <3,3>, <5,5>, <7,7>, <14,14>,<15,15>,<21,21>}，求B={2,7,3,21,14}的极大元和极小 元。
关系矩阵的特征：主对角线上元素全为1，对称阵。不 过传递性的矩阵表现太复杂。
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例4.22 设Z为整数集，R={<x, y>|x≡y(modk)}，证 明R是等价关系。
证明：设任意的x, y, z ∈ Z I：因为a − a = k ⋅ 0 ⇒ a, a ∈ R
综上所述，A上的等价关系R与A上的一个划分1-1对 应。
事实上，例4.22和4.23告诉我们如何利用已知
的等价关系确定划分；至于如何根据已知的划分确
定等价关系，见P97例4.15 。
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例4.25 考虑A={a,b,c,d,e}，有一个划分π ={{a, b}, {c}, {d, e}}，试确定A上的划分π对应的等价关系R。
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4.5.3 偏序关系
在一个集合中，我们常常要考虑元素之间的次序 关系，其中非常重要的一类关系称为偏序关系。
定义4.23 设A是非空集合，若A上的关系R，满足自反 性，反对称性和传递性，则称R是A上的偏序关系，记 为≤ 。
序偶<A, ≤>称为偏序集，<x,y>∈R⇔x≤y
II : 若 a,b ∈ R ⇒ a ≡ b (mod k ) ⇒ a − b = k（t t为整数）
⇒ b − a = −kt ⇒ b, a ∈ R
III：若 a,b ∈ R，b, c ∈ R ⇒ a ≡ b (mod k )且b ≡ c (mod k )
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⇒ a − b = kt，b − c = ks，（t, s为整数）
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4.5.2 商集
定义4.21 设R为非空集合A上的关系，对任意的 x∈A，其等价类{[x]R| x ∈A}称为A关于R的商集，记 为A/R。
根据商集的定义，我们知道例4.23中商集：
A/R={[0]R, [1]R, [2]R}且A= [0]R∪[1]R∪[2]R
CovA={<x, y> |x, y∈A且y盖住x}
例4.27 考虑例4.26，求CovA
解：由于：
≤={<2,2>,<3,3>,<6,6>,<8,8>,<2,6>,<2,8>,<3,6>}
则： CovA ={<2,6>,<2,8>,<3,6>}
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给定偏序集<A, ≤>，它的盖住关系是唯一的，所 以可用盖住的关系画出偏序集合图，称为哈斯图(Hasse diagram)。其作图规则如下： （1）用小圆圈代表元素； （2）若x ≤y且x ≠ y ，则将代表y的小圆圈画在代表x 的小圆圈之上。
⎥
⎢0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
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偏序关系：自反性、反对称性、传递性
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为了更清楚地描述集合中元素的层次关系，这里先 介绍“盖住”的概念：
定义4.24 在偏序集<A, ≤>中，若x,y∈A，x≤y，x≠y且 没有其它元素z满足x≤z， z≤y，则称元素y盖住元素x， 记为：
确定由Z的元素所产生的等价类。 解：由例4.22知R是等价关系，则由R产生的等价类 是：
[0]R={…,-6,-3,0,3,6,…}=[3]R= [-3]R =… [1]R={…,-5,-2,1,4,7,…}=[4]R= [-2]R =… [2]R={…,-4,-1,2,5,8,…}=[5]R= [-1]R =…
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例4.26 考虑给定集合A={2,3,6,8}，令≤={<x,y>|x整 除y}，验证≤是偏序关系。
解： ≤={<2,2>,<3,3>,<6,6>,<8,8>,<2,6>,<2,8>,<3,6>}
⎡1 0 1 1⎤
⎢
⎥
⎢0 1 1 0⎥
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M≤ = ⎢
解： R1 ={a, b}×{a, b}={<a,a>,<a, b>,<b, a>,<b, b>} R2 ={c}×{c}={<c, c>} R3 ={d, e}×{d, e}={<d, d>,<d, e>,<e, d>,<e, e>}
则：R= R1∪R2∪R3
={<a, a>,<a, b>,<b, a>,<b, b>, <c, c>, <d, d>,<d, e>,<e, d>,<e, e>}